22.2二次函数与一元二次方程 同步能力提高训练 2021-2022学年人教版九年级数学上册（Word版含答案）

2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》
同步能力提高训练（附答案）
一．抛物线与x轴的交点
1．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的一个交点是（﹣1，0），那么抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A．（0，0）
B．（3，0）
C．（﹣3，0）
D．（0，﹣3）
2．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜4
B．k≤4
C．k＜4且k≠3
D．k≤4且k≠3
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣4，0）与（2，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是4．若关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）也有两个整数根，则这两个整数根是（　　）
A．﹣2和0
B．﹣4和2
C．﹣5和3
D．﹣6和4
4．关于x的函数y＝x2﹣|x﹣2|﹣4x+k+1的图象与x轴有四个不同的公共点，则k的取值范围是（　　）
A．3＜k＜
B．k＜且k≠3
C．k＞
D．k≤
5．已知二次函数y＝x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0；当1≤x≤2时，总有y≤0，那么c的取值范围是（　　）
A．0≤c≤2
B．c≥2
C．1≤c≤2
D．c≤2
6．对于抛物线y＝ax2+4ax﹣m（a≠0）与x轴的交点为A（﹣1，0），B（x2，0），则下列说法：
①一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3；
②原抛物线与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于D点，则CD＝4；
③点E（1，y1）、点F（﹣4，y2）在原抛物线上，则y1＞y2；
④抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+m与原抛物线关于x轴对称．其中正确的有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
7．四位同学研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与性质时，甲发现当x＝2时，y＝2；乙发现函数的最大值是4；丙发现x＝﹣1是方程ax2+bx+3＝0的一个根；丁发现函数图象关于直线x＝1对称．已知这四个同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（　　）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
8．下列关于二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1的结论：
①该函数图象的对称轴为直线x＝m；
②若函数图象的顶点为M，与x轴交于A、B两点，则S△ABM为定值；
③若P（x1，y1），Q（x2，y2）两点在该函数图象上，且x1＞x2，x1+x2＞2m，则有y1＜y2；
④该函数图象与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，△ABC不可能为直角三角形．
其中正确的结论是
　
　．
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在2和3之间（不包括这两个点），下列结论：①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②﹣1＜a＜﹣；③对于任意实数m，a+b＞m（am+b）始终成立；④b2﹣4ac＝16a2，其中正确的结论的序号是　
　．
10．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m+1（m为常数），有下列四个结论：①当x＝m+a和x＝m﹣a时，对应的函数值相等；②当时，二次函数的图象与x轴有两个公共点；③若，点A（t，y1），B（t﹣1，y2）是二次函数图象上两点，则当t＞﹣1时，y1＜y2；④二次函数的图象不经过第四象限，其中正确的结论有　
　.（填序号）
11．定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些相关结论：
①当m＝﹣2时，抛物线的顶点为（，）；
②当m≠0时，函数图象恒过定点；
③当m＜0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；
④当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段的长度大于．
其中正确的结论是　
　（直接填正确结论的编号）．
12．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的顶点为P（m，n），经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，下列四个结论：
①bc＞0；
②M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，若x1＜x2，x1+x2＞2，则y1＜y2；
③关于x的方程a（x+1）2+bx＝﹣c﹣b的解为x1＝﹣2，x2＝2；
④关于x的方程ax2+bx+c＝a+n一定有两个不相等的实数根．
其中正确的结论是　
　（填写序号）．
13．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象对称轴为直线x＝1，部分x与y对应值如表：
x
﹣2
0
3
y
m
﹣1
n
当m＞3时，下列结论中一定正确的是　
　．（填序号即可）
①b＜0；②；③抛物线y＝ax2+bx+c﹣1与x轴的交点横坐标分别为0和﹣2；
④当n≤5时，（m+1） （n+1）的值始终不会超过100．
14．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3上所有的点都在x轴上方，其中两点A（x1，m），B（x2，n）满足x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则m与n的大小关系是　
　．
