2021年新教材高中数学2.4.2圆的一般方程（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 2021年新教材高中数学2.4.2圆的一般方程（Word含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 165.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-09 14:30:56 | ||
图片预览
文档简介
圆的一般方程
基础练(15分钟 30分)
1．若圆的方程为＋＝0，则圆心坐标为( )
A．
B．
C．
D．
2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0截直线ax＋y－1＝0所得的弦长为2，则a＝( )
A．－
B．－
C．
D．2
3．已知点P(2，1)在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________，半径为________．
4．长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．
5．已知圆M的圆心M(3，4)和三个点A(－1，1)，B(1，0)，C(－2，3)，求使A，B，C三点一个在圆内，一个在圆上，一个在圆外的圆M的一般方程．
能力练(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是( )
A．－5
B．5－
C．30－10
D．无法确定
2．方程|x|－1＝表示的曲线是( )
A．—个圆
B．两个圆
C．一个半圆
D．两个半圆
3．过点P且被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得弦最长的直线l的方程是( )
A．3x－y＋5＝0
B．x－3y＋5＝0
C．3x＋y－5＝0
D．x－3y－5＝0
4．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离最大值是( )
A．2
B．1＋
C．1＋
D．2＋2
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．已知圆C经过点(1，0)，且圆心C是两直线x＝1与x＋y＝2的交点，则下列点在圆内的有( )
A．(0，0)
B．
C．(3，1)
D．(1，1)
6．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的值可以是( )
A．－2
B．0
C．1
D．3
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A的坐标为，则点B的坐标为________．
8．已知圆x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为________．
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，求点P的轨迹方程．
10．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.
(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；
(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．
拓展
已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当＝时，求l的方程及△POM的面积．
参考答案：
基础练(15分钟 30分)
1．若圆的方程为＋＝0，则圆心坐标为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选D.圆的方程可化为＋(y＋1)2＝，所以圆心坐标为.
2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0截直线ax＋y－1＝0所得的弦长为2，则a＝( )
A．－
B．－
C．
D．2
【解析】选A.圆的方程可化为2＋2＝4，
所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：d＝＝1，解得a＝－.
3．已知点P(2，1)在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________，半径为________．
【解析】点P关于直线x＋y－1＝0的对称点为P′，将P和P′的坐标代入圆C的方程的方程组解得
所以圆的方程为x2＋y2－2y－3＝0，
即x2＋2＝4，
所以圆心的坐标为，半径为2.
答案： 2
4．长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．
【解析】设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，所以|OM|＝|AB|＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求．
答案：x2＋y2＝9
5．已知圆M的圆心M(3，4)和三个点A(－1，1)，B(1，0)，C(－2，3)，求使A，B，C三点一个在圆内，一个在圆上，一个在圆外的圆M的一般方程．
【解析】因为＝＝5，
＝＝2，
＝＝，
所以<<.
所以点B在圆内，点A在圆上，点C在圆外．
所以圆的半径r＝＝5，
所以圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，
即x2＋y2－6x－8y＝0.
能力练(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是( )
A．－5
B．5－
C．30－10
D．无法确定
【解析】选C.把圆的方程化为标准方程得：(x－1)2＋(y＋2)2＝25，
则圆心A坐标为(1，－2)，圆的半径r＝5，设圆上一点的坐标为(x，y)，原点O坐标为(0，0)，
则＝，r＝5，
所以圆上一点到原点O最小距离为5－.
则x2＋y2的最小值为(5－)2＝30－10.
2．方程|x|－1＝表示的曲线是( )
A．—个圆
B．两个圆
C．一个半圆
D．两个半圆
【解析】选D.方程可化为2＋2＝1.
又|x|－1≥0，所以x≤－1或x≥1.
若x≤－1时，则方程为2＋2＝1；
若x≥1时，则方程为2＋2＝1.
3．过点P且被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得弦最长的直线l的方程是( )
A．3x－y＋5＝0
B．x－3y＋5＝0
C．3x＋y－5＝0
D．x－3y－5＝0
【解析】选B.根据几何意义知：过P且被圆截得弦长最长的弦的直线是过圆心的直线；圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为(1，2)，
则所求直线l的斜率为k＝＝；
则直线l方程为y－1＝(x＋2)，即x－3y＋5＝0.
