第2章对称图形——圆 解答题 辅导专题突破训练2021-2022学年苏科版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《第2章对称图形——圆》解答题
优生辅导专题突破训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，过A，C，D三点的圆O交AB于点E，已知，BD＝AD，∠BAD＝2∠DAC＝36°．
（1）求证：AD是圆O的直径；
（2）过点E作EF⊥BC于点F，求证：EF与圆O相切．
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ADB＝90°，过A，B，D三点的圆交BC边于点E．
（1）求证：E是BC的中点；
（2）若BC＝2CD，求证：∠BCD＝2∠ABD．
3．如图，已知EF过圆O的圆心O，且弦AB⊥EF，连接AE交⊙O于点C，连接BC交EF于点D，连接OB、OC．
（1）若∠E＝24°，求∠BOC的度数；
（2）若OB＝2，OD＝1，求DE的长．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝，AB＝12，求阴影部分的面积（结果保留π）．
5．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝70°，O为AB上一点．
（Ⅰ）如图①，AB为⊙O的直径，⊙O分别与AC、BC交于点D，E，F为⊙O上一点，求∠DFE的度数；
（Ⅱ）如图②，⊙O与AC相切于点D，与BC的一个交点为E，与AB的一个交点为G，DF为⊙O的直径，求∠DEG的度数．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，BC与⊙O的交点为点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AB＝15，BD＝12，求DE的长．
7．如图，AB是半圆的直径，弦CD∥AB，过D点作圆O的切线DE，与AB延长线相交于点E，连接OC、AD，∠A＝22.5°．
（1）求证：四边形COED是平行四边形；
（2）当CD＝2时，求围成阴影部分图形的周长．
8．如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE＝2，DE＝5，求⊙O的半径．
9．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且＝，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AC＝2，求CD的长．
10．已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，PO交⊙O于点F，且其延长线交⊙O于点C，∠BCP＝28°，E为CF上一点，延长BE交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图1，求∠CDB与∠APB的大小；
（Ⅱ）如图2，当BC＝CE时，求∠PBE的大小．
11．已知AB是⊙O的直径，CD，CB是⊙O的弦，且AB∥CD．
（Ⅰ）如图①，若∠ABC＝25°，求∠BAC和∠ODC的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点F，若OD∥CF，求∠ABC的大小．
12．如图①，在⊙O中，弦CD垂直直径AB于点E．已知AC＝4，DB＝2．
（1）求直径AB的长．
（2）小慧说“若将题目条件中的‘直径AB′改为‘弦AB’，其余条件均不变（如图②），⊙O的直径仍不变”，你觉得小慧的说法正确吗？请说明理由．
13．已知在⊙O中，弦CD与直径AB交于点P．
（Ⅰ）如图①，若∠BCD＝30°，∠APC＝50°，求∠CDB的度数．
（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点Q．若∠BCD＝20°，PQ＝DQ，求∠CBD的度数．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，过点B作BF∥AC交DC的延长线于点F．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，＝，求BF的值．
15．在△ABC中，∠B＝90°，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，与BC相交于点F，连接CE．
（Ⅰ）如图①，若∠ACE＝27°，求∠A和∠ECB的大小；
（Ⅱ）如图②，连接EF，若EF∥AC，求∠A的大小．
16．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点作⊙O的切线，交AB的延长线于点P．
（Ⅰ）如图①，连接AC，BC，若BP＝OB，求∠A和∠P的大小；
（Ⅱ）如图②，过点P作⊙O的切线PD，切点为D，连接CD，BD，若∠BDC＝32°，求∠BDP的大小.
17．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）证明：DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝3AE，FC＝6，求AF的长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC＝10，CD＝6，求DE的长．
19．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，且∠CAD＝∠CAE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AB＝5，AD＝4，求CE的长．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）AF﹣DE＝2，EF＝2，求⊙O的半径．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
参考答案
1．证明（1）∵BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD＝36°，
∴∠ADC＝72°，
∵∠DAC＝∠BAD＝18°，
∴∠ADC+∠DAC＝90°，
∴∠C＝90°，
∴AD是圆O的直径；
（2）连接OE，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAD＝36°，
∴∠OEA＝∠B，
∴OE∥BC，
∴∠OEF+∠EFC＝180°，
∴∠OEF＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE为圆O的半径，
∴EF与圆O相切．
2．证明：（1）连接AE，如图，
∵∠ADB＝90°，
∴AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴AE是△ABC的中线，
∴E是BC的中点，
（2）连接DE，如图，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2CE，
∵BC＝2CD，
∴CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED，
∵四边形ADEB是圆的内接四边形，
∴∠BAD+∠BED＝180°．
∵∠CED+∠BED＝180°，
∴∠BAD＝∠CED，
