高二数学暑假自主学习单元检测十二
综合试卷（2）
命题人：通州中学 马进
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．
1．设集合A={1,1,3},B={}{3},则实数a的值为 ．
2．在复平面内,复数对应的点位于第 象限.
3．已知直线：和：，则的充要条件是 ．
4．数据的方差为3，则数据的方差为 ．
5．已知函数，若，则的取值范围是 ．
6．已知，则= ．
7．设、、是三个不重合的平面,m、n是不重合的直线,给出下列命题:
①若则; ②若m∥∥则;
③若∥∥则∥; ④若m、n在内的射影互相垂直,则n.
其中错误命题有 个.
8．若，，则与的夹角为锐角的概率
是 ．
9．设等比数列{}的前n项和为则x与y的大小关系
为 ．
10．若不等式对于任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是 ．
11．已知，设函数的最大值为M，最小值为N，
那么M+N ．
12．在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的
点的个数为 ．
13．设是定义在上的可导函数，且满足.则不等式
的解集为 ．
14．若实数成等差数列，点在动直线上的射影为，点，
则线段长度的最大值是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
已知△中，∠A，∠B，∠C的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）设向量，，求当取最大值时，的值．
16．(本小题满分14分)
如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为的
中点．梯形ACDE中，DE∥AC，且AC＝2DE，平面ACDE⊥平面ABC．求证：
（1）平面ABE⊥平面ACDE；
（2）平面OFD∥平面BAE．
17．(本小题满分14分)
因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建
议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放,且个单位的药剂,它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为,其中.若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.
（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天
（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放个单位的药剂,要使接下来的4天中能
够持续有效治污,试求的最小值(精确到0.1,参考数据:取1.4).
18．(本小题满分16分)
已知椭圆E：的左焦点为F，左准线与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.
（1）求圆C的方程；
（2）若直线FG与直线交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（3）在平面上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
19．(本小题满分16分)
设数列的前项的和为，已知.
⑴求,及；
⑵设若对一切均有，求实数的取值范围.
20．(本小题满分16分)
已知在上是增函数，在上是减函数.
(1)求与的表达式；
(2)设，试问有几个零点，并说明理由？
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高二数学暑假自主学习单元检测十二参考答案
一、填空题：
1．答案：1解析：∵ ∴a+2=3, ∴a=1.
2．答案：一 解析：i,所以在复平面内,复数z对应的点位于第一象限.
3．答案：解析：.
4．答案：18解析：数据的方差为
5．答案：解析：由题知，，
若，则9+，即，解得.
6．答案：解析：依题意得，
又，
则.
7．答案：3 解析：①错,此时与也可能相交或∥;②错,如直线m,n均平行于两平面的交线,此时m∥n;③正确;面面平行具有传递性;④错;通过空间想象两直线的位置关系不确定.
8．答案：解析：因为与的夹角为锐角，所以满足条件的有所以
9．答案：x=y解析：由题意,得成等比数列,所以展开整理,得即x=y.
10．答案：解析：由
当n为偶数时;
当n为奇数时-2).
综上,当不等式恒成立时,a的取值范围是.
11．答案：解析：又为奇函数，所以.
12．答案：6解析：点在以为焦点的椭圆上，分别在、、
、、、上. 或者，若在上，设,
有.
故上有一点（的中点）满足条件.
同理在、、、、上各有一点满足条件.
又若点在上上，则.
故上不存在满足条件的点，同理上不存在满足条件的点.
13．答案：解析：记，由得，即在上递增，由得，解得.
14．答案： 解析：由题可知动直线过定点．设点，由可求得点的轨迹方程为圆，故线段长度的最大值为
二、解答题：
15. 解：（1）由题意， ……………………… 2分
所以. ……………………… 3分
因为，所以.
所以. …………………………………… 5分
因为，所以. ………………………………… 6分
（2）因为 …………………………… 8分
所以………… 10分
所以当时，取最大值
此时（），于是 ………………………… 12分
所以 ………………………………………… 14分
16.证明：（1）因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，AB平面ABC，
又在半圆O中，AB⊥AC．
所以AB⊥平面ACDE．
因为AB平面ABE，
所以平面ABE⊥平面ACDE． ………………… 6分
（2）设线段AC与OF交于点M，连结MD．
因为F为的中点，所以OF⊥AC，M为AC的中点．
因为AB⊥AC，OF⊥AC，所以OF∥AB．
又OF平面BAE，AB平面ABE，
所以OF∥平面BAE． ………………… 8分
因为M为AC的中点，且DE∥AC，AC＝2DE，
所以DE∥AM，且DE＝AM．
所以四边形AMDE为平行四边形，所以DM∥AE．
又DM平面BAE，AE平面ABE，
所以DM∥平面BAE． ………………… 11分
又OF∥平面BAE，MD∩OF＝M，MD平面OFD，OF平面OFD，
所以平面OFD∥平面BAE． ………………… 14分
17．解：（Ⅰ）因为,所以… …………1分
则当时,由,解得,所以此时……… … …… 3分
当时,由,解得,所以此时………… ………5分
综合,得,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天…… ……… 6分
（Ⅱ）当时,……… ………9分
==,因为,而,
所以,故当且仅当时,
有最小值为 ………………………12分
令,解得,
所以的最小值为 ………………14分
18.解：（1）由椭圆E：，得：，，，
又圆C过原点，所以圆C的方程为．………………………4分
（2）由题意，得，代入，得，
所以的斜率为，的方程为， ……=…………8分
（注意：若点G或FG方程只写一种情况扣1分）
所以到的距离为，直线被圆C截得弦长为．
故直线被圆C截得弦长为7．………………………………………………10分
（3）设，，则由，得，
整理得①，…………………………12分
又在圆C：上，所以②，
②代入①得， …………………………14分
又由为圆C 上任意一点可知，解得．
所以在平面上存在一点P，其坐标为． …………………………16分
19. 解：依题意，时，;时，.………………2分
因为，
时
所以………………5分
上式对也成立，所以………………6分
（2）当时，,当时，,
所以………………8分
，，数列是等比数列，
则.………………12分
因为随的增大而增大，所以，
由得，所以或………………16分
20.解：(1)在恒成立………………2分
在恒成立…………………4分
所以………………………………………………………………6分
(2)记
所以，………………………………………………8分
令，
所以
令，因为，……………………10分
所以有唯一解，且当时，，递增，
当时，，递减，…………………………12分
是的唯一最小值点，且时，
故有且仅有一个零点. …………………………16分
20070316
F
E
O
A
C
B
D
F
E
O
A
C
B
D
M高二数学暑假自主学习单元检测十
解析几何
命题人：姜灶中学 施惠
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．
1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹
是椭圆．则命题甲是命题乙的________条件．
2．一个动点到两个定点A，B的距离的差为定值(小于两个定点A，B的距离)，则动点的轨迹
为________．
3．若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点F
分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为________．
4．已知动圆过定点(0，－1)，且与定直线y＝1相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线
y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．
6．已知P为抛物线y2＝4x的焦点，过P的直线l与抛物线交于A，B两点，若Q在直线l上，
且满足||·||＝||·||，则点Q总在定直线x＝－1上．试猜测：如果P为椭圆
＋＝1的左焦点，过P的直线l与椭圆交于A，B两点，若Q在直线l上，且满足
||·||＝||·||，则点Q总在定直线________上．
7．已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A、B满足＝3，则弦AB的中点到准线的距
离为________．
8．已知过椭圆的左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若F1A＝2F1B，则椭圆
的离心率为________．
9．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F且交椭圆于A、B两点，P为
右准线上任意一点，则∠APB为________(从“钝角、直角、锐角、都有可能”中选择填空).
10．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则|PF1|
是|PF2|的________倍．
11．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段
AB的长为8，则p＝________.
