2020-2021学年安徽省合肥五十中望岳校区九年级（上）第一次月考数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年安徽省合肥五十中望岳校区九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.
1．（4分）的倒数是　　
A．
B．
C．2020
D．
2．（4分）下列运算正确的是　　
A．
B．
C．
D．
3．（4分）2019新型冠状病毒的直径是，将0.00012用科学记数法表示是　　
A．
B．
C．
D．
4．（4分）若方程的两根为，，则的值为　　
A．3
B．
C．
D．
5．（4分）如果关于的方程有增根，那么的值等于　　
A．
B．
C．
D．3
6．（4分）函数中，自变量的取值范围是　　
A．
B．且
C．
D．且
7．（4分）如图所示，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则等于　　
A．
B．
C．
D．
8．（4分）如图为抛物线的图象，，，为抛物线与坐标轴的交点，且，则下列关系正确的是　　
A．
B．
C．
D．
9．（4分）如图，、是双曲线上的两点，过点作轴，交于点，垂足为，连接，若的面积为1，为的中点，则的值为　　
A．
B．
C．3
D．4
10．（4分）如图，一次函数的图象上有两点、，点的横坐标为2，点的横坐标为且，过点、分别作的垂线，垂足为、，、的面积分别为、，则、的大小关系是　　
A．
B．
C．
D．无法确定
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）分解因式：　
　．
12．（5分）分式方程的解是　
　．
13．（5分）如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与轴交于点，若则的取值范围是
　　．
14．（5分）如图所示，直线经过点，，过轴上的点1、3、5、7、9、分别作轴的垂线，与直线相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为、，则关于的函数关系式是
　　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程组：．
16．（8分）解不等式（组，并把解集在数轴上表示出来．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）某服装公司试销一种成本为每件50元的恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件与销售单价（元的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时，的值最大，最大值是多少？
18．（8分）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：．
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：　　　　；
（2）用含有的代数式表示第个等式：　　为正整数）；
（3）求的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地道宽为，顶部距离地面的高度为，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为，该车要想过此门，装货后的最大高度为多少？
20．（10分）如图，已知点，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线与轴的交点的坐标及的面积，
（3）求方程的解（请直接写出答案）；
（4）求不等式的解集（请直接写出答案）．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，在等边中，是延长线上一点，是上一点，且，、的延长线相交于点．
（1）求证：；
（2）探究线段、、的数量关系，并说明理由；
（3）若，，求的长．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知双曲线与直线相交于、两点．第一象限上的点（在点左侧）是双曲线上的动点．过点作轴交轴于点．过作轴交双曲线于点，交于点．
（1）若点坐标是，求、两点坐标及的值．
（2）若是的中点，四边形的面积为4，求直线的解析式．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）判断的形状，证明你的结论；
（3）点是轴上的一个动点，当的值最小时，求的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.
1．（4分）的倒数是　　
A．
B．
C．2020
D．
【解答】解：的倒数是2020，
故选：．
2．（4分）下列运算正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：选项，根据同底数幂的乘法法则可得，选项正确；
选项，根据合并同类项法则可得，选项错误；
选项，根据幂的乘方的运算法则可得，选项错误；
选项，根据积的乘方的运算法则可得，选项错误．
故选：．
3．（4分）2019新型冠状病毒的直径是，将0.00012用科学记数法表示是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：．
故选：．
4．（4分）若方程的两根为，，则的值为　　
A．3
B．
C．
D．
【解答】解：由根与系数的关系得：，．
．故选．
5．（4分）如果关于的方程有增根，那么的值等于　　
A．
B．
C．
D．3
【解答】解：方程两边同乘以，得
①．
原方程有增根，
，
即．
把代入①，得
．
故选：．
6．（4分）函数中，自变量的取值范围是　　
A．
B．且
C．
D．且
【解答】解：根据题意得，且，
解得且．
故选：．
7．（4分）如图所示，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则等于　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：．
故选：．
8．（4分）如图为抛物线的图象，，，为抛物线与坐标轴的交点，且，则下列关系正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：、由图象可知，当时，，即，所以，故不正确；
、由抛物线与轴相交于点，可知道点的坐标为，
