12.2三角形全等的判定 同步能力提升训练 2021-2022学年八年级数学人教版上册（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 12.2三角形全等的判定 同步能力提升训练 2021-2022学年八年级数学人教版上册（Word版含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 364.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-03 15:09:55 | ||
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文档简介
2021-2022人教版八年级数学上册《12.2三角形全等的判定》同步能力提升训练（附答案）
1．如图，BC⊥AC，BD⊥AD，且AB平分∠CAD，则利用（ ）可说明△ABC与△ABD全等．
A．AAS
B．ASA
C．SAS
D．SSA
2．如图，BC∥EF，BC＝EF，要使得△ABC≌△DEF，需要补充的条件不能是（ ）
A．∠B＝∠E
B．AB＝DE
C．AD＝CF
D．AB∥DE
3．如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．那么C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离．在这个问题中，可作为证明△SAB≌△DCB的依据的是（ ）
A．SAS或SSS
B．AAS或SSS
C．ASA或AAS
D．ASA或SAS
4．如图，E是△ABC的边AC的中点，过点C作CF∥AB，过点E作直线DF交AB于D，交CF于F，若AB＝9，CF＝6.5，则BD的长为（ ）
A．1
B．2
C．2.5
D．3
5．如图，正方形ABCD被分割成2个长方形和1个正方形，要求图中阴影部分的面积，只要知道下列图形的面积是（ ）
A．长方形AEFD
B．长方形BEGH
C．正方形CFGH
D．长方形BCFE
6．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
7．如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．SAS
D．HL
8．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是
．（填序号）
①AC⊥DE；
②∠ADE＝∠ACB；
③若CD∥AB，则AE⊥AD；
④DE＝CE+2BE．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH，则下列结论：
①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③△ABD≌△CFD；④CH＝AB+AH；
⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的是
．（只填写序号）
11．如图，已知△ABC≌△DEF，且点B与点E对应，点C与点F对应，BE＝5，BF＝1，则CF＝
．
12．已知：AB∥CD，O为AD中点．
（1）请判断△AOB与△DOC是否全等？并说明理由；
（2）若BD＝CD，请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
13．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
14．如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN．
（2）求∠APN的度数．
15．如图，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，
求证：AD是∠BAC的平分线．
16．在△ABC和△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）当∠AEB＝50°时，求∠EBC的度数．
17．如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE＝DF．
（1）证明：EF平分线段BC；
（2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．
18．如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AE∥BC，且∠E＝∠CAD，求∠C的度数．
19．在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为
；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
20．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
21．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．
①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE
CF；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件
，使①中的结论仍然成立，并说明理由；
（2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．
参考答案
1．解：∵BC⊥AC，BD⊥AD，AB平分∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∠CAB＝∠DAB，
在△ABC和△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），
故选：A．
2．解：∵BC∥EF，
∴∠ACB＝∠F，
A．∠B＝∠E，BC＝EF，∠ACB＝∠F，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AB＝DE，BC＝EF，∠ACB＝∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
C．∵AD＝CF，
∴AD+DC＝CF+DC，
即AC＝DF，
AC＝DF，∠B＝∠E，BC＝EF，∠ACB＝∠F，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∵AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF，
∴∠A＝∠EDF，∠ACB＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．解：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA）；
或∵AS∥CD，
∴∠S＝∠D．
在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（AAS）；
综上所述，作为证明△SAB≌△DCB的依据的是ASA或AAS．
故选：C．
4．证明：∵CF∥AB，
∴∠1＝∠F，∠2＝∠A，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝EC，
在△ADE和△CFE中
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝6.5，
