2022届“韬智杯”高三大联考
文科数学
参考答案
一、选择题：本题共
12小题，每小题
5分，共
60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
A
B
D
C
D
A
B
D
C
1．A
解析：集合
A
x N
|
1
x
4
0,1,2,3 ，集合B
x
|
2
x
3 ，∴
A
B
0
,1,2 ．
2i
2i(1
i)
2．C
解析：
z
1
i，
2
2
．
1
i
(1
i)(1
i)
|
z
|
1
1
2
3．B
解析：由频率分布直方图知
低于
60分的频率为
(0.005
0.01) 20
0.3，∴该班参加竞赛的学生
9
人数为
30．
0.3
4．A
解析：∵
a
log3
2
log3
3
0.5，b
e0.1
e0
1，c
eln0.5
0.5，∴
a
c
b．
S
7(a
a
)5．B
解析：
1
77
7a4
35, a2
4
5, a2
a9
a4
a7
13, a7
8,∴
a8
9
.
3
4
6．D
解析：易知
tan
，∴
cos(
)
cos
．
4
5
7．C
解析：由三视图可得原几何体为右图所示的三棱锥
A
BCD，
∴
BD
CD
3,BC
3
2,
AB
AC
13,
AD
22,
∴该几何体的最长棱为
AD
22.
第
7
题图
8
D
30,
90,
50,
50
30
(90
30)e 0.05t
e 0.05t
1
．
解析：由题知
0
1
∴
，∴
，3
0.05t
ln
1
ln3∴
，∴0.05t
ln
3，∴
t
20
ln
3
22
.
3
0.05
9．A解析：∵直线
AF的斜率为
3，∴ PAF
60 ，
又∵抛物线的定义知|PF|=|PA|=4，∴ PAF
为等边三角形，∴|AF|=4，
K
∴在
Rt AKF
中，|KF|=2，∴
p
2，∴抛物线方程为
y
2
4x
.
第
9
题图
10．B解析：若存在△ABC是等腰直角三角形，当
A，B，C为相邻三个交点时， 取得最小值，
2
2
2
∵直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半，∴T=
2
2
2
4
,
解得
.
2
2
2
11．D解析：如图，设圆M
与△PF1F2
的三边
F1F2
，
PF1，
PF2
分别相切于点
E，F，G，连接
ME，MF，
MG，则ME
F1F2，MF
PF1，MG
PF2，设
r为△PF1F2
内切圆
M的半径，
S
1
r
1
r
1
r∴
△MPF
PF1
MF
PF1
，S△MPF
PF2
MG
PF1
，S△MF
FF
ME
FF
，1
2
2
2
2
2
1F2
2
1
2
2
1
2
第
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页
∵
S MPF
S
2
r
r
MPF
S MF
F
，∴
|
PF1
|
|
PF
|
2
r
2
|
F1F
|，1
2
3
1
2
2
2
3
2
2
|
PF
|
|
PF
|
2化简得：
1
2
|
F1F2
|，3
2
由双曲线的定义可得：
PF1
PF2
2a，
F1F2
2c，∴
2a
2c，3
c
3
∴离心率
e
.
a
2
第
11
题图
f
x1
f
x
12
2．C
解析：对任意的0
x1
x2，都有
0，即
xx
x
1
f
(x1)
x2
f
(x2
)，2
1
x
g(x)
xf
(x)
ae
x
x
aex
2∴
x
在
(0, )上单调递增,
x
g (x)
aex
2x
0
2x
在
(0, )上恒成立，即
a
x
在
(0, )上恒成立，e
h(x)
2x
h 令
x
，则
(x)
2(1
x)
，
e
ex
当
x (0,1)时h (x)
0；当
x
(1, )时，
h (x)
0，
故
h(x)max
h(1)
2
2
，所以
a
.
e
e
二、填空题：本题共
4小题，每小题
5分，共
20分.
