2.5.2　用一元二次方程解决几何图形问题 同步练习（含解析）

2.5　一元二次方程的应用
第2课时　用一元二次方程解决几何图形问题
一、选择题
1.【中考·广西北部湾经济区】扬帆中学有一块长30
m，宽20
m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x
m，则可列方程为(　　)
A．(30－x)(20－x)＝×20×30
B．(30－2x)(20－x)＝×20×30
C．30x＋2×20x＝×20×30
D．(30－2x)(20－x)＝×20×30
第1题图
第3题图
第4题图
第5题图
2.同一根细铁丝可以折成边长为10
cm的等边三角形，也可以折成面积为50
cm2的矩形．设所折成的矩形的一边长为x
cm，则可列方程为(　　)
A．x(10－x)＝50
B．x(30－x)＝50
C．x(15－x)＝50
D．x(30－2x)＝50
3.如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S＝66时，n的值为(　　)
A．10
B．11
C．12
D．13
4.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7
644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为
(　　)
A．100×80－100x－80x＝7644
B．(100－x)(80－x)＋x2＝7644
C．(100－x)(80－x)＝7644
D．100x＋80x＝356
5.如图，六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和。若丙的一股长（注：直角三角形较短的直角边为勾，较长的直角边为股）为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？(　　)
A．
B．
C．2
D．42
6.如图，为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？(　　)
A．11
B．12
C．13
D．14
第6题图
第7题图
第8题图
第10题图
7.如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600米2,则小道的宽为多少米 若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为
(
)
A.35×20－35x－20x＋2x2＝600
B.35×20－35x－2×20x＝600
C.(35－2x)(20－x)＝600
D.(35－x)(20－2x)＝600
8.如图,在一块长为32米、宽为20米的矩形地面上修建三条宽度相等的小路,每条小路的两边互相平行.若使剩余面积为570米2,则小路的宽度x为
(
)
A.0.5米
B.1米
C.2米
D.3米
9.从一块正方形木板上锯掉3
m宽的长方形木条,剩下的面积是54
m2,则原来这块木板的面积是(　　)
A.9
m2
B.64
m2
C.81
m2
D.121
m2
10.一块四周镶有宽度相等的花边地毯如图所示,它的长为8
m,宽为5
m.如果地毯中央长方形图案的面积为28
m2,则花边的宽是
(
)
A.2
m
B.1.5
m
C.1
m
D.0.5
m
11.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.若苗圃园的面积为72米2,则x＝
(
)
A.15
B.12
C.10
D.8
第11题图
第12题图
12.为把我市创建成全国文明城市,某社区积极响应市政府号召,准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花,如图中的阴影“”带.鲜花带一边宽1
m,另一边宽2
m,剩余空地的面积为18
m2,设原正方形空地的边长为x
m,则可列方程为
(
)
A.(x－1)(x－2)＝18
B.x2－3x＋16＝0
C.(x＋1)(x＋2)＝18
D.x2＋3x＋16＝0
二、填空题
13.如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3，则根据图中的条件，可列出方程为______________________．
第13题图
第14题图
第15题图
第16题图
14.【2020·济南】如图，在一块长15
m、宽10
m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126
m2，则修建的路宽应为________m.
15.准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为________米．
16.如图，ABCD为矩形的四个顶点，AB＝16
cm，AD＝6
cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3
cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2
cm/s的速度向D移动，P，Q两点从出发开始到________秒时，点P和点Q的距离是10
cm.
17.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30
cm，BC＝25
cm.动点P从点C出发，沿CA方向在CA上运动，速度是2
cm/s；动点Q同时从点B出发，沿BC方向在BC上运动，速度是1
cm/s，一点到达终点后，另一点也停止运动，则开始运动后，经过________s，P，Q两点之间相距25
cm.
18.【中考·宁夏】你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋5x－14＝0，即x(x＋5)＝14为例加以说明．数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是构造图(如图甲)中大正方形的面积是(x＋x＋5)2，
其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，据此易得x＝2.那么在如图乙(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)中，能够说明方程x2－4x－12＝0的正确构图是____________．(只填序号)
三、解答题
19.【中考·徐州】如图，有一块矩形硬纸板，长30
cm，宽
20
cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200
cm2
20.如图，在矩形ABCD中，AB＝6
cm，BC＝12
cm，点P从点A沿边AB向点B以1
cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2
cm/s的速度移动．问：
(1)几秒时△PBQ的面积等于8
cm2
(2)几秒时△PDQ的面积等于28
cm2
21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6
cm，BC＝8
cm，点P从B点出发以1
cm/s的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为t
s.