∵AB＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣6.5＝2.5，
故选：C．
5．解：如图所示：在△GDF与△BGE中，
，
∴△GDF≌△BGE（SAS）．
∴S△GDF＝S△BEG，
则S阴影＝S△EFB＝S矩形BCFE．
所以只要知道长方形BCFE的面积即可求得答案．
故选：D．
6．解：在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，故②正确
∴∠EAB＝∠FAC＝40°，故①正确，
∴∠C＝∠AFC＝∠AFE＝70°，
∴∠EFB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故⑤正确，
∵AE＝AB，∠EAB＝40°，
∴∠AEB＝∠ABE＝70°，
若∠EBC＝110°，则∠ABC＝40°＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴AE∥BC，显然与题目条件不符，故③错误，
若AD＝AC，则∠ADF＝∠AFD＝70°，
∴∠DAF＝40°，这个显然与条件不符，故④错误．
故选：C．
7．解：破玻璃保留了原来三角形的两个角和一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，
故选：B．
8．解：∵∠EAC＝∠FAB，
∴∠EAB＝∠CAF，
在△ABE和△ACF，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠B＝∠C．AE＝AF．
由△AEB≌△AFC知：∠B＝∠C，AC＝AB；
在△ACN和△ABM，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④正确）；
∴CM＝BN，
由于条件不足，无法证得②CD＝DN；
综上所述，正确的结论是①③④，共有3个．
故选：C．
9．解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
∴②是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，
∴①是不正确的；
设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，
∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，
∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，
∴AE⊥AD，
∴③是正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，
∴④是正确的，
故答案为：②③④．
10．解：①∵∠ACB＝45°，BE⊥AC，
∴∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴∠EBD＝45°，故①正确；
②∵EH是∠AEB的角平分线，
∴∠HEB＝∠AEB＝45°，
∴∠HEB＝∠EBC＝45°，
∴EH∥BC，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥EH，
∴EH是AF的垂直平分线，
∴AH＝HF；故②正确；
（3）∵∠BDF＝90°，∠FBD＝45°，
∴∠DFB＝45°，
∴DB＝DF，
∵∠ACB＝45°，AD⊥BC，
∴∠DAC＝45°，
∴AD＝CD，
在△ABD与△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（SAS），故③正确；
④∵△ABD≌△CFD，
∴AB＝CF，
∴CH＝CF+FH＝AB+AH；故④正确；
⑤∵DF＝AD﹣AF，
∴BD＝CD﹣AF．
∵BD＝DF+BF，故⑤正确．
综上所述①②③④⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
11．解：∵△ABC≌△DEF，且点B与点E对应，点C与点F对应，
∴BC＝EF，
∵BE＝5，BF＝1，
∴EF＝BE﹣BF＝4，
∴BC＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝4﹣1＝3，
故答案为3．
12．解：（1）△AOB与△DOC全等，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ODC，
∵O为AD中点．
∴AO＝DO，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（ASA）；
（2）AD与BC互相垂直，理由如下：
∵△AOB≌△DOC，
∴OB＝OC，
∵BD＝CD，
∴AD⊥BC．
13．（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．
14．证明：（1）∵正五边形ABCDE，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，
∴在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP＝∠APN，
∴∠CBN+∠ABP＝∠APN＝∠ABC＝＝108°．
即∠APN的度数为108°
15．证明：∵BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABD与△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线．
16．（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS），
∴AE＝DE，BE＝CE，
∴AC＝DB，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∵∠AEB＝∠ECB+∠EBC＝50°，
∴∠EBC＝25°．
17．（1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ACE＝∠DBF＝90°，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝DB，
在Rt△ACE和Rt△DBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），
∴CE＝FB，
在△CEG和△BFG中，
，
∴△CEG≌△BFG（AAS），
∴CG＝BG，即EF平分线段BC；
（2）（1）中结论成立，理由为：
证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ACE＝∠DBF＝90°，
∵AB＝CD，
∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝DB，
在Rt△ACE和Rt△DBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），
∴CE＝FB，
在△CEG和△BFG中，
，
∴△CEG≌△BFG（AAS），
∴CG＝BG，即EF平分线段BC．
18．解：（1）∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，
又∵∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中
，
∴△ABC≌△ADE（AAS）；
（2）∵AE∥BC，
∴∠E＝∠3，∠DAE＝∠ADB，∠2＝∠C，
又∵∠3＝∠2＝∠1，令∠E＝x，
