2021-2022学年八年级数学上册 华东师大版13.3.2 等腰三角形的判定同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年八年级数学上册 华东师大版13.3.2 等腰三角形的判定同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 577.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-03 16:11:16 | ||
图片预览
文档简介
2021-2022学年八年级数学上册（华东师大版）
13.3.2等腰三角形的判定-同步练习
时间：60分钟
一、单选题
1．已知：如图，经过线段一端点A有一直线l，直线上l存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（
）个．
A．2
B．3
C．4
D．5
2．如图，是的角平分线，交于E，若，则（
）．
A．8
B．11
C．10
D．9
3．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知，是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
4．如图，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如下图形，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
5．下列说法：
①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；
②等边三角形是特殊的等腰三角形；
③等腰三角形是特殊的等边三角形；
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；
其中，说法正确的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，交于点D，交于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有（
）个
A．4
B．5
C．6
D．7
7．如图，已知OC平分∠AOB,CD//OB，若OD=3
cm，则CD等于：（
）
A．1.5cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
8．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
二、填空题
9．如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是____________.(填序号)
10．等腰三角形的判定定理是______________________．
11．已知：如图，中，分别是和的平分线，过O点的直线分别交、于点D、E，且．若，则的周长为______．
12．已知、，点在轴上，若是等腰三角形，则满足这样条件的有________个．
13．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝_____．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，在坐标轴上找一点P，使得AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．
15．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为__________．
16．如图，在中，的中垂线交于点P，若，则的度数为________．
三、解答题
17．如图，若是等边三角形，是的平分线，延长到点E，使，求的长度．
18．如图，在中，为边上的中线，．求证：．
19．如图，点E、F在线段BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于O，求证：OE=OF．
20．如图，在和中，为斜边，，、相交于点．
（1）请说明的理由；
（2）若，，求的长．
21．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
22．已知中，，，为边上一点，过点的直线交及延长线于、两点，．
（1）求证；
（2）求证；
（3）若，，请直接写出的面积．
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【解析】解：如图所示，以B为圆心，以AB的长为半径画弧与直线l交于点D，此时AB=BD，同理以A为圆心以AB的长为半径与直线l交于E、C，此时AC=AB，AE=AB，再作AB的垂直平分线与直线l交于点F，此时AF=BF，
∴一共有4个点满足题意，
故选C．
2．A
【解析】解：∵是的角平分线，
∴∠DCB=∠DCE，
∵，
∴∠DCB=∠EDC，
∴∠EDC=∠DCE，
∴CE=DE=3cm，
∴AC=AE+CE=5+3=8cm．
故选择A．
3．C
【解析】解：如图所示，①为等腰底边时，符合条件的点有4个；
②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个．
故选：．
4．B
【解析】如图，
∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上．
∴EF∥DG，∠E=∠D=60°，
∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°，
∴EM=NM=EN，DM=GM=DG，
∴△MEN，△MDG是等边三角形．
∵∠A=∠B=30°，
∴MA=MB，
∴△ABM是等腰三角形．
∴图中等腰三角形有3个．
故选：B．
5．B
【解析】①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形；故原说法错误．
②等边三角形是特殊的等腰三角形；正确．
③等边三角形是特殊的等腰三角形；故原说法错误．
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确，
故选：B．
6．D
【解析】解：①∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形；
②∵BO，CO，AO分别是三个角的角平分线，
∴∠ABO=∠CBO=∠BAO=∠CAO=∠ACO=∠BCO，
∴AO=BO，AO=CO，BO=CO，
∴△AOB为等腰三角形；
③△AOC为等腰三角形；
④△BOC为等腰三角形；
⑤∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ABC=∠ODE，∠ACB=∠OED，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ODE=∠OED，
∴△DOE为等腰三角形；
⑥∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO，
∵∠DBO=∠ABO，∠ECO=∠ACO，
∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO，
∴△BOD为等腰三角形；
⑦△COE为等腰三角形．
故选：D．
7．C
【解析】∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC；
又∵CD∥OB，
∴∠C=BOC，
∴∠C=∠AOC；
故选C.
8．C
【解析】如图，当OA=OP时，可得P1、P2满足条件，
当OA=AP时，可得P3满足条件，
当AP=OP时，可得P4满足条件，
故选C.