4．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离最大值是( )
A．2
B．1＋
C．1＋
D．2＋2
【解析】选B.本题考查点到直线的距离．
由x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
得(x－1)2＋(y－1)2＝1，
表示以M(1，1)为圆心，以r＝1为半径的圆．
先计算点M到直线x－y＝2的距离d＝＝，圆上的点到直线的距离的最大值为点M到直线的距离x－y＝2再加半径，即dmax＝d＋r＝1＋.
【误区警示】涉及与圆有关的最值问题一般转到圆心上去．圆上的点直线距离的最大值为圆心到直线的距离再加上半径．
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．已知圆C经过点(1，0)，且圆心C是两直线x＝1与x＋y＝2的交点，则下列点在圆内的有( )
A．(0，0)
B．
C．(3，1)
D．(1，1)
【解析】选BD.由得
即所求圆的圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.将选项中4个点代入，可得只有BD满足小于1，即BD选项中的点在圆内．
6．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的值可以是( )
A．－2
B．0
C．1
D．3
【解析】选ACD.圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2，由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为，得2－≤|a|≤2＋，
所以1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A的坐标为，则点B的坐标为________．
【解题指南】圆心为直径的中点，可以先求出圆心坐标，再求点B的坐标．
【解析】由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C的坐标为，设B的坐标为(x0，y0)，又A的坐标为(0，1)，由中点坐标公式得解得
所以B点的坐标为.
答案：(2，－3)
8．已知圆x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为________．
【解析】由x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，
得＋＝－k2＋1.
所以当－k2＝0，
即k＝0时圆的面积最大，此时圆心坐标为.
答案：(0，－1)
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，求点P的轨迹方程．
【解析】由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．
因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，
所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0.
10．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.
(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；
(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．
【解析】(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0，4)，|PC|＝2，设P(a，2a)，则＝2，解得a＝2或a＝，所以点P的坐标为(2，4)或.
(2)设P(b，2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，
即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.
由解得或
所以该圆必经过定点(0，4)和.
拓展
已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当＝时，求l的方程及△POM的面积．
【解析】(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0，4)，半径为4，
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)，
由题设知·＝0，即x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．
由于＝，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故直线l的方程为y＝－x＋.
又＝＝2，O到l的距离为，＝，所以，S△POM＝××＝，所以△POM的面积为.
PAGE
基础练(15分钟 30分)
1．若圆的方程为＋＝0，则圆心坐标为( )
A．
B．
C．
D．
2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0截直线ax＋y－1＝0所得的弦长为2，则a＝( )
A．－
B．－
C．
D．2
3．已知点P(2，1)在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________，半径为________．
4．长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．
5．已知圆M的圆心M(3，4)和三个点A(－1，1)，B(1，0)，C(－2，3)，求使A，B，C三点一个在圆内，一个在圆上，一个在圆外的圆M的一般方程．
能力练(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是( )
A．－5
B．5－
C．30－10
D．无法确定
2．方程|x|－1＝表示的曲线是( )
A．—个圆
B．两个圆
C．一个半圆
D．两个半圆
3．过点P且被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得弦最长的直线l的方程是( )
A．3x－y＋5＝0
B．x－3y＋5＝0
C．3x＋y－5＝0
D．x－3y－5＝0
4．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离最大值是( )
A．2
B．1＋
C．1＋
D．2＋2
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．已知圆C经过点(1，0)，且圆心C是两直线x＝1与x＋y＝2的交点，则下列点在圆内的有( )
A．(0，0)
B．
C．(3，1)
D．(1，1)
6．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的值可以是( )
A．－2
B．0
C．1
D．3
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A的坐标为，则点B的坐标为________．
8．已知圆x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为________．
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，求点P的轨迹方程．
10．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.
(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；
(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．
拓展
已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当＝时，求l的方程及△POM的面积．
参考答案：
基础练(15分钟 30分)
1．若圆的方程为＋＝0，则圆心坐标为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选D.圆的方程可化为＋(y＋1)2＝，所以圆心坐标为.
2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0截直线ax＋y－1＝0所得的弦长为2，则a＝( )
A．－
B．－
C．
D．2
【解析】选A.圆的方程可化为2＋2＝4，
所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：d＝＝1，解得a＝－.
3．已知点P(2，1)在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________，半径为________．
【解析】点P关于直线x＋y－1＝0的对称点为P′，将P和P′的坐标代入圆C的方程的方程组解得
所以圆的方程为x2＋y2－2y－3＝0，
即x2＋2＝4，
所以圆心的坐标为，半径为2.
