2021年新教材高中数学2.1.2两条直线平行和垂直的判定（Word含解析）

两条直线平行和垂直的判定
基础练(15分钟　30分)
1．已知直线l的倾斜角为20°，直线l1∥l，直线l2⊥l，则直线l1与l2的倾斜角分别是(　　)
A．20°，110°
B．70°，70°
C．20°，20°
D．110°，20°
2．直线l1，l2的斜率分别为－，－，若l1⊥l2，则实数a的值是(　　)
A．－
B．－
C．
D．
3．若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是(　　)
A．
B．－
C．2
D．－2
4．若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为________．
5．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD.
能力练(25分钟　50分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为(　　)
A．(3，0)
B．(－3，0)
C．(0，－3)
D．(0，3)
2．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行
B．垂直
C．可能重合
D．无法确定
3．顺次连接A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)所构成的图形是(　　)
A．平行四边形
B．直角梯形
C．等腰梯形
D．以上都不对
4．已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6，3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为(　　)
A．(－19，－62)
B．(19，－62)
C．(－19，62)
D．(19，62)
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，则a的值可以是(　　)
A．－4
B．－3
C．3
D．4
6．设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，则有(　　)
A．PQ∥SR
B．PQ⊥PS
C．PS∥QS
D．PR⊥QS
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝________.
8．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝__________；若l1∥l2，则b＝__________.
四、解答题
9．(10分)当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行．
参考答案：
基础练(15分钟　30分)
1．已知直线l的倾斜角为20°，直线l1∥l，直线l2⊥l，则直线l1与l2的倾斜角分别是(　　)
A．20°，110°
B．70°，70°
C．20°，20°
D．110°，20°
【解析】选A.如图，因为l∥l1，所以l1的倾斜角为20°，
因为l2⊥l，所以l2的倾斜角为90°＋20°＝110°.
2．直线l1，l2的斜率分别为－，－，若l1⊥l2，则实数a的值是(　　)
A．－
B．－
C．
D．
【解析】选A.l1⊥l2 k1·k2＝－1，
所以·＝－1，所以a＝－.
3．若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是(　　)
A．
B．－
C．2
D．－2
【解析】选B.由kPQ＝kMN，
即＝，得m＝－.
经检验知，m＝－符合题意．
4．若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为________．
【解析】因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，
即×＝－1，解得a＝1或a＝3.
答案：1或3
5．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD.
【解析】设D(x，y)，则kCD＝，
kAB＝3，kCB＝－2，kAD＝.
因为kCD·kAB＝－1，kCB＝kAD，
所以×3＝－1，＝－2，
所以x＝0，y＝1，即D(0，1).
能力练(25分钟　50分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1，1)且与y轴交于点P，则P点坐标为(　　)
A．(3，0)
B．(－3，0)
C．(0，－3)
D．(0，3)
【解析】选D.设P(0，m)，所以k2＝m－1，
因为l1∥l2，所以m－1＝2，
所以m＝3.故点P的坐标为(0，3).
2．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行
B．垂直
C．可能重合
D．无法确定
【解析】选B.由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立．
故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在．
设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.
3．顺次连接A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)所构成的图形是(　　)
A．平行四边形
B．直角梯形
C．等腰梯形
D．以上都不对
【解析】选B.kAB＝kDC，kAD≠kBC，kAD·kAB＝kAD·kDC＝－1，故构成的图形为直角梯形．
4．已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6，3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为(　　)
A．(－19，－62)
B．(19，－62)
C．(－19，62)
D．(19，62)
【解析】选A.设A(x，y)，
由已知，得AH⊥BC，BH⊥AC，且直线AH，BH的斜率存在，
所以即
解得即A(－19，－62).
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，则a的值可以是(　　)
A．－4
B．－3
C．3
D．4
【解析】选AC.设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－.
若l1⊥l2，①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意；
②当k2≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝.
由k1k2＝－1，可得·＝－1，解得a＝3或a＝－4.所以当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.
6．设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，则有(　　)
A．PQ∥SR
B．PQ⊥PS
C．PS∥QS
D．PR⊥QS
【解析】选ABD.由斜率公式知，
kPQ＝＝－，kSR＝＝－，
kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，所以PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，所以PS与QS不平行．
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝________.
【解析】如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
所以直线l1的斜率k1＝tan
60°＝.
当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时l2的斜率为0，不满足l1∥l2.
当m≠1时，直线AB的斜率kAB＝＝，
所以线段AB的垂直平分线l2的斜率为k2＝.
因为l1与l2平行，
所以k1＝k2，即＝，解得m＝4＋.
答案：4＋
8．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝__________；若l1∥l2，则b＝__________.
【解析】若l1⊥l2，则k1k2＝－＝－1，所以b＝2.
若l1∥l2，则k1＝k2，Δ＝9＋8b＝0，所以b＝－.
答案：2　－
四、解答题
9．(10分)当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行．
【解析】(1)由kAB＝＝tan
135°＝－1，
解得m＝－或m＝1.
(2)由kAB＝，且＝3，及两直线垂直，
得＝－，解得m＝或m＝－3.
(3)令＝＝－2，解得m＝或m＝－1.
经检验，当m＝或m＝－1时，均符合题意．
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