2021-2022学年北师大新版九年级上册数学《第3章 概率的进一步认识》单元测试卷(word版含答案)

2021-2022学年北师大新版九年级上册数学《第3章
概率的进一步认识》单元测试卷
一．选择题
1．将一枚硬币抛掷两次，则这枚硬币两次反面都向上的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（　　）
A．频率等于概率
B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．实验得到的频率与概率不可能相等
3．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
40
100
200
400
1000
“射中9环以上”的次数
15
33
78
158
321
801
“射中9环以上”的频率
0.75
0.825
0.78
0.79
0.8025
0.801
则该运动员“射中9环以上”的概率约为（结果保留一位小数）（　　）
A．0.7
B．0.75
C．0.8
D．0.9
4．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：
移植棵数（n）
成活数（m）
成活率（m/n）
移植棵数（n）
成活数（m）
成活率（m/n）
50
47
0.940
1500
1335
0.890
270
235
0.870
3500
3203
0.915
400
369
0.923
7000
6335
0.905
750
662
0.883
14000
12628
0.902
下面有四个推断：
①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.890；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；
③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；
④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．
其中合理的是（　　）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
5．一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．下列说法：①概率为0的事件不一定是不可能事件；②试验次数越多，某情况发生的频率越接近概率；③事件发生的概率与实验次数有关；④在抛掷图钉的试验中针尖朝上的概率为，表示3次这样的试验必有1次针尖朝上．其中正确的是（　　）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①④
7．有3张纸牌，分别是红桃2，红桃3，黑桃A，把纸牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张，则两人抽的纸牌均为红桃的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．小花从3种不同款式的帽子和2种不同款式的围巾中分别选一顶帽子和一条围巾搭配，可能出现的组合有（　　）
A．7种
B．6种
C．5种
D．4种
9．点P的坐标是（m，n），从﹣5，﹣3，0，4，7这五个数中任取一个数作为m的值，再从余下的四个数中任取一个数作为n的值，则点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．下列四种说法：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②将2020减去它的，再减去剩下的，再减去余下的，再减去余下的…依次减下去，一直到减去余下的，结果是1；
③实验的次数越多，频率越靠近理论概率；
④对于任何实数x、y，多项式x2+y2﹣4x﹣2y+7的值不小于2．其中正确的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题
11．10月14日，韵动中国 2018广安国际红色马拉松赛激情开跑．上万名跑友将在小平故里展开激烈的角逐．某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为红色马拉松赛的志愿者，则选出一男一女的概率是　
　．
12．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷啤酒瓶盖的方法估计落地时瓶盖“正面朝上”的概率，其试验次数分别为10次、50次、100次、500次，其中试验相对科学的是　
　组．
13．一个不透明的口袋中有2个红球、1个绿球，这些球除颜色外无其它差别．现从袋子中随机一次摸出两个球，则是两个红球的概率是　
　．
14．随机掷一枚质地均匀的普通硬币两次，出现一次正面朝上与一次反面朝上的概率是　
　．
15．掷两枚质地均匀的相同硬币，出现两枚都是正面朝上的概率为　
　．
16．抛一枚均匀的硬币100次，若出现正面的次数为45次，那么出现正面的频率是　
　．
17．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是　
　个．
18．车辆经过长风收费站时，4个收费通道A，B，C，D中，可随机选择其中一个通过，两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率是　
　．
19．某种绿豆在相同条件下发芽的实验结果如下表，根据表中数据估计这种绿豆发芽的概率约是　
　（保留三位小数）．
每批粒数