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确结论的序号是　
　．
16．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+c＝2b﹣bx的解是　
　．
17．下列关于二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数）的结论：
①该函数的图象与函数y＝﹣x2+2mx的图象的对称轴相同；
②该函数的图象与x轴有交点时，m＞1；
③该函数的图象的顶点在函数y＝﹣x2+1的图象上；
④点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的图象上．若x1＜x2，x1+x2＜2m，则y1＜y2．
其中正确的结论是　
　（填写序号）．
18．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，其顶点为M，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象．如图，当直线y＝﹣x+n与此图象有且只有两个公共点时，则n的取值范围为　
　．
19．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于（﹣2，0）、（3，0），则关于x的一元二次方程：a（x﹣h+6）2+k＝0的解为　
　．
20．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴有两个交点，且交点位于y轴两侧，则下列关于这个二次函数的说法正确的有　
　．（填序号）
①a＞0；
②若b＞0，则当x＞0时，y随x的增大而增大；
③a+b＜3；④一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的两根异号．
21．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x
0
2
﹣4
y
n
1
1
当n＞1时，下列结论中一定正确是　
　．（填序号）
①bc＜0；
②抛物线y＝ax2+bx+c﹣1与x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0）；
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
④若关于x的方程ax2+bx+c＝p（0＜p＜1）的两根是α，β（α＜β），则﹣4＜α＜β＜2．
22．若抛物线y＝（m﹣1）x2+3mx+2m+1与坐标轴有2个公共点，则m的值是　
　．
23．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为1和3，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线　
　．
24．抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，3），B（2，3），则关于x的一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解为　
　．
25．已知二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）的图象如图所示．
（1）当m≠﹣4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）如图情况下，若|OA| |OB|＝6，求点C的坐标．
26．如图，利用函数y＝x2﹣4x+3的图象，直接回答：
（1）方程x2﹣4x+3＝0的解是　
　；
（2）当x　
　时，y随x的增大而减小；
（3）当x满足　
　时，函数值大于0；
（4）当0＜x＜5时，y的取值范围是　
　．
27．如图为二次函数y＝﹣x2﹣x+2的图象，试根据图象回答下列问题：
（1）方程﹣x2﹣x+2＝0的解为　
　；
（2）当y＞0时，x的取值范围是　
　；
（3）当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是　
　．
28．在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3．
（1）完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
…
（2）当x满足　
　时，函数值大于0；
（3）当1＜x＜4时，y的取值范围是　
　．
29．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）求函数解析式并直接写出不等式y＞0的解集．
（2）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
二．图象法求一元二次方程的近似根
30．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）中，4a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，且经过点（0，3）．下列四个结论：
①对称轴为直线x＝﹣2；
②若点（m﹣2，y1）和（n﹣2，y2）在抛物线上，且m＞n，则y1＞y2；
③一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2和﹣3之间；
④0＜a＜1；
其中结论正确结论是
　
　（填写序号）．
31．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的对称轴为直线x＝﹣1，经过A（0，﹣2），B（1，m）两点，其中m＞0．下列四个结论：①a＞；②一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣3和﹣2之间：③点P1（t，y1），P2（t﹣1，y2）在抛物线上，当实数t＜﹣时，y1＞y2；④一元二次方程ax2+bx+c＝n，当n＞﹣时，方程有两个不相等的实数根，其中正确的结论是　
　（填写序号）．
32．二次函数y＝ax2+bx+c，x与y的部分对应值如表：
x
﹣1
0
3
y
n
1
1
当n＜0时，下列结论中一定正确的是　
　．（填序号即可）
①b＝﹣3a；②n＞4a；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一根在3和4之间；④当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
33．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的对称轴为直线x＝1，经过A（0，2），B（﹣1，m）两点，其中m＜0．下列四个结论：
