22.1 二次函数的图象与性质 国庆假期训练卷 2021-2022学年 人教版数学九年级上册（word版含答案）

人教版2021年九年级上册国庆假期：二次函数的图象与性质
训练卷
一．选择题
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　）
A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为为任意实数）
2．下列函数中属于二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c
B．y＝3（x﹣1）2
C．y＝（x+1）2﹣x2
D．y
3．将抛物线y＝﹣2x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2x2
B．y＝2x2+1
C．y＝﹣2x2﹣1
D．y＝2x2﹣1
4．抛物线y＝3（x+4）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（2，4）
B．（2，﹣4）
C．（4，2）
D．（﹣4，2）
5．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（　　）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
④若图象上两点对一切正数n，总有y1＞y2，则．
A．①②
B．①③
C．③④
D．①③④
6．已知二次函数y＝x2﹣2ax+5，当3≤x≤7时，y在x＝7取得最大值，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤3
B．a≤5
C．3≤a≤5
D．a≥5
7．将抛物线y＝3x2向右平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（4，﹣5）
B．（4，5）
C．（﹣4，5）
D．（﹣4，﹣5）
8．如图，矩形OABC中，A（﹣3，0），C（0，2），抛物线y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1的顶点M在矩形OABC内部或其边上，则m的取值范围是（　　）
A．﹣3≤m≤0
B．﹣3≤m≤﹣1
C．﹣1≤m≤2
D．﹣1≤m≤0
9．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜2＜x2，则c的取值范围是（　　）
A．c＜﹣3
B．c＜﹣8
C．c＜﹣6
D．c＜﹣1
10．如图所示，已知抛物线y＝﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B，A作x轴的垂线、垂足分别为C，D，连接PA，PD，PD交AB于点E，则（　　）
A．PA＝PD﹣PE
B．PD＝PA PE
C．PD＝PE+AD
D．PA2＝PE PD
二．填空题
11．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2x+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为
　
　.（用“＜”连接）
12．把二次函数yx2的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为
　
　．
13．若是二次函数，则m＝　
　．
14．在同一坐标系中，二次函数y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的图象如图，则a1，a2，a3的大小关系为
　
　.（用＞连接）
15．y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝　
　．
三．解答题
16．综合与探究
在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交点C．
（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；
（2）若点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，求线段PD的最大值．
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线BC的解析式为y．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积最大值时相应点E的坐标；
（3）将抛物线y＝﹣x2+bx+c向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
18．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2﹣5ax+c过点M（4，4）．
（1）求c与a的关系；
（2）当c2＝25时，平移抛物线C得到新的抛物线C′，使得抛物线C′仍然过点M，并且对于C′上任意的两点T（x1，y1），S（x2，y2），当x1＞x2＞0时，总有0，当x2＜x1＜0时，总有0．
①求抛物线C′的解析式；
②若A，B是抛物线C′上两个不同的点，记直线AM：y＝k1x+b1，直线BM：y＝k2x+b2，直线AB：y＝kx+b，当k1+k2＝0时，求证：k为定值．
参考答案
一．选择题
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　）
A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为为任意实数）
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由图象可得：a＞0，c＞0，Δ＝b2﹣4ac＞0，1，
∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项正确，
∴abc＞0，故B选项正确，
当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项错误，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴am2+bm≥a﹣b，故D选项正确，
故选：C．
2．下列函数中属于二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c
B．y＝3（x﹣1）2
C．y＝（x+1）2﹣x2
D．y
【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可．
【解答】解：A、y＝ax2+bx+c，不一定是二次函数，故本选项错误；
B、y＝3（x﹣1）2是二次函数，故本选项正确；
C、y＝（x+1）2﹣x2是一次函数，故本选项错误；
D、y的右边是分式，不是二次函数，故本选项错误；
故选：B．
3．将抛物线y＝﹣2x2+1绕原点O旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2x2
B．y＝2x2+1
C．y＝﹣2x2﹣1
D．y＝2x2﹣1
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出旋转后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），
∵抛物线y＝﹣2x2+1绕原点O旋转180°，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴旋转后的抛物线的解析式为y＝2x2﹣1．
故选：D．