12．设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是
________．
13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，
且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为________．
14．已知△ABC的两个顶点为B(－4,0)，C(4,0)，若顶点A在椭圆＋＝1上，则＝
________．
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．(本小题满分14分)
△ABC的三边a>b>c成等差数列，A、C两点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B的轨
迹方程．
16．(本小题满分14分)
如图，已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线x－my＋m＝0与抛物线交于A、B两点，
且△OAB(O为坐标原点)的面积为2，求m6＋m4的值．
17．(本小题满分14分)
已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A、B两点．
(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
18．(本小题满分16分)
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为 (2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分
线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．
19．(本小题满分16分)
已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过 作轴的垂线交于点．
（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；
（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
20．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．
（i）若，求直线的斜率；
（ii）求证：是定值．
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高二数学暑假自主学习单元检测十参考答案
一、填空题：
1．必要而不充分 解析：利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a>|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．
2. 双曲线的一支 解析：由双曲线的定义可知是双曲线的一支，故填双曲线的一支．
3. 解析：由题意可知FF2=F1F2，即c-= 2c，化简得c=2b，所以c2=4(a2-c2)，此椭圆的离心率e==.
4. x2=-4y 解析：圆心到定点(0，-1)的距离与到定直线y=1的距离相等，都等于圆的半径，由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，其方程为x2=-4y.
5. -=1 解析：由渐近线方程可知=，①
因为抛物线的焦点为(4,0)，所以c=4，② 又c2=a2+b2，③
联立①②③，解得a2=4，b2=12，所以双曲线的方程为-=1.
6. x=- 解析：x=-1是抛物线的准线，应用类比推理可知点Q所在的定直线为椭圆的左准线，其方程为x=-.
7. 解析：如图，过点A、B作准线的垂线交准线于A1B1，过B作BC⊥AA1于C，设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m，∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，kAB=，
直线AB方程为y=(x-1)，与抛物线方程联立消y得3x2-10x+3=0，所以AB中点到准线距离为+1=+1=.8. 解析：如图，过B作AC的垂线，垂足为E，由题意和椭圆第二定义可知E为AC的中点，cos 60 ===，故e=.
9. 锐角 解析：设点A、B到右准线的距离分别为d1，d2，该椭圆的离心率为e，根据椭圆的第二定义可得AF=ed1，BF=ed2，则A、B的中点到右准线的距离为，又=，椭圆的离心率0＜e＜1，∴=＜，即以AB为直径的圆的半径小于圆心到右准线的距离，亦即右准线与以AB为直径的圆相离，∴点P必在以AB为直径的圆外，∴∠ APB必为锐角．
10. 7 解析：由已知：a＝2，b＝，∴c＝3，F2(3,0)，设PF1的中点为Q，则OQ∥PF2.
∴PF2⊥Ox，故可设P(3，y0)，∴＋＝1，
∴y＝，∴y0＝±.∴|PF2|＝，又|PF1|＋|PF2|＝4，∴|PF1|＝∴|PF1|＝7|PF2|.
11. 2 解析：由题意可知过焦点的直线方程为y=x-，
联立有 x2-3px+=0，由AB=x1+x2+p=8，得4p=8 p=2.
12．9 解析：由已知a＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|·|PF2|≤()2＝9.
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时，式中取等号．故|PF1|·|PF2|的最大值为9.
13. 解析：由|PF1|－|PF2|＝2a及|PF1|＝4|PF2|得：|PF2|＝，
又|PF2≥c－a，所以≥c－a，c≤，∴e＝≤，即e的最大值为.
14. 解析：由椭圆方程知，a＝5，b＝3，∴c＝＝4，∴B，C恰好为椭圆的两焦点．
∴|AB|＋|AC|＝2a＝10.又|BC|＝8，由正弦定理得＝＝＝.
二、解答题：
15. 解：设B点的坐标为(x，y)，∵a，b，c成等差数列，
∴a＋c＝2b，即|BC|＋|BA|＝4>|AC|.
由椭圆的定义知：点B的轨迹是以A、C为焦点，并且2a＝4,2c＝2，b＝＝，
所以所求椭圆方程是＋＝1.
又a>b>c.∴|BC|>|AB|，∴B点的轨迹为椭圆的左半部分，方程为＋＝1(x<0)．
∴点B的轨迹方程为＋＝1(－2
16. 解： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，=-m，将x=my-m
代入抛物线方程整理得y2-2pmy+2pm=0，由韦达定理得y1+y2=2pm，y1y2=2pm，
∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(2pm)2-8pm=16m4+16m2，又△OAB的面积
S= |y1-y2|= (-m) 4=2，两边平方即可得m6+m4=2.
17. 解：(1)证明：如图所示，由方程组消去x后，整理得ky2＋y－k＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系y1·y2＝－1.
∵A、B在抛物线y2＝－x上，∴y＝－x1，y＝－x2，y·y＝x1x2.
∵kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于N，显然k≠0.∴令y＝0，则x＝－1，即N(－1,0)．
∴S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON|·|y1－y2|，
∴S△OAB＝·1·＝.
∵S△OAB＝，∴＝，解得k＝±.
18. 解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝，c＝2.又∵a2＋b2＝c2，∴b2＝1.∴双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)由题意得整理得(1－3k2)·x2－6kmx－3m2－3＝0.
∵直线与双曲线C有两个不同的交点，∴
解得m2>3k2－1.①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
线段MN的中点为B(x0，y0)，则x1＋x2＝，
∴x0＝＝，y0＝kx0＋m＝.
由题意知AB⊥MN，
∴kAB＝＝－(k≠0，m≠0)，整理得3k2＝4m＋1，②
将②代入①得m2－4m>0，∴m<0或m>4.∵3k2＝4m＋1>0(k≠0)，∴m>－.
综上所述，－4.
19.解：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，
由韦达定理得，，
，点的坐标为．
设抛物线在点处的切线的方程为，
将代入上式得，
直线与抛物线相切，，
．即．
（Ⅱ）假设存在实数，使，则，
又是的中点，．
由（Ⅰ）知．
轴，．
又
．
，解得．
即存在，使．
20．解
A
B
P
O
x
y
（第20题）
x
A
y
1
1
2
M
N
B
O高一数学暑假自主学习单元检测五
三角与向量
命题人：刘桥中学 汤建南
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．
1．在中，，则周长的最大值为 ．
2．在中，内角A、B、C的对边长分别为，已知，且 求 ．
3．已知向量，若⊥，则的最大值为 ．
4．已知，，|+|=，则与的夹角为 ．
5．给出下列命题：
①已知向量，，均为单位向量，若0，则；
②中，必有0；
③四边形是平行四边形的充要条件是；
④已知为的外心，若0，则为正三角形．
其中正确的命题为 ．
6．如下图，在中，，，是边上的高，则的值等
于 ．
7．在中，，则边的长度
为 ．
8．在直角坐标系中，已知点，，已知点在的平分线上，且，则点坐标是 ．
9．设锐角的三内角，，，向量，，且则角的大小为 ．
10．在中，是边中点，角A、B、C的对边分别是，若，则的形状为 ．
11．已知点是所在平面内的一点，且,设的面积为，则
的面积为 ．
12．在中，角A、B、C的对边分别是，若，三角形的面积为，
，则 ．
13．设是内一点，且，,定义
若
．
14．设函数，为坐标原点，为函数图象上横坐标为n（n∈N*）
的点，向量，向量，设为向量与向量的夹角，满足＜
的最大整数是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
设向量，，，若，
求：（1）的值；（2）的值．
16．（本题满分14分）
已知向量，，，其中、、为的内角.
(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若，，成等差数列，且，求的长.
17．（本小题满分14分）
给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.
（1）求|+|；
（2）如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若其中,求的最大值？
18．（本小题满分16分）
如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，
使点在上，点在上，设矩形的面积为．
（1）按下列要求写出函数的关系式：
设，将表示成的函数关系式；
设，将表示成的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出的最大值．
19．（本小题满分16分）
如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，
（1）若，求，的值；
（2）若，，，且与的夹角为60°时，求 的
值．
20．（本小题满分16分）
已知函数(a，b均为正常数).
