2021年新教材高中数学2.4.1圆的标准方程（Word含解析）

圆的标准方程
基础练(15分钟　30分)
1．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是(　　)
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4
B．＋＝9
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4
D．＋＝9
2．若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)
A．
B．
C．
D．
3．圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线3x＋4y＋4＝0截得的弦长为6，则圆C的方程为(　　)
A．(x－1)2＋y2＝4
B．(x＋8)2＋y2＝25
C．(x－8)2＋y2＝25
D．(x－2)2＋y2＝4
4．已知直线x＋y＋1＝0与圆C相切，且直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)始终平分圆C的面积，则圆C的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x－2)2＋(y－1)2＝2
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝2
5．设两条直线x＋y－2＝0，3x－y－2＝0的交点为M，若点M在圆(x－m)2＋y2＝5内，求实数m的取值范围．
能力练(30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．以(a，1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为(　　)
A．2＋2＝5
B．2＋2＝5
C．2＋y2＝5
D．x2＋2＝5
2．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m＝(　　)
A．2或10
B．4或8
C．4或6
D．2或4
3．已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为(　　)
A．2＋y2＝
B．2＋y2＝
C．x2＋2＝
D．x2＋2＝
4．已知圆C关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋(y＋2)2＝1
B．(x－2)2＋y2＝1
C．x2＋(y－2)2＝1
D．(x＋2)2＋y2＝1
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．若过点(3，1)总可以作两条直线和圆(x－2k)2＋(y－k)2＝k(k>0)相切，则k的值可以是(　　)
A．
B．3
C．－1
D．4
6．已知圆C的圆心在直线3x－y＝0上，半径为1且与直线4x－3y＝0相切，则圆C的标准方程是(　　)
A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．(x＋1)2＋(y＋3)2＝1
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．已知圆的内接正方形相对两个顶点的坐标分别为，，则这个圆的方程是________．
8．在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心且与直线2mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与y轴相切，与x轴相交于点A，B，若＝，求该圆的标准方程．
10．点P是圆(x＋3)2＋(y－1)2＝2上的动点，点Q(2，2)，O为坐标原点，求△OPQ面积的最小值．
拓展
1．过点M(2，2)的直线l与坐标轴的正方向分别交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是________．
2．定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比称为“直线关于圆的距离比λ”．
(1)设圆C0：(x－2)2＋y2＝1，求过点P的直线关于圆C0的距离比λ＝的直线方程；
(2)若圆C与y轴相切于点A，且直线y＝x关于圆C的距离比λ＝，求出圆C的方程．
参考答案：
基础练(15分钟　30分)
1．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是(　　)
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4
B．＋＝9
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4
D．＋＝9
【解析】选C.半径2，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4.
2．若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.因为圆与两坐标轴都相切，且点(2，1)在该圆上，
所以可设圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，
所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，
即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，
所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，
所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为＝或＝.
3．圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线3x＋4y＋4＝0截得的弦长为6，则圆C的方程为(　　)
A．(x－1)2＋y2＝4
B．(x＋8)2＋y2＝25
C．(x－8)2＋y2＝25
D．(x－2)2＋y2＝4
【解析】选B.设圆心为(a，0)(a<0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离为d＝＝＝4，解得a＝－8，则圆C的方程为(x＋8)2＋y2＝25.
4．已知直线x＋y＋1＝0与圆C相切，且直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)始终平分圆C的面积，则圆C的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x－2)2＋(y－1)2＝2
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝2
【解析】选D.将直线mx－y－2m－1＝0变形得y＋1＝m(x－2)，易知直线恒过定点(2，－1)，
由题意得圆C的圆心坐标为(2，－1)，又因为直线x＋y＋1＝0与圆C相切，
所以半径r＝＝，
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝2.
5．设两条直线x＋y－2＝0，3x－y－2＝0的交点为M，若点M在圆(x－m)2＋y2＝5内，求实数m的取值范围．
【解析】由题意可知：
解得交点，
交点M在圆2＋y2＝5的内部，
可得2＋1<5，解得－1所以实数m的取值范围为(－1，3).
能力练(30分钟　60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．以(a，1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0与2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为(　　)
A．2＋2＝5
B．2＋2＝5
C．2＋y2＝5
D．x2＋2＝5
【解析】选A.由题意，圆心在直线2x－y－1＝0上，代入可得a＝1，即圆心为，半径为r＝＝，
所以圆的标准方程为2＋2＝5.