4．抛物线y＝3（x+4）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（2，4）
B．（2，﹣4）
C．（4，2）
D．（﹣4，2）
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝3（x+4）2+2是抛物线解析式的顶点式，
∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣4，2）．
故选：D．
5．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（　　）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
④若图象上两点对一切正数n，总有y1＞y2，则．
A．①②
B．①③
C．③④
D．①③④
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），
∴x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2，
又∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，开口向下，
∴当x＞2＞x2时，y随x的增大而减小，故①正确；
又∵对称轴为直线x，1＜m＜2，
∴0，
∴若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则y1＜y2，故③正确；
若图象上两点（，y1），（n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，
∴该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0），
∴0，
解得1＜m，故④错误；
∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，
∵a＜0，1＜m＜2，
∴﹣1＜a，故②错误；
∴①③正确；②④错误，
故选：B．
6．已知二次函数y＝x2﹣2ax+5，当3≤x≤7时，y在x＝7取得最大值，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤3
B．a≤5
C．3≤a≤5
D．a≥5
【分析】抛物线线开口向上，对称轴为直线x＝a，离对称轴距离越远的点的y值越大．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2ax+5对称轴为直线x＝a，且开口向上，
∴x＞a时，y随x增大而增大，x小于a时y随x增大而减小，
当7﹣a≥a﹣3时，a≤5满足题意，
当a≤3时满足题意，
∴a≤5．
故选：B．
7．将抛物线y＝3x2向右平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（4，﹣5）
B．（4，5）
C．（﹣4，5）
D．（﹣4，﹣5）
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可求得平移后的顶点式，从而求得得到坐标．
【解答】解：将抛物线y＝3x2向右平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线为y＝3（x﹣4）2+5，
∴其顶点坐标为（4，5），
故选：B．
8．如图，矩形OABC中，A（﹣3，0），C（0，2），抛物线y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1的顶点M在矩形OABC内部或其边上，则m的取值范围是（　　）
A．﹣3≤m≤0
B．﹣3≤m≤﹣1
C．﹣1≤m≤2
D．﹣1≤m≤0
【分析】先求出顶点坐标，再确定顶点横、纵坐标的取值范围，解不等式组即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1，
∴顶点M（m，﹣m+1），
∵A（﹣3，0），C（0，2），顶点M在矩形OABC内部或其边上
∴，
解得：﹣1≤m≤0．
故选：D．
9．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜2＜x2，则c的取值范围是（　　）
A．c＜﹣3
B．c＜﹣8
C．c＜﹣6
D．c＜﹣1
【分析】由题意得不动点的横纵坐标相等，即在直线y＝x上，故二次函数与直线y＝x有两个交点，且横坐标满足x1＜2＜x2，可以理解为x＝2时，一次函数的值大于二次函数的值．
【解答】解：由题意得：不动点在一次函数y＝x图象上，
∴一次函数y＝x与二次函数的图象有两个不同的交点，
∵两个不动点x1，x2满足x1＜2＜x2，
∴x＝2时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
∴2＞22+2×2+c，
∴c＜﹣6．
故选：C．
10．如图所示，已知抛物线y＝﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B，A作x轴的垂线、垂足分别为C，D，连接PA，PD，PD交AB于点E，则（　　）
A．PA＝PD﹣PE
B．PD＝PA PE
C．PD＝PE+AD
D．PA2＝PE PD
【分析】先求出点P的坐标，得到OP的长，设点A的横坐标为m，分别表示出OD、PF、AF，再根据勾股定理表示出PA2、PE、PD，即可求得PA2＝PE PD．
【解答】解：当x＝0时，y＝1，
∴OP＝1，
设点A的横坐标为m，
∴AD＝OF＝﹣m2+1，OD＝AF＝m，
∴PF＝1﹣（﹣m2+1）＝m2，
在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2＝（m2）2+m2＝m4+m2，
在Rt△POD中，PD，
∴PD PE m2，＝m2（1+m2）＝m4+m2，
∴PA2＝PD PE，
故选：D．
二．填空题
11．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2x+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为
　y1＜y3＜y2　.（用“＜”连接）
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣x2+2x+a的开口向下，对称轴为直线x＝1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+a＝﹣（x﹣1）2+1+a，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+a的开口向下，对称轴为直线x＝1，
而A（﹣2，y1）离直线x＝1的距离最远，B（1，y2）在直线x＝1上，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为y1＜y3＜y2．
12．把二次函数yx2的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为
　y（x+3）2﹣5　．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：把二次函数yx2的图象先向左平移3个单位，向下平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为y（x+3）2﹣5．
故答案为y（x+3）2﹣5．
13．若是二次函数，则m＝　﹣2　．
【分析】根据二次函数定义可得m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，再解出m的值即可．
【解答】解：由题意得：m2﹣2＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
