3.3幂函数 课时练习（含解析）-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第3.3课时
幂函数
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知幂函数的图象经过点，则的值等于（
）
A．16
B．
C．2
D．
2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（
）
A．
B．
C．
D．
3．在下列幂函数中，既是奇函数又在区间(0，+∞)上单调递增的是（
）
A．f(x)=x-1
B．f(x)=x-2
C．f(x)=x3
D．f(x)=
4．若一个幂函数的图像经过点，则它的单调增区间是（
）
A．
B．
C．
D．
5．幂函数的图象如下图所示，则m的值为（
）
A．或0
B．
C．0
D．
6．下列命题正确的是（
）
A．幂函数的图象都经过、两点
B．当时，函数的图象是一条直线
C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同
D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
7．有四个幂函数：①；②；③；④.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是，且；（3）在上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
8．已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．cB．aC．bD．c二、多选题（本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意）
9．若点在幂函数的图象上，则下列结论可能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知幂函数的图象与x轴和y轴都没有交点，且关于y轴对称，则m的值可以为（
）
A．－1
B．1
C．2
D．3
11．已知幂函数，则下列结论正确的有（
）
A．
B．的定义域是
C．是偶函数
D．不等式的解集是
12．（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（本大题共4小题）
13．函数恒过定点______．
14．若函数是幂函数，则________．
15．已知幂函数，经过点，试确定m的值，则满足条件的实数a的取值范围
______．
16．已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数，且在(0，+∞)上单调递减，则实数m=_______.
四、解答题（本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程）
17．已知在区间上，函数与都是减函数，试求的取值范围.
18．已知幂函数在上单调递增.
（1）求的值；
（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.
19．已知幂函数在上是增函数
（1）求的解析式
（2）若，求的取值范围
20．已知幂函数满足：
（1）在区间上为增函数
（2）对任意的，都有，
求同时满足（1）（2）的幂函数的解析式，并求当时，的值域．
21．已知幂函数为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的值域．
22．已知幂函数的图象经过点，对于偶函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）求当时，函数的解析式；
参考答案
1．D
【解析】设幂函数，
将点代入得：，所以，
故．
故选：D.
2．D
【解析】A中定义域和值域都是；
B中
,定义域和值域都是；
C中定义域和值域都是；
D中定义域为R，值域为
故选：D
3．C
【解析】对：是奇函数且在上单调递减，故不满足题意；
对：是偶函数，故不满足题意；
对：是奇函数，且在上是增函数，故满足题意；
对：定义域为，故是非奇非偶函数，故不满足题意；
综合所述，只有是满足题意的.
故选：.
4．C
【解析】设幂函数,又图像经过点故.故.其增区间为
故选：C
5．A
【解析】由幂函数在第一象限的单调性可得，，解得，再由可得，或或0．又从图象可知该函数是奇函数，若，则，符合题意；若，则，不合题意，若，则，符合题意，综上，或0．
故选A
6．D
【解析】解：对于A:
幂函数的图象都经过点，当时，不过点，故A不正确；
对于B：当时，幂函数的图象是一条直线，除去点，故B不正确；
对于C：当两个幂函数的图象有三个交点，如与有三个交点，这两个函数不相同，故C不正确；
对于D：因为幂函数的图象都经过点且为偶函数时，所以图象一定经过点，故D正确.
故选：D.
7．B
【解析】①只满足值域是，且；
③只满足在上是增函数；
④只满足在上是增函数；
②是偶函数，在上是增函数，但其值域是.
故选：B.
8．A
【解析】由幂函数图像特征知，，，，所以选A．
9．ABC
【解析】因为幂函数在第一象限一定有图象，在第二或第三象限可能有图象，也可能没有图象，
第四象限一定没有图象，所以选ABC.
故选：ABC.
10．ABD
【解析】∵幂函数的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，
∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3()为偶数，
由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又，∴m＝－1,0,1,2,3.
当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；
当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；
当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．
综上所述，m＝－1,1,3.
故选：ABD.
11．ACD
【解析】因为函数是幂函数，所以，得，即，
，故A正确；函数的定义域是，故B不正确；
，所以函数是偶函数，故C正确；
函数在是减函数，不等式等价于，解得：，且，得，且，即不等式的解集是，故D正确.
故选：ACD
12．AC
【解析】A函数的定义域和值域都是R，符合题意；
B.定义域为R，因为，所以函数值域为，值域是定义域的真子集不符合题意；
C.易得定义域为，值域为，定义域是值域的真子集；
D.定义域为，值域为，两个集合只有交集；
故选：AC
13．
【解析】当，即时，，函数恒过定点.
故答案为：.
14．0或
【解析】由函数是幂函数，可得，解得或，
故答案为：0或．
15．
【解析】∵的图象过点，∴，
∴，又，∴．
即，其定义域为，且在定义域上函数为增函数，
∴由得，解得．
故答案为：.
16．2
【解析】在幂函数f(x)=(m2-m-1)中，
令m2-m-1=1，得m2-m-2=0，解得m=2或，
当m=2时，m2-2m-2=-2，函数f(x)=x-2，在(0，+∞)上单调递减，满足题意；
当m=-1时，m2-2m-2=1，函数f(x)=x，在(0，+∞)上单调递增，不满足题意，
所以实数m=2.
故答案为：2
17．.
【解析】因为幂函数在上单调递减，所以，解得，
又因为二次函数开口向下，且对称轴为，所以，解得，
综上，当满足，即时，函数与在区间上都是减函数.
故实数的取值范围是.
18．（1）；（2）或.
【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2.
当时，在上单调递增，满足题意.
当时，在上单调递减，不满足题意，舍去.
∴.
（2）由（1）知，.∵在上单调递增，∴
由于此题中，要满足，只需，.
19．（1）；（2）．
【解析】（1）因为是幂函数，
所以，即解得：或，
因为在上是增函数，所以，解得，所以，
故
（2）由（1）知，所以为上的增函数，
所以，解得：，
所以，即
故的
取值范围是．
20．；值域是．
【解析】因为函数在上递增，
所以，解得，
因为，，所以，，或．
又因为，所以是偶函数，
所以为偶数．
当时，满足题意；
当时，不满足题意，
所以,
又因为在上递增．
所以，，
故函数的值域是
．
21．（1）；（2）．
【解析】（1）∵函数为幂函数，
，解得或5，
当时，，为奇函数，
当时，，为偶函数，
函数为奇函数，；
（2）由（1）可知，，则，，
令，则，，
则，，
函数为开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，函数，
当，函数取得最大值为1，
的值域为，故函数的值域为．
22．（1）；（2）当时，．
【解析】（1）设，代入点，得，，；
，当时，设，则，
是R上的偶函数，
，即当时，；