2021-2022学年人教版八年级数学上册 12.3角的平分线的性质 同步能力提升训练 （word版含解析）

2021-2022人教版八年级数学上册《12.3角的平分线的性质》同步能力提升训练（附答案）
一．选择题
1．如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足是E．若AC＝5，DE＝2，则AD为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝1，则DE的长为（　　）
A．
B．1
C．2
D．6
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝10，点D到AB的距离为4，则DB的长为（　　）
A．6
B．8
C．5
D．4
4．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝5，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　）
A．24
B．28
C．30
D．32
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　）
A．1
B．
C．2
D．
6．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝120°，BC＝20cm，则AM的长度为（　　）
A．20cm
B．10cm
C．5cm
D．15cm
7．如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（　　）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
8．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
9．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为（　　）
A．58°
B．64°
C．122°
D．124°
10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC，垂足为E，若AB＝12，DE＝4，则△ABD的面积是（　　）
A．4
B．12
C．24
D．48
二．填空题
11．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC＝18，AB＝8，BC＝4，则DE＝　
　．
12．如图，已知△ABC，∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，连接AE，则∠AEB的度数为　
　．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为
　
　．
14．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD：CD＝9：7，则D到AB的距离为
　
　．
15．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足为D，∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是
　
　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD＝1.8，BD＝3．
（1）若∠2＝∠B，求AC的长．
（2）若∠1＝∠2，求AC的长．
17．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB．求证：BE＝FD．
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F．
（1）求证：BF平分∠DBC；
（2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数．
19．已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P，且∠AEP+∠CFP＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数；
（3）如图3，若∠AEP：∠CFP＝2：1，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时旋转t秒，问t为多少时，射线EP1∥FP2，直接写出t的值t＝　
　秒．
20．△ABC（∠C＞90°）的三条角平分线相交于点D，延长AD交BC于点E．作AF⊥BC，交BC延长线于点F．
（1）若∠BAC＝40°，则∠BDC＝　
　°；
（2）判断∠CDE与∠ABD的数量关系，并说明理由；
（3）求证∠ACD＝∠EAF+∠ABD．
参考答案
1．解：∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝2，
∵AC＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝5﹣2＝3，
故选：B．
2．解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，DB⊥AB，
∴DE＝DB＝1．
故选：B．
3．解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝4，
∴BD＝BC﹣DC＝10﹣4＝6，
故选：A．
4．解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥BA，
∴DH＝DC＝4，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝×5×4+×9×4＝28．
故选：B．
5．解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴CD⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝，AC＝4，
∴，
∴，
故选：B．
6．解：延长DM交AB于点G，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠C＝∠MBG＝90°，
∵∠DMC＝∠BMG，MC＝MB，
∴△DMC≌△GMB（ASA），
∴DM＝GM，∠ADM＝∠CDM＝∠G＝∠ADC＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AM⊥DG，
∴AM＝20cm，
解法二：过点M作ME⊥AD．∵M是BC的中点，BC＝20cm，
∴CM＝BM＝10cm，
.∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，
∴ME＝CM＝10cm＝BM，