∵∠ABD＝90°﹣∠BAD，∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣2∠BAD，
∴∠BCD＝2∠ABD．
3．解：（1）∵EF⊥AB，
∴∠A+∠E＝90°，
∵∠E＝24°，
∴∠A＝90°﹣∠E＝66°，
∴∠BOC＝2∠A＝132°；
（2）∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
在△OBC中，∠COB＝，
∵∠E＝90°﹣∠A，∠A＝∠BOC，
∴∠OCB＝∠E，
∵∠COD＝∠EOC，
∵OB＝2，OD＝1，
∴OE＝4，
∴DE＝OE﹣OD＝3．
4．解：（1）直线BC与⊙O相切，
理由：连接OD，如图：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
即BC⊥OD，
又∵OD为⊙O的半径，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解：设OA＝OD＝r，则OB＝12﹣r，
在Rt△ODB中，
由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
∴r2+（4）2＝（12﹣r）2，
解得：r＝4，
∴OD＝4，OB＝8，
∴sin∠B＝＝，
∴∠B＝30°，
∴∠DOB＝180°﹣∠B﹣∠ODB＝60°，
∴阴影部分的面积＝S△ODB﹣S扇形DOF＝×4×4﹣＝8﹣．
5．解：（Ⅰ）
连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE＝35°，
∴∠DFE＝∠DAE＝35°；
（Ⅱ）
连接FG，
∵AC与⊙O相切于点D，
∴AC⊥OD，即∠ODA＝90°，
∴∠AOD＝90°﹣∠A＝20°，
∴∠FOG＝∠AOD＝20°，
∵OF＝OG，
∴∠OFG＝∠OGF＝80°，
∵四边形DFGE是圆的内接四边形，
∴∠F+∠DEG＝180°，
∴∠DEG＝100°．
6．（1）证明：连接
OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°．
又OD
是⊙O
的半径，
∴DE
是⊙O
的切线；
（2）解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC＝15，
∴BD＝CD，
∵AB＝15，BD＝12，
∴AD＝＝＝9，
∵S△ADC＝×CD×AD，
∴DE＝＝．
7．（1）证明：连接OD，
∵DE是圆O的切线，
∴OD⊥DE，
由圆周角定理得，∠DOE＝2∠A＝45°，
∴OE＝OD，
∵CD∥AB，
∴∠ODC＝∠A＝45°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝45°，
∴CD＝OD，
∴CD＝OE，
∵CD∥OE，
∴四边形COED是平行四边形；
（2）解：∵CD＝2，
∴OD＝CD＝2，OE＝CD＝2，
∴BE＝OE﹣OB＝2﹣2，
的长＝＝，
∴围成阴影部分图形的周长＝2+2﹣2+＝2+．
8．（1）证明：如图，连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
又∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠DBC，
∴OD∥BE，
∵DE⊥BE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠FCE＝90°，
又∵∠FDE＝90°，∠DEC＝90°，
∴四边形FDEC是矩形，
∴DF＝CE＝2，FC＝DE＝5．
设⊙O的半径为r，
在Rt△OAF中（r﹣2）2+52＝r2，
∴．
9．解法一：（1）如图，连接OD．
∵＝，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ODA．
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AE∥OD．
∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BC，交OD于点F，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6．
∵AC＝2，
∴BC＝＝4，
∵AE∥OD，OA＝OB，
∴BF＝CF＝2，OF＝AC＝1，∠BFO＝∠ACB＝90°，
∴FD＝OD﹣OF＝3﹣1＝2，
在Rt△CFD中，CD＝＝＝2．
解法二：（1）如图，连接OD．
∵＝，
∴∠DAB＝∠CAD．∠DOB＝2∠DAB，
∵∠EAB＝∠DAB+∠CAD＝2∠DAB，
∴∠DOB＝∠EAB，
∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD．
∵OD为⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线，
（2）解：同解法一．
10．解：（Ⅰ）如图（1）连接OB，
∵OB＝OC，∠BCP＝28°，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠POB＝∠OBC+∠OCB＝56°，∠BOC＝180°﹣28°﹣28°＝124°，
∴∠CDB＝BOC＝62°，
∵PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBO＝90°，
∴∠BPC＝90°﹣56°＝34°，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠APB＝2∠BPO＝68°；
（Ⅱ）如图（2），连接OB，
∵OB＝OC，BC＝CE，∠PCB＝28°，
∴∠OBC＝∠OCB＝28°，∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣28°）＝76°，
∴∠OBE＝∠CBE﹣∠CBO＝48°，
∵PB与⊙O相切于点B，
∴∠PBO＝90°，
∴∠PBE＝90°﹣48°＝42°．
11．解：（Ⅰ）如图①，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝25°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC＝25°，
∴∠OCD＝50°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝25°；
（Ⅱ）如图②，连接OC，
∵CF是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∵OD∥CF，
∴∠DOC＝∠OCF＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BOD＝∠ODC＝45°，
∴∠BOC＝135°，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝×（180°﹣135°）＝22.5°．
12．解：（1）连接AD，如图所示：
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵弦CD垂直直径AB于点E，
∴由垂径定理可知：AD＝AC＝4，
在Rt△ADB中，AB＝；
（2）小慧的说法正确；理由如下：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，如图所示：