则有：∠DAE＝3x+x＝4x＝∠ADB，
又∵由（1）得
AD＝AB，∠E＝∠C，
∴∠ABD＝4x，
∴在△ABD中有：x+4x+4x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠E＝∠C＝20°．
19．解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＝∠FBD＝120°，
∵DE＝DF，
∴∠E＝∠F，
在△AEC与△BCF中，，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF；
故答案为：AE＝BF；
②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，
∵∠EBD＝60°，BG＝BD，
∴△GBD是等边三角形．
同理，△ABC也是等边三角形．
∴AG＝CD，
∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．
又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，
∴∠DGE＝∠DBF＝120°，
在△DGE与△DBF中，，
∴△DGE≌△DBF（AAS），
∴GE＝BF，
∴AE＝BF+CD；
（2）如图3，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝EG﹣AG；
∴AE＝BF﹣CD，
如图4，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝AG﹣EG；
∴AE＝CD﹣BF．
20．证明：（1）延长BD交CE于F，
在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE＝90°，
∴∠ABD+∠AEC＝90°，
∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；
（2）延长BD交CE于F，
∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．
21．解：（1）∵∠BEC＝∠CFA＝α＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝180°﹣∠BEC＝90°．
又∵∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF．
在△BCE和△CAF中，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF．
（2）α+∠BCA＝180°，理由如下：
∵∠BEC＝∠CFA＝α，
∴∠BEF＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α．
又∵∠BEF＝∠EBC+∠BCE，
∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣α．
又∵α+∠BCA＝180°，
∴∠BCA＝180°﹣α．
∴∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝180°﹣α．
∴∠EBC＝∠FCA．
在△BCE和△CAF中，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF．
（3）EF＝BE+AF，理由如下：
∵∠BCA＝α，
∴∠BCE+∠ACF＝180°﹣∠BCA＝180°﹣α．
又∵∠BEC＝α，
∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α．
∴∠EBC＝∠FCA．
在△BEC和△CFA中，
∴△BEC≌△CFA（AAS）．
∴BE＝CF，EC＝FA．
∴EF＝EC+CF＝FA+BE，即EF＝BE+AF．
1．如图，BC⊥AC，BD⊥AD，且AB平分∠CAD，则利用（ ）可说明△ABC与△ABD全等．
A．AAS
B．ASA
C．SAS
D．SSA
2．如图，BC∥EF，BC＝EF，要使得△ABC≌△DEF，需要补充的条件不能是（ ）
A．∠B＝∠E
B．AB＝DE
C．AD＝CF
D．AB∥DE
3．如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．那么C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离．在这个问题中，可作为证明△SAB≌△DCB的依据的是（ ）
A．SAS或SSS
B．AAS或SSS
C．ASA或AAS
D．ASA或SAS
4．如图，E是△ABC的边AC的中点，过点C作CF∥AB，过点E作直线DF交AB于D，交CF于F，若AB＝9，CF＝6.5，则BD的长为（ ）
A．1
B．2
C．2.5
D．3
5．如图，正方形ABCD被分割成2个长方形和1个正方形，要求图中阴影部分的面积，只要知道下列图形的面积是（ ）
A．长方形AEFD
B．长方形BEGH
C．正方形CFGH
D．长方形BCFE
6．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
7．如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．SAS
D．HL
8．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③CM＝BN；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是
．（填序号）
①AC⊥DE；
②∠ADE＝∠ACB；
③若CD∥AB，则AE⊥AD；
④DE＝CE+2BE．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交于点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH，则下列结论：
①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③△ABD≌△CFD；④CH＝AB+AH；
⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的是
．（只填写序号）
11．如图，已知△ABC≌△DEF，且点B与点E对应，点C与点F对应，BE＝5，BF＝1，则CF＝
．
12．已知：AB∥CD，O为AD中点．
（1）请判断△AOB与△DOC是否全等？并说明理由；
（2）若BD＝CD，请判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
13．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
14．如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN．
（2）求∠APN的度数．
15．如图，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，
求证：AD是∠BAC的平分线．
16．在△ABC和△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）当∠AEB＝50°时，求∠EBC的度数．
17．如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE＝DF．
（1）证明：EF平分线段BC；
