22.3实际问题与二次函数同步提升训练 2021-2022学年人教版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.3实际问题与二次函数》同步提升训练（附答案）
一．选择题
1．某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（　　）
A．y＝200﹣10x
B．y＝（200﹣10x）（80﹣60﹣x）
C．y＝（200+10x）（80﹣60﹣x）
D．y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）
2．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元．
A．60
B．65
C．70
D．75
3．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（　　）
A．8
B．6
C．4
D．2
4．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（　　）
①图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；②当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值随x值的增大而增大；③当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；④当x＝1时，函数的最大值是4．
A．4
B．3
C．2
D．1
5．如图，小明以抛物线y＝x2﹣2x+4为灵感设计了一款杯子，若AB＝4，DE＝2，则杯子的高CE为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，则四边形APQC的面积的最小值是（　　）
A．9
B．18
C．27
D．36
二．填空题
7．二次函数y＝x2﹣2x﹣3（3≤x≤6）的最小值是　
　．
8．某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为
　
　元时，才能使每天所获销售利润最大．
9．如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为　
　
　．
10．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是
　
　m．
11．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持续　
　小时水位才能到拱桥顶．
12．一个球从地面上竖直向上弹起的过程中，距离地面高度h（米）与经过的时间t（秒）满足以下函数关系：h＝﹣5t2+15t，则该球从弹起回到地面需要经过　
　秒，距离地面的最大高度为　
　米．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为
　
　．
14．如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．
（1）若BE＝5，则正方形CEFG的面积为　
　；
（2）连接DF，DG，则△DFG面积的最小值为　
　．
三．解答题
15．某网店销售一批商品，平均每天可售出50件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”，尽快减少库存，网点决定采取降价促销活动．经调查发现，如果每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件降价x元时，该网店一天可获利润y元．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若网店每天平均盈利2100元，则每件商品降价多少元？
（3）当每件商品降价多少元时，网店盈利最大？最大盈利多少元？
16．某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/t，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（t）之间的关系为m＝50+0.2x，销售价y（万元/t）与原料的质量x（t）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售收入为P（万元），求P与x之间的函数关系式；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．
17．如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？
18．篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为直线x＝2.5．
（1）求篮球运动路线的抛物线表达式和篮球在运动中离地面的最大高度．
（2）若篮筐离地面3.05m，离运动员投篮处水平距离为4.2m，问：篮球以该运动方式，能否投进篮筐？若能投进篮筐，请说明理由；若不能，则运动员应向前还是往后移动多少米后再投篮，刚好能使篮球投进篮筐？
19．如图，在一块长16米、宽10米的矩形场地上修建一横一竖两条甬道，场地其余部分种植草坪，已知横、竖甬道的宽度之比为2：1，设竖甬道的宽度为x米，草坪面积为y平方米．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（不必写出取值范围）
（2）若草坪的面积为120平方米，请求出竖甬道的宽度．
20．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长．
（2）若a＝40，求矩形菜园ABCD面积的最大值．
参考答案
1．解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x元，
∴销售每件的利润为（80﹣60+x）元，每星期的销售量为（200﹣10x），
∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣10x）（80﹣60+x）．
故选：D．
2．解：每顶头盔降价x元，利润为w元，
由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，
即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，
故选：C．
3．解：作PM⊥AD与M，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴PM＝DM，
设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，
∵AP＝PF，
∴AM＝FM＝4﹣x，
∴AF＝2（4﹣x），
∵S△APF＝AF PM，
∴S△APF＝×2（4﹣x） x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，S△APF有最大值4，
故选：C．
4．解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣＝1，故①正确；
令|x2﹣2x﹣3|＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴（﹣1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
又对称轴是直线x＝1，
∴当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，故②正确；
由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，故③正确；
由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，
故当x＝1时的函数值4并非最大值，故④错误．
综上，只有④错误．
故选：B．
5．解：∵y＝x2﹣2x+4
＝（x﹣1）2+3，
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，3），