①ab＜0；
②一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在1和2之间；
③点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞时，y1＞y2；
④a＜﹣．
其中正确的结论是　
　（填写序号）．
参考答案
一．抛物线与x轴的交点
1．解：由抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）知，抛物线与x轴的交点坐标是（3，0）和（﹣1，0），
故选：B．
2．解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣3）×1＝﹣4k+16≥0，
k≤4；
②当k﹣3＝0时，y＝2x+1，与x轴有交点．
故选：B．
3．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣4，0）与（2，0）两点，
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣4和2，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，
又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是4．
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣6，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，
∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0
（0＜n＜m）有两个整数根，
∴这两个整数根是﹣5和3，
故选：C．
4．解：∵y＝x2﹣|x﹣2|﹣4x+k+1，
∴y＝，
由题意得且当x＝2时，y＞0，即4﹣8+k+1＞0，
解得3＜k＜，
故选：A．
5．解：∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，
∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c＝0①，
∵当1≤x≤2时，总有y≤0，
∴当x＝2时，y＝4+2b+c≤0②，
①②联立解得：c≥2．
故选：B．
6．解：①∵抛物线y＝ax2+4ax﹣m的对称轴为x＝﹣＝﹣2，
∴由抛物线与x轴的交点A（﹣1，0）知抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0），
则一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3，故①正确，符合题意；
②根据题意，设C（0，﹣m），D（n，﹣m），
由抛物线的对称轴为x＝﹣2知（0+n）＝﹣2，得n＝﹣4，
∴CD＝|n﹣0|＝|n|＝4，故②正确；
③由题意知，函数的对称轴为x＝﹣2，点（﹣4，0）比（1，0）离x轴近，
∴当抛物线开口向上时，y2＜y1，
而当抛物线开口向下时，y2＞y1，故③错误，不符合题意；
④抛物线y＝ax2+4ax﹣m关于x轴对称的抛物线为﹣y＝ax2+4ax﹣m，即y＝﹣ax2﹣4ax+m，故④正确，符合题意；
综上，正确的是①②④，
故选：B．
7．解：当x＝2时，y＝2，则2＝4a+2b+3，解得4a+2b＝﹣1①；
函数的最大值是4，故c﹣＝4，故b2＝﹣4a且a＜0②；
x＝﹣1是方程ax2+bx+3＝0的一个根，则a﹣b+3＝0，即a﹣b＝﹣3③；
图象关于直线x＝1对称，则x＝﹣＝1，即b＝﹣2a④．
假设当甲不对时，联立②和④并解得a＝﹣1，b＝2，
当a＝﹣1，b＝2时，a﹣b＝﹣3，故③成立，
故假设成立；
故选：A．
8．解：①二次函数的对称轴为直线x＝，
故①正确，
②由y＝（x﹣m）2﹣1，所以顶点M（m，﹣1），
设A（x1，0），B（x2，0），
令y＝0，则（x﹣m）2﹣1＝0，
∴x1＝m﹣1，x2＝m+1，
∴AB＝|x1﹣x2|＝2，
∴，
∴S△ABM为定值，
故②正确，
③∵P（x1，y1），Q（x2，y2）两点在该函数图象上，
∴，，
∴＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣2m），
∵x1＞x2，x1+x2＞2m，
∴x1﹣x2＞0，x1+x2﹣2m＞0，
∴y1﹣y2＞0，
∴y1＞y2，
故③错误，
④由②可得，A（m﹣1，0），B（m+1，0），
令x＝0，则y＝m2﹣1，
∴C（0，m2﹣1），
∴AC2＝（m﹣1）2+（m2﹣1）2＝m4﹣m2﹣2m+2，
BC2＝（m+1）2+（m2﹣1）2＝m4﹣m2+2m+2，
∴BC2＞AC2，
当AC2+BC2＝AB2，
∴2m4﹣2m2+4＝4，
∴m＝0或±1，
当AC2+AB2＝BC2，
∴m4﹣m2+2m+2＝m4﹣m2﹣2m+2+4，
∴m＝1，
此时AC＝0，故舍去，
∴当m＝0或±1时，△ABC为直角三角形，
故④错误．
故答案为：①②．
9．解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣1＜x＜3，y＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴a﹣b+c＝0，﹣＝1，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
而抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），
∴2＜c＜3，
∴2＜﹣3a＜3，
∴﹣1＜a＜﹣，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴二次函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c＞mx2+bm+c（m≠1）
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），所以③不正确；
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴b2﹣4ac＝4a2﹣4a （﹣3a）＝16a2，所以④正确．
故答案为：①②④．
10．解：y＝x2﹣2mx+m2+2m+1＝（x﹣m）2+2m+1，
∴二次函数的顶点坐标为（m，2m+1），对称轴为x＝m，
①当x＝m+a和x＝m﹣a时，正好关于对称轴对称，
∴①正确；
②当时，顶点纵坐标2m+1＞0，
又∵抛物线开口方向向上，
∴二次函数的图象与x轴没有公共点，
故②不正确；
