2.3　一元二次方程根的判别式 同步练习（含解析）

2.3　一元二次方程根的判别式
一、选择题
1.在计算方程2x2＋1＝x的根的判别式时，b的值为(　　)
A．5
B．
C．－
D．－
2.关于x的一元二次方程x2＋bx－1＝0的根的判别式为(　　)
A．1－b2
B．b2－4
C．b2＋4
D．b2＋1
3.已知方程2x2＋mx＋1＝0的根的判别式的值为16，则m的值为(　　)
A．2
B．－2
C．±2
D．±3
4.【2021·南宁期末改编】下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的是(　　)
A．x2＋1＝0
B．4x2－4x＋1＝0
C．x2＋x＋2＝0
D．x2－2x－1＝0
5.【2021·长沙市第一中学校级月考】已知方程2x2＋mx＋1＝0的根的判别式的值为16，则m的值为(　　)
A．2
B．－2
C．±2
D．±3
6.【中考·河南】一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
7.【2020·黑龙江】已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是(　　)
A．k<
B．k≤
C．k>
D．k≤且k≠0
8.【中考·河北】小刚在解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝－1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根的情况是(　　)
A．不存在实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝－1
D．有两个相等的实数根
9.【中考·荆州】若一次函数y＝kx＋b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2＋kx＋b＝0的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
10.【2020·荆州】定义新运算“a
b”：对于任意实数a，b，都有a
b＝(a＋b)(a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4
3＝(4＋3)(4－3)－1＝7－1＝6.若x
k＝x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为(　　)
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
11.若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，且有两个相等的实数根，则(　　)
A．a＝b
B．2a＋b＝0
C．b＝2c
D．b＋c＝0
12.【2020·潍坊】关于x的一元二次方程x2＋(k－3)x＋1－k＝0根的情况，下列说法正确的是(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
二、填空题
13.方程7x＝2x2－4化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，a＝____，b＝____，c＝____，b2－4ac＝____．
14.如果关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是_____________．
15.【2021·长春期末】一元二次方程x2＝x＋3的根的判别式的值是__________．
16.【2020·北京】已知关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是________．
17.【中考·铁岭】若关于x的一元二次方程ax2－8x＋4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________________．
18.【中考·邵阳】关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是________．
三、解答题
19.不解方程，判断下列一元二次方程的解的情况．
(1)x2＋2＝0;
(2)x2＋x＋2＝0；
(3)x2＋2x＋1＝0;
(4)x(x－1)＝2.
20.已知关于x的方程2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，问：当k分别取什么值时，满足下列条件？
(1)方程有两个不相等的实数根；
(2)方程有两个相等的实数根；
(3)方程没有实数根．
21.已知关于x的方程x2－(2k＋1)x＋4＝0.
(1)求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
22.【2019·衡阳】关于x的一元二次方程x2－3x＋k＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m－1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相同的根，求此时m的值．　
23.【中考·北京】关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
24.我们规定：方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝0.例如，方程2x2－3x＋4＝0的变形方程为2(x＋1)2－3(x＋1)＋4＝0.
(1)直接写出方程x2＋2x－5＝0的变形方程；
(2)若方程x2＋2x＋m＝0的变形方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为x2＋2x＋1＝0，直接写出a＋b＋c的值．
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参考答案
一、选择题
1.在计算方程2x2＋1＝x的根的判别式时，b的值为(　C　)
A．5
B．
C．－
D．－
2.关于x的一元二次方程x2＋bx－1＝0的根的判别式为(　C　)
A．1－b2
B．b2－4
C．b2＋4
D．b2＋1
3.已知方程2x2＋mx＋1＝0的根的判别式的值为16，则m的值为(　C　)
A．2
B．－2
C．±2
D．±3
4.【2021·南宁期末改编】下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的是(　B　)
A．x2＋1＝0
B．4x2－4x＋1＝0
C．x2＋x＋2＝0
D．x2－2x－1＝0
5.【2021·长沙市第一中学校级月考】已知方程2x2＋mx＋1＝0的根的判别式的值为16，则m的值为(　C　)
A．2
B．－2
C．±2
D．±3
6.【中考·河南】一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情况是(　A　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【点拨】原方程可化为x2－2x－4＝0，∴a＝1，b＝－2，c＝－4，∴Δ＝(－2)2－4×1×(－4)＝20＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
7.【2020·黑龙江】已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是(　B　)
A．k<
B．k≤
C．k>
D．k≤且k≠0
8.【中考·河北】小刚在解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝－1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根的情况是(　A　)
A．不存在实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝－1
D．有两个相等的实数根
9.【中考·荆州】若一次函数y＝kx＋b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2＋kx＋b＝0的根的情况是(　C　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【点拨】∵一次函数y＝kx＋b的图象不经过第二象限，∴k＞0，b≤0，∴Δ＝k2－4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
10.【2020·荆州】定义新运算“a
b”：对于任意实数a，b，都有a
b＝(a＋b)(a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4
3＝(4＋3)(4－3)－1＝7－1＝6.若x
k＝x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为(　C　)
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【点拨】∵x
k＝x(k为实数)是关于x的方程，
∴(x＋k)(x－k)－1＝x，
整理得x2－x－k2－1＝0.