又因为，
所以，，
把它代入，
即，
即，
所以．
故正确；
、由图象可知，，解得，故错误；
、由图象可知，抛物线开口向上，所以；又因为，所以，故错误．
故选：．
9．（4分）如图，、是双曲线上的两点，过点作轴，交于点，垂足为，连接，若的面积为1，为的中点，则的值为　　
A．
B．
C．3
D．4
【解答】解：过点作轴于点，
为的中点，，
，
是的中位线，即．
设，则，，，
的面积为1，
，，解得，
故选：．
10．（4分）如图，一次函数的图象上有两点、，点的横坐标为2，点的横坐标为且，过点、分别作的垂线，垂足为、，、的面积分别为、，则、的大小关系是　　
A．
B．
C．
D．无法确定
【解答】解：由一次函数图象可得出，
则，
又且，
，
故选：．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）分解因式：　　．
【解答】解：．
故答案为：．
12．（5分）分式方程的解是　　．
【解答】解：方程两边同乘，
得，
解得．
将代入．
所以是原方程的解．
故答案为：．
13．（5分）如图，已知二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与轴交于点，若则的取值范围是
　　．
【解答】解：二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与轴交于点，
由图象得：若，则的取值范围是：．
故答案为：．
14．（5分）如图所示，直线经过点，，过轴上的点1、3、5、7、9、分别作轴的垂线，与直线相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为、，则关于的函数关系式是
　　．
【解答】解：过作轴，
直线经过点，，
，
，，
，，
，
同理：，
，
由以上面积可发现：，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程组：．
【解答】解：原方程可化为：，
①②得，，解得，代入①得，，解得，
故此方程组的解为：．
16．（8分）解不等式（组，并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）某服装公司试销一种成本为每件50元的恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件与销售单价（元的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时，的值最大，最大值是多少？
【解答】解：（1）设与的函数关系式为：
函数图象经过点和
，
解得
．（4分）
（2）（6分）
自变量取值范围：．（7分）
，
函数中，，
函数图象开口向下，对称轴是直线，
，此时随的增大而增大，
当时，．（10分）
18．（8分）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：．
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：　　　　；
（2）用含有的代数式表示第个等式：　　为正整数）；
（3）求的值．
【解答】解：（1）由所给式子，可得，
故答案为：，；
（2），
故答案为：；
（3）
．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地道宽为，顶部距离地面的高度为，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为，该车要想过此门，装货后的最大高度为多少？
【解答】解：根据题意知，，，设这个函数为．
将的坐标代入，得，
、两点的横坐标分别是和1.2，
将代入函数式，得
，
，
因此这辆汽车装货后的最大高度为．
20．（10分）如图，已知点，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线与轴的交点的坐标及的面积，
（3）求方程的解（请直接写出答案）；
（4）求不等式的解集（请直接写出答案）．
【解答】解：（1）在反比例函数图象上，
，，反比例函数的解析式为，
把代入，，
设一次函数解析式为，
，
解得，，
一次函数解析式为．
（2），，
点的坐标为，
的面积的面积的面积
．
（3）点，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点，
方程的解是：，，
（4）由图象可知，当或时，，
不等式的解集为：或．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，在等边中，是延长线上一点，是上一点，且，、的延长线相交于点．
（1）求证：；
（2）探究线段、、的数量关系，并说明理由；
（3）若，，求的长．
【解答】（1）证明：如图，在上截取，使得，连接．
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
（2）解：结论：．
理由：由（1）可知，，
，
，
，
，，
．
（3）解：如图，在上截取，使得，连接．过点作交的延长线于．
设，，则，
在中，，，，
，，
在中，，
，
又，
，
，
，
，
．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知双曲线与直线相交于、两点．第一象限上的点（在点左侧）是双曲线上的动点．过点作轴交轴于点．过作轴交双曲线于点，交于点．
（1）若点坐标是，求、两点坐标及的值．
（2）若是的中点，四边形的面积为4，求直线的解析式．
【解答】解：（1），
点的横坐标为，代入中，得．
点坐标为．
、两点关于原点对称，．
；
（2），是的中点，、、、四点均在双曲线上，
，，，．
，，，
．
．
在双曲线与直线上
得（舍去）
，．
设直线的解析式是，把和代入得：
解得．
直线的解析式是．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）判断的形状，证明你的结论；
（3）点是轴上的一个动点，当的值最小时，求的值．
【解答】解：（1）点在抛物线上，
，解得
抛物线的解析式为．
，
顶点的坐标为，．
（2）当时，，．
当时，，，，
，，．
，，，
．是直角三角形．
（3）作出点关于轴的对称点，则，，
连接交轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，的值最小．
解法一：设抛物线的对称轴交轴于点．
轴，，
△．
，
．
解法二：设直线的解析式为，
则，
解得：．
．
当时，，．
．