_2.3用公式法求解一元二次方程 同步达标测评 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》
同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0的根的判别式Δ＝（　　）
A．﹣4
B．12
C．﹣12
D．0
2．一元二次方程x2＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2+3x＝0
B．2x2﹣4x+1＝0
C．x2﹣2x+2＝0
D．5x2+x﹣1＝0
4．不解方程，判断方程x2﹣4x+9＝0的根的情况是（　　）
A．无实根
B．有两个相等实根
C．有两个不相等实根
D．以上三种情况都有可能
5．一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则（　　）
A．m＞3
B．m＝3
C．m＜3
D．m≤3
6．关于x的方程（1﹣m）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
7．已知a，b，c为△ABC的三边长，关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，则△ABC为（　　）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
8．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣
B．k≤﹣且k≠0
C．k≥﹣
D．k≥﹣且k≠0
9．若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
10．若一元二次方程（1﹣2k）x2+12x﹣10＝0有实数根，则k的最大整数值为（　　）
A．1
B．2
C．﹣1
D．0
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．已知一元二次方程2x2﹣3x＝1，则b2﹣4ac＝　
　．
12．一元二次方程x2+2x﹣6＝0的根是　
　．
13．已知x＝（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为　
　．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　
　．
15．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　
　．
16．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　
　．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．用指定的方法解下列方程：
（1）2x2﹣3x+1＝0（配方法）
（2）4x2﹣4x﹣1＝0（公式法）
18．按要求解方程
（1）x2﹣4x+1＝0（配方法）
（2）4x2﹣6x﹣3＝0（运用公式法）
19．已知关于x的方程x2+2x﹣m＝0
（1）若x＝2是方程的根，求m的值；
（2）若方程总有两个实数根，求m的取值范围．
20．关于x的方程（a﹣6）x2﹣8x+9＝0有实根，求a值取值范围．
21．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0
（1）若方程有一个根是3，求k的值；
（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．
22．已知关于x的方程kx2﹣（k+2）x+2＝0．
（1）证明：不论k为何值，方程总有实数根；
（2）k为何整数时，方程的根为正整数．
23．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0
（1）若该方程的一个根为1，求m的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
24．已知x2﹣8x+16﹣m2＝0（m≠0）是关于x的一元二次方程
（1）证明：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c是该方程的两个实数根，求△ABC的面积．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：∵一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0中a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12．
故选：B．
2．解：∵a＝1，b＝0，c＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×0＝0，
所以原方程有两个相等的实数．
故选：A．
3．解：A、Δ＝32﹣4×1×0＝9＞0，所以方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B、Δ＝（﹣4）2﹣4×2×0＝8＞0，所以方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、Δ＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，所以方程没有实数根，所以C选项正确；
D、Δ＝52﹣4×1×（﹣1）＝29＞0，所以方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．
故选：C．
4．解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝9，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×9＝32﹣36＝﹣4＜0，
则方程x2﹣4x+9＝0无实数根，
故选：A．
5．解：∵一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2）2﹣4m＞0，
解得：m＜3．
故选：C．
6．解：根据题意得1﹣m≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（1﹣m） （﹣1）＞0，
所以m＜2且m≠1，
所以整数m的最大值为0．
故选：A．
7．解：∵关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+a﹣c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
整理得b2+c2＝a2，
∴△ABC是以a为斜边的直角三角形．
故选：C．
8．解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k≥﹣，
∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，
则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．
故选：D．
9．解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，
∴k＞0，b≤0，
∴Δ＝k2﹣4b＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
10．解：
∵一元二次方程（1﹣2k）x2+12x﹣10＝0有实数根，
∴△≥0且1﹣2k≠0，即122﹣4（1﹣2k）×（﹣10）≥0且1﹣2k≠0，
解得k≤2.3且k≠0.5，
∴k的最大整数值为2，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．解：由原方程，得
2x2﹣3x﹣1＝0，
∴二次项系数a＝2，一次项系数b＝﹣3，常数项c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17；
故答案是：17．
12．解：这里a＝1，b＝2，c＝﹣6，
∵△＝8+24＝32，
∴x＝，
即x1＝，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝，x2＝﹣3．
13．解：∵x＝（b2﹣4c＞0），
∴x2+bx+c
＝（）2+b+c
＝++c
＝
＝
＝0．
故答案为：0．
14．解：∴a＝1，b＝﹣2，c＝k，方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4k＞0，
∴k＜3．
故填：k＜3．
15．解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+l＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4﹣4×（a﹣1）×1＞0，
解这个不等式得，a＜2，
又∵二次项系数是（a﹣1），
∴a≠1．
故a的取值范围是a＜2且a≠1．
16．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，
∴Δ＝22﹣4×（m﹣2）×1≥0，且m﹣2≠0，
解得：m≤3且m≠2，
故答案为：m≤3且m≠2．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．解：（1）移项，得2x2﹣3x＝﹣1，
二次项系数化1，得
x2﹣x＝﹣，
配方，得x2﹣x+（）2＝﹣+（）2，
（x﹣）2＝，
开方得：x﹣＝，
x1＝1，x2＝；
（2）4x2﹣4x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×4×（﹣1）＝64，
x＝，
x1＝，x2＝．
18．解：（1）x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝，
x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）4x2﹣6x﹣3＝0，
b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）＝84，
x＝，
x1＝，x2＝．
19．解：（1）把x＝2代入方程x2+2x﹣m＝0得：4+4﹣m＝0，
解得：m＝8；
（2）∵方程x2+2x﹣m＝0有两个实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×（﹣m）≥0，
解得：m≥﹣1．
20．解：当a﹣6＝0，即a＝6时，原方程为﹣8x+9＝0，
解得：x＝，
∴a＝6符合题意；
当a﹣6≠0，即a≠6时，有Δ＝（﹣8）2﹣4×9（a﹣6）≥0，
解得：a≤且a≠6．
综上所述：a值取值范围为a≤．
21．解：（1）把x＝3代入方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0得9﹣3（k+3）+2k+2＝0，
解得k＝2；
（2）Δ＝（k+3）2﹣4（2k+2）＝（k﹣1）2，
x＝，
∵x1＝k+1，x2＝2，
∴方程有一根小于1，
∴k+1＜1，
∴k＜0．
22．解：（1）当k＝0时，方程有根x＝1；
当k≠0时，
Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
综上，无论k为何值时，这个方程总有两个实数根；
（2）当k＝0时，方程有根x＝1，符合题意；
当k≠0时，∵kx2﹣（k+2）x+2＝0，
∴（kx﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x1＝，x2＝1，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴k＝1或2．
综上，k的整数值为0、1、2．
23．解：（1）∵该方程的一个根为1，
∴1+m+m﹣2＝0，解得m＝，
∴方程为x2+x﹣＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣，
∴该方程的另一根为﹣；
（2）∵Δ＝m2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
24．（1）证明：Δ＝（﹣8）2﹣4×（16﹣m2）
＝4m2，
∵m≠0，
∴m2＞0，
∴Δ＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x＝4±m，
即b＝4+m，c＝4﹣m，
当b＝a时，4+m＝6，解得m＝2，即a＝b＝6，c＝2，底边上的高为＝，所以△ABC的面积＝×2×＝；
当c＝a时，4﹣m＝6，解得m＝﹣2，即a＝c＝6，b＝2，底边上的高为＝，所以△ABC的面积＝×2×＝，
即△ABC的面积为．