9．（1）（3）（4）
【解析】由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
（1）中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°；
（2）不能；
（3）直角三角形的斜边上的中线把它还分为了两个等腰三角形；
（4）中分成的为36°，72°，72°和36°，36°，108°．
故应填①③④．
10．等角对等边
【解析】解：等腰三角形的判定定理是：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即等角对等边
故答案为：等角对等边．
11．
【解析】∵，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴的周长．
故答案为：14cm
12．
【解析】以A为圆心，以AB为半径画弧，交x轴于C1点，此时AC=AB；
以B为圆心，以AB为半径画弧，交x轴于C2，C3点，此时BC=AB；
作AB的垂直平分线交x轴于C4点，此时AC=BC.
故答案为4.
13．2
【解析】作EH⊥OA于H．
∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°．
∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2．
故答案为2．
14．8
【解析】作出图形，如图，可知使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个．
故答案是：8
15．P（3，4）或（2，4）或（8，4）
【解析】由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：
（1）如图所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=，
∴OE=OD-DE=5-3=2，
∴此时点P坐标为（2，4）；
（2）如图所示，OP=OD=5．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：
OE=，
∴此时点P坐标为（3，4）；
（3）如图所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：
DE=，
∴OE=OD+DE=5+3=8，
∴此时点P坐标为（8，4）．
综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．
16．
【解析】连接
分别为的垂直平分线，
，
是等腰三角形
故答案为：
17．9
【解析】解：∵是等边三角形，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．见解析．
【解析】证明：如图，
作的平分线交于点E，连接，
∵，
∴，
∴，
又∵为边上的中线，点D为中点，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
19．详见解析.
【解析】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
又∵AB=DC，∠B=∠C，
∴△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF．
20．（1）见解析；（2）CE=1.
【解析】（1）证明：在和中，
∵与是对顶角，
∴．
∵，，
∴≌（AAS）．
∴．
（2）∵，，
∴，
∴
，
∴．
21．（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析
【解析】（1）证明：平分
∴∠ABD=∠DBC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB，
；
②，
平分
（2）
理由：∵CD、BD分别平分∠ACE，∠ABE，
，∠DBC=∠ABC，
又
又∵∠BDC+∠DBC=∠DCE
∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，
∴．
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】证明：（1）
（2）如图，过作交于，
,，
,
，
，
，
在与中，
（3）过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
13.3.2等腰三角形的判定-同步练习
时间：60分钟
一、单选题
1．已知：如图，经过线段一端点A有一直线l，直线上l存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（
）个．
A．2
B．3
C．4
D．5
2．如图，是的角平分线，交于E，若，则（
）．
A．8
B．11
C．10
D．9
3．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知，是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
4．如图，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如下图形，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
5．下列说法：
①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；
②等边三角形是特殊的等腰三角形；
③等腰三角形是特殊的等边三角形；
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；
其中，说法正确的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，交于点D，交于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有（
）个
A．4
B．5
C．6
D．7
7．如图，已知OC平分∠AOB,CD//OB，若OD=3
cm，则CD等于：（
）
A．1.5cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
8．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
二、填空题
9．如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是____________.(填序号)
10．等腰三角形的判定定理是______________________．
11．已知：如图，中，分别是和的平分线，过O点的直线分别交、于点D、E，且．若，则的周长为______．
12．已知、，点在轴上，若是等腰三角形，则满足这样条件的有________个．
13．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝_____．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，在坐标轴上找一点P，使得AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．
15．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为__________．
16．如图，在中，的中垂线交于点P，若，则的度数为________．
三、解答题
17．如图，若是等边三角形，是的平分线，延长到点E，使，求的长度．
18．如图，在中，为边上的中线，．求证：．
19．如图，点E、F在线段BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于O，求证：OE=OF．
20．如图，在和中，为斜边，，、相交于点．
（1）请说明的理由；
（2）若，，求的长．
