2.3确定圆的条件 同步能力达标测评 2021-2022学年苏科版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.3确定圆的条件》同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共12小题，满60分）
1．在平面直角坐标系xOy中，若P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（　　）
A．0＜r＜3
B．r＞4
C．0＜r＜5
D．r＞5
2．已知△ABC，AC＝3，CB＝4，以点C为圆心r为半径作圆，如果点A、点B只有一个点在圆内，那么半径r的取值范围是（　　）
A．r＞3
B．r≥4
C．3＜r≤4
D．3≤r≤4
3．⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为d，如果点P在圆内，则d（　　）
A．d＜4
B．d＝4
C．d＞4
D．0≤d＜4
4．如图，⊙A的半径为3，圆心A的坐标为（1，0），点B（m，0）在⊙A内，则m的取值范围是（　　）
A．m＜4
B．m＞﹣2
C．﹣2＜m＜4
D．m＜﹣2或m＞4
5．在同一平面内，过已知A、B、C三个点可以作圆的个数为（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．0个或1个
6．如图，△ABC内接于⊙O，∠AOB＝80°，则∠ACB的大小为（　　）
A．20°
B．40°
C．80°
D．90°
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝120°，则∠BAC的度数是（　　）
A．120°
B．80°
C．60°
D．30°
8．如图，△ABD内接于圆O，∠BAD＝60°，AC为圆O的直径．AC交BD于P点且PB＝2，PD＝4，则AD的长为（　　）
A．2
B．2
C．2
D．4
9．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（　　）
A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠AOB＝120°，则∠ACB等于（　　）
A．45°
B．30°
C．60°
D．50°
11．有四个命题，其中正确的命题是（　　）
①经过三点一定可以作一个圆
②任意一个三角形有且只有一个外接圆
③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
④在圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦．
①、②、③、④
B．①、②、③
C．②、③、④
D．②、③
12．下列说法正确的是（　　）
A．三点确定一个圆
B．任意的一个三角形一定有一个外接圆
C．三角形的外心是它的三个角的角平分线的交点
D．任意一个圆有且只有一个内接三角形
二．填空题（共4小题，满分20分）
13．已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是　
　（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．
14．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．
如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝　
　°．
15．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长度为　
　．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是　
　，半径是　
　．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．如图，OA＝OB，点A的坐标是（﹣2，0），OB与x轴正方向夹角为60°，请画出过A，O，B三点的圆，写出圆心的坐标是　
　．
18．如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得AC，连接BC，作△ABC的外接圆⊙O，点P为劣弧上的一个动点，弦AB、CP相交于点D．
（1）求∠APB的大小；
（2）当点P运动到何处时，PD⊥AB？并求此时CD：CP的值；
（3）在点P运动过程中，比较PC与AP+PB的大小关系，并对结论给予证明．
19．如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为等边三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．
（1）判断点C是否为弧OB的中点？并说明理由；
（2）求B、C两点的坐标；
（3）求直线CD的函数解析式；
（4）点P在线段OB上，且满足四边形OPCD是等腰梯形，求点P坐标．
20．（1）如图1，圆内接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，
求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的．
（2）如图2，若∠DOE保持120°角度不变，
求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分60分）
1．解：∵点P的坐标为（3，4），
∴OP＝＝5，
∵点P（3，4）在⊙O内，
∴OP＜r，
即r＞5．
故选：D．
2．解：当点A在圆内时点A到点C的距离小于圆的半径，即：r＞3；
点B在圆上或圆外时点B到圆心的距离应该不小于圆的半径，即：r≤4；
即3＜r≤4．
故选：C．
3．解：∵点P在圆内，且⊙O的半径为4，
∴0≤d＜4，
故选：D．
4．解：以A（1，0）为圆心，以3为半径的圆交x轴两点的坐标为（﹣2，0），（4，0），
∵点B（m，0）在以A（1，0）为圆心，以3为半径的圆内，
∴﹣2＜m＜4．
故选：C．
5．解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆；
当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；
故选：D．
6．解：∵△ABC内接于⊙O，∠AOB＝80°，
∴∠ACB＝∠AOB＝40°．
故选：B．
7．解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝120°，
∴∠BAC＝∠BOC＝×120°＝60°．
故选：C．
8．解：连接DO并延长交⊙O于E，连接BE，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EBD＝90°，
∵∠BED＝∠BAD＝60°，
∴∠EDB＝30°，
∴DE＝2BE，
∵PB＝2，PD＝4，
则BD＝6，
∴DE＝4，
则OA＝OD＝2，
又∵∠ODP＝∠BDE，
∴∠POD＝∠PBE＝90°，
∴AD2＝OA2+OD2＝24，
∴AD＝2，
故选：B．
9．解：如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，
∴OA＝OB＝OC，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OA＝OB＝OE，