2．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m＝(　　)
A．2或10
B．4或8
C．4或6
D．2或4
【解析】选A.圆心C(3，3)，半径为6，由题意得，圆心C到直线x＋y－m＝0距离为圆C半径的，
所以＝×6，所以m＝2或10.
3．已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为(　　)
A．2＋y2＝
B．2＋y2＝
C．x2＋2＝
D．x2＋2＝
【解析】选C.由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为π，设圆心为(0，a)，半径为r，
则r
sin
＝1，r
cos
＝，解得r＝，
即r2＝，＝，
即a＝±，故圆C的方程为x2＋＝.
4．已知圆C关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋(y＋2)2＝1
B．(x－2)2＋y2＝1
C．x2＋(y－2)2＝1
D．(x＋2)2＋y2＝1
【解析】选C.因为圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心(1，1)，半径为1.圆心(1，1)关于直线x－y＋1＝0对称点为(0，2).
所以圆的方程是x2＋(y－2)2＝1.
【误区警示】本题易错在求圆心．两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，半径相等．
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．若过点(3，1)总可以作两条直线和圆(x－2k)2＋(y－k)2＝k(k>0)相切，则k的值可以是(　　)
A．
B．3
C．－1
D．4
【解析】选ABD.因为过点(3，1)总可以作两条直线和圆(x－2k)2＋(y－k)2＝k(k>0)相切，点(3，1)在圆的外部，所以(3－2k)2＋(1－k)2>k，解得k<1或k>2，又k>0.k的范围是(0，1)∪(2，＋∞).
6．已知圆C的圆心在直线3x－y＝0上，半径为1且与直线4x－3y＝0相切，则圆C的标准方程是(　　)
A．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．(x＋1)2＋(y＋3)2＝1
【解题指南】可以利用待定系数法求圆的标准方程．直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径．
【解析】选CD.设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，
则解得或
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1或(x＋1)2＋(y＋3)2＝1.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．已知圆的内接正方形相对两个顶点的坐标分别为，，则这个圆的方程是________．
【解题指南】由题意可知，正方形的对角线长为圆的直径．
【解析】圆心为，的中点(4，1)，
半径为＝.
所以圆的方程为2＋2＝26.
答案：＋＝26
8．在平面直角坐标系xOy中，以点为圆心且与直线2mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
【解析】直线2mx－y－2m－1＝0(m∈R)方程化成m(2x－2)－(y＋1)＝0.
由得所以直线2mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒过定点
(1，－1).
所以当直线与圆相切于定点(1，－1)时，半径最大．
此时半径为.
所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与y轴相切，与x轴相交于点A，B，若＝，求该圆的标准方程．
【解析】设该圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1(a>0，b>0).
因为圆与y轴相切，所以a＝1.因为|AB|＝，
所以圆心到x轴的距离为，所以b＝，
因此该圆的标准方程为(x－1)2＋2＝1.
10．点P是圆(x＋3)2＋(y－1)2＝2上的动点，点Q(2，2)，O为坐标原点，求△OPQ面积的最小值．
【解析】由题意＝2，设P到直线OQ的距离为h，所以S△OPQ＝×h，
因为圆(x＋3)2＋(y－1)2＝2，直线OQ的方程为y＝x，
所以圆心(－3，1)到直线OQ的距离为d＝＝2，
所以圆上的动点P到直线OQ的距离h的最小值为d－r＝2－＝，
所以S△OPQ＝×h的最小值为×2×＝2.
拓展
1．过点M(2，2)的直线l与坐标轴的正方向分别交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是________．
【解析】设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由直线l过点M(2，2)，得＋＝1，又S△OAB＝ab＝8，
所以a＝4，b＝4，不妨设A(4，0)，B(0，4)，
则圆心为(2，2)，半径为2，所以△OAB外接圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.
答案：(x－2)2＋(y－2)2＝8
2．定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比称为“直线关于圆的距离比λ”．
(1)设圆C0：(x－2)2＋y2＝1，求过点P的直线关于圆C0的距离比λ＝的直线方程；
(2)若圆C与y轴相切于点A，且直线y＝x关于圆C的距离比λ＝，求出圆C的方程．
【解析】(1)设过点P的直线方程为y＝k(x＋1)，
由圆C0：(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2，0)，半径为r＝1，
由题意可得＝，解得k＝±，
所以所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
(2)设圆的方程为2＋2＝r2，
由题意可得a2＋(3－b)2＝r2　①，
＝r　②，
＝r　③
由①②③联立方程组，可得a＝－3，b＝3，r＝3或a＝1，b＝3，r＝1，
所以圆C的方程为2＋2＝9或2＋2＝1.
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