24.1.1圆的性质同步练习题 2021-2022学年九年级数学人教版上册（2课时 Word版含答案）

24.1
圆的有关性质
课时1　圆
知识点
1　圆的定义
1.[2020江苏苏州相城区期中]到圆心的距离大于半径的点的集合是
(　　)
A.圆的内部
B.圆的外部
C.圆
D.圆的外部和圆
2.通过下列条件,能确定圆的是
(　　)
A.以点O为圆心
B.以点O为圆心,2
cm为半径
C.以2
cm为半径
D.经过已知点A,且半径为2
cm
3.如图,△ABC和△ABD都为直角三角形,且∠C=∠D=90°.求证:A,B,C,D四点在同一个圆上.
知识点
2　圆的有关概念
4.易错题
[2021江苏南京外国语学校月考]下列说法错误的是
(　　)
A.直径相等的两个圆是等圆
B.长度相等的两条弧是等弧
C.圆中最长的弦是直径
D.一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧
5.如图,在☉O中,线段　　　　　　是☉O的半径;线段　　　　　是☉O的弦,其中最长的弦是　　　　;　　　　　是劣弧,　　　　　是优弧.(将满足要求的答案全部填上)
6.如图,点A,N在半圆O上,四边形ABOC,DNMO均为矩形,则BC,MD的大小关系为BC　　　MD.(填“>”“=”或“<”)
7.[2020天津红桥区期中]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,若以点C为圆心、CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长为　　　　.
8.如图,A,B,C为☉O上的三点,∠OBA=50°,∠OBC=60°,则∠OAC的度数为　　　　.
9.[2021江苏泰州月考]如图,已知AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB,CD的延长线相交于点E,连接OC.若AB=2DE,∠E=18°,求∠C及∠AOC的度数.
10.如图,AB,AC是☉O的弦,连接CO,BO并延长,分别交弦AB,AC于点E,F,CE=BF.求证:AE=AF.
课时2　垂直于弦的直径
知识点
1　圆的对称性
1.[2021江苏淮安期末]下列说法不正确的是
(　　)
A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B.圆有无数条对称轴
C.圆的每一条直径都是它的对称轴
D.圆的对称中心是它的圆心
2.学校有一个圆形花坛,要求将它三等分,以便在上面种植三种不同的花,你认为所给图中符合设计要求的图案是　　　　.(将所有符合设计要求的图案序号填上)
知识点
2　垂径定理及其推论
3.易错题
下列命题正确的有
(　　)
①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦;②垂直于弦的直线平分弦;③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧;④与直径不垂直的弦不能被该直径平分;⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.[2020贵州黔东南州中考]如图,☉O的直径CD=20,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM∶OC=3∶5,则AB的长为
(　　)
A.8
B.12
C.16
D.2√91
5.原创题
《九章算术》是我国古代数学经典著作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式:弧田面
积=1/2(弦×矢+矢2).弧田(如图所示)由圆弧和其所对弦围成,公式中的“弦”指圆弧所对的弦AB,“矢”指半径长与圆心O到弦AB的距离(d)之差.若“弦”为24,d为5,根据上述经验公式计算,该弧田的面积为(　　)
A.80
B.100
C.104
D.128
6.[2020上海静安区二模]如图,已知AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,∠CEA=30°,OF⊥CD,垂足为点F,DE=5,OF=1,那么CD=　　　　.
7.[2020北京房山区期末]如图,AB是☉O的直径,点P是AB上一点,且点P是弦CD的中点.
(1)依题意画出弦CD,并说明画图的依据;(不写画法,保留画图痕迹)
(2)若AP=2,CD=8,求☉O的半径.
知识点
3　垂径定理及其推论的应用
8.[2020安徽合肥包河区期末]将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒,水平放置在桌面上,如图所示,已知水杯内径(图中小圆的直径)是8
cm,水的最大深度是2
cm,则水面AB的宽度是
(　　)
A.6
cm
B.4√2
cm
C.4√3
cm
D.4√5
cm
9.[2021北京朝阳外国语学校期中]《九章算术》是我国古代著名数学著作,书中记载:“今有圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何.”用数学语言可表述为“如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD于点E,ED=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.”则CD=
(　　)
A.13寸
B.20寸
C.26寸
D.28寸
10.[2021广东广州番禺区期中]
如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度AB=60米,拱高PD=18米.
(1)求圆弧所在圆O的半径r;
(2)当洪水泛滥到跨度小于等于30米时,需要采取紧急措施.当拱顶离水面只有4米,即PE=4米时,是否需要采取紧急措施
答案
1.B
2.B　【解析】　圆由圆心和半径两个要素确定,选项B中圆心和半径都具备.故选B.
确定一个圆的两个因素:圆心和半径.半径确定圆的大小,圆心确定圆的位置.
3.【解析】　如图,取AB的中点O,连接OC,OD.
∵△ABC和△ABD都为直角三角形,且∠ACB=∠ADB=90°,
∴DO,CO分别为Rt△ABD和Rt△ABC斜边上的中线,
∴OA=OB=OC=OD,
∴A,B,C,D四点在同一个圆上.