（1）求证：函数f(x)在(0，a+b]内至少有一个零点；
（2）设函数在处有极值.
①对于一切，不等式恒成立，求b的取值范围；
②若函数f(x)在区间上是单调增函数，求实数m的取值范围.
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高二数学暑假自主学习单元检测十二参考答案
一、填空题：
1、【答案】 【解析】周长=，
2、【答案】 【解析】一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.
又由已知.解得.
【解析】二:由余弦定理得: .又,.
所以 ①
又，
，即
由正弦定理得，故 ②
由①，②解得.
3、【答案】 【解析】因为⊥，所以，则有，即.
又因为，当且仅当时，“=”成立，即当时，的最大值为.
4、【答案】 【解析】因为，所以由可得，
设与的夹角为，又因为||＝2，||＝2则.
5、充分利用向量的知识逐一判断． 【答案】②③④
【解析】命题①错误，；命题②③④都是正确的．
6、【答案】 【解析】因为，，是边上的高,
.
7、【答案】2 【解析】因为,所以,即边的长度为2．
8、【答案】（2,1） 【解析】构造向量，则，∴，
因为，解得，．
9、【答案】 【解析】因为，则，即,
所，即，即,
又因为是锐角，则，所以．
10、【答案】 9. 【解析】由题意知，
∴，∴，
又、不共线，∴，∴
11、【答案】 【解析】如图，由，则，则．设的中点为，,，即则点在中位线上,则的面积是的面积的一半．
12、【答案】7 【解析】
13、【答案】18 【解析】本题考查平面向量数量积、三角形面积公式、基本不等式的应用以及根据新定义的理解。
由
所以面积
得
的时候等号成立。所以最小值为18.
14、【答案】3 【解析】据题意可得,
故,因此,
据题意令＜，易验证知满足不等式的最大正整数值为3.
二、解答题：
15、解：（1）依题意，
又
（2）由于，则
结合，可得
则
16、解：(Ⅰ) ………………………(2分)
对于，
………………………(4分)
又， ………………………(7分)
(Ⅱ)由，
由正弦定理得 ………………………(9分)
，
即 ……………………(12分)
由余弦弦定理，
， …………………(14分)
17、解：（1）
|+|=
（2）如图所示，建立直角坐标系，则A（1，0），B，C．
由得，．
即．则=
又，则，故当时，的最大值是2．
18、解：（1）①因为 ， ， 所以
所以. …………… 4分
②因为，，，
所以 …………… 6分
所以，
即，… …………… 8分
（2）选择， …… 12分
…… ……………… 13分
所以.…… ……………………… 14分
19、解：
（1）∵，
∴，即，
∴，即，
（2）∵，
∴，即
∴
∴， 9分
20、【解】（1）因为，
，
所以函数f(x)在(0，a+b]内至少有一个零点.
（2）.
因为函数在处有极值，所以，即，所以a=2.
于是.
①，
于是本小题等价于对一切恒成立.
记，则
因为，所以，从而，
所以，所以，即g(x)在上是减函数.
所以，于是b>1，故b的取值范围是
②，
由得，即
因为函数f(x)在区间上是单调增函数，
所以，
则有 即
只有k=0时，适合，故m的取值范围是
P
O
A
B
Q
M
N高二数学暑假自主学习单元检测八
立体几何
命题人：二甲中学 张永杰
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．
1．若、为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是
．
①若、都平行于平面，则、一定不是相交直线；
②若、都垂直于平面，则、一定是平行直线；
③已知、互相垂直，、互相垂直，若，则；
④、在平面内的射影互相垂直，则、互相垂直．
④
2．定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这
样的平面共有 个．
3．已知是三个相互平行的平面．平面之间的距离为，平面之间的
距离为．直线与分别相交于那么“”是“”的
条件.（选择填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也
不必要”之一）
4．、为两个互相垂直的平面，、为一对异面直线，下列四个条件中是的充分
条件的有 ．
①，；②，；
③，；④，且与的距离等于与的距离．
5．在长方体中，，，则四棱锥的体积为
cm3．
6．已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 ．
7．为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是，
，，则P到A点的距离是 ．
8．用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题，正确的有 ．
①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；
③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.
9．线段AB的两个端点A，B到平面α的距离分别为6cm, 9cm, P在线段AB上，AP：PB＝
１：２，则到平面α的距离为 ．
10．圆柱形容器的内壁底半径是cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，
测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为 .
11．两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1∶2，
则它们的体积比是 ．
12．将圆面绕直线y=1旋转一周所形成的几何体的体积与该几何体的内
接正方体的体积的比值是 ．
13．如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长
为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁
P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为 ．
14．如图，在长方形中，，，为的中点，
为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使
平面平面．在平面内过点作，
为垂足．设，则的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分
别是AP、AD的中点，求证：
（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD
16．(本小题满分14分)
如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落
在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为
直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
17．(本小题满分14分)
如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，△OAB，,△，△，△都是正三角形．
（Ⅰ）证明：直线∥；
（II）求棱锥F—OBED的体积．
18．(本小题满分16分)
如图，棱柱的侧面是菱形，．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）设是上的点，且平面，
求的值．
19．(本小题满分16分)
在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，
E为PD的中点，PA＝2AB＝2．
（1）求证：PC⊥；
（2）求证：CE∥平面PAB；
（3）求三棱锥P－ACE的体积V．
20．(本小题满分16分)
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点．
（1）若，求证：平面平面；
（2）点在线段上，，试确定的值，使平面．
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高二数学暑假自主学习单元检测八参考答案
一、填空题：
1．④
答案：② 解析：①为假命题，②为真命题，在③中n可以平行于β，也可以在β内，是假命题，④中，m、n也可以不互相垂直，为假命题．
2．答案：4 解析：过P作一个与AB，AC都平行的平面，则它符合要求；设边AB，BC，CA的中点分别为E，F，G，则平面PEF符合要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求
3．答案 充分必要条件
4．答案：③ 解析：本题主要考查空间线面之间的位置关系，特别是判断平行与垂直的常用方法．
5.答案：6. 解析：在长方体中，求点到平面的距离即求到的距离
6.答案：2 解析：本试题主要考察椎体的体积，考察函数的最值问题.设底面边长为a，则高所以体积，设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时.
7.答案：1 解析：设AB＝a，BC＝b，PA＝h，则a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,∴h=1．
8.答案 ①④ 解析：根据平行线的传递性可知①正确；在长方体模型中容易观察出②中还可以平行或异面；③ 中还可以相交；④是真命题，故选①④
9.答案：７cm或１cm．
解析：分A，B在平面α的同侧与异侧两种情况．同侧时，P到平面α的距离为＝７（cm），异侧时，P到平面α的距离为＝１（cm）．
10．答案 解析：考察圆柱、球的体积公式应用以及等体积法的使用.
11．答案 解析：根据两个圆锥有等长的母线以及的侧面积之比为1∶2，求出底面半径之比即可.
12．答案 解析：将圆面绕直线y=1旋转一周所形成球，求出球半径与其内接正方体边长之比即可.
13．答案： 解析：倒置一个完全相同的圆柱在原圆柱上方，再展开如图，则可得最短路程为
14．答案 解析：此题的破解可采用二个极端位置法，
即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，
因平面，即有，
对于，又，因此有，
则有，因此的取值范围是.
二、解答题：
15．本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考察空间想象能力和推理论证能力.
证明：（1）在△PAD中，因为E、F分别为AP，AD的中点，所以EF//PD.
又因为EF平面PCD，PD平面PCD，
所以直线EF//平面PCD.
