2021-2022学年北师大版九年级数学上册_2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步达标测评 （word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》
同步达标测评（附答案）
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．若关于x的方程x2＝﹣x﹣2a没有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＜
B．a＞
C．a＜﹣
D．a＞﹣
2．定义：cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，下列四个结论中，错误的是（　　）
A．如果x＝2是x2+2x+c＝0的倒方程的解，则
B．如果ac＜0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根
C．如果一元二次方程ax2﹣2x+c＝0无解，则它的倒方程也无解
D．如果一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根
3．若m、n是一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则2m+2n﹣mn的值为（　　）
A．2021
B．2019
C．2017
D．2015
4．关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（　　）
A．1
B．
C．
D．2
5．若方程x2﹣2x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12+x22的值为（　　）
A．8
B．6
C．4
D．2
6．若关于x的不等式组有且只有五个整数解，且关于y的方程（a﹣5）y2+6y﹣9＝0有两个实数根，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．25
B．13
C．22
D．17
7．若a，b为一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2a2+3ab+8b﹣2a的值为（　　）
A．39
B．45
C．﹣35
D．﹣41
二．填空题（共7小题，满分35分）
8．关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则a＝　
　．
9．已知一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根是1，则方程的另一个根是
　
　．
10．关于x的一元二次方程（k+1）x2+6x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
　
　．
11．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣8x+16＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
　
　．
12．若x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则（x12+x1﹣2）（x22+x2﹣2）的值为
　
　．
13．一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1，x2，+2x1x2+＝　
　．
14．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子m2+2m﹣mn的值为
　
　．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．
16．已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
（2）若m是整数，且方程总有两个整数根，求m的值．
17．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0总有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．
18．已知关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程两个实数根分别为x1，x2，且满足（x1+x2）2+x1 x2＝4，求k的值．
19．解答下列各题：
（1）用配方法解方程：x2+12x＝﹣9．
（2）设x1，x2是一元二次方程5x2﹣9x﹣2＝0的两根，求x12+x22的值．
20．先阅读，再解决问题：
【阅读材料】通过解一元二次方程x2﹣3x+2＝0，可得根是x1＝1，x2＝2．由于一个根比另一个根大1，所以我们称一元二次方程x2﹣3x+2＝0为邻根方程．其实，不需解方程就可以判定一个一元二次方程是否是邻根方程．方法如下：
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，设这两个根是α和β（α＞β），则α+β＝﹣，αβ＝．
∵α＞β，∴α﹣β＞0．
∴α﹣β＝＝＝＝＝．
显然，当α﹣β＝1时，原方程即为邻根方程．
【问题解决】下列方程都有两个实数根，不解方程，通过计算，判断是否为邻根方程．
（1）x2+x＝0；
（2）4x2+16x+15＝0．
参考答案
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．解：方程化为x2+x+2a＝0，
根据题意得△＝12﹣4×2a＜0，
解得a＞．
故选：B．
2．解：x2+2x+c＝0的倒方程是cx2+2x+1＝0，将x＝2代入，，故A正确；
∵ac＜0，∴b2﹣4ac＞0，∴这两个方程都有两个不相等的实数根，故B正确；
∵ax2﹣2x+c＝0无解，∴4﹣ac＜0，它的倒方程的根的判别式也为4﹣ac＜0，∴它的倒方程也无解，故C正确；
若c＝0，则它的倒方程为一元一次方程，只有一个实数根，故D错误
故选：D．