2
10
50
100
500
1000
2000
3000
发芽的粒数
2
9
44
92
463
928
1866
2794
发芽的频率
1
0.9
0.88
0.92
0.926
0.928
0.933
0.931
三．解答题
20．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
2048
4040
10000
12000
24000
摸到白球的次数m
1061
2048
4979
6019
12012
摸到白球的频率
0.518
0.5069
0.4979
0.5016
0.5005
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近　
　；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中白球有多少个？
（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率．
21．由于空气污染严重，某工厂生产了两种供人们外出时便于携带的呼吸装置，其质量按测试指标划分：指标大于等于88为优质产品，现随机抽取这两种装置各100件进行检测，检测结果统计如表：
测试指标分组
[70，76）
[76，82）
[82，88）
[88，94）
[94，100]
频数
装置甲
8
12
40
32
8
装置乙
7
18
40
29
6
（1）试分别估计装置甲、装置乙为优质品的概率；
（2）设该厂生产一件产品的利润率y与其质量指标的关系式为，根据以上统计数据，估计生产一件装置乙的利润率大于0的概率，若投资100万生产装置乙，请估计该厂获得的平均利润；
（3）若投资100万，生产装置甲或装置乙中的一种，请分析生产哪种装置获得的利润较大？
22．“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有　
　人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为　
　°；
（2）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为　
　人；
（3）若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率．
23．甲、乙两人玩“石头、剪刀、布“的游戏．他们在不透明的袋子中放入形状，大小均相同的14张卡片，其中写有“石头”、“剪刀”、“布”的卡片张数分别为3，5，6．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．同种卡片不分胜负．
（1）若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是　
　；
（2）若甲先摸出“石头”，则乙再摸出“石头”的概率是　
　；
（3）若甲先摸出了“石头”．则乙获胜的概率是　
　；
（4）若甲先摸，则他摸出哪种卡片获胜的可能性最大？请通过计算结果说明理由．
24．2015年2月27日，在中央全面深化改革领导小组第十次会议上，审议通过了《中国足球改革总体方案》，体制改革、联赛改革、校园足球等成为改革的亮点．在联赛方面，作为国内最高水平的联赛﹣﹣中国足球超级联赛今年已经进入第12个年头，中超联赛已经引起了世界的关注．图9是某一年截止倒数第二轮比赛各队的积分统计图．
（1）根据图，请计算该年有　
　支中超球队参赛；
（2）补全图一中的条形统计图；
（3）根据足球比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，最后得分最高者为冠军．倒数第二轮比赛后积分位于前4名的分别是A队49分，B队49分，C队48分，D队45分．在最后一轮的比赛中，他们分别和第4名以后的球队进行比赛，已知在已经结束的一场比赛中，A队和对手打平．请用列表或者画树状图的方法，计算C队夺得冠军的概率是多少？
25．小明参加一个知识竞赛，该竞赛试题由10道选择题构成，每小题有四个选项，且只有一个选项正确．其给分标准为：答对一题得2分，答错一题扣1分，不答得0分，若10道题全部答对则额外奖励5分．小明对其中的8道题有绝对把握答对，剩下2道题完全不知道该选哪个选项．
（1）对于剩下的2道题，若小明都采用随机选择一个选项的做法，求两小题都答错的概率；
（2）从预期得分的角度分析，采用哪种做法解答剩下2道题更合算？
26．如图，两个转盘A，B都被分成了3个全等的扇形，在每一个扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘A，B，两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字（若指针停在扇形的边线上，当作指向上边的扇形）
（1）用列表法（或树形图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果；
（2）小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如下表：
转盘总次数
10
20
30
50
100
150
180
240
330
450
“和为7”出现的频数
2
7
10
16
30
46
59
81
110
150
“和为7”出现的频率
0.20
0.35
0.33
0.32
0.30
0.31
0.33
0.34
0.33
0.33
如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；