答案： 2
4．长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为________．
【解析】设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，所以|OM|＝|AB|＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求．
答案：x2＋y2＝9
5．已知圆M的圆心M(3，4)和三个点A(－1，1)，B(1，0)，C(－2，3)，求使A，B，C三点一个在圆内，一个在圆上，一个在圆外的圆M的一般方程．
【解析】因为＝＝5，
＝＝2，
＝＝，
所以<<.
所以点B在圆内，点A在圆上，点C在圆外．
所以圆的半径r＝＝5，
所以圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，
即x2＋y2－6x－8y＝0.
能力练(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．若x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是( )
A．－5
B．5－
C．30－10
D．无法确定
【解析】选C.把圆的方程化为标准方程得：(x－1)2＋(y＋2)2＝25，
则圆心A坐标为(1，－2)，圆的半径r＝5，设圆上一点的坐标为(x，y)，原点O坐标为(0，0)，
则＝，r＝5，
所以圆上一点到原点O最小距离为5－.
则x2＋y2的最小值为(5－)2＝30－10.
2．方程|x|－1＝表示的曲线是( )
A．—个圆
B．两个圆
C．一个半圆
D．两个半圆
【解析】选D.方程可化为2＋2＝1.
又|x|－1≥0，所以x≤－1或x≥1.
若x≤－1时，则方程为2＋2＝1；
若x≥1时，则方程为2＋2＝1.
3．过点P且被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得弦最长的直线l的方程是( )
A．3x－y＋5＝0
B．x－3y＋5＝0
C．3x＋y－5＝0
D．x－3y－5＝0
【解析】选B.根据几何意义知：过P且被圆截得弦长最长的弦的直线是过圆心的直线；圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为(1，2)，
则所求直线l的斜率为k＝＝；
则直线l方程为y－1＝(x＋2)，即x－3y＋5＝0.
4．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离最大值是( )
A．2
B．1＋
C．1＋
D．2＋2
【解析】选B.本题考查点到直线的距离．
由x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
得(x－1)2＋(y－1)2＝1，
表示以M(1，1)为圆心，以r＝1为半径的圆．
先计算点M到直线x－y＝2的距离d＝＝，圆上的点到直线的距离的最大值为点M到直线的距离x－y＝2再加半径，即dmax＝d＋r＝1＋.
【误区警示】涉及与圆有关的最值问题一般转到圆心上去．圆上的点直线距离的最大值为圆心到直线的距离再加上半径．
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．已知圆C经过点(1，0)，且圆心C是两直线x＝1与x＋y＝2的交点，则下列点在圆内的有( )
A．(0，0)
B．
C．(3，1)
D．(1，1)
【解析】选BD.由得
即所求圆的圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为1，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.将选项中4个点代入，可得只有BD满足小于1，即BD选项中的点在圆内．
6．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的值可以是( )
A．－2
B．0
C．1
D．3
【解析】选ACD.圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2，由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为，得2－≤|a|≤2＋，
所以1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A的坐标为，则点B的坐标为________．
【解题指南】圆心为直径的中点，可以先求出圆心坐标，再求点B的坐标．
【解析】由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C的坐标为，设B的坐标为(x0，y0)，又A的坐标为(0，1)，由中点坐标公式得解得
所以B点的坐标为.
答案：(2，－3)
8．已知圆x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为________．
【解析】由x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，
得＋＝－k2＋1.
所以当－k2＝0，
即k＝0时圆的面积最大，此时圆心坐标为.
答案：(0，－1)
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，求点P的轨迹方程．
【解析】由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．
因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，
所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0.
10．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.
(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；
(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．
【解析】(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0，4)，|PC|＝2，设P(a，2a)，则＝2，解得a＝2或a＝，所以点P的坐标为(2，4)或.
(2)设P(b，2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，
即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.
由解得或
所以该圆必经过定点(0，4)和.
拓展
已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当＝时，求l的方程及△POM的面积．
【解析】(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，
所以圆心为C(0，4)，半径为4，
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)，
由题设知·＝0，即x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．
由于＝，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故直线l的方程为y＝－x＋.
又＝＝2，O到l的距离为，＝，所以，S△POM＝××＝，所以△POM的面积为.
PAGE