3．解：∵m，n是一元二次方程x2+2x﹣2021＝0
的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2021，
∴2m+2n﹣mn＝2（m+n）﹣mn＝﹣4+2021＝2017，
故选：C．
4．解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣，
∵x2＝2x1，
∴3x1＝﹣，即x1＝﹣，
∴a+b （﹣）+c＝0，
∴﹣+c＝0，
∴9ac＝2b2，
∴4b﹣9ac＝4b﹣2b2＝﹣2（b﹣1）2+2，
∵﹣2＜0，
∴4b﹣9ac的最大值是2，
故选：D．
5．解：∵方程x2﹣2x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2）2﹣2×1＝6．
故选：B．
6．解：，
由①得x≤6，
由②得x＞．
∵方程组有且只有五个整数解，
∴＜x≤6，
即x可取6、5、4、3、2．
∴1≤＜2，
∴3≤a＜8．
∵关于y的方程（a﹣5）y2+6y﹣9＝0有两个实数根，
∴Δ＝62﹣4（a﹣5）×（﹣9）≥0且a﹣5≠0，
解得a≥4且a≠5，
∴4≤a＜8
∴a的取值为4，6，7，
∴所有整数a的和为4+6+7＝17．
故选：D．
7．解：∵a，b为一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，
∴a2﹣5a﹣1＝0，a+b＝5，ab＝﹣1，
∴a2＝5a+1，
∴2a2+3ab+8b﹣2a
＝2（5a+1）+3ab+8b﹣2a
＝8（a+b）+3ab+2
＝40﹣3+2
＝39，
故选：A．
二．填空题（共7小题，满分35分）
8．解：根据题意得a+1≠0且Δ＝12﹣4（a+1）＝0，
解得a＝﹣．
故答案为﹣．
9．解：设方程的另一个根为a，
则根据根与系数的关系得：a 1＝﹣2，
解得：a＝﹣2，
即方程的另一个根为﹣2，
故答案为：﹣2．
10．解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+6x﹣2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝62﹣4（k+1）×（﹣2）＞0且k+1≠0，
解得：k＞﹣且k≠﹣1，
∴k的取值范围是k＞﹣且k≠﹣1，
故答案为：k＞﹣且k≠﹣1．
11．解：根据题意，得m﹣1≠0且Δ＝（﹣8）2﹣4（m﹣1）×16＞0，
解得m＜2且m≠1．
故答案为：m＜2且m≠1．
12．解：∵x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，
∴x12+x1﹣1＝0，x22+x2﹣1＝0，
即x12+x1＝1，x22+x2＝1，
∴原式＝（1﹣2）×（1﹣2）
＝1．
故答案为1．
13．解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣8，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4+16＝20，
∴+2x1x2+＝+2x1x2＝﹣16＝﹣，
故答案为：﹣．
14．解：∵m是方程x2+2x﹣1＝0的实数根，
∴m2+2m﹣1＝0，即m2+2m＝1，
∵m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣1，
∴m2+2m﹣mn＝1﹣（﹣1）＝2．
故答案为2．
三．解答题（共6小题，满分50分）
15．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．
∴Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2＝12m+1≥0，
解得：m≤．
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2m﹣2，x1 x2＝m2，
∵x12+x22＝8﹣3x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2＝8﹣3x1x2，即5m2﹣8m﹣4＝0，
解得：m1＝﹣，m2＝2（舍去），
∴实数m的值为﹣．
16．（1）证明：当m＝0时，此方程为x﹣2＝0，解得x＝2．即m＝0时此方程有一个实数根；
当m≠0时，此方程为一元二次方程，
∵Δ＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
综上所述，无论m取何值方程方程恒有实数根．
（2）解：x＝，
即x1＝2，x2＝，
∵方程的两个实数根都是整数，
∴1﹣为整数，
∴整数m为1或﹣1．
17．解：（1）∵一元二次方程x2+2x﹣k＝0总有实数根，
∴△＝+4k≥0，
解得k≥﹣7，
∴k的取值范围是k≥﹣7；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴△＝+4k＝0，
∴k＝﹣7，
代入方程得，x2+2x+7＝0，
解得x1＝x2＝﹣．
18．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且k≠0，即12﹣4k×（﹣3）＞0且k≠0，
解得k＞﹣且k≠0；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣，x1 x2＝﹣，
由题意可得（﹣）2﹣＝4，即4k2+3k﹣1＝0，
解得k＝或k＝﹣1，
经检验可知：k1＝，k2＝﹣1都是原分式方程的解，
由（1）可知k＞﹣且k≠0，
∴k＝．
19．解：（1）方程可化为x2+12x+62＝﹣9+36，即（x+6）2＝27，
两边开方得，x+6＝±3，
故x1＝﹣6﹣3，x2＝﹣6+3；
（2）由题意得：x1+x2＝，x1x2＝﹣，
原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2+2×＝4．
20．解：（1）x2+x＝0．
这里a＝1，b＝1，c＝0，
∵，
∴x2+x＝0是邻根方程．
（2）4x2+16x+15＝0．
这里a＝4，b＝16，c＝15，
∵，
∴4x2+16x+15＝0是邻根方程．