③若，点A（t，y1），B（t﹣1，y2）是二次函数图象上两点，
由于图象开口方向向上，故离对称轴越远函数值越大，
当y1＜y2时，B点离对称轴远，
即（t+）2＜（t﹣1+）2，
∴t＞﹣1不正确；
④当x＝0时，y＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0，
故函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴，
当m＜0时，顶点位于原点的左侧，
故图象不过第四象限，
当m＝0时，函数为y＝x2+1≥1，
此时函数不过第四象限，
当m＞0时，顶点位于x轴上侧，
此时函数图象也不过第四象限，
综上，二次函数的图象不经过第四象限正确，
故答案为：①④．
11．解：①当m＝﹣3时，特征数为[﹣4，3，1]，
则抛物线的表达式为y＝﹣4x2+3x+1，
则抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
当x＝时，y＝﹣4x2+3x+1＝，故①正确；
②当x＝1时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0
即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m＝0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点，故②结论正确；
③当m＜0时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）
是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，＞，即对称轴在x＝右边，因此函数在x＝右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误；
④当m＞0时，令y＝0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0，解得x1＝1，x2＝﹣﹣，|x2﹣x1|＝+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，故④正确．
故答案为①②④．
12．解：抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴b＝﹣2a＞0，c＝﹣3a＞0，
∴bc＞0，所以①正确；
∵x1＜x2，x1+x2＞2，
∴x2﹣1＞1﹣x1，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，
∴y1＞y2，所以②错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，
方程a（x+1）2+bx＝﹣c﹣b变形为方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0，
∴x+1＝﹣1或x+1＝3，解得x1＝﹣2，x2＝2，所以③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的顶点为P（m，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个公共点，
而抛物线开口向下，a＜0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝a+n有两个公共点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝a+n一定有两个不相等的实数根．所以④正确．
故答案为①③④．
13．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点为（0，﹣1），x＝﹣2时，函数值m＞3，
∴抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，所以①正确；
∵x＝0时，y＝﹣1，
∴c＝﹣1，
∵当x＝﹣2时，m＝4a﹣2b+c＝8a﹣1＞3，
∴a＞，
∵ab＝a （﹣2a）＝﹣2a2，
∴ab＜﹣，所以②正确；
∵y＝ax2+bx+c﹣1＝ax2﹣2ax﹣2，
∴此抛物线不经过原点，所以③错误；
∵x＝3时，n＝9a+3b﹣1＝9a﹣6a﹣1＝3a﹣1≤5，
∴＜a≤2，
∵m＝8a﹣1，
∴4＜m≤15，
∴（m+1） （n+1）≤96，所以④正确．
故答案为①②④．
14．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3上所有的点都在x轴上方，则抛物线开口向上，
而函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，
则A、B两点在对称轴的两侧，且点B离对称轴远，
故m＜n，
故答案为：m＜n．
15．解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故①正确；
②∵对称轴为x＝1，一个交点为（﹣1，0），
∴另一个交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3，故②正确；
③由对称轴为x＝1，
∴，
∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故③正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于（0，2），
∴c＝2，
∵a＜0，
∴c﹣a＞2，故④正确，
故答案为：①②③④．
16．解：关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c变形为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0，
把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位得到y＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c，
因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
所以抛物线y＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c与x轴的两交点坐标为（﹣1，0），（6，0），
所以一元二方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝6．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝6．
