22.2二次函数与一元二次方程 填空压轴题专题提升训练2021-2022学年人教版九年级数学上册（Word版含答案）

2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》
填空压轴题专题提升训练（附答案）
1．二次函数y＝ax2+bx+c，x与y的部分对应值如表：
x
﹣1
0
3
y
n
1
1
当n＜0时，下列结论中一定正确的是　
　．（填序号即可）
①b＝﹣3a；②n＞4a；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一根在3和4之间；④当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
2．若二次函数y＝﹣x2+6x﹣m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是　
　．
3．已知关于x的二次函数y＝x2﹣ax+a﹣1的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则a＝　
　．
4．如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线BC的平行线，交x轴于点M．若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为　
　．
5．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的顶点为P（m，n），经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，下列四个结论：
①bc＞0；②M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，若x1＜x2，x1+x2＞2，则y1＜y2；③关于x的方程a（x+1）2+bx＝﹣c﹣b的解为x1＝﹣2，x2＝2；④关于x的方程ax2+bx+c＝a+n一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是　
　（填写序号）．
6．如图，一段抛物线y＝﹣x2+4x（0≤x≤4），记为C1，它与x轴交于点O、A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2，将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3…如此进行下去，直至得抛物线C2021，若点P（m，3）在第2021段抛物线C2021上，则m＝　
　．
7．如图，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是
　
　．
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为x＝1，则当y＜0时，x的取值范围是　
　．
9．抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，4），B（2，4），则关于x的一元二次方程a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c的解为　
　．
10．在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，b＝　
　；m＝　
　；将抛物线y＝x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为　
　．
11．二次函数y＝mx2+2mx+c（m、c是常数，且m≠0）的图象过点A（3，0），则方程mx2+2mx+c＝0的根为　
　．
12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，已知其对称轴为直线x＝1，则方程ax2+bx+c＝0的两根之和为　
　．
13．已知自变量为x的二次函数y＝（ax+m）（x+）经过（t，3）、（t﹣4，3）两点，若方程（ax+m）（x+）＝0的一个根为x＝1，则其另一个根为　
　．
14．抛物线y＝（x﹣4）2交x轴于点A，交y轴于点B，则△AOB的面积是　
　．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m有实数根，则m的取值范围是　
　．
16．已知抛物线y＝x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是以AB为底的等腰直角三角形，则k的值是　
　．
17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确结论的序号是　
　．
18．已知二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若点M在y轴上，且满足∠BCO+∠BMO＝∠ACO，则M点的坐标为　
　．
19．抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解是　
　．
20．函数y＝（k+1）x2﹣2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　
　．
参考答案
1．解：①函数的对称轴为直线x＝（0+3）＝，即﹣＝，则b＝﹣3a，故①正确；
②∵c＝1，b＝﹣3a，
∴x＝﹣1时，n＝y＝a﹣b+c＝4a+1＞4a，故②正确；
③∵n＜0，故在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线经过点（3，1），
∴抛物线与x轴的交点的横坐标x＞3，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一根在3和4之间，故③正确；
④∴a＜0，﹣＝，
∴当x＞上，y随x的增大而减小，故④错误；
故答案为：①②③．
2．解：∵二次函数y＝﹣x2+6x﹣m的图像与x轴没有交点，
∴△＝62﹣4×（﹣1）×（﹣m）＜0，
解得m＞9．
故答案为m＞9．
3．解：当a＝1时，y＝x2﹣ax+a﹣1＝x2﹣x，
该函数与坐标轴有2个交点，
当a≠1时，图象与坐标轴有且只有2个公共点，
则△＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝0，解得a＝2，
故答案为1或2．
4．解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1），
∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，当x＝0时，y＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
，解得，
即直线BC的函数解析式为y＝﹣x+3，
∵PM∥BC，点P在抛物线上且在第一象限，
∴设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
设直线PM的解析式为y＝﹣x+c，
﹣m2+2m+3＝﹣m+c，
解得c＝﹣m2+3m+3，
∴直线PM的解析式为y＝﹣x﹣m2+3m+3，
令﹣x﹣m2+3m+3＝﹣x2+2x+3且Δ＝0，
解得m＝，
此时直线PM的解析式为y＝﹣x+，当y＝0时x＝，
∴点M横坐标为最大值是，
∴点M经过的路程为：（﹣3）×2＝，
故答案为：．
5．解：抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴b＝﹣2a＞0，c＝﹣3a＞0，
∴bc＞0，所以①正确；
∵x1＜x2，x1+x2＞2，
∴x2﹣1＞1﹣x1，
而抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，
∴y1＞y2，所以②错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，
方程a（x+1）2+bx＝﹣c﹣b变形为方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0，
∴x+1＝﹣1或x+1＝3，解得x1＝﹣2，x2＝2，所以③正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）的顶点为P（m，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n只有一个公共点，
