2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第二章 一元二次方程》单元能力达标测评（word版、含解析）

2021-2022年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a2+b2+ab的值为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．
B．且k≠1
C．
D．且k≠1
3．已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）的值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣3，则另一根为（　　）
A．1
B．﹣2
C．2
D．3
5．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则m+n的值是（　　）
A．﹣10
B．10
C．﹣6
D．2
6．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（　　）
A．14
B．12
C．12或14
D．以上都不对
7．如图，在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为2400平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　）
A．（62﹣x）（42﹣x）＝2400
B．（62﹣x）（42﹣x）+x2＝2400
C．62×42﹣62x﹣42x＝2400
D．62x+42x＝2400
8．将式子x2﹣6x+12化为（x+p）2+q的形式，其结果为（　　）
A．（x+3）2+3
B．（x+3）
2﹣3
C．（x﹣3）
2+3
D．（x﹣3）
2﹣3
9．已知一个等腰三角形的腰长和底边长是一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．10
B．13
C．17
D．13或17
10．将一元二次方程x2+4x+2＝0配方后可得到方程（　　）
A．（x﹣2）2＝2
B．（x+2）2＝2
C．（x﹣2）2＝6
D．（x+2）2＝6
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．有长为20m的铁栏杆，利用它和一面墙围成一个矩形花圃ABCD（如图），若花圃的面积为48m2，求AB的长．若设AB的长为xm，则可列方程为　
　．
12．已知：（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝20，那么x2+y2＝　
　．
13．如图是一张长20cm、宽12cm的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是180cm2的无盖长方体纸盒，则x的值为　
　．
14．当x＝　
　时，代数式x2+2x+3与3x2+3x﹣7的值相等．
15．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为
　
　．
16．已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若+＝3，则k＝　
　．
三．解答题（共6小题，满分50分）
17．①（2x﹣1）2＝9
②x2+4x﹣5＝0
③2x2﹣7x+3＝0．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有实根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22＝56，求m的值．
19．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3480元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
20．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？
22．如图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，设时间为x秒
（1）经过几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？
（2）经过几秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的？
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，
∴a+b＝2，ab＝﹣1，
∴a2+b2+ab
＝（a+b）2﹣ab
＝4+1
＝5．
故选：C．
2．解：①当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为﹣2x﹣2＝0，此时方程有一个解，不符合题意；
②当k≠1时，∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴（﹣2k）2﹣4×（k﹣1）×（k﹣3）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选：B．
3．解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，α+β＝﹣2021，αβ＝1，
∴（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）
＝（1+2021α+α2+2α）（1+2021β+β2+2β）
＝4αβ
＝4，
故选：D．
4．解：设方程x2+kx﹣3＝0的另一个根为a，
∵关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣3，
∴由根与系数的关系得：﹣3a＝﹣3，
解得：a＝1，
即方程的另一个根为1，
故选：A．
5．解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，
∴﹣2+4＝﹣m，﹣2×4＝n，
解得：m＝﹣2，n＝﹣8，
∴m+n＝﹣10，
故选：A．
6．解：解方程x2﹣12x+35＝0得：x＝5或x＝7．
当x＝7时，3+4＝7，不能组成三角形；
当x＝5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．
∴该三角形的周长为3+4+5＝12，
故选：B．
7．解：设道路的宽为x米，根据题意得（62﹣x）（42﹣x）＝2400．
故选：A．
8．解：x2﹣6x+12
＝x2﹣6x+9+12﹣9
＝（x﹣3）2+3．
故选：C．
9．解：解方程x2﹣10x+21＝0，得x1＝7，x2＝3，
当7为腰，3为底时，7﹣3＜7＜7+3，能构成等腰三角形，周长为7+7+3＝17；
当3为腰，7为底时，3+3＜7，不能构成等腰三角形．
故选：C．
10．解：x2+4x+2＝0，
x2+4x＝﹣2，
x2+4x+4＝2，
（x+2）2＝2．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．解：设AB长为x米，则BC长为（20﹣2x）米．
依题意，得x（20﹣2x）＝48．
故答案为：x（20﹣2x）＝48
12．解：设t＝x2+y2（t≥0），则t（t﹣1）＝20．
整理，得（t﹣5）（t+4）＝0．
解得t＝5或t＝﹣4（舍去）．
所以x2+y2＝5．
故答案是：5．
13．解：依题意，得：（20﹣2x）（12﹣2x）＝180，
整理，得：x2﹣16x+15＝0，
解得：x1＝1，x2＝15．
∵12﹣2x＞0，
∴x＜6，
∴x＝1．
故答案为：1．
14．解：根据题意得：x2+2x+3＝3x2+3x﹣7，
即2x2+x﹣10＝0，
（2x+5）（x﹣2）＝0，
解得：x＝﹣或x＝2，
故答案为：﹣或2．
15．解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝，
故答案为：．
16．解：∵关于x的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k+4，x1 x2＝4k，
∴+＝＝＝3．
解得k＝．
经检验，k＝是原方程的解．
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分50分）
17．解：①（2x﹣1）2＝9，
开方得：2x﹣1＝3，2x﹣1＝﹣3，
解方程得：x1＝2，x2＝﹣1．
②x2+4x﹣5＝0，
分解因式得：（x+5）（x﹣1）＝0，
∴x+5＝0，x﹣1＝0，
解方程得：x1＝﹣5，x2＝1．
③2x2﹣7x+3＝0，
分解因式得：（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴2x﹣1＝0，x﹣3＝0，
解方程得：x1＝，x2＝3．
18．解：
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣2）x+m2＝0有实根，
∴△≥0，即[﹣2（m﹣2）]2﹣4m2≥0，解得m≤1；
（2）∵方程的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2（m﹣2），x1x2＝m2，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2m2＝2m2﹣16m+16，
∵x12+x22＝56，
∴2m2﹣16m+16＝56，解得m＝﹣2或m＝10，
∵m≤1，
∴m＝﹣2．
19．解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×（1﹣x%）2＝324，
解得：x＝10，或x＝190（舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，
第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300＝60（元/件）；
第二次降价后的单件利润为：324﹣300＝24（元/件）．
依题意得：60m+24×（100﹣m）＝36m+2400≥3480，
解得：m≥30．
答：为使两次降价销售的总利润不少于3480元．第一次降价后至少要售出该种商品30件．
20．解：（1）设
经过x秒以后△PBQ面积为6
×（5﹣x）×2x＝6
整理得：x2﹣5x+6＝0
解得：x＝2或x＝3
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2
（2）当PQ＝5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2＝PQ2，
∴（5﹣t）2+（2t）2＝52，
5t2﹣10t＝0，
t（5t﹣10）＝0，
t1＝0（舍弃），t2＝2，
∴当t＝2时，PQ的长度等于5cm．
（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，
×（5﹣x）×2x＝8
整理得：x2﹣5x+8＝0
△＝25﹣32＝﹣7＜0
∴△PQB的面积不能等于8cm2．
21．解：设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可以售出（10+x）件，
依题意，得：（40﹣x）（10+x）＝600，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，
∴x的值应为20．
答：若商场平均每天要盈利600元，每件衬衫应降价20元．
22．解：（1）设经过x秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，则PB＝（6﹣x）厘米，BQ＝2x厘米，
根据题意得：×（6﹣x）×2x＝8，
整理得：x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
答：经过2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米．
（2）设经过y秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的，则PB＝（6﹣y）厘米，BQ＝2y厘米，
根据题意得：×（6﹣y）×2y＝×6×12，
整理得：y2﹣6y+6＝0，
解得：y1＝3﹣，y2＝3+．
答：经过（3﹣）秒或（3+）秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的