∴Δ＝(－1)2－4(－k2－1)＝4k2＋5>0，
∴方程有两个不相等的实数根．故选C.
11.若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，且有两个相等的实数根，则(　B　)
A．a＝b
B．2a＋b＝0
C．b＝2c
D．b＋c＝0
【点拨】∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，
∵ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0，
把c＝－a－b代入b2－4ac＝0，得b2－4a(－a－b)＝0，
∴(2a＋b)2＝0，∴2a＋b＝0.
12.【2020·潍坊】关于x的一元二次方程x2＋(k－3)x＋1－k＝0根的情况，下列说法正确的是(　A　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【点拨】计算根的判别式得Δ＝(k－1)2＋4>0.∴方程有两个不相等的实数根．故选A.
二、填空题
13.方程7x＝2x2－4化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，a＝____，b＝____，c＝____，b2－4ac＝____．
【答案】2
－7
－4
81
14.如果关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是_____________．
【答案】k≤且k≠0
15.【2021·长春期末】一元二次方程x2＝x＋3的根的判别式的值是__________．
【答案】13
16.【2020·北京】已知关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是________．
【答案】1
17.【中考·铁岭】若关于x的一元二次方程ax2－8x＋4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________________．
【答案】a＜4且a≠0
【点拨】由题意可知a≠0且Δ＝64－16a＞0，∴a＜4且a≠0.
18.【中考·邵阳】关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是________．
【点拨】∵一元二次方程x2－2x－m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4＋4m＞0，∴m＞－1.∴m的最小整数值是0.
三、解答题
19.不解方程，判断下列一元二次方程的解的情况．
(1)x2＋2＝0;
解：∵Δ＝02－4×1×2＝－8＜0，∴方程没有实数根．
(2)x2＋x＋2＝0；
∵Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，∴方程没有实数根．
(3)x2＋2x＋1＝0;
解：∵Δ＝22－4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根．
(4)x(x－1)＝2.
将原方程化为一般形式，得x2－x－2＝0.
∵Δ＝(－1)2－4×1×(－2)＝9＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
20.已知关于x的方程2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，问：当k分别取什么值时，满足下列条件？
解：∵a＝2，b＝－(4k＋1)，c＝2k2－1，
∴Δ＝b2－4ac＝[－(4k＋1)]2－4×2×(2k2－1)＝8k＋9.
(1)方程有两个不相等的实数根；
∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即8k＋9＞0，
解得k＞－.
(2)方程有两个相等的实数根；
解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即8k＋9＝0，
解得k＝－.
(3)方程没有实数根．
∵方程没有实数根，∴Δ＜0，即8k＋9＜0，
解得k<－.
21.已知关于x的方程x2－(2k＋1)x＋4＝0.
(1)求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
证明：因为Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×4＝4k2－12k＋9＝(2k－3)2≥0，所以无论k取何值，这个方程总有实数根．
(2)若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【点拨】等腰三角形的边分腰和底边，若没有说明，则必须分类讨论，同时注意三角形的三边关系．
解：若a为等腰三角形ABC的底边长，则b，c为等腰三角形ABC的两腰长，所以方程有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即k＝.所以方程为x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2.
即b＝c＝2，不符合三角形三边关系，故舍去．
若a为等腰三角形ABC的一腰长，由题意知4是方程的一个根，所以42－(2k＋1)×4＋4＝0，解得k＝.所以方程为x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，符合题意．所以△ABC的周长为2＋4＋4＝10.
22.【2019·衡阳】关于x的一元二次方程x2－3x＋k＝0有实数根．
(1)求k的取值范围；
解：根据题意得b2－4ac＝(－3)2－4k≥0，
解得k≤.
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m－1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相同的根，求此时m的值．　
解：由(1)知k的最大整数值为2，此时方程x2－3x＋k＝0即为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.
∵一元二次方程(m－1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相同的根，
∴当x＝1时，m－1＋1＋m－3＝0，
解得m＝；
当x＝2时，4(m－1)＋2＋m－3＝0，解得m＝1.
∵m－1≠0，∴m≠1.∴m的值为.
23.【中考·北京】关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
解：∵关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，
∴b2－4ac＝4－4(2m－1)≥0，解得m≤1.
∵m为正整数，∴m＝1，
∴原方程为x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，
解得x1＝x2＝1.
24.我们规定：方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝0.例如，方程2x2－3x＋4＝0的变形方程为2(x＋1)2－3(x＋1)＋4＝0.
(1)直接写出方程x2＋2x－5＝0的变形方程；
解：x2＋2x－5＝0的变形方程为(x＋1)2＋2(x＋1)－5＝0.
(2)若方程x2＋2x＋m＝0的变形方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
解：方程x2＋2x＋m＝0的变形方程为(x＋1)2＋2(x＋1)＋m＝0.整理，得x2＋4x＋3＋m＝0.
∵变形方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝42－4(3＋m)＝4－4m＞0，
∴m＜1.
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为x2＋2x＋1＝0，直接写出a＋b＋c的值．
【点拨】方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝0，整理，得ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋c)＝0.∵方程ax2＋bx＋c＝0的变形方程为x2＋2x＋1＝0，∴a＋b＋c＝1.
【答案】a＋b＋c＝1.　
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