21．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．
22．已知中，，，为边上一点，过点的直线交及延长线于、两点，．
（1）求证；
（2）求证；
（3）若，，请直接写出的面积．
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【解析】解：如图所示，以B为圆心，以AB的长为半径画弧与直线l交于点D，此时AB=BD，同理以A为圆心以AB的长为半径与直线l交于E、C，此时AC=AB，AE=AB，再作AB的垂直平分线与直线l交于点F，此时AF=BF，
∴一共有4个点满足题意，
故选C．
2．A
【解析】解：∵是的角平分线，
∴∠DCB=∠DCE，
∵，
∴∠DCB=∠EDC，
∴∠EDC=∠DCE，
∴CE=DE=3cm，
∴AC=AE+CE=5+3=8cm．
故选择A．
3．C
【解析】解：如图所示，①为等腰底边时，符合条件的点有4个；
②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个．
故选：．
4．B
【解析】如图，
∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上．
∴EF∥DG，∠E=∠D=60°，
∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°，
∴EM=NM=EN，DM=GM=DG，
∴△MEN，△MDG是等边三角形．
∵∠A=∠B=30°，
∴MA=MB，
∴△ABM是等腰三角形．
∴图中等腰三角形有3个．
故选：B．
5．B
【解析】①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形；故原说法错误．
②等边三角形是特殊的等腰三角形；正确．
③等边三角形是特殊的等腰三角形；故原说法错误．
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确，
故选：B．
6．D
【解析】解：①∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形；
②∵BO，CO，AO分别是三个角的角平分线，
∴∠ABO=∠CBO=∠BAO=∠CAO=∠ACO=∠BCO，
∴AO=BO，AO=CO，BO=CO，
∴△AOB为等腰三角形；
③△AOC为等腰三角形；
④△BOC为等腰三角形；
⑤∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ABC=∠ODE，∠ACB=∠OED，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ODE=∠OED，
∴△DOE为等腰三角形；
⑥∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO，
∵∠DBO=∠ABO，∠ECO=∠ACO，
∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO，
∴△BOD为等腰三角形；
⑦△COE为等腰三角形．
故选：D．
7．C
【解析】∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC；
又∵CD∥OB，
∴∠C=BOC，
∴∠C=∠AOC；
故选C.
8．C
【解析】如图，当OA=OP时，可得P1、P2满足条件，
当OA=AP时，可得P3满足条件，
当AP=OP时，可得P4满足条件，
故选C.
9．（1）（3）（4）
【解析】由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
（1）中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°；
（2）不能；
（3）直角三角形的斜边上的中线把它还分为了两个等腰三角形；
（4）中分成的为36°，72°，72°和36°，36°，108°．
故应填①③④．
10．等角对等边
【解析】解：等腰三角形的判定定理是：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即等角对等边
故答案为：等角对等边．
11．
【解析】∵，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴的周长．
故答案为：14cm
12．
【解析】以A为圆心，以AB为半径画弧，交x轴于C1点，此时AC=AB；
以B为圆心，以AB为半径画弧，交x轴于C2，C3点，此时BC=AB；
作AB的垂直平分线交x轴于C4点，此时AC=BC.
故答案为4.
13．2
【解析】作EH⊥OA于H．
∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°．
∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2．
故答案为2．
14．8
【解析】作出图形，如图，可知使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个．
故答案是：8
15．P（3，4）或（2，4）或（8，4）
【解析】由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：
（1）如图所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=，
∴OE=OD-DE=5-3=2，
∴此时点P坐标为（2，4）；
（2）如图所示，OP=OD=5．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：
OE=，
∴此时点P坐标为（3，4）；
（3）如图所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：
DE=，
∴OE=OD+DE=5+3=8，
∴此时点P坐标为（8，4）．
综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．
16．
【解析】连接
分别为的垂直平分线，
，
是等腰三角形
故答案为：
17．9
【解析】解：∵是等边三角形，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．见解析．
【解析】证明：如图，
作的平分线交于点E，连接，
∵，
∴，
∴，
又∵为边上的中线，点D为中点，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
19．详见解析.
【解析】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
又∵AB=DC，∠B=∠C，
∴△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF．
20．（1）见解析；（2）CE=1.
【解析】（1）证明：在和中，
∵与是对顶角，
∴．
∵，，
∴≌（AAS）．
∴．
（2）∵，，
∴，
∴
，
∴．
21．（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析
【解析】（1）证明：平分
∴∠ABD=∠DBC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB，
；
②，
平分
（2）
理由：∵CD、BD分别平分∠ACE，∠ABE，
，∠DBC=∠ABC，
又
又∵∠BDC+∠DBC=∠DCE
∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，
∴．
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】证明：（1）
（2）如图，过作交于，
,，
,
，
，
，
在与中，
（3）过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页