（2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．
18．如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AE∥BC，且∠E＝∠CAD，求∠C的度数．
19．在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．
（1）当点C在线段BD上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为
；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；
（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．
20．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
21．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．
①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE
CF；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件
，使①中的结论仍然成立，并说明理由；
（2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．
参考答案
1．解：∵BC⊥AC，BD⊥AD，AB平分∠CAD，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∠CAB＝∠DAB，
在△ABC和△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），
故选：A．
2．解：∵BC∥EF，
∴∠ACB＝∠F，
A．∠B＝∠E，BC＝EF，∠ACB＝∠F，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AB＝DE，BC＝EF，∠ACB＝∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
C．∵AD＝CF，
∴AD+DC＝CF+DC，
即AC＝DF，
AC＝DF，∠B＝∠E，BC＝EF，∠ACB＝∠F，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∵AB∥DE，
∴∠A＝∠EDF，
∴∠A＝∠EDF，∠ACB＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．解：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA）；
或∵AS∥CD，
∴∠S＝∠D．
在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（AAS）；
综上所述，作为证明△SAB≌△DCB的依据的是ASA或AAS．
故选：C．
4．证明：∵CF∥AB，
∴∠1＝∠F，∠2＝∠A，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝EC，
在△ADE和△CFE中
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝6.5，
∵AB＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣6.5＝2.5，
故选：C．
5．解：如图所示：在△GDF与△BGE中，
，
∴△GDF≌△BGE（SAS）．
∴S△GDF＝S△BEG，
则S阴影＝S△EFB＝S矩形BCFE．
所以只要知道长方形BCFE的面积即可求得答案．
故选：D．
6．解：在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，故②正确
∴∠EAB＝∠FAC＝40°，故①正确，
∴∠C＝∠AFC＝∠AFE＝70°，
∴∠EFB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故⑤正确，
∵AE＝AB，∠EAB＝40°，
∴∠AEB＝∠ABE＝70°，
若∠EBC＝110°，则∠ABC＝40°＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴AE∥BC，显然与题目条件不符，故③错误，
若AD＝AC，则∠ADF＝∠AFD＝70°，
∴∠DAF＝40°，这个显然与条件不符，故④错误．
故选：C．
7．解：破玻璃保留了原来三角形的两个角和一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，
故选：B．
8．解：∵∠EAC＝∠FAB，
∴∠EAB＝∠CAF，
在△ABE和△ACF，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠B＝∠C．AE＝AF．
由△AEB≌△AFC知：∠B＝∠C，AC＝AB；
在△ACN和△ABM，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④正确）；
∴CM＝BN，
由于条件不足，无法证得②CD＝DN；
综上所述，正确的结论是①③④，共有3个．
故选：C．
9．解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，
∵∠BAE＝∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
∴②是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，
∴①是不正确的；
设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，
∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，
∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，
∴AE⊥AD，
∴③是正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，
∴④是正确的，
故答案为：②③④．
10．解：①∵∠ACB＝45°，BE⊥AC，
∴∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴∠EBD＝45°，故①正确；
②∵EH是∠AEB的角平分线，
∴∠HEB＝∠AEB＝45°，
∴∠HEB＝∠EBC＝45°，
∴EH∥BC，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥EH，
∴EH是AF的垂直平分线，
∴AH＝HF；故②正确；
（3）∵∠BDF＝90°，∠FBD＝45°，
∴∠DFB＝45°，
∴DB＝DF，
∵∠ACB＝45°，AD⊥BC，
∴∠DAC＝45°，
∴AD＝CD，
在△ABD与△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（SAS），故③正确；
④∵△ABD≌△CFD，
∴AB＝CF，
∴CH＝CF+FH＝AB+AH；故④正确；
⑤∵DF＝AD﹣AF，
∴BD＝CD﹣AF．
∵BD＝DF+BF，故⑤正确．
综上所述①②③④⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