∵AF为直径，
∴∠ACF＝90°，即∠ACD+∠FCD＝90°，
又∵AB⊥CD，
∴∠EBD+∠BDE＝90°，
而∠DBE＝∠ACD，
∴∠FCD＝∠BDE，
∴，
∴，
∴CF＝BD＝2，
在Rt△ACF中，AF＝＝，
∴⊙O的直径仍不变．
13．解：（Ⅰ）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠APC＝50°，∠BCD＝30°，
∴∠ABC＝∠APC﹣∠BCD＝50°﹣30°＝20°，
∴∠ADC＝∠ABC＝20°，
∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣20°＝70°；
（Ⅱ）连接OD，
∵∠BCD＝20°，
∴∠DOB＝2∠BCD＝40°，
∵OD切⊙O于点D，
∴OD⊥DQ，即∠ODQ＝90°，
∴∠Q＝90°﹣∠DOB＝90°﹣40°＝50°，
∵OB＝OD，PQ＝DQ，
∴∠ODB＝∠OBD＝＝70°，∠QPD＝∠QDP＝＝65°，
∴∠CBP＝∠QPD﹣∠BCD＝65°﹣20°＝45°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠OBD＝45+70°＝115°．
14．（1）证明：连接OB，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝45°，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝45°，
∵BF∥AC，
∴∠ACB＝∠CBF＝45°，
∴∠OBC＝90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：过点C作CM⊥BF于点M，则四边形OBMC是矩形，
∴OB＝MC＝，
∵＝，AC为直径，
∴∠DAC＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠DAB＝75°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DAB＝75°，
∴∠BCF＝75°，
∴∠F＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∴BM＝，MF＝1，
∴BF＝BM+MF＝+1．
15．解：（Ⅰ）∵AB与⊙O相切，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∵∠ACE＝27°，
∴∠AOE＝2∠ACE＝54°，
∴∠A＝90°﹣∠AOE＝36°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵∠B＝90°，
∴OE∥BC，
∴∠ECB＝∠OEC，
∴∠ECB＝27°；
（Ⅱ）如图②，连接OF，
∵OE∥BC，EF∥AC，
∴四边形OEFC为平行四边形，
∴OE＝CF，
∴OC＝OF＝CF，
∴∠ACB＝60°，
∴∠A＝90°﹣∠ACB＝30°．
16．解：（Ⅰ）如图①，连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∵BP＝OB，
∴BC＝OB，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝∠BOC＝30°，
∴∠P＝90°﹣∠COB＝30°；
（Ⅱ）如图②，连接OC，OD，
设CD交OP于E，
∵PC，PD是⊙O的切线，
∴PC＝PD，∠OCP＝∠ODP＝90°，
∵OC＝OD，
∴OP垂直平分CD，
∴∠CEP＝∠DEP＝90°，
∵∠BDC＝32°，
∴∠OBD＝90°﹣∠BDC＝58°，
∴∠BDP＝90°﹣58°＝32°．
17．（1）证明：如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接BE，AD，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，AC＝3AE，
∴AB＝3AE，CE＝4AE，
设AE＝x，AB＝AC＝3x，则AF＝3x﹣6，
∴EF＝4x﹣6，
∵∠E＝∠DFC＝90°，
∴DF∥BE，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴EF＝CF，
∴4x﹣6＝6，
解得x＝3，
∴AF＝9﹣6＝3．
18．（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴EF⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝6．
在Rt△ACD中，AC＝10，CD＝6，
∴AD＝＝＝8，
又∵DE⊥AB，AB＝AC＝10，
∴S△ABD＝AB DE＝AD BD，
即
×10×DE＝×8×6，
∴DE＝4.8．
19．（1）证明：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠ACB＝∠ACE，
∴∠CAD＝∠CAE，
∵AC＝AC，
∴△ADC≌△AEC（ASA），
∴∠ADC＝∠E，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠E＝90°，
∵AB∥CE，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∴∠BAE＝90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝5，AD＝4，
∴BD＝＝＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3＝2，
∵△ADC≌△AEC，
∴CE＝CD＝2．
20．（1）证明：连接OD，
∵DE⊥CF，
∴∠DEC＝∠DEF＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∴∠C＝∠ODB．
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∴OD⊥DE，
又OD为⊙O的半径．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OG⊥AF于点G，
∴∠OGE＝∠OGA＝90°，AG＝GF＝AF，
又∵∠DEG＝∠ODE＝90°，
∴四边形OGED为矩形，
∴OG＝DE，OD＝GE，
设AG＝GF＝x，则OA＝OD＝GE＝GF+EF＝x+2，OG＝DE＝AF﹣2＝2x﹣2．
在Rt△OAG中，AG2+OG2＝OA2，
即x2+（2x﹣2）2＝（x+2）2，
解得x1＝3，x2＝0（舍去），
∴OD＝3+2＝5，
即⊙O的半径为5．
21．解：（1）连接OD．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD．
∴∠ODB＝∠ACB．
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC．
∴OD⊥DE．
∵OD是圆的半径，
∴DE
是⊙O
的切线；
（2）连接AD，
∵AB
为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC＝10，BC＝16，
∴BD＝CD＝8，
∵⊙O
的半径为5，
∴AC＝AB＝10，
∴AD＝＝＝6，
∵S△ADC＝AC DE＝CD DE，
∴10DE＝8×6，
∴DE＝4.8．