2021-2022学年北师大版八年级数学上册第1章勾股定理 单元能力达标测评（word版、含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝8cm，AC＝6cm，则BD的长为（　　）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
2．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（　　）
A．20km
B．14km
C．11km
D．10km
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝3，S2＝10，则S3＝（　　）
A．5
B．7
C．13
D．15
4．下面四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4
B．4，5，6
C．3，4，6
D．6，8，10
5．如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．12cm2
B．18cm2
C．22cm2
D．36cm2
6．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，则S2的值是（　　）
A．12
B．15
C．20
D．25
7．已知直角三角形纸片的两条直角边分别为m和n（m＜n），过此三角形锐角的顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则有（　　）
A．m2+2mn+n2＝0
B．m2﹣2mn+n2＝0
C．m2+2mn﹣n2＝0
D．m2﹣2mn﹣n2＝0
8．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（　　）
A．16
B．25
C．144
D．169
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，AD＝AB，AE⊥BD，垂足为点F，交BC于点E，则BE的长为（　　）
A．2
B．
C．
D．
10．已知一直角三角形，三边的平方和为800cm2，则斜边长为（　　）
A．20cm
B．40cm
C．400cm
D．不能确定
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．等腰三角形的腰长为，底长为2，则其腰上的高为
　
　．
12．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是BC边所在直线上的点，AD＝12，BD＝9，则BC＝　
　．
13．三边为9，12，15的三角形，其面积为
　
　．
14．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离C处5米的绿地旁边B处有健身器材，为提醒居住在A处的居民爱护绿地，不直接穿过绿地从A到B，而是沿小道从A→C→B．小丽想在A处树立一个标牌“沿路多走■米，共建美丽家园”请问：小丽在标牌■填上的数字是
　
　．
15．已知△ABC中，AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，当k＝　
　时，∠C＝90°．
16．如图，在△ABC中，BC＝17，AB＝8，AC＝15，点D是BC中点，则AD的长为
　
　．
17．古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深
　
　尺．
18．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时，水平距离CD＝6m，踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则AC的长是m　
　．
19．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上的高线为12，则△ABC的面积为
　
　．
20．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口C，各自沿一固定方向航行，甲客轮每小时航行16nmile，乙客轮每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后分别位于点A、B处，且相距30nmile．如果知道甲客轮沿着北偏西45°方向航行，则乙客轮的航行方向可能是
　
　．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新建一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
22．如图，A，B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8km，CB＝6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1）E站应建在距A站多少千米处？
（2）DE和EC垂直吗？说明理由．
23．如图，将长为2.5米的梯子AB斜靠在墙AO上，BO长0.7米．如果将梯子的顶端A沿墙下滑0.4米，即AM等于0.4米，则梯脚B外移（即BN长）多少米？
24．如右图，一块四边形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．
（1）连接AC，判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求四边形花圃ABCD的面积．
25．如图，在荡秋千时，绳子最低点E离地面1m，荡到最高点D时离地面4m，此时水平位移BC是6m，求绳子长．
26．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：过D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，
∴AB＝10（cm），
∵，
∵AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴DE＝CD，
∴，
∴CD＝3（cm），
∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5（cm），
故选：C．
2．解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．
观察图形可知AC＝AF﹣MF+MC＝8﹣3+1＝6，BC＝2+5＝7，
在Rt△ACB中，AB＝10（km）．
答：登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是10km，
故选：D．
3．解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∴AC2＝10﹣3＝7，
∴S3＝7，
故选：B．
4．解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
5．解：如图，连接BD，
∵∠A＝90°，AB＝3cm，AD＝4cm，
∴BD＝5（cm），
∵BC＝13cm，CD＝12cm，52+122＝132，
∴BD2+CD2＝CB2，
∴∠BDC＝90°，
∴S△DBC＝×DB×CD＝×5×12＝30（cm2），
S△ABD＝×3×4＝6（cm2），
∴四边形ABCD的面积为30+6＝36（cm2），
故选：D．
6．解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，
∵S1+S2+S3＝45，
∴4m+S2+S2+S2﹣4m＝45，
即3S2＝45，
解得S2＝15．
故选：B．
7．解：如图，
m2+m2＝（n﹣m）2，
2m2＝n2﹣2mn+m2，
m2+2mn﹣n2＝0．
故选：C．
8．解：