而抛物线开口向下，a＜0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝a+n有两个公共点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝a+n一定有两个不相等的实数根．所以④正确．
故答案为①③④．
6．解：当y＝0时，﹣x2+4x＝0，解得x1＝0，x2＝4，则A1（4，0），
∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴C1的顶点坐标为（2，4），
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，
∴A2（2×4，0），C2的开口向上，
∵将C2绕点A2旋转180°得C3，
∴A3（3×4，0），C3的开口向下，
…，
∴A2020（2020×4，0），A2021（2021×4，0），
∵抛物线C2021的开口向下，
∴第2021段抛物线C2021的解析式为y＝﹣（x﹣2020×4）（x﹣2021×4），即y＝﹣（x﹣8080）（x﹣8084），
抛物线的顶点坐标为（8082，4），
当x＝8081或x＝8083时，y＝3，
∴m的值为8081或8083．
故答案为8081或8083．
7．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝4时，y＝﹣x2+4x＝﹣16+16＝0，
当x＝2时，y＝4，
在1＜x＜4时有公共点时
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜4时有公共点时，0＜t≤4，
故答案为0＜t≤4．
8．解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为x＝1，
则另外一个交点的坐标为（﹣1，0），
从图象看，当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，
故答案为x＜﹣1或x＞3．
9．解：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，4），B（2，4），
即y＝ax2+bx+c＝4时，x＝﹣1或2，
则将上述抛物线向右平移3个单位得到y＝a（x﹣3）2+b（x﹣3）+c，
则y＝4时，即y＝a（x﹣3）2+b（x﹣3）+c＝4，即a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c，
则点A、B也向右平移了3个单位，则x＝2或5，
故答案为2或5．
10．解：∵A（﹣1，m）和B（5，m）是抛物线y＝x2+bx+1上的两点，
∴点A和点B为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
即﹣＝2，解得b＝﹣4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1，
把（﹣1，m）代入得m＝1+4+1＝6；
抛物线向上平移n个单位后的解析式为y＝x2﹣4x+1+n，
∵抛物线y＝x2﹣4x+1+n与x轴没有交点，
∴△＝（﹣4）2﹣4（1+n）＜0，
解得n＞3，
∵n是正整数，
∴n的最小值为4．
故答案为﹣4，6；4．
11．解：函数的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝﹣1
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（x，0），
∵抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，
∴（3+x）＝﹣1，
解得：x＝﹣5，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：（﹣5，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是3或﹣5，
故答案为：3或﹣5．
12．解：∵抛物线的对称轴为x＝1＝（x1+x2），
即x1+x2＝2，
故答案为：2．
13．解：∵二次函数y＝（ax+m）（x+），
∴当x＝0时，y＝3，
∴二次函数y＝（ax+m）（x+）必经过定点（0，3），
∴二次函数y＝（ax+m）（x+）经过（0，3）、（4，3）两点或经过（﹣4，3）（0，3）两点，
∴对称轴为：x＝（0+4）＝2或x＝（﹣4+0）＝﹣2，
∵方程y＝（ax+m）（x+）＝0的一个根为x＝1，
∴另一个根为3或﹣5，
∴故答案为3或﹣5．
14．解：对于y＝（x﹣4）2，令y＝（x﹣4）2＝0，解得x＝4，令x＝0，则y＝8，
则函数的大致图象如下：
则点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，8），
∴OA＝4，OB＝8，
∴△AOB的面积＝×OA×OB＝×4×8＝16，
故答案为：16．
15．解：方程ax2+bx+c+m＝0有实数根，相当于y＝ax2+bx+c（a≠0）平移m个单位与x轴有交点，
又图象最低点为y＝﹣3，
∴二次函数最多可以向上平移3个单位，
∴m≥﹣3，
故答案为：m≥﹣3．
16．解：∵抛物线解析式为y＝x2﹣k，
∴该抛物线的顶点（0，﹣k），
∵抛物线和x轴有两个交点，
∴4k＞0，
∴k＞0，
令y＝0，得x＝±，
又∵抛物线y＝x2﹣k与x轴的两个交点以及顶点围成的三角形是等腰直角三角形，
∴＝k．
解得
k＝1，
故答案为：1．
17．解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故①正确；
②∵对称轴为x＝1，一个交点为（﹣1，0），
∴另一个交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3，故②正确；
③由对称轴为x＝1，
∴，
∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故③正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于（0，2），
∴c＝2，
∵a＜0，
∴c﹣a＞2，故④正确，
故答案为：①②③④．
18．解：对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝3，
故点A、B、C的坐标分别为（3，0）、（﹣1，0）、（0，3），
由点B、C的坐标知，CO＝OA＝3，则∠OAC＝∠OCA＝45°，则AC＝3，
如图，当点M在x轴上方时，
连接BM，作点B关于y轴的对称点D（1，0），则∠BOC＝∠DOC，DC＝BC＝＝，
∵∠BCO+∠BMO＝∠ACO＝45°，∠OCA＝∠DCO+∠ACD＝∠BCO+∠ACD＝45°，
∴∠BMO＝∠ACD，
在△ADC中，过点D作DH⊥AC于点H，
则S△ACD＝×AD×OC＝×AC×DH，即（3﹣1）×3＝3×DH，解得DH＝，
则MB＝，
则OM＝＝＝2，
即点M的坐标为（0，2）；
当点M在x轴下方时，根据函数的对称性，则点M（0，﹣2）；
综上，点M的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．
19．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（4，0），
∴ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝4，
∵方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0可看作关于x﹣1的一元二次方程，
∴x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，
解得x1＝﹣2，x2＝5．
故答案为x1＝﹣2，x2＝5．
20．解：∵函数y＝（k+1）x2﹣2x+1的图象与x轴有交点，
∴当k+1≠0时，（﹣2）2﹣4（k+1）×1≥0，
解得k≤0且k≠﹣1，
当k+1＝0时，y＝﹣2x+1，当y＝0时，x＝，此时k＝﹣1，
由上可得，k的取值范围是k≤0，
故答案为：k≤0．