又∵∠B＝90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴DC∥AB，
∵∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∴∠EAM＝30°，
∴AM＝2ME＝20cm．
故选：A．
7．解：如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．
在△AOB和△CEF中，
，
∴△AOB≌△CEF（SSS），
故选：D．
8．解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，
∴PM＝PD＝3，
故选：B．
9．解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
即O点到BA和BC的距离相等，O点到CA和CB的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝90°+×64°
＝122°．
故选：C．
10．解：过D点作DF⊥AB于F，如图，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF＝DE＝4，
∴S△ABD＝×12×4＝24．
故选：C．
11．解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△BDC＝AB DE+BC DF＝18，
即×8 DE+×4 DE＝18，
解得：DE＝3，
故答案为：3．
12．解：过E点作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，EP⊥BD于P，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴EF＝EP，∠ABE＝∠ABC＝×40°＝40°，
∵CE平分外角∠ACD，
∴EH＝EP，
∴EF＝EH，
∴AE平分∠FAC，
∵∠BAC＝80°，
∴∠FAC＝180°﹣80°＝100°，
∴∠FAE＝∠FAC＝50°，
∵∠FAC＝∠ABE+∠AEB，
∴∠AEB＝50°﹣20°＝30°．
故答案为30°．
13．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
∵DE＝3，
∴CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4．
故答案为：4．
14．解：如图，
∵BD+CD＝BC＝32，BD：DC＝9：7，
∴CD＝14，
作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝14．（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
即：点D到AB的距离为14，
故答案为：14．
15．解：由垂线段最短可得DP⊥BC时，DP有最小值，
∵∠A+∠ADB+∠ABD＝180°，∠BDC+∠C+∠DBC＝180°，∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴DP＝AD，
∵AD＝3，
∴DP的最小值为3．
故答案为3．
16．解：（1）∵∠2＝∠B，
∴AD＝BD＝3，
∵∠C＝90°，CD＝1.8，
∴AC＝2.4；
（2）如图，过点D作DE工AB于点E，
∵∠1＝∠2，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝1.8，AC＝AE，
在Rt△DEB中，BE＝2.4，
在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2，
即AC2＝（AE+EB）2﹣（CD+DB）2
＝（AC+2.4）2﹣（1.8+3）2，
解得AC＝3.6．
17．证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD＝CE，
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝FD．
18．（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠BGE＝∠ABD+∠BAE，∠BEG＝∠C+∠EAC，
∴∠BGE＝∠BEG，
∴BG＝BE，
∵BF⊥EG，
∴BF平分∠DBC．
（2）解：∵∠ABF＝3∠C，∠ABD＝∠C，BF平分∠DBC，
∴∠FBD＝∠FBC＝2∠C，
∴5∠C＝90°，
∴∠C＝18°．
19．解：（1）∵∠AEF和∠CFE的角平分线交于点P，
∴∠AEP＝∠PEF，∠PFC＝∠CFP，
∵∠AEP+∠CFP＝90°，
∴∠AEF+∠PFC＝180°，
∴AB∥CD；
（2）设∠PEQ＝α，
∵PE平分∠AEF，
∴∠AEP＝2α，
∵EQ平分∠PEF，
∴∠QEF＝∠PEQ＝α，
∵∠EPF＝90°，
∴∠PFE＝90°﹣2α，
∴∠PFM＝180°﹣（90°﹣2α）＝90°+2α，
∵FQ平分∠PFM，
∴∠PFQ＝45°+α，
∴∠Q＝180°﹣∠QEF﹣∠EFQ＝180°﹣α﹣（90°﹣2α）﹣（45°+α）＝45°；
（3）如图1，EP1∥FP2时，
∵∠AEP：∠CFP＝2：1，∠AEP+∠CFP＝90°，
∴∠AEP＝60°，∠CFP＝30°，
∴∠P1EF＝15°t﹣60°，∠P2FE＝30°﹣3°t，
∵EP1∥FP2，
∴∠P1EF＝∠P2FE，
∴15°t﹣60°＝30°﹣3°t，
∴t＝5；
如图2，EP1∥FP2时，
∴∠P1EF＝15°t﹣60°，∠EFP2＝3°t﹣30°，
∵EP1∥FP2，
∴∠P1EF+∠EFP2＝180°，
∴15°t﹣60°+3°t﹣30°＝180°，
∴t＝15；
综上所述：当t＝5或15时，射线EP1∥FP2，
故答案为5或15．
20．（1）解：如图，∵△ABC（∠C＞90°）的三条角平分线相交于点D，
∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠BDC＝180°﹣∠2﹣∠3，
∴∠BDC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∴∠BDC＝180°﹣×140°＝110°；
故答案为110；
（2）解：∠CDE＝90°﹣∠ABD；
理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠4+∠CAE＝90°，
∵∠CDE＝∠CAD+∠4，
∴∠1+∠4+∠CDE﹣∠4＝90°，
∴∠1+∠CDE＝90°，
即∠CDE＝90°﹣∠ABD；
（3）证明：∵∠5+∠3+∠CDE＝180°，∠CDE＝90°﹣∠1；
∴∠5+∠3+90°﹣∠1＝180°，
∵AF⊥BC，
∴∠5＝90°﹣∠EAF，
∴90°﹣∠EAF+∠3+90°﹣∠1＝180°，
而∠3＝∠4，
∴90°﹣∠EAF+∠4+90°﹣∠1＝180°，
∴∠4＝∠EAF+∠1，
即∠ACD＝∠EAF+∠ABD．