南通市2022届高三教学质量监测
数学试题
2021.9
注意事项：
1．本试卷共7页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分，本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知集合，则（
）
A．
B．或
C．
D．或
2．已知复数，则在复平面内对应的点所在的象限为（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．某亲子栏目中，节目组给6位小朋友布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷点有远、近两处；②由于小朋友甲年纪尚小，所以要么不参与该项任务，要么参与搜寻近处投掷点的食物，但不参与时另需1位小朋友在大本营陪同；③所有参与搜寻任务的小朋友被均匀分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有（
）
A．10种
B．40种
C．70种
D．80种
4．已知正项等差数列和正项等比数列}，，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．碳（）是一种非金属单质，它是由个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则其六元环的个数为（
）.
A．12
B．20
C．32
D．60
6．已知双曲线的焦距为，若取得最大值时，双曲线的离心率等于（
）
A．
B．2
C．
D．
7．已知为锐角的内角，满足，则（
）
A．
B．，
C．，
D．，
8．定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至多有三个零点，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某电视台的一档栏目推出有奖猜歌名活动，规则：根据歌曲的主旋律制作的铃声来猜歌名，猜对当前歌曲的歌名方能猜下一首歌曲的歌名.现推送三首歌曲，，给某选手，已知该选手猜对每首歌曲的歌名相互独立，且猜对三首歌曲的歌名的概率以及猜对获得相应的奖金如下表所示.
歌曲
猜对的概率
0.8
0.6
0.4
获得的奖金金额/元
1000
2000
3000
下列猜歌顺序中获得奖金金额的均值超过2000元的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有（
）
A．在方向上的投影向量为
B．
C．若
D．若，则与平行
11．若二项式展开式中二项式系数之和为，展开式的各项系数之和为，各项系数的绝对值之和为，则下列结论正确的是（
）
A．
B．存在，使得
C．的最小值为2
D．
12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（
）
A．该半正多面体的体积为
B．该半正多面体过三点的截面面积为
C．该半正多面体外接球的表面积为
D．该半正多面体的顶点数、面数、棱数满足关系式
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知，则实数的取值分别为______．
14．某大学外语系有6名志愿者，其中志愿者，C只通晓英语，志愿者只通晓俄语．现从这6名志愿者中选出2名，组成一个能通晓两种语言的小组，则C被选中的概率为________．
15．函数定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），则满足不等式ax≥f（a）的实数x的集合为______．
16．已知数列满足（为常数，，，），给出下列四个结论：①若数列是周期数列，则周期必为2：②若，则数列必是常数列：③若，则数列是递增数列：④若，则数列是有穷数列，其中，所有错误结论的序号是________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本题满分10分）
已知△中，，，求的大小．某同学的解法如下：
由．
即．
又在△中，，则，或．
该同学的解法是否正确？若正确，请写出他的解题依据，若不正确，请写出正确答案．
18．（本题满分12分）
已知数列满足：，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：对于一切正整数n，不等式恒成立．
19．（本题满分12分）
如图1，已知在等边三角形中，点，分别为，的中点，点为的中点，点为边上一点，且，连接，，，将沿折起到的位置，使平面平面，如图2.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
20．（本题满分12分）
为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2019年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数.
温度/℃
21
23
24
27
29
30
死亡数/株
6
11
20
27
57
77
经计算，，，，，
，，，其中，分别为试验数据中的温度和死亡株数，.
（1）若用一元线性回归模型，求关于的经验回归方程（结果精确到0.1）；
（2）若用非线性回归模型求得关于的非线性经验回归方程，且相关指数为.
（i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好；
（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该批紫甘薯的死亡株数（结果取整数）.
21．（本题满分12分）
已知椭圆经过点，且右焦点为.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）过点的直线交椭圆于，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值.
22．（本题满分12分）
已知函数（）.
（1）当时，证明函数在上是增函数；
（2）若时，当时，恒成立，求实数a的取值范围.2022届高三第一次教学质量监测
数学试题答案
1．B
2．C
3．B
4．B
5．B
6．D
7．C
8．B
9．AD
10．BD
11．AB
12．ACD
13．1，1或
14．.
15．{x|x≥1}
16．①②③④
17．解：经检验，当时，，
∴，代入原式，得，，
∵，
∴，这与矛盾．
因此，故．
18．解：（1）当时，由得，因此是一个等比数列，其首项为，公比为，从而，据此得．
（2）∵，
要证成立，只要证时，有，①
显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个，有
，②用数学归纳法证明②式：
1°，当时，②式显然成立；
2°，假设时，②式成立，即，则当时，
，即当时，
成立．
故对一切，②式都成立．
利用②式得
，故①式成立．
从而结论成立．
19．解：(1)因为点，分别为等边三角形的，边的中点，
所以是等边三角形，且.
因为点是的中点，所以.
又平面平面，平面平面，
所以平面.
又平面，所以.
因为，所以与平行且相等，
所以四边形为平行四边形，所以.
易知，所以.
又，所以平面.
又平面，所以平面平面.
(2)设等边三角形的边长为4，取的中点，连接，由题设知，
由(1)知平面，又平面，所以，
以点为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的一个法向量为，则由，得，
令，则，，此时.
易知平面的一个法向量为，
所以，
由图易知二面角的平面角是锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为.
20．解：
（1）由题意，得，
∴，
∴关于的经验回归方程为.
（2）（i）经验回归方程对应的决定系相关指数为
，
因为，
所以经验回归方程比非线性经验回归方程的拟合效果更好.
（ii）当时，
，
即当温度为35℃时，该批紫甘薯的死亡株数为92.
21．解：
（1）由题意可知，，解得，，
故椭圆的标准方程为.
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.
联立，消去，得.
因为在椭圆内部，所以，
所以，.
则，
，
，
，
，
所以，，
则.
∴，即.
设，是的两根，∴.
当直线斜率不存在时，联立，得.
不妨设，，
则，，
.此时为定值，不存在最大值与最小值.
综上所述：.
22．解：（1）当时，，的定义域为.
当时，，，∴.
当时，，，∴.
∴对任意实数x，，∴在上是增函数；
（2）当时，恒成立，即恒成立.
设（），则，
令，解得，.
①当，即时
x
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴要使结论成立，则
，，即，.
解得，，∴；
②当，即时，恒成立，∴是增函数.
又，故结论成立；
③当，即时，
x
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴要使结论成立，则
，，即，.
解得，，∴.
综上所述，若，当时，恒成立，
实数a的取值范围是.