（2）连结DB，因为AB=AD，∠BAD=60°，
所以△ABD为正三角形，因为F是AD的
中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面
ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD。又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
16．本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。
（I）证明：由AB=AC，D是BC的中点，得
又平面ABC，得
因为，所以平面PAD，
故
（II）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM，
由（I）中知，得平面BMC，
又平面APC，所以平面BMC平面APC。
在
在，
在
所以
在
又
从而PM，所以AM=PA-PM=3。
综上所述，存在点M符合题意，AM=3。
17．
（I）证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以
，
同理，设是线段与线段延长线的交点，有
又由于和都在线段的延长线上，所以和重合.
在和中，由和，可知和分别是G和的中点，所以是的中位线，故.
（II）解：由知，而是边长为2的正三角形，故 所以
过点作，交于点，由平面⊥平面知，FQ为四棱锥的高，且，所以
18．解：（Ⅰ）因为侧面BCC1B1是菱形，所以
又已知
所又平面A1BC1，又平面AB1C ，
所以平面平面A1BC1 .
（Ⅱ）设BC1交B1C于点E，连结DE，
则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，
因为A1B//平面B1CD，所以A1B//DE.
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点.
即A1D：DC1=1.
19. 解析：（1）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，
∴BC＝，AC＝2．取中点，连，则
∵PA＝AC＝2，∴PC⊥．
∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，
∴PA⊥，又∠ACD＝90°，即，
∴，∴，
∴
∴
∴PC⊥．
（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM．则
EM∥PA．∵EM 平面PAB，PA平面PAB，
∴EM∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，
∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．
∵MC 平面PAB，AB平面PAB，
∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．
证法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．
∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．
∵E为PD中点，∴EC∥PN．
∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，∴EC∥平面PAB．
(3)由(1)知AC＝2，．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，得．
则V＝．
20．解：（1）连BD，四边形ABCD菱形， ∵AD⊥AB， ∠BAD=60°
△ABD为正三角形， Q为AD中点， ∴AD⊥BQ
∵PA=PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q ∴AD⊥平面PQB， AD平面PAD
∴平面PQB⊥平面PAD；
（2）当时，平面
下面证明，若平面，连交于
由可得，，
平面，平面，平面平面，
即： .高二数学暑假自主学习单元检测三
函数与导数
命题人：西亭中学 朱振新
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．
1．曲线在点（0,1）处的切线方程为 ．
2．函数的单调增区间是 ．
3．函数在区间上的最大值是 ．
4．已知曲线在点（1，处的切线斜率为-2，且是函数
的极值点，则 ．
5．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足，则 ．
6．已知函数的导函数为，且满足，则 ．
从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四个角上截去四个相同的小正方形，做成一个无
盖的盒子，盒子容积的最大值是 ．
函数在定义域内可导，若，且当时，，
设，则的大小关系为 ．
9．已知函数．若函数在区间（-1,1）上不单调，则
实数的取值范围为 ．
10．设函数若x=1是的极大值点，则实数a的取值范围是 ．
11．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则实数a的取值范围是 ．
12．函数的定义域为R. ，对任意的，，则的解集
为 ．
13．已知函数，若不等式在区间上恒成立，
则实数k的取值范围是 ．
14．已知函数在处的切线斜率为零，若函数
有最小值，且，则实数的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
16．(本小题满分14分)
已知函数， .（1）如果函数在上是单调函数，求
（1）的取值范围；
（2）是否存在正实数，使得函数在区间内有两个不同的零点？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
17．(本小题满分14分)
某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m．
（1）过点P的一条直线与走廊的外侧两边交于A,B两点，且与走廊的一边的夹角为
，将线段AB的长度表示为的函数；
（2）一根长度为5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁
棒的粗细忽略不计）．
18．(本小题满分16分)
设.
（1）求的单调区间和最小值；
（2）讨论与的大小关系；
（3）求使得对任意恒成立的实数的取值范围.
(本小题满分16分)
已知函数．
（1）求在（为自然对数的底数）上的最大值；
（2）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角
顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？
(本小题满分16分)
设
（1）当时，设是的两个极值点，
①如果，求证：；
②如果时，函数的最小值为，
求的最大值．
（2）当时，
①求函数的最小值；
②对于任意的实数，当时，求证
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高二数学暑假自主学习单元检测三参考答案
一、填空题：
1．答案： 解析：依题意得，曲线在点（0,1）处的切线的斜率等于2，因此该切线方程是．
2．答案： 解析：的定义域为，则由得，当时，在上单调递增．
3．答案： 解析：函数的定义域为.
因为， 所以函数在区间上单调递增，则当时, 函数取得最大值 ．
4．答案：10 解析：由题意得，故，解得．
5．答案：-2 解析：∵，∴为奇函数，∴
6．答案：6 解析：由题意得，，，．
7．答案：144cm3 解析：设小正方形边长为xcm，则盒子容积V(x)＝x(10－2x)(16－2x)＝4(x3－13x2＋40x)(0＜x＜5)．V′(x)＝4(3x2－26x＋40)＝4(3x－20)(x－2)．令V′(x)＝0，解得x＝2或.但 ，∴x＝2，∵极值点只有一个，可判断该点就是最大值点．∴当x＝2时，V(x)最大，V(2)＝4(8－52＋80)＝144.
8．答案：c又，且，因此有，即有．
9.答案：(－1,1) 解析：的两根为x1＝－2，x2＝a.若f (x)在（－1,1）上不单调，则－1＜a＜1.
10．答案： 解析：的定义域为，，由，得.∴. ①若a≥0，由，得x=1.
当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减.满足题意； ②若a<0，由，得x=1,.由题意知，即．
11．答案：(－2,2) 解析：令，得x＝±1，可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，－212．答案： 解析：设，,故在R上为增函数.又，由，即，得．
13．答案： 解析：，令，又，令解得，所以在上单调增；在上单调减，．
14．答案： 解析：．当时，则，当且仅当时等号成立，
故的最小值，符合题意；
当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；
当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数的取值范围是．
二、解答题：
15．解：（1）当时，，.
，． ………3分
所以所求切线的方程为 ………5分
（2）令 得， 由于，，的变化情况如下表：
+ 0 — 0 +
单调增 极大值 单调减 极小值 单调增
所以函数的单调递增区间是和. …………9分
要使在区间上单调递增，应有或，所以或，又，所以． …………14分
16.解：（1）当时，在上是单调增函数，符合题意．……2分
当时，的对称轴方程为，
由于在上是单调函数，所以，解得或，
综上，的取值范围是，或． ………………6分
（2），因在区间()内有两个不同的零点,所以，即方程在区间()内有两个不同的实根.………7分
设 ，
………9分
令，因为为正数，解得或（舍）当时, , 是减函数；当时, ，是增函数.…………11分
为满足题意，只需在()内有两个不相等的零点,
故解得 ……14分．
17.解：(1) 根据图得 ………… 6分
(2) 铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下： ………… 9分
令得，．所以在上单调递减；在上单调递增, … 12分
所以当时，有最小值.