（3）根据（2），若0＜x＜y，试求出x与y的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：列树状图可得
∴两次反面都向上的概率为，
故选：D．
2．解：A、频率只能估计概率；
B、正确；
C、概率是定值；
D、可以相同，如“抛硬币实验”，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同．
故选：B．
3．解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，
∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8．
故选：C．
4．解：①当移植的树数是1
500时，表格记录成活数是1
335，这种树苗成活的概率不一定是0.890，故错误；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；
③若小张移植10
000棵这种树苗，则可能成活9
000棵，故正确；
④若小张移植20
000棵这种树苗，则不一定成活18
000棵，故错误．
故选：C．
5．解：根据树形图，可知
蚂蚁可选择食物的路径有6条，即有6种等可能的结果，
有食物的有两条．
所以概率是．
所以它获取食物的概率．
故选：B．
6．解：①不可能事件发生的概率为0，但是概率为0的事件不一定是不可能事件，还有可能是检测的手段问题，不能说明该事件是不可能事件，这个和测度论有关，
所以①正确；
②试验次数越多，某情况发生的频率越接近概率，正确；
③事件发生的概率与实验次数有关，错误；
④在抛掷图钉的试验中针尖朝上的概率为，是偶然事件，不一定3次这样的试验必有1次针尖朝上，故本选项错误；
故选：A．
7．解：列表如下：
红桃2
红桃3
黑桃A
红桃2
（红2，红2）
（红3，红2）
（红2，黑A）
红桃3
（红2，红3）
（红3，红3）
（红3，黑A）
黑桃A
（黑A，红2）
（黑A，红3）
（黑A，黑A）
∴一共有9种等可能的结果，其中两次抽得纸牌均为红桃的有4种结果，
∴两次抽得纸牌均为红桃的概率为，
故选：A．
8．解：设3种不同款式的帽子为A、B、C，2种不同款式的围巾为D、E，画树状图为：
∴可能出现的组合有6种，
故选：B．
9．解：画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的结果数为4，
所以点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率＝＝．
故选：B．
10．解：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故①错误；
②将2020减去它的，再减去剩下的，再减去余下的，再减去余下的…依次减下去，一直到减去余下的，结果是1，正确，
∵2020×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）
＝2020××××…××
＝2020×
＝1．
故②正确；
③实验的次数越多，频率越靠近理论概率，故③正确；
④对于任何实数x、y，多项式x2+y2﹣4x﹣2y+7的值不小于2，正确，
∵x2+y2﹣4x﹣2y+7
＝x2﹣4x+4+y2﹣2y+1+2
＝（x﹣2）2+（y﹣1）2+2，
∵（x﹣2）2≥0，（y﹣1）2≥0，
∴（x﹣2）2+（y﹣1）2+2≥2，
故④正确．
其中正确的个数是3．
故选：C．
二．填空题
11．解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出一男一女的有12种情况，
∴选出一男一女的概率是：＝．
故答案为：．
12．解：根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的丁组．
故答案为：丁．
13．解：用直接列举法可知共有3种可能结果：
红1红2，红1绿，红2绿，
∴P（两个红球）＝．
故答案为：．
14．解：画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中一次正面朝上、一次反面朝上的情况有2种，
∴出现一次正面朝上与一次反面朝上的概率＝＝．
故答案为：．
15．解：同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正4种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝上的占1种，
所以两枚硬币都是正面朝上的概率＝．
故答案为：．
16．解：出现正面的频率是＝0.45．
故答案为0.45．
17．解：∵小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，
∴口袋中白色球的个数很可能是（1﹣15%﹣45%）×60＝24个．
故答案为：24．
18．解：设两辆车分别记为甲，乙，
如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，
∴选择不同通道通过的概率＝＝，
故答案为：．
19．解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率
∴这种绿豆发芽的概率为0.931．
故本题答案为：0.931．
三．解答题
20．解：（1）由题可得，当n很大时，摸到白球的频率接近0.5；
故答案为：0.5；
（2）由（1）摸到白球的概率为0.5，
所以可估计口袋中白种颜色的球的个数＝4×0.5＝2（个）；
（3）列表得：
第二次第一次
白1
白2
黑1
黑2
白1
（白1，白1）
（白1，白2）
（白1，黑1）
（白1，黑2）
