2019-2020学年上海市徐汇区华育中学九年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2019-2020学年上海市徐汇区华育中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（4′×6＝24′）
1．（3分）中，，，，分别是，，的对边，下列关系式错误的是　　
A．
B．
C．
D．
2．（3分）如图，点是的边上一点，直线交的延长线于点，则下列结论错误的是　　
A．
B．
C．
D．
3．（3分）如图，是正方形，，是的中点，是边上的一点，下列条件：（1）；（2）；（3）；（4）．其中能推出的有　　
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
4．（3分）已知，，（注表示面积，表示周长），则的值是　　
A．1
B．
C．
D．5
5．（3分）下列命题正确的个数是　　
①零向量与任何一个向量都是平行向量；
②如果且，那么；
③如果是一个实数，是向量，那么的模是；
④如果非零向量，那么一定存在唯一的实数，使．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个．
6．（3分）如图，等腰中，底边，，的平分线交于，的平分线交于，设，则　　
A．
B．
C．
D．
二、填空题（4′×12＝48′）
7．（4分）若，则　　．
8．（4分）计算：　　．
9．（4分）如图，梯形中，、分别在、上，且，若，，用向量表示向量，则　　．
10．（4分）如图，中，，分别交边、于、两点，若与四边形的面积比是，则与的周长比是
　　．
11．（4分）如图，在中，为边上的中点，为边上一点，交于点，当时，则　　．
12．（4分）如图，是一块锐角三角形的材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是　
　．
13．（4分）如图，在中，，，则的余弦值为
　　．
14．（4分）如图，中，，，，，，则　　．
15．（4分）如图，是的边上一点，，，若与的面积之比为，则的长为
　　．
16．（4分）如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，分别交和于点，，则　
　．
17．（4分）如图，在梯形中，，中位线交于，交于，，则　　．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，是原点，点、在轴正半轴上，点在第一象限，，，，，在轴上找一点，使是直角三角形，则点的坐标是
　　．
三、解答题
19．计算：．
20．如图，已知向量和，求作．
21．如图，梯形中，，，，，，现有两个动点，分别从、两点同时出发，点以每秒2个单位的速度沿向终点移动，点以每秒1个单位的速度沿向终点移动，线段与相交于点，过作交于点，射线交的延长线于点，设动点、移动时间为（单位：秒
（1）当是等腰三角形时，求的值；
（2）在、的移动过程中，求的长度．
22．如图，在中，是斜边上的高，点在上，且与的延长线交于点．求证：
（1）；
（2）．
23．在中，，，是线段的中点，在边上，线段和交于点．
（1）如图1，时，求的值；
（2）如图2，时，求的正切值．
24．如图，等边边长为6，为边上一动点，，射线，分别与边，交于点，，联结．
（1）当时，求的面积；
（2）若，，且，求的长；
（3）若与相似，且，求的长．
25．如图1，直角梯形中，，，，，点从点出发，沿线段以5个单位秒的速度向终点匀速运动，过点作，垂足为，联结．
（1）若，求的值；
（2）设的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式和的取值范围，并求出的最大值；
（3）如图2，过点作交线段于点，过点作，垂足为，线段分别交直线、于、，点为线段的中点，联结，当时，求的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（4′6＝24′）
1．（3分）中，，，，分别是，，的对边，下列关系式错误的是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：中，
，
，
，
，
，
，
选项错误，选项、、正确，
故选：．
2．（3分）如图，点是的边上一点，直线交的延长线于点，则下列结论错误的是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，，
，故正确；
，
，故正确；
，故错误；
，
，故正确．
故选：．
3．（3分）如图，是正方形，，是的中点，是边上的一点，下列条件：（1）；（2）；（3）；（4）．其中能推出的有　　
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
可以假设，，则，
是的中点，
，
当时，，
，
当时，
，
设，
则，，可得，，
，
，
，
当，，
，
，
当时，无法判断，
故选：．
4．（3分）已知，，（注表示面积，表示周长），则的值是　　
A．1
B．
C．
D．5
【解答】解：，，
，
，
，
，
故选：．
5．（3分）下列命题正确的个数是　　
①零向量与任何一个向量都是平行向量；
②如果且，那么；
③如果是一个实数，是向量，那么的模是；
④如果非零向量，那么一定存在唯一的实数，使．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个．
【解答】解：①零向量与任何一个向量都是平行向量，正确．
②如果且，那么，正确．
③如果是一个实数，是向量，那么的模是，正确．
④如果非零向量，那么一定存在唯一的实数，使，正确．
故选：．
6．（3分）如图，等腰中，底边，，的平分线交于，的平分线交于，设，则　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：在等腰中，底边，
平分
同理
，
故：，
设，，
，则，
故，即，
移项合并同类项得，
解得，或（舍去）
故选：．
二、填空题（4′12＝48′）
7．（4分）若，则　　．