(1)用含t的代数式表示CP，CQ的长，并直接写出t的取值范围；
(2)多长时间后，△CPQ的面积为6
cm2
(3)多长时间后，点P、点Q的距离为5
cm
22.如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用25米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1米宽的门．
(1)若a＝12，问长和宽分别为多少时，鸡舍面积为80平方米？
(2)问a的值在什么范围时，(1)中的解有两个？一个？无解？
(3)若墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到90平方米？
23.如图,在矩形ABCD中,AB＝6
cm,BC＝8
cm.点P从点B出发沿边BC向点C以2
cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CD向点D以1
cm/s的速度移动.如果P,Q两点同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的
24.要在一块长52
m、宽48
m的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路．如图分别是小亮和小颖的设计方案．
(1)求小亮设计方案中甬路的宽度；
(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．
(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中x的取值相同)．
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参考答案
一、选择题
1.【中考·广西北部湾经济区】扬帆中学有一块长30
m，宽20
m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x
m，则可列方程为(　　)
A．(30－x)(20－x)＝×20×30
B．(30－2x)(20－x)＝×20×30
C．30x＋2×20x＝×20×30
D．(30－2x)(20－x)＝×20×30
【答案】D
第1题图
第3题图
第4题图
第5题图
2.同一根细铁丝可以折成边长为10
cm的等边三角形，也可以折成面积为50
cm2的矩形．设所折成的矩形的一边长为x
cm，则可列方程为(　C　)
A．x(10－x)＝50
B．x(30－x)＝50
C．x(15－x)＝50
D．x(30－2x)＝50
【点拨】折成的矩形的一边长为x
cm，则相邻一边长为(15－x)cm，根据题意得x(15－x)＝50.
3.如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S＝66时，n的值为(　　)
A．10
B．11
C．12
D．13
【点拨】根据题意得S＝n(n＋1)．
∵S＝66，∴n(n＋1)＝66，解得n1＝11，n2＝－12(舍去)．
∴n的值为11.
4.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7
644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为
(　C　)
A．100×80－100x－80x＝7644
B．(100－x)(80－x)＋x2＝7644
C．(100－x)(80－x)＝7644
D．100x＋80x＝356
5.如图，六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和。若丙的一股长（注：直角三角形较短的直角边为勾，较长的直角边为股）为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？
A．
B．
C．2
D．42
【点拨】设丁的一股长为a，且a＜2，∵甲面积＋乙面积＝丙面积＋丁面积，
∴2a＋2a＝×22＋×a2，
4a＝2＋a2，
a2－8a＋4＝0，
a＝＝＝42，∵4＋2＞2，不合，4－2＜2，合，
∴a＝4－2。故选(D)。
6.如图，为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？（B）
A．11
B．12
C．13
D．14
第6题图
第7题图
第8题图
第10题图
7.如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为600米2,则小道的宽为多少米 若设小道的宽为x米,则根据题意,列方程为
(C)
A.35×20－35x－20x＋2x2＝600
B.35×20－35x－2×20x＝600
C.(35－2x)(20－x)＝600
D.(35－x)(20－2x)＝600
8.如图,在一块长为32米、宽为20米的矩形地面上修建三条宽度相等的小路,每条小路的两边互相平行.若使剩余面积为570米2,则小路的宽度x为
(B)
A.0.5米
B.1米
C.2米
D.3米
9.从一块正方形木板上锯掉3
m宽的长方形木条,剩下的面积是54
m2,则原来这块木板的面积是(　C　)
A.9
m2
B.64
m2
C.81
m2
D.121
m2
10.一块四周镶有宽度相等的花边地毯如图所示,它的长为8
m,宽为5
m.如果地毯中央长方形图案的面积为28
m2,则花边的宽是
(D)
A.2
m
B.1.5
m
C.1
m
D.0.5
m
11.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.若苗圃园的面积为72米2,则x＝
(B)
A.15
B.12
C.10
D.8
第11题图
第12题图
12.为把我市创建成全国文明城市,某社区积极响应市政府号召,准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花,如图中的阴影“”带.鲜花带一边宽1
m,另一边宽2
m,剩余空地的面积为18
m2,设原正方形空地的边长为x
m,则可列方程为
(A)
A.(x－1)(x－2)＝18
B.x2－3x＋16＝0
C.(x＋1)(x＋2)＝18
D.x2＋3x＋16＝0
二、填空题
13.如图是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3，则根据图中的条件，可列出方程为______________________．
【答案】x(x＋1)＝3
第13题图
第14题图
第15题图
第16题图
14.【2020·济南】如图，在一块长15
m、宽10
m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为126
m2，则修建的路宽应为________m.
【点拨】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的绿地是一个矩形，根据矩形的面积公式列方程求解即可．
【答案】1
15.准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，(如图所示)四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为________米．
【答案】
16.如图，ABCD为矩形的四个顶点，AB＝16
cm，AD＝6
cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3
cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2
cm/s的速度向D移动，P，Q两点从出发开始到________秒时，点P和点Q的距离是10
cm.
【答案】或
17.如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30
cm，BC＝25
cm.动点P从点C出发，沿CA方向在CA上运动，速度是2
cm/s；动点Q同时从点B出发，沿BC方向在BC上运动，速度是1
cm/s，一点到达终点后，另一点也停止运动，则开始运动后，经过________s，P，Q两点之间相距25
cm.