白2
（白2，白1）
（白2，白2）
（白2，黑1）
（白2，黑2）
黑1
（黑1，白1）
（黑1，白2）
（黑1，黑1）
（黑1，黑2）
黑2
（黑2，白1）
（黑2，白2）
（黑2，黑1）
（黑2，黑2）
由列表可得，共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有8种可能．
∴P（颜色相同）＝＝．
21．解：（1）装置甲为优质品的概率：＝0.4；
装置乙为优质品的概率：＝0.35；
（2）设装置乙的利润率为w，则w的可能取值为﹣2，2，4，
∵当t＜76时，即w＝﹣2时，P＝＝0.07，
当76≤t＜88时，即w＝2时，P＝＝0.58，
当t≥88时，即w＝4时，P＝0.35，
∴估计生产一件装置乙的利润率大于0的概率为P＝0.58+0.35＝0.93；
∵w＝﹣2×0.07+2×0.58+4×0.35＝2.42，
∴投资100万生产装置乙，估计该厂获得的平均利润为242万；
（3）设装置甲的利润率为m，则m的可能取值为﹣2，2，4，
∵当t＜76时，即w＝﹣2时，P＝0.08，
当76≤t＜88时，即w＝2时，P＝0.52，
当t≥88时，即w＝4时，P＝0.4，
∴w＝﹣2×0.08+2×0.52+4×0.4＝2.48，
∵w＞m，
∴生产甲装置获得的利润较大．
22．解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%＝60（人）；
∵了解部分的人数为60﹣（15+30+10）＝5，
∴扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为：×360°＝30°；
故答案为：60，30；
（2）根据题意得：900×＝300（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人，
故答案为：300；
（3）画树状图如下：
所有等可能的情况有6种，其中抽到女生A的情况有2种，
所以P（抽到女生A）＝＝．
23．解：∵此题有14张卡片，所以先摸者有14种情况，而后摸者有13种情况，共有14×13＝182种情况，
（1）若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是；
故答案为：；
（2）若甲先摸出“石头”，则乙再摸出“石头”的概率是；
故答案为：；
（3）甲先摸出“石头”，则乙获胜的可能是摸得“布”，有6种情况，
∴甲先摸出“石头”，则乙获胜的概率是；
故答案为：；
（4）甲先摸“石头”获胜的概率是×＝，
甲先摸“剪刀”获胜的概率是×＝，
甲先摸“布”获胜的概率是×＝，
所以甲先摸“剪刀”获胜的可能性最大．
24．解：（1）4÷25%＝16（支），
答：该年有16支中超球队参赛；
故答案为：16；
（2）积分为39.5﹣44.5的球队为16﹣1﹣3﹣6﹣4＝2（支），
补全条形统计图如图所示；
（3）依题意列表格：
由表格得到共有如下27种比赛积分结果：
（50，52，51，48）；（50，52，51，46）；（50，52，51，45）；
（50，52，49，48）；（50，52，49，46）；（50，52，49，45）；
（50，52，48，48）；（50，52，48，46）；（50，52，48，45）；
（50，50，51，48）；（50，50，51，46）；（50，50，51，45）；
（50，50，49，48）；（50，50，49，46）；（50，50，49，45）；
（50，50，48，48）；（50，50，48，46）；（50，50，48，45）；
（50，49，51，48）；（50，49，51，46）；（50，49，51，45）；
（50，49，49，48）；（50，49，49，46）；（50，49，49，45）；
（50，49，48，48）；（50，49，48，46）；（50，49，48，45）；
其中已知A队打平，C队获胜的情况恰有6种，
故P（C队获胜）＝＝．
25．解：（1）因为每小题有四个选项，且只有一个选项是正确的，
所以有三个选项是错误的，
不妨用“对，错，错，错”来表示．因此可列表：
由表格可知，共有16种等可能的结果，
其中两题都答错的有9种结果，
所以两小题都答错的概率为；
（2）小明有3种可能的解答方式分别为：
①两题都不答；
②一题不答，一题随机选择；
③两题都采用随机选择．
①当两题都不答时，预期得分为0+16＝16分；
②当一题不答，一题随机选择时，
∵P（对）＝，P（错）＝，
∴预期得分为：2×﹣1×+0+16＝15分；
③当两题都采用随机选择时，有两题都对，一对一错，两题都错三种可能，
所得的分数分别为9分，1分，﹣2分，
相应的概率分别为：
P（答对2题）＝，
P（答对1题）＝，
P（两题都答错）＝，
∴预期得分为：
9×+1×﹣2×+16＝15．
∵15＜15＜16，
∴小明采用都不答的解答方式更合算．
26．解：（1）列表为：
AB
x
2
3
y
（x，y）
（2，y）
（3，y）
4
（x，4）
（2，4）
（3，4）
5
（x，5）
（2，5）
（3，5）
（2）由于出现“和为7”的频率稳定在0.33附近，故出现“和为7”的概率为0.33．
（3）“和为7”的概率为0.33，表中共九种情况，和为7的情况有9×0.33≈3种，由于2、5；3、4；之和为7，所以x、5；x、4；x、y；2、y；3、y中有一组为7即可；
又由于0＜x＜y，所以
①x+5＝7，x＝2，y＝3，6，7，8，9…
②x+4＝7，x＝3，y＝6，7，8，9…
③x+y＝7，x＝1，y＝6；
④2+y＝7，y＝5，x＝4，1；
⑤3+y＝7，y＝4，x＝1．
由于在每一个扇形内均标有不同的自然数，故只有③成立．