【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
则．
故答案为：．
8．（4分）计算：　　．
【解答】解：原式
．
故答案是：．
9．（4分）如图，梯形中，、分别在、上，且，若，，用向量表示向量，则　　．
【解答】解：分别延长、交于点，如图所示：
，
，，
，
，
，
解得：，
，
，
点是的中点，
是的中位线，
．
10．（4分）如图，中，，分别交边、于、两点，若与四边形的面积比是，则与的周长比是
　　．
【解答】解：，
，
与四边形的面积比是，
与的面积比为，
，
与的周长比是．
故答案为：．
11．（4分）如图，在中，为边上的中点，为边上一点，交于点，当时，则　　．
【解答】解：过作，
．
为边的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
12．（4分）如图，是一块锐角三角形的材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是　48　．
【解答】解：正方形的边在上，
，
，
．
设，
，
，
解得：，
这个正方形零件的边长是．
故答案为：48．
13．（4分）如图，在中，，，则的余弦值为
　　．
【解答】解：设，则，即，，由勾股定理得，
，，，
，，
，
，
在中，
，
故答案为：．
14．（4分）如图，中，，，，，，则　　．
【解答】解：，，，
，
，，
，
又，
，
在中，，，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
15．（4分）如图，是的边上一点，，，若与的面积之比为，则的长为
　　．
【解答】解：，，
．
与的面积之比为，
与的面积之比为，
，
，
．
故答案为：．
16．（4分）如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，分别交和于点，，则　　．
【解答】解：四边形和四边形都是平行四边形，
，，
，，
又，
，
又点是中点，
，
，
，
又，
，
故答案为：．
17．（4分）如图，在梯形中，，中位线交于，交于，，则　　．
【解答】解：，中位线交于，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，是原点，点、在轴正半轴上，点在第一象限，，，，，在轴上找一点，使是直角三角形，则点的坐标是
　或　．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
当时，过点作于，则，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，同法可得，
当时，设，
则有，
方程无解，
此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
三、解答题
19．计算：．
【解答】解：原式
．
20．如图，已知向量和，求作．
【解答】解：，
作图如下，即为所求：
．
21．如图，梯形中，，，，，，现有两个动点，分别从、两点同时出发，点以每秒2个单位的速度沿向终点移动，点以每秒1个单位的速度沿向终点移动，线段与相交于点，过作交于点，射线交的延长线于点，设动点、移动时间为（单位：秒
（1）当是等腰三角形时，求的值；
（2）在、的移动过程中，求的长度．
【解答】解：（1）如图，，，，
，
，，，
，
，
当时，过点作于，则，
，
，
，
，
．
当时，，
当时，，
，
（舍弃），
综上所述，满足条件的的值为或．
（2），
，
，
，
，
，，
，
．
22．如图，在中，是斜边上的高，点在上，且与的延长线交于点．求证：
（1）；
（2）．
【解答】证明：（1）是直角三角形，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
；
（2），
，
，
是直角三角形，是上的高，
，
，
，
．
23．在中，，，是线段的中点，在边上，线段和交于点．
（1）如图1，时，求的值；
（2）如图2，时，求的正切值．
【解答】解：（1），
是的中点，
是的中位线，，
，
；
（2）作，于，
，
，
，
设，则，
，
，
，，
，
，
，，
，
在中，．
24．如图，等边边长为6，为边上一动点，，射线，分别与边，交于点，，联结．
（1）当时，求的面积；
（2）若，，且，求的长；
（3）若与相似，且，求的长．
【解答】解：（1）为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
解得或4，
，
当时，，
当时，，
的面积为或；
（2）由（1）知，
，
，，且，
令，则，
，，
由，
得，，
又，
，
解得，
的长为；
（3）由（1）知，
若与相似，分或两种情况，
①当时，
由（2）知，
，
，
，
；
②当时，
由（2）知，
，
，
即，
令，
则，
解得（舍去）或，
；
综上，的长为3或．
25．如图1，直角梯形中，，，，，点从点出发，沿线段以5个单位秒的速度向终点匀速运动，过点作，垂足为，联结．
（1）若，求的值；
（2）设的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式和的取值范围，并求出的最大值；
（3）如图2，过点作交线段于点，过点作，垂足为，线段分别交直线、于、，点为线段的中点，联结，当时，求的值．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
，
，
秒；
（2）如图1，过点作交于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
当时，最大值为；
（3）①当点在点上方时，如图2，过点作交于点，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
点为的中点，
，
，，
，
，其中，
，，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
；
②如图，当点在点下方时，
同理可得，
，
，
当或时，．