因为，所以铁棒能水平通过该直角走廊． ………… 14分
18.解：（1）由题设知，∴令得，
当时，，故在区间（0，1）上单调减；
当时，，故在区间（1，+∞）上单调递增， ………… 4分
因此，是的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以最小值为 …………5分
(2)设，则，
当时，因此，在内单调递减， …………7分
当时，即；当时，即；
当时，即 …………11分
（3）由（1）知的最小值为1，所以，，对任意恒成立即从而得. …………………………16分
19.解：（1）因为①当时，，
解得到；解得到或．
所以在和上单调递减，在上单调递增，
从而在处取得极大值． 又，
所以在上的最大值为2． …………………………4分
②当时，，当时，；当时，在上单调递增，所以在上的最大值为．所以当时，在上的最大值为；
当时，在上的最大值为2． …………………………8分
（2）假设曲线上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，则只能在轴的两侧，不妨设，则，且．
因为是以为直角顶点的直角三角形，所以，
即：． （1）
是否存在点等价于方程（1）是否有解．若，则，
代入方程（1）得：，此方程无实数解．
若，则，代入方程（1）得到：，
设，则在上恒成立．
所以在上单调递增，从而，所以当时，方程有解，即方程（1）有解． …………………………14分
所以，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是
以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．……………16分
20.解：（1）①证明：当，时， ，x1，x2是方程的两个根，由且得，即．
所以f `（ – 1）= a – b + 2 = – 3（a+b） + （4a +2b – 1） + 3 > 3． .……………3分
②设，所以，
易知，，所以．
当且仅当时，即时取等号．
所以（）．易知当时，有最大值，
即． ……………8分
（2）①当，时，，所以．
，容易知道是单调增函数，
且是它的一个零点，即也是唯一的零点．当时，；当时，，
故当时，函数有最小值为． …………14分
②由①知 ，
当x分别取a、b、c时有：；；
． 三式相加即得． ……………………16分
A
B
C
P
θ
2m
2m高二数学暑假自主学习单元检测四
三角函数
命题人：西亭中学 王小亮
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．
1．__________．
2．已知角的终边经过点，且，则的值为__________．
3．已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为 .
4．将函数图象上每一点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将整个图象沿轴
向右平移个单位，得到的函数解析式为__________．
5．已知，且，则__________．
6．函数的最小正周期为__________．
7．在中，若，则角的大小为__________．
8．函数()的最小值为__________．
9．若函数的图象关于直线对称，则常数的值等于__________．
10．已知函数，若，且在区间内有最大
值，无最小值，则__________．
11．若函数的值域是，则的最大值是__________．
12．已知，则的值等于__________．
13．函数图象上两相邻的最低点与最高点之间的最小值是
__________．
14．方程在区间[-2010，2012]所有根之和等于__________．
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A、B 两点，已知A、B 的横坐标分别为．
（Ⅰ）求tan()的值；
（Ⅱ）求的值．
16．(本小题满分14分)
已知函数（）的一段图象如下图所示，
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调增区间；
（3）若，求函数的值域．
17．(本小题满分14分)
某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=．
（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：m），
使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问为多少时，
最大？
18．(本小题满分16分)
已知函数．
（1）若，且，求的值；
（2）将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，
且函数是偶函数，求的最小值；
（3）若关于的方程在上只有一个实数解，求的取值范围．
19．(本小题满分16分)
已知向量，函数，且图象上一个最高点为，与最近的一个最低点的坐标为．
（1）求函数的解析式；
（2）设为常数，判断方程在区间上的解的个数；
（3）在锐角中，若，求的取值范围．
20．(本小题满分16分)
已知向量，
其中．
（1）若，求函数的最小值及相应x的值；
（2）若a与b的夹角为，且a⊥c，求的值．
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高二数学暑假自主学习单元检测四参考答案
填空题
1．答案： 解析：本小题考查诱导公式，
2．答案：10 解析：本小题考查三角函数定义，
3．答案： 解析：本小题考查扇形面积公式，
4．答案： 解析：本小题考查图象变换，
5．答案： 解析：本小题考查同角三角函数关系，（），，.
6．答案： 解析：本小题考查二倍角公式和周期公式， 最小正周期为
7．答案： 解析：本小题考查诱导公式和两角和正切公式
= （*） 据题意得：
代入（*）得 又因为在中，所以角C为.
8.答案： 解析：本小题考查二倍角公式和同角三角函数关系
因为 所以>0,所以时，有函数的最小值。
9．答案： 解析：本小题考查辅助角公式和图象性质
因为=
图象关于直线对称，所以当时，函数f(x)有最大值或最小值，即有
成立，解得
10.答案： 解析：本小题考查图象性质，因为，所以函数的图象上两点关于直线对称，又因为在区间内有最大值，无最小值，所以得，又因为所以，所以=
11．答案： 解析：本小题考查正弦图象性质，根据正弦函数在一个周期内的图象，要使取得最大值，,易得的最大值为
12．答案： 解析：本小题考查诱导公式，“配角”思想，和二倍角公式
因为=，
所以（主要找出所求角与已知角的关系）
13．答案： 解析：本小题考查“数形结合”思想利用图象性质解题
图象上最高点与最低点的距离，，，则距离为
14．答案：4020 解析：本小题考查零点问题和“数形结合”思想，方程的根即为图象交点的横坐标， 如图，因为图象和
关于点对称，所以一对根的和为2，每个周期内（除了
[0，2]）均有两个交点，[-2010，2012]共有4020个交点，即
有2010对关于（1，0）对称的点，所以所有根的和为4020。
二、解答题：
15．解析：本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．
解：由已知条件及三角函数的定义可知，，
因为,为锐角，所以=
因此
（Ⅰ）tan()=
（Ⅱ） ，所以
∵为锐角，∴，∴=
16．解析：（1）由题意知：
（2）由得
减区间为
（3）值域为
17．解析：本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
（1），同理：，。
AD—AB=DB，故得，解得：。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知，得，
，（当且仅当时，取等号）
故当时，最大。
因为，则，所以当时，-最大。
故所求的是m。
18．解析：（1）
（2）
是偶函数
（3）由与图像只有一个交点得
19．解析：本题主要考查三角函数图象性质，两角和差公式及向量数量积坐标表示综合问题
（1）.
图象上一个最高点为，与最近的一个最低点的坐标为,
，，于是. 所以.
（2）当时，，由图象可知：
当时，在区间上有二解；
当或时，在区间上有一解；
当或时，在区间上无解.
（3）在锐角中，，.
又，故，. 在锐角中,
. ,
即的取值范围是
20．解析：（1）∵，，
∴
．
令，则，且．
则，．
∴时，，此时．
由于，故．
所以函数的最小值为，相应x的值为．
（2） ∵a与b的夹角为，∴．
∵，∴，∴．
∵a⊥c，∴．
∴，．
∴，∴．
2
0高二数学暑假自主学习单元检测九
直线与圆
命题人：三余中学 曹 均
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．
1．与直线x＋y－1＝0垂直的直线的倾斜角为 ．
2．过点(2,1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是 ．
3．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝ ．
4．已知实数x，y满足2x＋y＋5＝0，那么的最小值为 ．
5．已知直线：，：，若∥，则实数a的值是 ．
6．已知直线：和：，则的充要条件是
．
7．已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是 ．
8．已知圆与圆相交，则实数的取值范围为 ．
9．若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程
是 ．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距
离为1，则实数c的取值范围是 ．
11．过原点O作圆x2+y2 －6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长
为 ．
12．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则实数k的取值
范围是 ．
13．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是 ．
14．已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，求过圆心且与直线l垂直的直线的方程．
16．(本小题满分14分)
自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射, 其反射光线所在的直线与圆
相切, 求光线l所在的直线方程．
17．(本小题满分14分)
已知直线过点，且与x轴、y轴的正半轴分别交于两点．
（1）求的面积的最小值及其这时的直线l的方程。
（2）求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值．
18．(本小题满分16分)
已知P（x，y）为圆上的点．
（1）求的最大值与最小值；
（2）求的最大值与最小值；
（3）求的最大值与最小值．
19．(本小题满分16分)
已知过点A(0,1)，且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，相交于M、N两点．
(1) 求实数k的取值范围；
(2) 求证：·是定值；
(3) 若O为坐标原点，且·＝12，求k的值．
20．(本小题满分16分)
如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A(－2,0)，C(a,0)(a>0)．△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M，N.