∴O是△ABE的外心，
∵OA＝OE≠OD，
∴O不是△AED的外心，
故选：B．
10．解：∵∠ACB＝∠AOB，∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝60°，
故选：C．
11．解：①不在一条直线上的三个点确定一个圆，故命题错误；
②不在一条直线上的三个点确定一个圆，故命题正确；
③三角形的外心是三角形的三边的中垂线的交点，到三角形的三个顶点的距离相等，故命题正确；
④平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故命题错误．
则正确的是：②③．
故选：D．
12．解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆，任何一个三角形都有一个外接圆，
∴A不正确，B正确；
∵三角形的外心是它的三边垂直平分线的交点，
∴C不正确；
∵任意一个圆由无数个内接三角形，
∴D不正确；
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分20分）
13．解：∵锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
又∵O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，
∴△ABC是钝角三角形，
故答案为钝角三角形．
14．解：如图2，连接OA、OC、OE，
∵AB＝8，BC＝6，BD＝1，
∴AD＝7，BD+BC＝7，
∴AD＝BD+BC，
而ED⊥AB，
∴点E为弧ABC的中点，即弧AE＝弧CE，
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，
∴∠AOE＝∠COE＝120°，
∴∠CAE＝∠COE＝60°．
故答案为60°．
15．解：过点O作OD⊥BC于D，
则BC＝2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC＝2∠A，∠BOC+∠A＝180°，
∴∠BOC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝30°，
∵⊙O的半径为4，
∴BD＝2，
∴BC＝4．
故答案为：4．
16．解：∵△ABC外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，
又∵到B，C两点距离相等的点在BC的垂直平分线上，
∴三角形的外心位置基本确定，只有（5，2）点到三角形三个顶点距离相等，
∴（5，2）点是三角形的外接圆圆心．
利用勾股定理可得半径为：2．
故答案为：（5，2），2．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．解：如图所示：E点即为圆心，
∵OA＝OB，点A的坐标是（﹣2，0），OB与x轴正方向夹角为60°，
∴∠EOA＝∠BOE＝60°，AF＝FO＝1，
故EF＝tan60°FO＝，
故圆心的坐标为：（﹣1，）．
故答案为：（﹣1，）．
18．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵∠APB+∠ACB＝180°，
∴∠APB＝120°；
（2）当点P运动到的中点时，PD⊥AB，
如图1，连接PC，OA，OB，设⊙O的半径为r，则CP＝2r，
又∵⊙O为等边△ABC的外接圆，
∴∠OAB＝30°，
在Rt△OAD中，
∵OD＝OA＝，
∴CD＝+r＝，
∴CD：CP＝：2r＝3：4；
（3）PC＝AP+PB
证明：方法一：
如图2，在AP的延长线上取点Q，使PQ＝PB，连接BQ，
∵∠APB＝120°，
∴∠BPQ＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PB＝BQ，
∵∠CBP＝∠CBA+∠ABP＝60°+∠ABP，
∠ABQ＝∠QBP+∠ABP＝60°+∠ABP，
∴∠ABQ＝∠CBP，
在△ABQ和△CBP中，PB＝QB，∠CBP＝∠ABQ，CB＝AB，
∴△ABQ≌△CBP，
∴CP＝AQ＝AP+PQ＝AP+PB，即PC＝AP+PB；
方法二：如图3，B为圆心，BP为半径画圆交CP于点M，连接BM，
∵∠CPB＝60°，
∴△PBM是等边三角形，
∵∠CMB＝120°，
∴∠CMB＝∠APB，
∴△APB≌△CMB，
∴PC＝AP+PB；
方法三：（略证）如图4，以A为圆心，A为半径画圆交CP于N，连接AN，
先证△APN是等边三角形，再证△ANC≌△APB，
从而PC＝AP+PB．
19．解：（1）C为弧OB的中点．理由如下：
连接AC；∵OC⊥OA，
∴AC为圆的直径，
∴∠ABC＝90°；
∵△OAB为等边三角形，
∴∠ABO＝∠AOB＝∠BAO＝60°，
∵∠ACB＝∠AOB＝60°，
∴∠COB＝∠OBC＝30°，
∴弧OC＝弧BC；（2分）
即C为弧OB的中点．
（2）过点B作BE⊥OA于E；
∵A（2，0），
∴OA＝2，
∴OE＝1，BE＝，
∴点B的坐标是（1，）；
∵C为弧OB的中点，CD是圆的切线，AC为圆的直径，
∴AC⊥CD，AC⊥OB，
∴∠CAO＝∠OCD＝30°，
∴，
∴C（0，）；
（3）在△COD中，∠COD＝90°，，
∵∠OCD＝∠CAO＝∠COD＝30°，
∴DC＝2DO，
∵CD2＝DO2+CO2，
∴（2OD）2＝DO2+CO2，
∴OD＝，
则有D（﹣，0）；
∴直线CD的解析式为：
（4）∵四边形OPCD是等腰梯形，
∴∠CDO＝∠DCP＝60°，
∴∠OCP＝∠COB＝30°，
∴PC＝PO（8分）；
过点P作PF⊥OC于F，则OF＝OC＝，
∴PF＝，
∴点P的坐标为：（，）．
20．证明：（1）如图1，连接OA，OC；
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵点O是等边三角形ABC的外心，
∴CF＝CG＝AC，∠OFC＝∠OGC＝90°，
∴在Rt△OFC和Rt△OGC中，，
∴Rt△OFC≌Rt△OGC．
同理：Rt△OGC≌Rt△OGA．
∴Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，
S四边形OFCG＝2S△OFC＝S△OAC，
∴S△OAC＝S△ABC，
∴S四边形OFCG＝S△ABC．
（2）证法一：
连接OA，OB和OC，则
△AOC≌△COB≌△BOA，∠1＝∠2；
设OD交BC于点F，OE交AC于点G，
∠AOC＝∠3+∠4＝120°，∠DOE＝∠5+∠4＝120°，
∴∠3＝∠5；
在△OAG和△OCF中
，
∴△OAG≌△OCF，
∴S△OAG＝S△OCF，
∴S△OAG+S△OGC＝S△OCF+S△OGC，
即S四边形OFCG＝S△OAC＝S△ABC；
证法二：
设OD交BC于点F，OE交AC于点G；
作OH⊥BC，OK⊥AC，垂足分别为H、K；
在四边形HOKC中，∠OHC＝∠OKC＝90°，∠C＝60°，
∴∠HOK＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
即∠1+∠2＝120度；
又∵∠GOF＝∠2+∠3＝120°，
∴∠1＝∠3，
∵AC＝BC，
∴OH＝OK，
∴△OGK≌△OFH，
∴S四边形OFCG＝S四边形OHCK＝S△ABC．