1
13．
解析：由
3
|
a
2b
|
7
得a
2
4ab
4b2
7，∴a
b
，
2
a
b
cos
1
设单位向量
与
的夹角为 ，∴
，∴
．
2
3
14．5
解析：作出可行域，如阴影部分所示：
由
z
3x
y得
y
3x
z，平移直线
y
3x
z，
由图象可知当直线
y
3x
z经过点C时，直线
y
3x
z的截距
z最大，
y
1
由
，解得C
2, 1 ，代入得
z
3 2 1
5，即
z的最大值为
5．
x
y
1
第
14
题图
15．32
解析：补形成一个直三棱柱，设上、下底面外接圆的圆心分别为O1,O2
,
则外接球的球心O为OO
2
O
A
21
2的中点，由正弦定理
1
4,
∴O
A
2,sin
30
1
OO
1又∵
1
SA
2,，∴
22
OA
OO1
O
2
1A
2
2
R，
2
则其外接球的表面积为
4 R2
4
2
2
32
.
1
2S
2
2S
2
16．
解析：∵当
n
2时，an＝
n
，∴
S
S
n
2n
1
2S
1
n
n 1
，
n
2Sn
1
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1
1
整理可得
Sn
Sn 1
2SnSn 1，∴
2S
S
，n
n 1
1
∴数列{
S
}是以
1为首项，2为公差的等差数列，n
1
∴
2n
1
1
S
，∴
Sn
.n
2n
1
三、解答题:共
70分,
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．解：（1）
a,b的取值情况有（23,25），（23,30），（23,26），（23,16），
（25,30），（25,26），（25,16），（30,26），（30,16），（26,16），
基本事件的总数为
10.·······················································································
3分
事件
A包括的基本事件有（25,30），（25,26），（30,26）共
3个，·························
5分
3
所以事件
A的概率为
P(A)
.········································································
6分
10
5
5
（2）由列表可知
x
11,
y
24,
x
2i
615,
xi
yi
1351,
i 1
i 1
···································8分
5
^
^
^
x
y
5x
y
设回归方程为
y
b
x
a
^
i
i，b
i 1
31
3.1，·······································
10分5
2
x
2i
5x
10
i 1
^
^
a
y
b
x
10.1，·····················································································11分
^
故所求方程为
y
3.1x
10.1
···········································································
12分
18．解：（1）在 ABC中，因为，
acosC
ccosA
2bsinB
0
由正弦定理得
sin
AcosC
sinC
cos
A
2sin
Bsin
B
0，····································
1分
所以
sin
A C
2sin
Bsin
B
0，即
sin
B
1
2sin
B
0，······························
3分
又因为
sinB
1
0，所以
sinB
，·····································································
4分
2
B
5 因为
B是三角形的内角，所以
或
.
·························································
6分
6
6
（2）由（1）知
B
,·····················································································
8分
6
2
所以 ABC为等腰三角形，且C
，在 ABC中，设
AC
BC
2x，···············9分
3
ADC
AD2
AC
2
DC
2
2AC DC
cos
2
7x2在
中，由余弦定理得
7，
3
1
解得
x
1，所以
AC
BC
2，所以
S ABC
AC
BC
sinC
3，2
所以三角形的面积为
3
.
··············································································
12分
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1
19．
解：（1）证明：在
PD上取点M
使得
PM
PD，连结FM
,MA
,(如图)
3
1
1
因为
PF
PC,
AE
AB，所以FM
/
/CD,AE
/
/CD
,······································
1分
3
3
且
FM
AE
，所以四边形
AEFM
是平行四边形,·················································
2分
所以
FE
/
/AM
,······························································································
3分
又
FE
平面
PAD，
AM
平面
PAD，···························································
4分
所以直线
EF
/
/平面
PAD
··························································1··9····················
5分第
题图
（2）取CD中点O
,连结
PO
,因为侧面
PCD与底面
ABCD垂直，CD为两个面的交线，
所以
PO
平面
ABCD
,····················································································7分
又因为
PF
1
PC,
2
4，所以F到面
ABCD的距离等于
PO
3
··························
9分
3
3
3
S
1
2BCE
4 4 sin120
0
8
3
·······························································
10分
2
3
3
V
1
S
1
8
3
4
32所以
BCEh
3
···························································12分3
3
3
3
9
2
2
20．解：（1
C
x
y）由题意，设椭圆
：
2
2
1(a
b
0)，焦距为
2c，a
b
则
c
3
，椭圆的另一个焦点为
F2
3,0 ，
·····················································
1分
由椭圆定义得
2a
PF1
PF
7
1
2
4，
a
2，b
a2
c2
1，··············
3分2
2
x2
所以C的方程
y2
1
.