17．解：①∵二次函数y＝x2﹣2mx+1的对称轴为直线x＝﹣＝m，二次函数y＝﹣x2+2mx的对称轴为直线x＝﹣＝m，故结论①正确；
②∵函数的图象与x轴有交点，则△＝（﹣2m）2﹣4×1×1＝4m2﹣4≥0，
∴m≥1，故结论②错误；
③∵y＝x2﹣2mx+1＝（x﹣m）2+1﹣m2，
∴顶点为（m，﹣m2+1），
∴该函数的图象的顶点在函数y＝﹣x2+1的图象上，故结论③正确；
④∵x1+x2＜2m，
∴＜m，
∵二次函数y＝x2﹣2mx+1的对称轴为直线x＝m
∴点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离
∵x1＜x2，且a＝1＞0
∴y1＞y2
故结论④错误；
故答案为①③．
18．解：当y＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴M（1，﹣4），
如图，作直线y＝﹣x，
分别过A、B作直线y＝﹣x的平行线，
当直线y＝﹣x+n经过A（﹣1，0）时，1+n＝0，n＝﹣1，
当直线y＝﹣x+n经过B（3，0）时，﹣3+n＝0，n＝3，
∴n的取值范围为：﹣1＜n＜3，
根据题意得：翻折后的顶点坐标为（1，4），
∴翻折后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
当直线y＝﹣x+n与抛物线y＝﹣x2+2x+3只有一个公共点时，
则，
﹣x2+2x+3＝﹣x+n，
﹣x2+3x+3﹣n＝0，
△＝9+4（3﹣n）＝0，
n＝，
综上所述：当直线y＝﹣x+n与此图象有且只有两个公共点时，则n的取值范围为n＞或﹣1＜n＜3．
19．解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k向左平移6个单位长度后的函数解析式为y＝a（x﹣h+6）2+k，
∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣2，0），（3，0）两点，
∴当a（x﹣h+6）2+k＝0，对应的解是x1＝﹣8，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝﹣8，x2＝﹣3．
20．解：设抛物线与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），
∵两个交点在y轴两侧，
∴x1 x2＜0，即＜0，
∴a＞0，因此①符合题意；
当x＝0时，y＝﹣3，抛物线与y轴交点为（0，﹣3），
当b＞0时，而a＞0，对称轴在y轴的左侧，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因此②符合题意；
当x＝1时，y＝a+b﹣3的值无法确定，故③不符合题意，
一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的两根就是一元二次方程ax2+bx﹣3＝﹣2的两根，实际上就是抛物线y＝ax2+bx﹣3，与直线y＝﹣2的两个交点的横坐标，当抛物线的对称轴位于y轴的左侧时，a、b同号，此时一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的两根异号，故④符合题意；
故答案是：①②④．
21．解：①函数的对称轴为直线x＝（2﹣4）＝﹣1，即﹣＝﹣1，则b＝2a，
∵n＞1，
∴抛物线开口向下，则a＜0，
∴b＜0，
而c＝n＞1，故bc＜0，故①正确；
②点（2，1）和（﹣4，1）是抛物线y＝ax2+bx+c上的点，
当抛物线向下平移1个单位两点变为（2，0）和（﹣4，0），
此时抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c﹣1，
∴抛物线y＝ax2+bx+c﹣1与x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），故②正确；
③∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1是函数有最大值a﹣b+c，
∴对于任意实数t，at2+bt+c≤a﹣b+c，即at2+bt≤a﹣b，故③正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，1）和（﹣4，1），
∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝p（0＜p＜1）的两根是α，β（α＜β），则α＜﹣4＜2＜β，故④错误，
故答案为：①②③．
22．解：①当2m+1≠0时，
抛物线和y轴一定有交点，
故抛物线y＝（m﹣1）x2+3mx+2m+1与坐标轴有2个公共点时，则该抛物线与x轴只有一个交点，
即△＝（3m）2﹣4（m﹣1）（2m+1）＝0，解得m＝﹣2，
②当2m+1＝0时，即m＝﹣时，y＝﹣x2﹣x，该抛物线和坐标轴有两个公共点；
故答案为﹣或﹣2．
23．解：∵ax2+bx+c＝0的两根分别是1和3，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点的横坐标为1和3，
∴对称轴为直线x＝＝2．
故答案是：x＝2．
24．关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx＝2b﹣c变形为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0，
把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位得到y′＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c，
设y′′＝3，
当y′＝y′′时，即a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝3，即a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c，
即一元二次方程a（x﹣2）2﹣3＝2b﹣bx﹣c的解转化为y′＝y′′的交点，
而平移前函数交点的横坐标为﹣1或2，向右平移2个单位后交点的横坐标为1或4
故答案为1或4．
25．解：（1）∵△＝（m﹣2）2﹣4（﹣1） 3（m+1）＝（m+4）2＞0，
∴抛物线与x轴必有两个交点；
（2）设方程﹣x2+（m﹣2）x+3（m+1）＝0的两根为x1、x2，且x1＜0，x2＞0，
由图可知|OA|＝|x1|，|OB|＝|x2|，由|OA| |OB|＝6，可知x1x2＝﹣6，
根据根与系数的关系，可知﹣3（m+1）＝﹣6，
则m＝1，于是二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+6，