【答案】10
18.【中考·宁夏】你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋5x－14＝0，即x(x＋5)＝14为例加以说明．数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是构造图(如图甲)中大正方形的面积是(x＋x＋5)2，
其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，据此易得x＝2.那么在如图乙(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)中，能够说明方程x2－4x－12＝0的正确构图是____________．(只填序号)
【点拨】∵x2－4x－12＝0，即x(x－4)＝12，∴构造大正方形的面积是(x＋x－4)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12＋42，据此易得x＝6.故填②.
【答案】②
三、解答题
19.【中考·徐州】如图，有一块矩形硬纸板，长30
cm，宽
20
cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200
cm2
解：设剪去正方形的边长为x
cm，则制成的无盖长方体盒子的长为(30－2x)
cm，宽为(20－2x)
cm，高为x
cm，
依题意，得2×[(30－2x)＋(20－2x)]x＝200，
整理，得2x2－25x＋50＝0，解得x1＝，x2＝10.
当x＝10时，20－2x＝0，不合题意，舍去．
答：当剪去正方形的边长为
cm时，所得长方体盒子的侧面积为200
cm2.
20.如图，在矩形ABCD中，AB＝6
cm，BC＝12
cm，点P从点A沿边AB向点B以1
cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2
cm/s的速度移动．问：
(1)几秒时△PBQ的面积等于8
cm2
解：设x
s时△PBQ的面积等于8
cm2，
则AP＝x
cm，QB＝2x
cm，PB＝(6－x)cm.
∴×(6－x)×2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，
答：2
s或4
s时△PBQ的面积等于8
cm2.
(2)几秒时△PDQ的面积等于28
cm2
解：设t
s时△PDQ的面积等于28
cm2.
∵S矩形ABCD－S△APD－S△BPQ－S△CDQ＝S△PDQ，
∴12×6－×12t－×2t(6－t)－×6×(12－2t)＝28，
整理得t2－6t＋8＝0，
解得t1＝2，t2＝4，
答：2
s或4
s时△PDQ的面积等于28
cm2.
21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6
cm，BC＝8
cm，点P从B点出发以1
cm/s的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为t
s.
(1)用含t的代数式表示CP，CQ的长，并直接写出t的取值范围；
解：CP＝(8－t)
cm，CQ＝t
cm.t的取值范围为0≤t≤6.
(2)多长时间后，△CPQ的面积为6
cm2
解：根据题意，得(8－t)t＝6，
解得t＝2或t＝6.
答：2
s或6
s后，△CPQ的面积为6
cm2.
(3)多长时间后，点P、点Q的距离为5
cm
解：根据题意，得(8－t)2＋t2＝(5)2，
解得t＝1或t＝7(不合题意，舍去)．
答：1
s后，P点、Q点的距离为5
cm.
22.如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用25米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1米宽的门．
(1)若a＝12，问长和宽分别为多少时，鸡舍面积为80平方米？
解：设AB＝x米，则BC＝(26－2x)米．
依题意，得x(26－2x)＝80，
解得x1＝5，x2＝8.
当x＝5时，26－2x＝16＞12，不符合题意，舍去；
当x＝8时，26－2x＝10＜12.
答：长为10米，宽为8米时，鸡舍面积为80平方米．
(2)问a的值在什么范围时，(1)中的解有两个？一个？无解？
解：由(1)知，边BC的长为10米或16米，
∴当a≥16时，(1)中的解有两个；
当10≤a＜16时，(1)中的解有一个；
当a＜10时，无解．
(3)若墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到90平方米？
解：令x(26－2x)＝90，
整理得x2－13x＋45＝0，
∴Δ＝b2－4ac＝169－180＝－11＜0，
∴鸡舍面积不能达到90平方米．
23.如图,在矩形ABCD中,AB＝6
cm,BC＝8
cm.点P从点B出发沿边BC向点C以2
cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CD向点D以1
cm/s的速度移动.如果P,Q两点同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的
解:设x
s后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的.
根据题意,得CP＝(8－2x)
cm,CQ＝x
cm,
∴S△PCQ＝(8－2x)·x,
∴S五边形ABPQD＝6×8－(8－2x)·x,
∴6×8－(8－2x)·x,
解得x＝2,
∴2
s后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的.
24.要在一块长52
m、宽48
m的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路．如图分别是小亮和小颖的设计方案．
(1)求小亮设计方案中甬路的宽度；
解：根据小亮的设计方案列方程得(52－x)(48－x)＝2
300，
解得x＝2或x＝98(舍去)．
∴小亮设计方案中甬路的宽度为2
m.
(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．
(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中x的取值相同)．
解：过A作AI⊥CD，垂足为I.
∵AB∥CD，∠1＝60°，∴∠ADI＝60°.∴∠IAD＝30°.
∵BC∥AD，∴四边形ADCB为平行四边形．
∴BC＝AD.
由(1)得x＝2，∴BC＝HE＝2
m＝AD.
在Rt△ADI中，AD＝2
m，∠IAD＝30°，
∴ID＝1
m.
∴AI＝
m.
∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为52×48－52×2－48×2＋()2＝2
299(m2)．
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