(1) 若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；
(2) 若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；
(3) 是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为，若存在，求此时⊙N的标准方程；若不存在，说明理由．
高二数学暑假自主学习单元检测九参考答案
一、填空题：
1．答案：
2．答案：x－2y＝0或x＋y－3＝0
3．答案：或－3
4．答案：
5．答案： 解析：根据两直线平行的必要条件得：，解方程得，当时，两直线重合，不符合条件，故舍去，所以
6．答案： 解析：
7．答案： 解析：由直线平行得m=4,再由平行直线距离公式可求。
8．答案： 解析：由得该圆圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标在圆内，因此两圆相切的可能性只有两种：圆内切于圆此时圆内切于圆，此时所以.
9．答案：(x＋5)2＋y2＝5 解析：设圆心为(a,0)，a＜0，＝，∴ a＝－5，
∴ 圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5. ．
10．答案：(－13,13) 解析：圆的半径为2，圆心(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1，即＜1，c的取值范围是(－13,13) ．
11．答案：4 解析：可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得．
12．答案： 解析：因为直线过定点(0,3)且该点在圆上，设此点为M，圆心(2,3)到此直线距离为d，所以由4－d2≥()2?d≤1，又d＝≤1，∴ k2≤，∴ －≤k≤．
13．答案： [1－2，3] 解析：本题考查数形结合思想. 曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y＝x＋b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y＝x＋b距离等于2，解得b＝1＋2或1－2，因为是下半圆故可得b≠1＋2，当直线过(0,3)时，解得b＝3，故1－2≤b≤3.
14．答案：5 解析：设圆心到的距离分别为,则.
四边形的面积．
二、解答题：
15．解：由题意可设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为(a,0)，
则由题意知：2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或－1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直线方程
为x＋y－3＝0.
16．解：由已知可得圆C：关于x轴对称的圆C‘的方程为，其圆心C‘（2，-2），易知l与圆C’相切.
设l: y-3=k(x+3), 即kx-y+3k+3=0.
∴，整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或.
所以，所求直线方程为y-3= (x+3)或 y-3= (x+3)，即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.
17．解：（1）方法一：设，
则直线的方程为：
∵直线过点，∴，∴，
当且仅当，即时，
直线的方程为：，即
方法二：设直线的方程为：，则，
当且仅当，即时，，
（2）方法一： ∵
∴
当且仅当，即时，
方法二：
设直线的方程为：，
则
当且仅当，即时，
直线的方程为：
18．解：（1）令，则，这时（x，y）在圆上，
可看作过原点的直线系，m为直线的斜率，当直线与圆相切时斜率可取最值，
故由，∴的最大值为，最小值为。
（2）即为P（x，y）到原点O（0，0）的距离，其最大值和最小值分别为及。
故的最大值为，最小值为。
（3）设，。
△，即。
∴的最大值为，最小值为。
19．(1) 解：由题意设直线l的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
∴ d＝＜1，∴ 3k2－8k＋3＜0，∴ ＜k＜.
(2) 证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立得 (k2＋1)x2－4(k＋1)x＋7＝0，∴
∵ ＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，
∴ ·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋k2x1x2＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)＝7.
∴ ·为定值7.
(3) 解：由(2)可知·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝7＋k·＋1＝12，解得k＝1，符合(1)中所得范围，因此k＝1.
20．解： (1) 圆心M(－1.1)．∴ 圆M方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，
∴ 直线CD方程为x＋y－a＝0.
∵ ⊙M与直线CD相切，
∴ 圆心M到直线CD的距离d＝＝，化简得：a＝±2(舍去负值)．
∴ 直线CD的方程为x＋y－2＝0.
(2) 直线AB方程为：x－y＋2＝0，圆心N.
∴ 圆心N到直线AB距离为＝.
∵ 直线AB截⊙N所得弦长为4，∴ 22＋()2＝.∴ a＝±2(舍去负值)．
∴ ⊙N的标准方程为(x－)2＋(y－)2＝6.
(3) 存在．由(2)知，圆心N到直线AB距离为(定值)，且AB⊥CD始终成立，
∴ 当且仅当圆N半径＝2，即a＝4时，⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为.
此时，⊙N的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.
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集合与逻辑
命题人：平潮中学 钱春林
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．
1．设= ．
2．命题：“若x2<1，则－13．设全集U=R，，则
图中阴影部分所表示的集合是 ．
4．已知集合，，且，则
的值为 ．
5．已知集合，则实数a的取值范围是 ．
6．已知命题，命题恒成立．若为假命题，
则实数的取值范围为 ．
7．已知全集，，，则 ．
8．设a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别
为集合M和N，那么“”是“M=N”的_______ ______条件．
9．设有两个命题：p：不等式x＋4>m>2x－x2对一切实数x恒成立；q：f(x)＝－(7－2m)x是R
上的减函数，如果p且q为真命题，则实数m的取值范围是 ．
10．设，一元二次方程有整数根的充要条件是 ．
11．在集合M＝{0，，1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合A，该集合恰满足条件“对x∈A，
则∈A”的概率是 ．
12．集合,若的子集有4个，
则的取值范围是 ．
13．已知钝角△ABC的最长边长为2，其余两边长为a，b，则集合P＝{(x，y)|x＝a，y＝b}所表示
的平面图形的面积是 ．
14．给出下列四个结论：
①命题“x∈R，x2－x>0”的否定是“x∈R，x2－x≤0”
②“若am2③已知直线l1：ax＋2y－1＝0，l2：x＋by＋2＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－2；
④对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)且x>0时，f ′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时，
f ′(x)>g′(x)．
其中正确结论的序号是 ．(填上所有正确结论的序号)．
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
设集合A={x2,2x-1,-4},B={x-5,1-x,9},若A∩B={9}，求A∪B．
16．(本小题满分14分)
已知集合A=，B=，C={x | x（1）求A∪B，(CRA)∩B；
（2）如果A∩C≠，求a的取值范围．
17．(本小题满分14分)
命题方程有两个不等的正实数根，命题方程
无实数根.若“或”为真命题，求的取值范围．
18．(本小题满分16分)
已知c>0.设命题P：函数y＝logcx为减函数．
命题Q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果P或Q为真命题，P且Q为假命题，
求c的取值范围．
19．(本小题满分16分)
已知； 若是的必要非充分条
件，求实数的取值范围．
20．(本小题满分16分)
已知函数的定义域为集合A,集合 B={＜0}．
（1）当时，求AB；
（2）求使BA的实数的取值范围．
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高二数学暑假自主学习单元检测一参考答案
一、填空题：
1．答案： 解析：，，．
2．答案：若或，则 解析：“若p则q”的逆否命题是“若非q则非p”．
3．答案： 解析：阴影部分的集合是
4．答案：或或 解析：， ∴， ∴或或.
5．答案： 解析：当时，1<0不成立；当，即时也为空集，综上．
6．答案： 解析：，，即，若为真，则，所以为假时m的范围为．
7．答案： 解析：，又，．
8．答案：既不充分也不必要 解析：如：不等式与中，但它们的解集M，N不等；再如：不等式与的解集，但显然不成立．
9．答案：(1,3) 解析：∵x+4>4, 2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
∴要使x＋4>m>2x－x2对一切x∈R都成立，应有11，∴m<3，∵p且q为真命题，∴p真且q真，∴110．答案：0或3或4 解析：，所以方程有整数根只可能为0,4或1,3或2,2，所以n为0或3或4．
11．答案： 解析：集合M的非空子集有25－1＝31个，而满足条件“对 x∈A，则∈A”的集合A中的元素为1,2或，且，2要同时出现，故这样的集合有3个：{1}，{，2}，{1，，2}．因此，所求的概率为.
12．答案： 解析：由题意可知，中有两个元素，所以B中的直线与A中的半圆要有两个不同的交点，结合图形可以求出b的范围为
13．答案：π－2 解析：由题中三角形为钝角三角形可得①a2＋b2<22；②a＋b>2；③0则其面积为S＝－×2×2＝π－2
14．答案：①④ 解析：①显然正确．②中命题“若am2是“若a④由条件知，f(x)为奇函数，在x>0时单调增，故x<0时单调增，从而x<0时，f ′(x)>0；g(x)为偶函数，x>0时单调增，从而x<0时单调减，∴x<0时，g′(x)<0，∴x<0时，f ′(x)>g′(x)，故④正确．
二、解答题：
15．解：由9∈A，可得x2=9或2x-1=9，解得x=±3或x=5.
