2.2圆的的对称性 同步能力达标训练 2021-2022学年苏科版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.2圆的对称性》同步能力达标训练（附答案）
一、选择题
1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（　　）
A．1米
B．（4﹣）米
C．2米
D．（4+）米
2．往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）
A．5cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
3．下列说法正确的是（　　）
A．4的平方根是2
B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧
C．一组数据中有且仅有一个众数
D．等弧所对的弦相等
4．如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（　　）
A．m
B．m
C．5m
D．m
5．已知，如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AE＝2，CD＝6，则OB的长度为（　　）
A．
B．
C．
D．5
6．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝2cm，CD＝2cm，则AE长是（　　）
A．（+2）cm
B．2cm
C．cm
D．4cm
7．已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（　　）
A．36cm或64cm
B．60cm或80cm
C．80cm
D．60cm
8．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，P为弦AB上的动点，则线段OP长的取值范围是（　　）
A．3≤OP≤5
B．4＜OP＜5
C．4≤OP≤5
D．3＜OP＜5
9．若弦AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为13，AB＝10，CD＝24，则AB，CD之间的距离为（　　）
A．7
B．17
C．5或12
D．7或17
10．如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（　　）
A．10cm
B．16cm
C．24cm
D．26cm
11．如图，已知⊙O的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　）
A．3
B．4
C．3
D．4
12．如图，PQ是半⊙O的直径，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的边长为2cm，则该半圆的直径PQ的长为（　　）
A．cm
B．cm
C．cm
D．cm
13．如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，若AB＝4，则⊙O的半径是（　　）
A．
B．2
C．3
D．
14．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（　　）
A．
B．3
C．3
D．4
15．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（　　）
A．5
B．
C．2
D．
16．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的度数为（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
二、填空题
17．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8，AO＝5，则OF的长度是　
　．
18．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为　
　．
19．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4+8，点E为弧AB的中点，C为半径OA上一点，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，若点E′恰好落在半径OB上，则OE′＝　
　．
20．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，若AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF的关系是　
　（“相等”或“不等”）．
三、解答题
21．如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥MN，点C在线段AB上，OC＝AC＝2，BC＝4，求⊙O的半径．
22．如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AB交小圆于C、D，求证：AC＝BD．
23．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2．
（1）求OD的长．
（2）求EC的长．
24．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．
25．已知⊙O经过四边形ABCD的B、D两点，并与四条边分别交于点E、F、G、H，且＝．
（1）如图①，连接BD，若BD是⊙O的直径，求证：∠A＝∠C；
（2）如图②，若的度数为θ，∠A＝α，∠C＝β，请直接写出θ、α和β之间的数量关系．
参考答案
1．解：连接OC交AB于D，连接OA，
∵点C为运行轨道的最低点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝3（米），
在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），
∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，
故选：B．
2．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝24cm，
∴BD＝AB＝12（cm），
∵OB＝OC＝13cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝5（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故选：B．
3．解：A、4的平方根为±2，所以A选项的说法错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直弦并平分弦所对的弧，所以B选项的说法错误；
C、一组数据的众数可能有一个，也可能几个，所以C选项的说法错误；
D、等弧所对的弦相等，所以D选项的说法正确．
故选：D．
4．解：连接OB，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2（m），
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
即（OB﹣1）2+22＝OB2，
解得：OB＝（m），
即这个轮子的半径长为m，
故选：D．
5．解：连接OD，如图所示：
设⊙O的半径为R，
∵弦CD⊥AB于点E．CD＝6，
∴DE＝CE＝CD＝3，∠OED＝90°，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE2+OE2＝OD2，
即32+（R﹣2）2＝R2，
解得：R＝，
即OB的长为，故选：B．
6．解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝2cm，
∴CE＝CD＝（cm），
在Rt△OCE中，OC＝2cm，
∴OE＝＝＝（cm），
∴AE＝OE+OA＝（+2）cm，
故选：A．
7．解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，
∴AM＝AB＝×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），
如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝14（cm），
∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），
∴AC＝＝＝80（cm）；
如图2，同理可得，OM＝14cm，
∵OC＝50cm，
∴MC＝50﹣14＝36（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝60（cm）；
综上所述，AC的长为80cm或60cm，
故选：B．
8．解：连接OA，过点O作OH⊥AB于H，
则AH＝HB＝AB＝3，
由勾股定理得，OH＝＝4，
当点P与点A（或点B）重合时，OP最大，当点P与点H重合时，OP最小，
∴线段OP长的取值范围是4≤OP≤5，
故选：C．
9．解：过O点作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝5，CF＝DF＝CD＝12，
在Rt△OAE中，OE＝＝＝12，
在Rt△OCF中，OF＝＝＝5，
当圆心O在AB、CD之间，如图1，EF＝OE+OF＝12+5＝17，
当圆心O不在AB、CD之间，如图2，EF＝OE﹣OF＝12﹣5＝7，
综上所述，AB，CD之间的距离为7或17．
故选：D．
10．解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∵CD＝8cm，OD＝13cm，
∴OC＝5cm，
又∵OB＝13cm，
∴Rt△BCO中，BC＝＝12cm，
∴AB＝2BC＝24cm．
故选：C．
11．解：连接OB，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
则BE＝AB＝4，四边形PEOF为矩形，
∵AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE＝OF，
∴矩形PEOF为正方形，
∴OE＝PE，
在Rt△OEB中，OE＝＝3，
∴OP＝＝3，
故选：C．
12．解：如图，过O点作OH⊥BC于H，连接OC、OF，如图，
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵∠ODC＝∠DCH＝90°，
∴四边形ODCH为矩形，
∴CD＝OH，OD＝CH，
∴OH＝2CH，
设OD＝xcm，则OH＝2xcm，OG＝（2+x）cm，
在Rt△OCH中，OC＝＝x（cm），
在Rt△OGF中，22+（2+x）2＝（x）2，解得x1＝2，x2＝﹣1（舍去），
∴OC＝2cm，
∴PQ＝2OC＝4cm．
故选：D．
13．解：∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB，
同理AE＝CE＝AC，
∵AB＝AC＝4，
∴AD＝AE＝2，
连接OA，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，
∴∠OEA＝∠BAC＝∠ODA＝90°，
∴四边形ADOE为矩形，
又∵AD＝AE，
∴四边形ADOE为正方形，
∴OD＝AD＝2，
∴OA＝＝＝2，
即⊙O的半径是2，
故选：A．
14．解：连接OD，交AC于F，
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，AF＝CF，
∴∠DFE＝90°，
∵OA＝OB，AF＝CF，
∴OF＝BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在△EFD和△ECB中
∴△EFD≌△ECB（AAS），
∴DF＝BC，
∴OF＝DF，
∵OD＝3，
∴OF＝1，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC＝＝＝4，
故选：D．
15．解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，
∴M、N分别是AB与AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴BC＝2MN＝2，
故选：C．
16．解：连接OD，如图，
∵扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，
∴BC垂直平分OD，
∴BD＝BO，
∵OB＝OD，
∴BD＝BO＝DO，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝110°﹣60°＝50°，
∴的度数为50°，
故选：B．
17．解：连接OB，
∵弦BD⊥AO，
∴BE＝BD＝4，
由勾股定理得，OE＝＝3，
则CE＝OC+OE＝8，
∴BC＝＝4，
∵OF⊥BC，
∴CF＝BF＝2，
∵∠CFO＝∠CEB＝90°，∠C＝∠C，
∴OF＝，
故答案为：．
18．解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F，连接OA，
则AE＝BE＝AB＝，CF＝DF＝CD＝，
在Rt△AOE中，
∵OA＝2，AE＝，
∴OE＝＝1，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF＝1，
又∵OM＝OM，
∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），
∴∠OME＝∠OMF＝∠AMC＝60°，
∴OM＝，
故答案为：．
19．解：过E点作EH⊥OA于H，过E′点作E′⊥OA于F，连接OE，如图，设OF＝x，
∵∠AOB＝60°，
∴OE′＝2OF＝2x，E′F＝OF＝x，
∵点E为弧AB的中点，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB＝30°，
∴EH＝OE＝（4+8）＝2+4，
OH＝EH＝6+4，
∵线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，
∴CE＝CE′，∠ECE′＝90°，
∵∠ECH+∠CEH＝90°，∠ECH+∠E′CF＝90°，
∴∠CEH＝∠E′CF，
在△CEH和△E′CF中
，
∴△CEH≌△E′CF（AAS），
∴CH＝E′F＝x，CF＝EH＝2+4，
∵OH＝OF+FC+CH，
∴x+2+4+x＝6+4，解得x＝2，
∴OE′＝2x＝4．
故答案为4．
20．解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝EB，CF＝DF，
∵AB＝CD，
∴AE＝CF，
∵OA＝OC，∠AEO＝∠CFO，AE＝CF，
∴Rt△AEO≌Rt△CFO（HL），
∴OE＝OF．
故答案为：相等．
21．解：连接OB，设AB与MN交于点D，如图所示：
∵AC＝2，BC＝4，
∴AB＝AC+BC＝6，
∵AB⊥MN，
∴AD＝BD＝AB＝3，∠ODC＝∠ODB＝90°，
∴CD＝AD﹣AC＝1，
∴OD＝＝＝，
∴OB＝＝＝2，
即⊙O的半径为2．
22．证明：
过O作OE⊥AB于E，
则OE⊥CD，
∵OE过O，
∴由垂径定理得：AE＝BE，CE＝DE，
∴AE﹣CE＝BE﹣DE，
即AC＝BD．
23．解：（1）连接BE，
设⊙O半径为r，则OA＝OD＝r，OC＝r﹣2，
∵OD⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
AC＝BC＝AB＝4，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2＝42+（r﹣2）2，
r＝5，
∴OD＝r＝5；
（2）由（1）得：AE＝2r＝10，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
由勾股定理得：BE＝6，
在Rt△ECB中，EC＝＝＝2．
24．证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴∠C＝∠B，
∴CE＝BE．
25．解：（1）连接DF、DG．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DFB＝∠DGB＝90°，
∵＝，
∴∠EDF＝∠HDG，
∵∠DFB＝∠EDF+∠A，
∠DGB＝∠HDG+∠C，
∴∠A＝∠C．
（2）结论：α+β+θ＝180°．
理由：如图②中，连接DF，BH．
∵＝，
∴∠ADF＝∠HBG＝θ，
∵∠AFD+∠DFB＝180°，∠DFB+∠DHB＝180°，
∴∠AFD＝∠DHB，
∵∠A+∠ADF+∠AFD＝180°，∠AFD＝∠DHB＝∠C+∠HBG，
∴∠A+θ+∠C+θ＝180°，
∴α+β+θ＝180