·············································································
4分
4
y
kx
m
2
D
0,1
2
2
2（
）由已知得
，由
x2
得
1
4k
x
8kmx
4m
4
02
，·········5分
y
1
4
=4k
2
m2
1
0，
2
,设
A x
,
y
B
x
,
y
8km
4m
41
1
，
2
2
，则
x1
x2
2
，
x1x2
，·························
6分1
4k
1
4k
2
2
2
y1
y2
k
x1
x2
2m
2m
2
，
y1y2
kx
m
4k
1
m1
kx
4k
2
m
，·········
7分1
4k
2
2
由
AD
BD得DA
DB
x1x2
y1
1
y
1
0
5m
2m
3
2
，整理得
0，········9分1
4k
2
3
所以，5m2
2m
3
0，解得m
1或m
，···············································10分5
①当m
1时，直线
l经过点D，舍去；·····························································
11分
②当m
3
时，显然有
，直线
l经过定点
0,
3
.
····································12分5
5
21．解：（1）当
a
3时，
f
x
x
3ln
x
1 ，
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f
'
x
1
3
x
2
，···············································································1分
x
1
x
1
当
x
1,2 时，
f
' x
0，
f
x 是减函数，··················································
2分
x
2,
，
f
' x
0，
f
x 是增函数，·······················································
3分
所以，
f
x 的减区间为
1,2 ，增区间为
2,
.··············································4分
（2）当
a
1时，
f
x
x
ln
x
1 ，
kx2
f
x
kx2，即
x
ln
x
1
0
.······························································5分
设
g
x
kx2
x
ln
x
1 ，
x
0，则只需
g
x
0在 0, 恒成立即可.···········6分
易知
g
0
0，
2
g
'
x
2kx
1
1
2kx
(2k
1)x
x[2kx
(2k
1)]
，································
7分
x
1
x
1
x
1
①当
k
0时，
g
' x
0，此时
g
x 在 0, 上单调递减，
所以
g
x
g
0
0，与题设矛盾；·································································8分
②当0
1
1
k
时，由
g
' x
0得
x
1
0，
2
2k
当 0, 1
1
时，
g
' x
0
1
，当
x 1
, 时，
g
' x
0，
2k
2k
此时
g
x
在
0, 1
1
2k
上单调递减，
x
1 0, 1
所以，当
时，
g
x
g
0
0，与题设矛盾；····························
10分
2k
k
1③当
时，
g
' x
0，故
g
x 在 0, 上单调递增，所以
g
x
g
0
0恒成立.
2
···················································································································11分
k
1综上，
.································································································12分
2
x
t(1)
22．解：（1）
(1) 2
2
(2)
2
2x
y
1
0，····················
2分
y
1
2
2t(2)
2
2
cos
2
2
cos
cos
2
2
sin
sin
2cos
2sin
4
4
4
2
2
cos
2
sin
x2
y2
2
x
2
y
(
x 1)2
(
y 1)2
2
，·············4分
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∴直线
l的方程为
2
2x
y
1
0，圆
C的方程为：
(x
1)2
(
y
1)2
2．···········
5分
（2）圆
C的圆心坐标为
(1, 1)，半径为
2
，
2
2
( 1)
( 1)
1
2
2
圆心到直线
l的距离为
d
，······································
6分
(2
2)2
( 1)2
3
∴
|
AB
|
2
(
2)2
(2
2
2
10
)2
·····································································7分
3
3
P
AB
r
d
2
2
2
5
2∵点
到直线
距离的最大值为
，··································9分
3
3
S
1
2
10
5
2
10
5∴
max
.······································································
10分2
3
3
9
3x
3，x＞2
23.解：（1）
f
(x)
x
2
2x
1
1
x
1，
x
2
．·······································2分
2
3x
3，x