当x=3时，A={9,5,-4},B={-2,-2,9},B中元素违背了互异性，舍去；
当x=-3时，A={9，-7，-4}，B={-8，4，9}，A∩B={9}满足题意，故A∪B={-7，-4，-8，4，9}；
当x=5时，A={25，9，-4}，B={0，-4，9}，此时A∩B={-4，9}与A∩B={9}矛盾，故舍去.
综上所述，x=-3且A∪B={-8,-4,4,-7,9}.
16．解：（1），
又，
（2）A∩C≠φ，结合数轴上两集合的范围可得。
17．解：“或”为真命题，则为真命题，或为真命题，或和都是真命题
当为真命题时，则，得；
当为真命题时，则
当和都是真命题时，得
18．由y＝logcx为减函数得0当x∈时，因为f ′(x)＝1－，
故函数f(x)在上为减函数，在(1,2]上为增函数．
∴f(x)＝x＋在x∈上的最小值为f(1)＝2
当x∈时，由函数f(x)＝x＋>恒成立．得2>，解得c>
如果P真，且Q假，则0所以c的取值范围为(0，]∪[1，＋∞)．
19．解：或，设或，
或，设或.
是的必要非充分条件，，即.
20．解：（1）当时，
AB={|3＜＜10}
（2） B={|＜＜2+1}
1 若时，A=Ф，不存在使BA
2 若＞时，
要使BA,必须 解得2≤≤3
3 若＜时，,
要使BA,必须 解得
故的范围
第3题高二数学暑假自主学习单元检测十一
综合试卷（1）
命题人：通州中学 马进
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．
1．已知集合，则= .
2．复数的共轭复数是 .
3．已知直线l的倾斜角为直线经过点A(3,2)、B(a,1),且与l垂直,直线:2x+by+1=0
? 与直线平行,则a+b等于 .
4．已知命题p:R.若命题p是假命题,则实数a的取值范围是 .
5．经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中执“一般”态度的
比执“不喜欢”态度的多12人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影,如果选出的是
5位”喜欢”摄影的同学,1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学,那么全班学生中
“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人.
6．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等
于 .
7．某篮球队6名队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如
下表所示:
如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球
总数的流程图,则图中判断框应填 .
8．已知09．直线与函数()的图象相切于点A，
且∥，O为坐标原点，P为图象的极值点，直线
与轴交于点B，过切点A作轴的垂线，垂足为C，
则= .
10．设2,…),|q|>1,若数列{}有连续四项在集合{53,23,19,37,82}中，则6q= .
11．已知三棱锥，两两垂直且长度分别为3、4、5，长为2的线段的
一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点
的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的较小的体积为 .
12．设函数,为坐标原点,为
函数图像上横坐标为 的点，
向量,,设为与的
夹角,则= .
13．已知、是椭圆和双曲线的公共顶点．
是双曲线上的动点，是椭圆上的动点（、都异于、），且满足
，其中，设直线、、、的斜率分别记
为、、、, ,则 .
14．已知均为正实数，则的最大值为 .
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
已知函数．
（1）若，求的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围．
16．(本小题满分14分)
如图，已知三棱锥P—ABC中，AP⊥PC， AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，
且△PMB为正三角形．
（1）求证：DM∥平面APC；
（2）求证：平面ABC⊥平面APC；
（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积．
17．(本小题满分14分)
如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转 (0＜＜)得到正方形A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论：
①∠A′FE＝；②对任意 (0＜＜)，△EAL，△EA′F，△GBF，△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L均是全等三角形．
（1）设A′E＝x，将x表示为的函数；
（2）试确定，使正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分
面积最小，并求最小面积．
18．(本小题满分16分)
如图，是椭圆C：的左、右顶点，是椭圆上异于的任
意一点，已知椭圆的离心率为，右准线的方程为.
（1）若，，求椭圆C的方程；
（2）设直线交于点，以为直径的圆交
于，若直线恰过原点，求.
19．(本小题满分16分)
设， ．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数
；
（3）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围的取值范围.
20．(本小题满分16分)
已知数列中，,
（1）若，求数列的前6项和；
（2）是否存在，使成等比数列？并说明理由.
高二数学暑假自主学习单元检测十一参考答案
一、填空题：
1．答案：
2．答案：－i解析：＝＝i，∴的共轭复数为－i.
3．答案：2解析：l的斜率为-1,则的斜率为a=0.由∥所以a+b=2.
4．答案：05．答案：3解析：设全班人数为n,由题意,知得n=54.“喜欢”摄影的学生人数有30人,全班人数一半为27,所以“喜欢”摄影的学生人数比全班人数的一半还多3人.
6．答案：解析：假设正六边形的6个顶点分别为A、B、C、D、E、F，则从6个顶点中任取4个顶点共有15种结果，以所取4个点作为顶点的四边形是矩形的有3种结果，故所求概率为.
7．答案：()解析：因为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的流程图,所以图中判断框应填.
8．答案：2解析：设|log|,考察其图象交点的个数即可.
9．答案： 解析：如图，为极值点，．
设点A(x0，sinx0)，则过点A的切线l的斜率为．
于是，直线l的方程为．
令y=0，得，从而BC=．
=BC2=．
10．答案：9解析：由题意可知, ,{}是公比为q的等比数列,且有连续四项在集合{54, 24,18,36,81}中,四项24,36, -54,81成等比数列,公比为q=.
11．答案：解析：由题意知； ,所以点的轨迹以O为球心半径为1的球的，
12．答案：
解析： ,即为向量与轴的夹角,所以,
所以.
13．答案：解析：设、，，，
，，由.
得，即. ，
，.
14．答案：10解析：已知均为正实数，
二、解答题：
15．解：（1）f(x)＝sincos＋cos2＝eq \f(,2)sin＋cos＋＝sin(＋)＋．………… 3分
由f(x)＝1，可得sin(＋)＝，
解法一：令＝＋，则x＝2－．
cos(－x)＝cos(－2)＝－cos2＝2sin2－1＝－． ………………… 6分
解法二：＋＝2k＋，或＋＝2k＋，kZ．
所以x＝4k，或x＝4k＋，kZ．
当x＝4k，kZ时，cos(－x)＝cos＝－；
当x＝4k＋，kZ时，cos(－x)＝cos(－)＝－；
所以cos(－x)＝－． ………………… 6分
（2）解法一：由acosC＋c＝b，得
a·＋c＝b, 即b2＋c2－a2＝bc，
所以cosA＝＝．
因为A(0，)，所以A＝，B＋C＝． ………………… 10分
所以0＜B＜，所以＜＋＜，
所以f(x)＝sin(＋)＋(1，)． ………………… 14分
解法二：由acosC＋c＝b，得
sinAcosC＋sinC＝sinB．
因为在△ABC中，sinB＝sin(A＋C)，
所以sinAcosC＋sinC＝sin(A＋C)，sinAcosC＋sinC＝sinAcosC＋cosAsinC，
所以sinC＝cosAsinC，
又因为sinC≠0，所以cosA＝．
因为A(0，)，所以A＝，B＋C＝． ………………… 10分
所以0＜B＜，所以＜＋＜，
所以f(x)＝sin(＋)＋(1，)． ………………… 14分
16．证明：（1）由已知得，是ABP的中位线
………4分
（2）为正三角形，为的中点
，
又
又
平面ABC⊥平面APC ……………9分
（3）由题意可知，，是三棱锥D-BCM的高，
…………14分
17. 解：（1）在Rt△EA′F中，因为∠A′FE＝，A′E＝x，
所以EF＝，A′F＝ ．
由题意AE＝A′E＝x，BF＝A′F＝，
所以AB＝AE＋EF＋BF＝x＋＋＝3．
所以x＝，(0，) ………………… 6分
（2）S△A′EF＝ A′E A′F＝ x ＝
＝()2 ＝． ………………… 9分
令t＝sin＋cos，则sincos＝．
因为(0，)，所以＋(，)，所以t＝sin(＋)(1，]．
S△A′EF＝＝(1－)≤(1－eq \f(2,＋1))．
正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积
S＝S正方形A′B′C′D′－4S△A′EF≥9－9 (1－eq \f(2,＋1))＝18(－1)．
当t＝，即＝时等号成立． ………………… 14分
18．解：（1）由题意：，解得．
椭圆的方程为． ………………………………6分
(2)设，因为三点共线，
所以……………………………9分
,解得.……………………………16分
19．解：（1）当时，，，
，，
所以曲线在处的切线方程为；…………………………5分
（2）存在，使得成立
等价于：，
考察， ，
由上表可知：，
，
所以满足条件的最大整数；………………………………10分
（3）当时，恒成立等价于恒成立，
记，， 。
记，，由于，
, 所以在上递减，当时，，时，，
即函数在区间上递增，在区间上递减，
所以，所以.…………………………………16分
20．解： (1) ，，
所以数列的前6项和为0. ………………………………………………6分
(2)先证明以下事实，数列的任意相邻三项中有且仅有1项是偶数.