令y＝0，解方程﹣x2﹣x+6＝0，得x1＝﹣3，x2＝2，
所以点A的坐标是（﹣3，0），
点B的坐标是（2，0），
把x＝0代入y＝﹣x2﹣x+6，得y＝6，
所以C的坐标是（0，6）．
26．解：（1）由图象可得，
当y＝0时，x＝1或x＝3，
故方程x2﹣4x+3＝0的解是x1＝1，x2＝3，
故答案为：x1＝1，x2＝3；
（2）由图象可得，
当y＝0时，x＜＝2时，y随x的增大而减小，
故答案为：＜2；
（3）由图象可得，
当x＜1或x＞3时，函数值大于0，
故答案为：x＜1或x＞3；
（4）由图象可得，
函数y＝x2﹣4x+3的对称轴是直线x＝＝2，当x＝2时，该函数取得最小值﹣1，
∴当0＜x＜5时，x＝2取得最小值﹣1，x＝5时y的值为8，
即当0＜x＜5时，y的取值范围是﹣1≤y＜8，
故答案为：﹣1≤y＜8．
27．解：（1）令y＝﹣x2﹣x+2＝0，解得x＝﹣2或1，
故答案为x1＝﹣2，x2＝1；
（2）从图象看，当y＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜1，
故答案为﹣2＜x＜1；
（3）由抛物线的表达式知，顶点坐标为（﹣，），
当x＝﹣3时，y＝﹣9+3+2＝﹣4，
故当﹣3＜x＜0时，y的取值范围是为﹣4＜y≤．
28．解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，
依次求出x＝1时，y＝0，x＝2时，y＝﹣1，x＝3时，y＝0，x＝4时，y＝3，
故答案为3，0，﹣1，0，3；
描点连线绘图如下：
（2）从图象看，当x满足x＜1或x＞3时，函数值大于0，
故答案为x＜1或x＞3；
（3）从图象看，当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1≤y＜3，
故答案为﹣1≤y＜3．
29．解：（1）由图可知：抛物线经过（1，0）、（3，0）、（2，2），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝02x2+8x﹣6，
由图象知y＞0的解集为：1＜x＜3；
（2）令，y2＝k，
则方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，表示抛物线与直线y2＝k有两个交点，
则由图可知：k＜2．
二．图象法求一元二次方程的近似根
30．解：①∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，对称轴是直线：x＝﹣＝﹣＝﹣2，所以①正确，符合题意；
②∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2，只能确定出m﹣2和n﹣2的大小关系，即横坐标的大小关系，而要进一步确定纵坐标y1，y2，的大小关系，是必须知道横坐标与对称轴的关系，而题目中没办法给出在对称轴的同侧还是异侧，若都在对称轴的左侧故②错误，不合题意；
③由①知，对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的两交点就是在点（﹣2，0）左右两侧，且关于直线x＝﹣2对称，又知道抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，所以一个根在﹣2和﹣3之间，另一个根在﹣2和﹣1之间，所以③正确，符合题意；
④，
解得＜a＜1，故④错误，不合题意．
故答案是：①③．
31．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的对称轴为直线x＝﹣1，经过A（0，﹣2），B（1，m）两点，其中m＞0．
∴b＝2a，c＝﹣2，a+b+c＝m＞0，
∴a+2a﹣2＞0，
∴a＞，故①正确；
由题意可知，抛物线与x轴的交点横坐标在0和1之间，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点的横坐标在﹣2和﹣3之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣3和﹣2之间，故②正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
当两点在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∵P1（t，y1），P2（t﹣1，y2）在抛物线上，
∴当t≤﹣1时，y1＜y2，
当两点在对称轴两侧时，即t﹣1＜﹣1＜t，
∵t＜﹣，
∵﹣1﹣t+1＞t+1，
∴y1＜y2，故③错误；
∵y＝ax2+2ax﹣2，a＞，
∴＝＝﹣2﹣a＜﹣，
∴抛物线与直线y＝﹣有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n，当n＞﹣时，方程有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为①②④．
32．解：①函数的对称轴为直线x＝（0+3）＝，即﹣＝，则b＝﹣3a，故①正确；
②∵c＝1，b＝﹣3a，
∴x＝﹣1时，n＝y＝a﹣b+c＝4a+1＞4a，故②正确；
③∵n＜0，故在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线经过点（3，1），
∴抛物线与x轴的交点的横坐标x＞3，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一根在3和4之间，故③正确；
④∴a＜0，﹣＝，
∴当x＞上，y随x的增大而减小，故④错误；
故答案为：①②③．
33．解：由题意可知抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴ab＜0，故①正确；
由题意可知，抛物线与x轴的交点横坐标在﹣1和0之间，
∵对称轴为直线x＝1，
∴另一个交点的横坐标在2和3之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在2和3之间，故②错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
当两点在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，
∴当t≥1时，y1＞y2，
当两点在对称轴两侧时，即t＜1＜t+1，
∵t＞，
∵1﹣t＜t+1﹣1，
∴y1＞y2，故③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的对称轴为直线x＝1，经过A（0，2），B（﹣1，m）两点，其中m＜0．
∴b＝﹣2a，c＝2，a﹣b+c＝m＜0，
∴a+2a+2＜0，
∴a＜﹣，故④正确；
故答案为①③④