根据勾股定理得出：AB＝5，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是EP2+PF2＝25，
故选：B．
9．解：连接DE，
∵AD＝AB，AE⊥BD，
∴AE是BD的垂直平分线，
∴DE＝BE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠ABE＝90°，
在△ABC中，∠ABC＝90°，
由勾股定理得：AC＝5，
∴CD＝AC﹣AD＝5﹣3＝2，
设BE＝x，则CE＝4﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴BE＝．
故选：B．
10．解：设直角三角形的两条直角边分别为acm、bcm，斜边为ccm．
根据题意，得a2+b2+c2＝800，
∵a2+b2＝c2，
∴2c2＝800，
∴c2＝400，
∵c＞0，
∴C=200cm
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：如图，△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，
过点A作AD⊥BC，交BC于点D，
则BD＝BC＝1cm，
在Rt△ABD中，由勾股定理得AD，
设一腰上的高为h，
∵△ABC的面积＝BC AD＝AB h，
即1×＝ h，
解得h＝．
故答案为．
12．解：如图1所示，当点D在线段BC上时，
∵AD＝12，BD＝9，AB＝15，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴DC＝16，
∴BC＝BD+CD＝9+16＝25；
如图2所示，当点D在CB的延长线上时，
同理可得，DC＝16，
∴BC＝CD﹣BD＝16﹣9＝7；
由于AC＞AB，所以点D不在BC的延长线上．
综上所述，BC的长度为25或7．
故答案为：25或7．
13．解：∵92+122＝225＝152，
∴三边长分别为9，12，15的三角形是直角三角形，
∴三角形的面积为：×9×12＝54．
故答案为：54．
14．解：在Rt△ABC中，AB为斜边，
∴AB＝13米，
少走的距离为
AC+BC﹣AB＝（12+5）﹣13（米）＝4米
答：小明在标牌■填上的数字是4．
故答案为：4．
15．解：∵∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，
∴（k﹣1）2+32＝k2，
解得：k＝5，
故答案为：5．
16．解：∵△ABC中，AB＝8，BC＝17，AC＝17，
∵152+82＝172，即AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D是BC中点，
∴AD＝，
故答案为：8.5．
17．解：依题意画出图形，
设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
∵B′E＝10尺，
∴B′C＝5尺，
在Rt△AB′C中，52＝（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即水深12尺，
故答案为：12．
18．解：设秋千绳索AB的长度为xm，
由题意可得AC＝AB＝xm，
四边形DCFE为矩形，BE＝1m，DC＝6m，CF＝4m，DE＝CF＝4m，
∴DB＝DE﹣BE＝3m，AD＝AB﹣BD＝（x﹣3）m，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
即（x﹣3）2+62＝x2，
解得x＝7.5，
即AC的长度为7.5m，
故答案为：7.5．
19．解：如图（1），△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，
由勾股定理得，BD＝9，
在Rt△ADC中AC＝20，AD＝12，
由勾股定理得，DC＝16，
则BC的长为BD+DC＝9+16＝25，
△ABC的面积为：＝150；
如图（2），
同（1）的作法相同，BC＝7，
△ABC的面积为：＝42，
故答案为：42或150．
20．解：AC的长度为：16×1.5＝24（n
mile），
BC的长度为：12×1.5＝18（n
mile），
∵302＝242+182，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∵甲客轮沿着北偏西45°方向航行，
∴乙客轮的航行方向可能是北偏东45°，
故答案为：北偏东45°．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．解：（1）CH是从村庄C到河边的最近路．
理由如下：
∵CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，
∴CB2＝CH2+HB2，
∴△BCH为直角三角形，∠BHC＝90°，
∴CH⊥AB，
∴CH为C点到AB的最短路线；
（2）设AC＝xkm，则AB＝xkm，AH＝（x﹣0.9）km，
在Rt△ACH中，（x﹣0.9）2+1.22＝x2，
解得x＝1.25，
即AC＝1.25km，
∵AC﹣CH＝1.25﹣1.2＝0.05（km），
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
22．解：（1）设AE＝xkm，
∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，
由勾股定理，得82+x2＝62+（14﹣x）2，
解得：x＝6．
故E点应建在距A站6千米处；
（2）DE⊥CD，理由如下：
在Rt△DAE和Rt△CBE中，
，
∴Rt△DAE≌Rt△CBE（HL），
∴∠D＝∠BEC，
∵∠D+∠AED＝90°，
∴∠BEC+∠AED＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥CD．
23．解：由题意得：AB＝2.5米，BO＝0.7米，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
AO＝2.4（米），
∴MO＝AO﹣AM＝2.4﹣0.4＝2（米），
在Rt△MNO中，由勾股定理得：
NO＝1.5（米），
∴NB＝ON﹣OB＝1.5﹣0.7＝0.8（米），
∴梯脚B外移（即BN长）0.8米．
24．解：（1）连接AC，
因为∠B＝90°，所以直角△ABC中，由勾股定理得：
AC2＝AB2+BC2，
AC2＝42+32，
AC2＝25，
∴AC＝5m，又CD＝12m，AD＝13m，
所以△ACD中，AC2+CD2＝AD2，
所以△ACD是直角三角形；
（2）S四边形ABCD＝AC CD+AB BC
S四边形ABCD＝×5×12+×4×3
＝30+6
＝36（m2），
答：该花圃的面积为36m2．
25．解：设绳子长为x米，
过D点作DF⊥AB于F，
根据题意得：AB＝x+1（米），AF＝x+1﹣4＝x﹣3（米），
AD＝x（米），DF＝BC＝6米，
由勾股定理得：（x﹣3）2+62＝x2，
解得：x＝7.5，
答：绳子长7.5米．
26．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝4（cm）；
（2）由题意得：BP＝tcm，分两种情况：
①当∠APB＝90°时，如图1所示：
点P与点C重合，
∴BP＝BC＝4cm，
∴t＝4；
②当∠BAP＝90°时，如图2所示：
则CP＝（t﹣4）cm，∠ACP＝90°，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2，
∴AC2+CP2＝BP2﹣AB2，
即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，
解得：t＝；
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4s或s．