为偶数，从而与同奇偶，
…………………………………………8分
①若为奇数，注意到 奇+奇=偶，奇+偶=奇，则各项的奇偶性依次是奇，奇，偶，奇，奇，偶…，数列的任意相邻三项中有且仅有1项是偶数. ……………12分
②若为奇数，同理可证：数列的任意相邻三项中有且仅有1项是偶数.……13分
假若存在，使成等比数列，则，
由已证事实可知，必为偶数，从而为偶数，则为奇数，不成立，
故不存在，使成等比数列. …………………………16分
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第7题图
π
A
O
C
B
P
l
x
y
第9题图
O
A
B
M
N
C
P
第11题图
第16题
P
A
M
B
C
D
O
B
A
M
Q
P
y
x
l
第18题图
π
A
O
C
B
P
l
x
y
第9题图高二数学暑假自主学习单元检测二
函数的性质
命题人：平潮中学 王海军
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．
1．函数的定义域为 ．
2．函数的值域为 ．
3．函数的零点有 个．
4．若，则的大小顺序为 （用表示）
5．已知，那么= ．
6．若函数是定义在上的偶函数，在上为减函数，且，则使得
的的取值范围是 ．
7．= ．
8．设，且，则 ．
9．如果幂函数的图象不过原点，则实数m的值是 ．
10．设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，
其中．若，则的值为 ．
11．如图，矩形ABCD的三个顶点A、B、C分别在函数，，的图
象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A的
纵坐标为2，则点D的坐标为 ．
12．已知，为正实数，函数在上的最大值为，则在
上的最小值为 ．
13．已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集
为，则实数c的值为 ．
14．下列几个命题：①方程有一个正实根，一个负实根，则；
②函数是偶函数，但不是奇函数；③函数的值域是，
则函数的值域为；④ 设函数定义域为R，则函数
与的图象关于轴对称；⑤一条曲线和直线的
公共点个数是，则的值不可能是1．其中正确的有 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
已知函数f(x)=（a>0，a≠1，a为常数，x∈R）.
（1）若f(m)=6，求f(－m)的值；
（2）若f(1)=3，求f(2)及的值．
16．(本小题满分14分)
设函数是定义在上的奇函数，当时，
（a为实数）．
（1）当时，求的解析式；
（2）当时，试判断在上的单调性，并证明你的结论．
17．(本小题满分14分)
已知函数，不等式的解集为．
(1) 求函数的解析式；
(2) 已知函数g(x)＝f(x)＋mx－2在(2，＋∞)上为单调增函数，求实数m的取值范围；
(3) 若对于任意的x∈[－2,2]，f(x)＋n≤3都成立，求实数n的最大值．
18. (本小题满分16分)
某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x
（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本
为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R(x)(万元)满足
R(x)= ．假定该产品生产销售平衡，那么根据上述统计规律．
（1）要使工厂有盈利，产量x应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少元？
19．(本小题满分16分)
已知函数．
（1）判断的奇偶性，并加以证明；
（2）设，若方程有实根，求的取值范围；
（3）是否存在实数m使得为常数？若存在，求出m的值；若不存在，
说明理由．
20．(本小题满分16分)
设函数，
（1）若是奇函数，求a、b满足的条件；
（2）若，求在区间[0,2]上的最大值；
（3）求的单调区间．
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高二数学暑假自主学习单元检测二参考答案
一、填空题：
1.答案： 解析：由，，。
2.答案： 解析：，
又，。
3.答案：1 解析：由，，作和的图象，可见有1个交点。
4.答案： 解析：，，又，
，
5.答案：8 解析：令，，
6.答案： 解析：则 或 ，
或
7.答案：-1 解析：原式
8.答案： 解析：由，，，，，，
。
9.答案：1 解析：
10.答案： 解析：由题，，解得
则．
11.答案： 解析：在中令，则，即
在中令，
在中令，，即
12.答案： 解析：在上为增函数
，
13.答案：解析：由题(1)，的根为 ，
(2) ，(3)，由(1) (3)得，
由(2) ，故．
14.答案：①⑤ 解析：①
②由 即，此时既为奇函数又为偶函数
③值域，的值域也为
④关于轴对称的函数为
⑤由图象可知，当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，。
二、解答题：
15．解：（1）的定义域为R，关于数0对称，且
为R 上的偶函数.
.
（2）由得
又
16. 解：（1）设，则，
∵是奇函数
∴
∴，
（2）在上单调递增
设，
=
=
在上单调递增。
17．解：(1)由不等式f(x)>0即3x2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)
知－2和0是方程3x2＋bx＋c＝0的两个根，
则 解得：?
∴ f(x)＝3x2＋6x；
(2) 方法1：函数g(x)＝f(x)＋mx－2在(2，＋∞)上为单调增函数，
则在函数g(x)＝32－2－3×2中
对称轴x=－≤2，
因此m≥－18；
方法2：∵g(x)＝3x2+(6+m)x-2
∴g’(x)=6x+6+m
∵函数g(x) 在(2，＋∞)上为单调增函数，
∴g’(x) ≥0在(2，＋∞)上恒成立，
而g’(x)=6x+6+m在(2，＋∞)上为单调增函数
∴g’(x)>g’(2)=18+m≥0
解得m≥－18；
(3) f(x)＋n≤3即n≤－3x2－6x＋3，令y＝－3x2－6x＋3
对于任意的x∈[－2,2]，f(x)＋n≤3都成立
而x∈[－2,2]时，函数y＝－3x2－6x＋3的最小值为－21，
∴ n≤－21，实数n的最大值为－21.
18. 解：由题意
设利润函数，则
①时，解得
②时，，解得
所以，要使工厂有盈利，产品x应控满足
（2）①时，时最大，
②时，
综上：工厂生产4台产品时赢利最大为3.6，此时
此时每台售价为 元
②即，则解得
综上
法二：在有解，设，则
设，则，因为，当且仅当取“= “，所以值域为，所以
（3）若存在这样的m，则
所以为常数，设
则对定义域内的x恒成立
所以解得 所以存在这样的m=-2
20．（1）a=0且b=0
（2）由图像，最大值只能在和处取到
若即时，最大值
若即时，最大值
所以
（3）
①，单调递增，单调递增，所以在R上单调递增
②时，对称轴，所以在上单调减，
在单调递增，对称轴，所以f（x）在上单调增，所以，单增区间有和，单减区间有
O
B
D
C
y
x
（第11题）
1
1
A
2