4.B　【解析】　长度相等的两条弧不一定能重合,所以长度相等的两条弧不一定是等弧,所以B项说法错误.故选B.
5.OA,OB,OC　AB,BC,AC　AC　 ┬AB, ┬BC　
┬ACB, ┬BAC
6.=　【解析】　连接OA,ON,因为四边形ABOC,DNMO均为矩形,所以OA=BC,ON=MD,又OA,ON为半圆O的半径,所以OA=ON,所以BC=MD.
7.5√3　【解析】　连接CD,∵∠ACB=90°,D为AB的中点,∴CD=1/2AB=5,∴BC=CD=5.在Rt△ABC中,AC=√AB^2 BC^2=√10^2 5^2=5√3.
8.20°　【解析】　∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=50°,∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=80°.∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC=60°,∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=60°,∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=140°.∵OA=OC,
∴∠OAC=1/2(180°-∠AOC)=20°.
9.【解析】　连接OD,∵AB=2DE,∴AO=OC=OD=DE,
∴∠DOE=∠E,∠C=∠ODC,∴∠C=∠ODC=2∠E,
∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E.
∵∠E=18°,∴∠C=36°,∠AOC=54°.
10.【解析】　∵OB=OC,CE=BF,
∴OE=OF,
又∠EOB=∠FOC,∴△BOE≌△COF,∴∠B=∠C,
又∠A=∠A,BF=CE,∴△BFA≌△CEA,∴AE=AF.
1.C　【解析】　圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴,故C项说法不正确;易知A,B,D项说法正确.故选C.
2.②③④　【解析】　②③都是先把圆三等分,然后根据圆的旋转不变性,在每一部分内作了相同的图案,④是根据圆的对称性,把圆六等分,每一种占其中的2份,所以②③④符合要求.
3.A　【解析】　
一条直线如果具备经过圆心、垂直于弦、平分弦(不是直径)、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条,必然具备其余三条.①该直线满足平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧两个条件,所以①正确;②只满足其中的一个条件,所以不正确;③不满足条件,所以不正确;④⑤要考虑到特殊情况,条件中的弦有可能是直径,所以不正确.故选A.
4.C　【解析】　如图,连接OA,∵☉O的直径CD=20,∴OA=OC=10.∵OM∶OC=3∶5,∴OM=6.在Rt△AOM中,由勾股定理,得AM=√OA^2 OM^2=√10^2 6^2=8,∴AB=2AM=16.故选C.
5.D　【解析】　如图,过点O作OC⊥AB于点C.由题意可知AB=24,OC=5,∴AC=BC=1/2AB=12.在Rt△AOC中,由勾股定理,得OA=√AC^2+OC^2=√12^2+5^2=13,∴矢=13-5=8,∴该弧田的面积为1/2×(24×8+82)=128.故选D.
6.10-2√3　【解析】　∵OF⊥CD,∴CF=DF.∵∠CEA=30°,∴∠OEF=30°,∴OE=2OF=2.在Rt△EOF中,由勾股定理,得EF=√3,∴DF=DE-EF=5-√3,∴CD=2DF=10-2√3.
7.【解析】　(1)弦CD如图所示.
依据:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦.
(2)如图,连接OD,
∵点P是弦CD的中点,AB是☉O的直径,∴OA⊥CD,PD=1/2CD.
∵CD=8,∴PD=4.
设☉O的半径为r,则OD=r,OP=OA-AP=r-2,
在Rt△ODP中,∠OPD=90°,
∴OD2=OP2+PD2,即r2=(r-2)2+42,解得r=5,
即☉O的半径为5.
8.C　【解析】　如图,过点O作OD⊥AB于点C,交小圆于点D,连接OA,则CD=2
cm,AC=BC.∵水杯内径是8
cm,∴OA=OD=4
cm,∴OC=2
cm.在Rt△OAC中,∠OCA=90°,OA=4
cm,OC=2
cm,∴AC=√OA^2 OC^2=2√3
cm,∴AB=2AC=4√3
cm.故选C.
9.C　【解析】　如图,连接OA,∵AB⊥CD,AB=10寸,∴AE=BE=5寸.设☉O的半径为x寸,则OC=OD=x寸,∵ED=1寸,∴OE=(x-1)寸.在Rt△AOE中,根据勾股定理,得
x2-(x-1)2=52,解得x=13,∴CD=26寸.故选C.
10.【解析】　(1)连接OA,
由题意,得AD=1/2AB=30米,OD=(r-18)米.
在Rt△ADO中,由勾股定理,得r2=302+(r-18)2,解得r=34.
故圆弧所在圆O的半径r为34米.
(2)连接OA',
在Rt△OA'E中,OA'=34米,OE=OP-PE=30米,
由勾股定理,得A'E2=342-302,∴A'E=16米,∴A'B'=32米.
∵32>30,∴不需要采取紧急措施.