14．在同一坐标系中，二次函数y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的图象如图，则a1，a2，a3的大小关系为
　a1＞a2＞a3　.（用＞连接）
【分析】抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定的，系数越大，开口越小．
【解答】解：∵二次函数y1＝a1x2的开口最小，二次函数y3＝a3x2的开口最大，
∴a1＞a2＞a3，
故答案为：a1＞a2＞a3．
15．y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝　5　．
【分析】由f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，得a（﹣x）2+（a﹣5） （﹣x）+1＝ax2+（a﹣5）x+1，解得a＝5．
【解答】解：∵f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，
∴对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），即a（﹣x）2+（a﹣5） （﹣x）+1＝ax2+（a﹣5）x+1，
∴（10﹣2a）x＝0，可知10﹣2a＝0，
∴a＝5，
故答案为：5．
三．解答题
16．综合与探究
在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交点C．
（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；
（2）若点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，求线段PD的最大值．
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）应用待定系数法即可求出抛物线解析式，再求出点C的坐标，设直线AC的解析式为y＝kx+2，将点C的坐标代入即可求得答案；
（2）如图1，设点，则，则，应用二次函数最值即可求得答案；
（3）分两种情况：①若CM平行于x轴，如图2，有符合要求的两个点Q1，Q2，此时Q1A＝Q2A＝CM．②若CM不平行于x轴，如图所示，过点M作MG⊥x轴于G，易证△MGQ≌△COA，得QG＝OA＝3，MG＝OC＝2，即yM＝﹣2，设M（x，﹣2），建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴，
解得：，
∴这个二次函数的解析式为；
∵二次函数与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+2，
∵直线AC经过点A（﹣3，0），
∴0＝﹣3k+2，
解得：，
∴直线AC的解析式为；
（2）由（1）得，
如图1，设点，则，
∴，
∴当时，PD最大，最大值是．
（3）存在．假设存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．
①若CM平行于x轴，如图2，有符合要求的两个点Q1，Q2，此时Q1A＝Q2A＝CM．
∵CM∥x轴，
∴点M、点C（0，2）关于对称轴x＝﹣1对称，
∴M（﹣2，2），
∴CM＝2，
由Q1A＝Q2A＝CM＝2，得到Q1（﹣5，0），Q2（﹣1，0）；
②若CM不平行于x轴，如图所示，过点M作MG⊥x轴于G，
易证△MGQ≌△COA，得QG＝OA＝3，MG＝OC＝2，即yM＝﹣2，
设M（x，﹣2），则有，
解得：，
又QG＝3，
∴，
∴，．
综上所述，存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．Q点坐标为：Q1（﹣5，0），Q2（﹣1，0），，．
17．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线BC的解析式为y．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积最大值时相应点E的坐标；
（3）将抛物线y＝﹣x2+bx+c向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用直线BC的解析式求出点B、C的坐标，代入抛物线求得b的值，即可得抛物线的表达式；
（2）根据四边形BECD面积最大值时，E点到直线BC的距离最远，即此时直线yx+m与抛物线只有一个交点，联立直线和抛物线，使该方程判别式为0即可求得E的坐标；
（3）分AE是平行四边形的边、AE是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵直线BC的解析式为y，
∴令y＝0，则x＝4，令x＝0，则y＝2，
∴点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，2）；
代入抛物线得：c＝2，0＝﹣16+4b+2，
解得：b，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2x+2；
（2）∵AD∥BC，
∴设直线AD的表达式为：yx+a，
令y＝﹣x2x+2＝0，解得x＝4或，即A（，0），
将A代入直线AD即可求得：a，
∴直线AD：yx，
设过点E与直线BC平行的直线：yx+m，
∵四边形BECD面积最大值时，E点到直线BC的距离最远，即此时直线yx+m与抛物线只有一个交点，
∴令yx+m＝﹣x2x+2，
化简得：x2﹣4x+m﹣2＝0①，
由Δ＝16﹣4（m﹣2）＝0得：m＝6，
∴方程①的解为：x1＝x2＝2，
∴四边形BECD面积最大值时相应点E的坐标为（2，5）；
（3）存在，理由：
①当AE是平行四边形的对角线时，
∵y＝﹣（x+2）2（x+2）+2＝﹣x2x+5，
∴新抛物线的表达式为：y＝﹣x2x+5，且对称为直线x，
∵点A、E的坐标分别为（，0）、（2，5），
∴AE中点的坐标为（，），
设点M（，t），点N（s，﹣t2t+5），
则由中点公式得：，
解得：s，
∴N（，）；
②当AE是平行四边形的边时，
设M（，t'），点N（s'，﹣t'2t'+5），
则s'，解得s'，N（，），
s'，解得s'，N（，），
综上，点N的坐标为：（，）或（，）或（，）．
18．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2﹣5ax+c过点M（4，4）．
（1）求c与a的关系；
（2）当c2＝25时，平移抛物线C得到新的抛物线C′，使得抛物线C′仍然过点M，并且对于C′上任意的两点T（x1，y1），S（x2，y2），当x1＞x2＞0时，总有0，当x2＜x1＜0时，总有0．
①求抛物线C′的解析式；
②若A，B是抛物线C′上两个不同的点，记直线AM：y＝k1x+b1，直线BM：y＝k2x+b2，直线AB：y＝kx+b，当k1+k2＝0时，求证：k为定值．
【分析】（1）将M点坐标代入抛物线的解析式；
（2）①判断C′的对称轴是x＝0，a＞0，进而求得；
②设A、B两点的坐标，表示出k1，k2，从而由k1+k2＝0，求出横坐标的数量关系，进而得出k的值．
【解答】解：（1）把x＝4，y＝4代入y＝ax2﹣5ax+c得，
16a﹣20a+c＝4，
∴c＝4a+4；
（2）①由题意得，
c＝5或﹣5，
当c＝5时，4a+4＝5，
∴a，
当c＝﹣5时，4a+4＝﹣5，
∴a，
C′的对称轴是x＝0，a＞0，
∴a，
设C′的解析式是yb，
∴b＝4，
∴b＝0，
∴y；
②设A（m，m2），B（n，），
∴，
∴k1，k（m+n），
同理类比可得：k2（n+4），
∵k1+k2＝0，
∴m+n＝﹣8，
∴k（﹣8）＝﹣2，
即k为定值﹣2．