1
＜
2
3x
3
3
x
1
3
3x
3
3
f
(x)
3
∵
，∴
或
1
或
1
，····································
3分
x＞2
x
2
x＜ 2
2
解得
x
2或
x
0，
∴不等式的解集为 x
|
x
2或x
0 ．··································································5分
1
1
（2）由（1）知，函数
f
(x)在
( ,
)上单调递减，在[
, )上单调递增，
2
2
所以
f
1
3
1
3min
(x)
f
(
)
，则
a
b
c
m
，···············································6分2
2
2
2
(a2
b2
c2
)[(1
)2
1
9由柯西不等式，有
12
12]
(
a
b
c)2
，·····················
8分
2
2
4
1
2
∴
a2
b2
c2
1，当且仅当2a
b
c，即
a
,b
c
时取等号，···················9分
3
3
∴
a2
b2
c2的最小值为
1．···········································································10分
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文
科
数
学
本试卷满分
150
分，考试用时
120
分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用
2B
铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
第
I卷（选择题）
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知集合
A＝ x N
|
1
x
4 ，集合B＝ x
| 2
x 3 ，则
A
B
（
）
A． 0，1，2
B． 1，2
C． x
| 1
x 3
D． x
| 2
x 4
2．已知复数
z满足
z(1
i)
2i，则
|
z
|
（
）
A．1
B
2．
C．
2
D．2
2
3．某班组织奥运知识竞赛，将参加竞赛的学生成绩整理得右边的频率分布
直方图，若低于
60分的有
9人，则该班参加竞赛的学生人数是（
）
A．27
B．30
C．45
D．60
第
3题图
4．已知a
log3
2，b
e0.1，
c
e
ln
0.5
，则三者大小关系为
（
）
A．
a
c
b
B．c
a
b
C．c
b
a
D．
a
b
c
5．已知等差数列 an 的前
n项和为
Sn，
a2
a9
13，
S7
35，则
a8
（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
π
6．已知
4sin
3cos
0,
（
，π），则2
cos(
)
（
）
A
3
3．
B．
5
5
C
4
4．
D．
5
5
7．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的最长棱的长度为（
）
A．3
2
B．
13
C．
22
D．3
3
第
7题图
文科数学试卷
第
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4
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8．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 1℃，空气温度为 0℃，
则
t分钟后物体的温度 （单位：℃）满足：
0
e
kt1
0
.若常数
k
0.05，空气温度为
30℃，某物体的温度从
90℃下降到
50℃，大约需要的时间为（
ln
3
1.1）
（
）
A．16分钟
B．18分钟
C．20分钟
D．22分钟
2
9．抛物线
y
2px
p
0 的焦点为
F
，准线为
l，点
P
为抛物线上一点，
PA
l
，垂足为
A，若直
线
AF
的斜率为
3，
PF
4，则抛物线方程为
（
）
A．
y2
4x
B．
y2
4
3x
C．
y2
8x
D．
y2
8
3x
10．已知
0
,函数
f
(x)
2
sin x与
g(x)
2
cos x的图象交于不共线的
A，B，C三点，若存在
ABC是等腰直角三角形，则 的最小值为
（
）
A．
B．
C
2 ．
D．π
4
2
2
x2
y2
11．已知点
P是双曲线
1
(a
0,b
0)右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，M是△PF1F
a2
b2
2
2
的内心，若
S MPF
S MPF
S MF
F
成立，则双曲线的离心率为
（
）1
2
3
1
2
A
4
3．3
B．2
C．
D．
3
2
ae
x
f
x
f
x
12．已知函数
f
(x)
x，若对任意的
0
1
2＜x1＜x2，都有
0，则实数
a的取值范围是
x
x2
x1
（
）
,
1
,e2
2
4
A．
B．
C．
,
D．
,
e
e
e2
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题：本题共
4小题，每小题
5分，共
20分.
13．已知单位向量
a
,b
满足
|
a
2b
|
7
，则a
与b
的夹角为________．
y≤
x
14．若变量
x，
y满足约束条件
x
y≤1，则目标函数
z
3x
y的最大值为
.
y≥
1
15．已知三棱锥
S
ABC中，
SA
平面
ABC，且
SA＝4，AB＝AC＝2， BAC＝120 ，
则三棱锥
S
ABC的外接球的表面积为
.
2S
2
16．设数列
an
前
n项和为
Sn，若
a1
1，
an
n
(n≥2,n N
)
S
2S
，则1
n
=________．n
文科数学试卷
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三、解答题：本题共
6
小题，第
17～20
题必考，每题
12分；第
22、23题为选考题，每题
10分，考生从
这两题任选一题作答.
（一）必考题：共
60
分.