∵AB＝4，
∴BC＝2，
∴点B的横坐标为x＝3，
把x＝3代入y＝x2﹣2x+4得y＝7，
∴CD＝7﹣3＝4，
∴CE＝CE+DE＝4+2＝6，
故选：C．
6．解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S＝S△ABC﹣S△PBQ
＝×12×6﹣（6﹣t）×2t
＝t2﹣6t+36
＝（t﹣3）2+27．
∴当t＝3s时，S取得最小值为27．
故选：C．
7．解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为x＝1，
∵3≤x≤6时，y随x的增大而增大，
∴x＝3时，有最小值，y最小值＝22﹣4＝0；
故答案为：0．
8．解：设销售单价定为x元（x≥9），每天所获利润为y元，
则y＝[20﹣4（x﹣9）] （x﹣8）
＝﹣4x2+88x﹣448
＝﹣4（x﹣11）2+36，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
9．解：设P（x，x2﹣2x3），
∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，
∴四边形OAPB为矩形，
∴四边形OAPB周长＝2PA+2OA
＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x
＝﹣2x2+6x+6
＝﹣2（x2﹣3x）+6，
＝﹣2+．
∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．
故答案为．
10．解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴当x＝1时，y有最大值为3，
∴喷出水珠的最大高度是3m，
故答案为：3．
11．解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
设D（5，b），则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：
，
解得，
∴y＝﹣x2；
∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1，
1÷0.2＝5（小时）．
所以再持续5小时到达拱桥顶．
故答案为：5．
12．解：当该球从弹起回到地面时h＝0，
∴0＝﹣5t2+15t，
解得：t1＝0或t2＝3，
t＝0时小球还未离开地面，
∴t＝3时小球从弹起回到地面；
∵h＝﹣5t2+15t＝﹣5（t﹣）2+，﹣5＜0，
∴当t＝时，h取得最大值；
故答案为：3，．
13．解：设△PCD的面积为y，
由题意得：AP＝t，PD＝5﹣t，
∴y＝＝5﹣t，
∵四边形EFPC是正方形，
∴S△DEF+S△PDC＝S正方形EFPC，
∵PC2＝PD2+CD2，
∴PC2＝22+（5﹣t）2＝t2﹣10t+29，
∴S△DEF＝（t2﹣10t+29）﹣（5﹣t）＝t2﹣4t+＝（t﹣4）2+，
当t为4时，△DEF的面积最小，且最小值为．
故答案为：．
14．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠A＝∠ADC＝90°，
∵BE＝5，
∴AE＝＝＝3，
∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1，
∴EC2＝DE2+CD2＝12+42＝17，
∴正方形CEFG的面积＝EC2＝17．
故答案为17．
（2）连接DF，DG．设DE＝x，则CE＝，
∵S△DEC+S△DFG＝S正方形ECGF，
∴S△DFG＝（x2+16）﹣×x×4＝x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6，
∵＞0，
∴x＝2时，△DFG的面积的最小值为6．
故答案为6．
15．解：（1）每件降价x元时，每件盈利（40﹣x）元，每天可售出（50+2x）件，则该网店一天可获利润为
y＝（40﹣x）（50+2x）＝﹣2x2+30x+2000；
（2）当y＝2100时，﹣2x2+30x+2000＝2100，
解得：x1＝10，x2＝5，
∵尽快减少库存，降价越多越好，
∴x＝10，
答：每天盈利2100元，需降价10元．
（3）y＝﹣2x2+30x+2000＝，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝7.5，ymax＝2112.5（元）．
答：每件商品降价7.5元时，可获得最大利润2112.5元．
16．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（20，15），（30，12.5）代入，
可得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+20；
（2）设销售收入为P（万元），
∴P＝（1﹣20%）xy＝（﹣x+20）x＝﹣x2+16x，
∴P与x之间的函数关系式为P＝﹣x2+16x；
（3）设销售总利润为W（万元），
∴W＝P﹣6.2x﹣m＝﹣x2+16x﹣6.2x﹣（50+0.2x），
整理，可得：W＝﹣x2+x﹣50，
W＝﹣（x﹣24）2+65.2，
∵﹣＜0，
∴当x＝24时，W有最大值为65.2，
∴原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．
17．解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（27﹣2x+1）m，
由题意得y＝x（27﹣2x+1）＝﹣2（x﹣7）2+98，对称轴为x＝7，
∵27﹣2x+1≤12，27﹣2x+1＞0，
∴8≤x＜14，
在y＝﹣2（x﹣7）2+98中，﹣2＜0，在对称轴右侧y随着x的增大而减小，
所以当x＝8m时，矩形猪舍的长为27﹣2x+1＝12（m），宽为8m时，猪舍的面积最大，最大面积是96平方米．
答：矩形猪舍的长、宽分别为12m、8m时，猪舍的面积最大，最大面积是96平方米．
18．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2.5）2+h，
将（0，2.25）和（3.5，3.3）代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，（0≤x≤3.5），
当x＝2.5时，y最大，最大值为3.5m，
∴篮球在运动中离地面的最大高度为3.5m；
（2）不能，
∵篮筐离地面3.05m，
∴3.05＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，
解得：x1＝1，x2＝4，
∴抛物线向右平移0.2m，即运动员应向前移动0.2m，
19．解：（1）设竖甬道的宽度为x米，草坪面积为y平方米，则横甬道的宽度为2x米，剩余部分可合成长（16﹣x）米，宽（10﹣2x）米的矩形，
依题意得：y＝（16﹣x）（10﹣2x）＝2x2﹣42x+160．
（2）依题意得：2x2﹣42x+160＝120，
整理得：x2﹣21x+20＝0，
解得：x1＝1，x2＝20．
当x＝1时，10﹣2x＝10﹣2×1＝8＞0，符合题意；
当x＝20时，10﹣2x＝10﹣2×20＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．
答：竖甬道的宽度为1米．
20．解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，
根据题意得x（100﹣2x）＝450，
解得x1＝5，x2＝45，
当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；
当x＝45时，100﹣2x＝10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD＝xm．
∴S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，
∵a＝40，
∴x＝40时，S的最大值为：﹣（40﹣50）2+1250＝﹣50+1250＝1200（m ）．
答：若a＝40，矩形菜园ABCD面积的最大值为1200平方米．