11．解：∵△ABC≌△DEF，且点B与点E对应，点C与点F对应，
∴BC＝EF，
∵BE＝5，BF＝1，
∴EF＝BE﹣BF＝4，
∴BC＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝4﹣1＝3，
故答案为3．
12．解：（1）△AOB与△DOC全等，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ODC，
∵O为AD中点．
∴AO＝DO，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（ASA）；
（2）AD与BC互相垂直，理由如下：
∵△AOB≌△DOC，
∴OB＝OC，
∵BD＝CD，
∴AD⊥BC．
13．（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．
14．证明：（1）∵正五边形ABCDE，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，
∴在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP＝∠APN，
∴∠CBN+∠ABP＝∠APN＝∠ABC＝＝108°．
即∠APN的度数为108°
15．证明：∵BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABD与△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线．
16．（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS），
∴AE＝DE，BE＝CE，
∴AC＝DB，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∵∠AEB＝∠ECB+∠EBC＝50°，
∴∠EBC＝25°．
17．（1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ACE＝∠DBF＝90°，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝DB，
在Rt△ACE和Rt△DBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），
∴CE＝FB，
在△CEG和△BFG中，
，
∴△CEG≌△BFG（AAS），
∴CG＝BG，即EF平分线段BC；
（2）（1）中结论成立，理由为：
证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠ACE＝∠DBF＝90°，
∵AB＝CD，
∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝DB，
在Rt△ACE和Rt△DBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），
∴CE＝FB，
在△CEG和△BFG中，
，
∴△CEG≌△BFG（AAS），
∴CG＝BG，即EF平分线段BC．
18．解：（1）∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，
又∵∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中
，
∴△ABC≌△ADE（AAS）；
（2）∵AE∥BC，
∴∠E＝∠3，∠DAE＝∠ADB，∠2＝∠C，
又∵∠3＝∠2＝∠1，令∠E＝x，
则有：∠DAE＝3x+x＝4x＝∠ADB，
又∵由（1）得
AD＝AB，∠E＝∠C，
∴∠ABD＝4x，
∴在△ABD中有：x+4x+4x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠E＝∠C＝20°．
19．解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD＝∠FBD＝120°，
∵DE＝DF，
∴∠E＝∠F，
在△AEC与△BCF中，，
∴△ADE≌△BDF（AAS），
∴AE＝BF；
故答案为：AE＝BF；
②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，
∵∠EBD＝60°，BG＝BD，
∴△GBD是等边三角形．
同理，△ABC也是等边三角形．
∴AG＝CD，
∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．
又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，
∴∠DGE＝∠DBF＝120°，
在△DGE与△DBF中，，
∴△DGE≌△DBF（AAS），
∴GE＝BF，
∴AE＝BF+CD；
（2）如图3，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝EG﹣AG；
∴AE＝BF﹣CD，
如图4，连接DG，
由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，
∴AE＝AG﹣EG；
∴AE＝CD﹣BF．
20．证明：（1）延长BD交CE于F，
在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE＝90°，
∴∠ABD+∠AEC＝90°，
∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；
（2）延长BD交CE于F，
∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．
21．解：（1）∵∠BEC＝∠CFA＝α＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝180°﹣∠BEC＝90°．
又∵∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF．
在△BCE和△CAF中，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF．
（2）α+∠BCA＝180°，理由如下：
∵∠BEC＝∠CFA＝α，
∴∠BEF＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α．
又∵∠BEF＝∠EBC+∠BCE，
∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣α．
又∵α+∠BCA＝180°，
∴∠BCA＝180°﹣α．
∴∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝180°﹣α．
∴∠EBC＝∠FCA．
在△BCE和△CAF中，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF．
（3）EF＝BE+AF，理由如下：
∵∠BCA＝α，
∴∠BCE+∠ACF＝180°﹣∠BCA＝180°﹣α．
又∵∠BEC＝α，
∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α．
∴∠EBC＝∠FCA．
在△BEC和△CFA中，
∴△BEC≌△CFA（AAS）．
∴BE＝CF，EC＝FA．
∴EF＝EC+CF＝FA+BE，即EF＝BE+AF．