17．（本小题满分
12分）
某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了
3月
11日至
3月
15日的每天昼夜温差与实验室每天每
100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期
3月
11日
3月
12日
3月
13日
3月
14日
3月
15日
温差
x
(℃)
10
11
13
12
9
发芽数
y（颗）
23
25
30
26
16
25≤
a≤30
（1）从
3月
11日至
3月
15日中任选
2天，记这两天发芽的种子数分别为
a
,
b
,
求事件
A：
25≤b≤30
的概率；
（2）研究发现种子的发芽数与昼夜温差近似成线性关系，请你求出
y关于
x的线性回归方程.
n
n
xi
x
yi
y
xi
yi
n
x
y
附：回归方程
y
b x
a 中，
^b
i 1
i 1
，
a
y
b
x，
n
n
xi
x 2
2
x
2i
n
x
i 1
i 1
5
xi
yi
1351.
i 1
18．（本小题满分
12分）
在 ABC中，内角
A,B,C所对的边分别为
a,b,c，
a
cosC
c
cos
A
2bsin
B
0
.
（1）求
B；
A
（2）若
B为锐角，
，
BC
边上的中线长
AD
7
，求 ABC的面积.
6
19．（本小题满分
12分）
如图，在四棱锥
P
ABCD中，底面
ABCD是菱形，侧面
PCD是等边三角形且与底面
ABCD垂直，
1
1
PD
AB
4
,E、F分别为
AB、PC的点，且
PF
PC,
AE
AB
.
3
3
（1）证明：直线
EF
//平面
PAD；
（2）若 BAD
60 ，求三棱锥
B EFC的体积.
第
19
题图
文科数学试卷
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20．（本小题满分
12分）
C
C
P
1
已知椭圆
的中心在原点，一个焦点为
F1
3,0
，且椭圆
经过点
3,
.
2
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C与
y轴的正半轴交于点D，直线
l：
y
kx
m与C交于
A，B两点（
l不经过D点），
且
AD
BD
.证明：直线
l经过定点，并求出该定点的坐标.
21．（本小题满分
12分）
已知函数
f
(x)
x
a
ln(x
1)
.
（1）当
a
3时，求
f
(x)的单调区间；
（2）当
a
1时，关于
x的不等式
kx2≥
f（x）在[0, )上恒成立，求
k的取值范围.
（二）选考题：共
10
分，请从第
22、23题中任选一题作答，如果多做，那么只能按所做的第一题计分.
22．（本小题满分
10分）
x
t
在直角坐标系
xOy中，直线
l的参数方程为
（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴的
y
1
2
2t
非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为
2
2
cos
.
4
（1）求直线
l及圆C的直角坐标方程；
（2）若直线
l和圆C交于
A，B两点，P是圆C上不同于
A，B的任意一点，求 PAB面积的最大值.
23．（本小题满分
10分）
已知函数
f
(x)
x
2
2x
1
．
（1）求不等式
f（x）≥3的解集；
（2）记函数
f
(x)
1的最小值为m，若
a，
b，
c
均为正实数，且
a
b
c
m，求
a2
b2
c2
的2
最小值．
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请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
文科数学
答题卡
准
考
证
号
17.(12分)(续)
19.(12分)
姓
名
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
贴
条
形
码
区
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
（正面朝上,切勿贴出虚线方框）
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
1.答题前,
考生务必用直径0.5
毫米的黑色字迹签字笔在答题卡
缺考标记,
考
注
上指定位置将自己的姓名、准考证号填写清楚,
并贴好条形
正确填涂：
生禁填;
由监
码。请认真核对条形码上的准考证号、姓名和科目。
填
意
2.选择题做答用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净;
若需在答考人员用2B
涂
错误填涂：
题卡上作图,
请先用铅笔做答,
确定无误后再用直径0.5
毫米
√
铅笔填涂。
事
的黑色字迹签字做答;其他部分做答用直径0.5
毫米的黑色字
样
项
迹将答案写在规定区域内,
不要超过黑框,
否则答案无效。
例
3.保持卡面清洁,
不要折叠,
不要弄破。
4.请注意题号顺序。
选择题(60分)
（请用2B铅笔填涂）
1
A
B
C
D
4
A
B
C
D
7
A
B
C
D
10
A
B
C
D
2
A
B
C
D
5
A
B
C
D
8
A
B
C
D
11
A
B
C
D
18.(12分)
3
A
B
C
D
6
A
B
C
D
9
A
B
C
D
12
A
B
C
D
非选择题(90分)
（请用0.5毫米黑色墨水签字笔书写）
13.(5分)
14.(5分)
15.(5分)
16.(5分)
17.(12分)
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
20.(12分)
21.(12分)
填涂卡:
22.
23.
（10分）
我所选做的题号是（
）
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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