2021年新教材高中数学3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 2021年新教材高中数学3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质（Word含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 263.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-09 14:32:03 | ||
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文档简介
双曲线的简单几何性质
基础练
(15分钟 30分)
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2
B．2
C．4
D．4
2．(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
3．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且C经过点A(2，)，则双曲线C的方程为( )
A．x2－y2＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
4．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
5．(2020·荆州高二检测)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2－|PF2|2＝4，求△PF1F2的周长．
能力练
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＝0的夹角为60°，若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，则双曲线C的标准方程为( )
A．－y2＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．x2－＝1
3．(2020·保定高二检测)已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，点N在C的渐近线上(异于原点)，若M点满足＝，且·＝0，则|MN|＝( )
A．2a
B．a
C．4a
D．2a
4．(2020·大庆高二检测)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上一点，且PF1·＝0(O为坐标原点)，cos
∠PF2F1＝，则双曲线C的离心率为( )
A．2
B．
C．
D．
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．(2020·济南高二检测)已知动点P在双曲线C：x2－＝1上，双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2，下列结论正确的是( )
A．C的离心率为2
B．C的渐近线方程为y＝±x
C．动点P到两条渐近线的距离之积为定值
D．当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为
6．(2020·济宁高二检测)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与双曲线左右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且MF2·＝2，则以下结论正确的是( )
A．∠F1MF2＝120°
B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
D．直线l的斜率为1
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为__________.
8．(2020·六安高二检测)已知双曲线C：－＝1的右焦点到渐近线的距离为3.现有如下条件：
①双曲线C的离心率为；②双曲线C与椭圆C′：＋＝1共焦点；③双曲线右支上的一点P到F1，F2的距离之差是虚轴长的倍．
请从上述3个条件中任选一个，得到双曲线C的方程为________.
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为48，求此双曲线的方程．
10．(2020·绵阳高二检测)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的上焦点为F.
(1)若双曲线C是等轴双曲线，且c＝2，求双曲线的标准方程；
(2)若经过原点且倾斜角为30°的直线l与双曲线C的上支交于点A，O为坐标原点，△OAF是以线段AF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率及渐近线方程．
拓展
1．(2020·上饶高二检测)已知F1，F2是双曲线C：－＝1的左右焦点，过F1的直线与圆x2＋y2＝a2相切，切点为T，且交双曲线右支于点P，若2F1T＝，则双曲线C的离心率为( )
A．2
B．
C．
D．
2．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．
参考答案：
基础练
(15分钟 30分)
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2
B．2
C．4
D．4
【解析】选C.将双曲线化成标准形式为－＝1，得2a＝4.
2．(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
【解析】选A.设PF1＝m，PF2＝n，m＞n，S△PF1F2＝
mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，e＝＝，所以a＝1.
3．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且C经过点A(2，)，则双曲线C的方程为( )
A．x2－y2＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
【解析】选A.由双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线为等轴双曲线，即a＝b，
双曲线C：x2－y2＝a2，
将A(2，)代入双曲线方程，解得a＝1，
所以双曲线的标准方程为x2－y2＝1.
4．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选C.不妨设|PF1|＞|PF2|，
则|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＋|PF2|＝6a，
解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，为30°，
所以|PF2|2＝|PF1|2＋|F2F1|2－2|PF1||F2F1|cos
30°，
所以(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a×2c×，
化为e2－2e＋3＝0，解得e＝.
5．(2020·荆州高二检测)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2－|PF2|2＝4，求△PF1F2的周长．
【解析】由题意得＝2，得a＝，c＝＝，P为双曲线右支上一点，所以－＝2a＝，因为2－2＝(－)(＋)＝4，所以＋＝2，所以△PF1F2的周长为＋＋＝2＋＝.
所以△PF1F2的周长为.
能力练
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
【解析】选C.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，故有＝，所以＝，解得＝.
故双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＝0的夹角为60°，若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，则双曲线C的标准方程为( )
A．－y2＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．x2－＝1
【解析】选A.双曲线的渐近线为y＝±x，
因为渐近线与直线x＝0的夹角为60°，
所以＝tan
30°＝，①
因为以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的周长为8，所以4＝8，②
由①②，解得a2＝3，b2＝1.
所以双曲线C的标准方程为－y2＝1.
3．(2020·保定高二检测)已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，点N在C的渐近线上(异于原点)，若M点满足＝，且·＝0，则|MN|＝( )
A．2a
B．a
C．4a
D．2a
【解析】选C.不妨设双曲线C：－＝1的一条渐近线为y＝2x，其斜率为2，所以b＝2a，F(a，0).
因为M点满足＝，且·＝0，
所以F是OM的中点，且ON⊥MN，
作FH⊥ON于H，如图所示：
则点F到渐近线的距离为|FH|＝＝2a，
所以|MN|＝4a.
4．(2020·大庆高二检测)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上一点，且PF1·＝0(O为坐标原点)，cos
∠PF2F1＝，则双曲线C的离心率为( )
A．2
B．
C．
D．
【解析】选D.如图，取PF1的中点为M，
则＝.
由PF1·＝0，得
PF1·＝0，即PF1⊥.
因为OM为△PF1F2的中位线，所以PF1⊥PF2．
由cos
∠PF2F1＝，
设＝12，则＝13，＝5，
所以2a＝－＝7，2c＝＝13，
得双曲线C的离心率为＝.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．(2020·济南高二检测)已知动点P在双曲线C：x2－＝1上，双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2，下列结论正确的是( )
A．C的离心率为2
B．C的渐近线方程为y＝±x
C．动点P到两条渐近线的距离之积为定值
D．当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为
【解析】选AC.对于双曲线C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2，
所以双曲线C的离心率为e＝＝2，渐近线方程为y＝±x，A选项正确，B选项错误；设点P的坐标为，则x－
eq
\f(y,3)
＝1，双曲线C的两条渐近线方程分别为x－y＝0和x＋y＝0，则点P到两条渐近线的距离之积为·＝
eq
\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,3))),\f(4,3))
＝，C选项正确；当动点P在双曲线C的左支上时，≥c－a＝1，＝2a＋＝＋2，
＝＝＝≤＝，当且仅当＝2时，等号成立，
所以，的最大值为，D选项错误．
6．(2020·济宁高二检测)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与双曲线左右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且MF2·＝2，则以下结论正确的是( )
A．∠F1MF2＝120°
B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
D．直线l的斜率为1
【解析】选BC.如图，作F2D⊥MN于点D，
则MF2·＝·cos
∠F2MN＝＝2＝2，
所以＝，
所以D是MN的中点，从而＝.
根据双曲线定义，得－＝2a，－＝2a，所以－＝＝4a，
又以MN为直径的圆过F2，所以MF2⊥NF2，∠MNF2＝∠NMF2＝45°，于是∠F1MF2＝135°，A错；又＝＝2a，＝(2＋2)a，
由余弦定理2＝2＋2－
2cos
45°得
4c2＝(2a)2＋(2＋2)2a2－2×2a×(2＋2)a×，化简得＝3，所以e＝＝，B正确；由＝＝3得＝2，即＝，所以渐近线方程为y＝±x，C正确；
由图易知∠NF1F2<∠NMF2＝45°，
所以kMN＝tan
∠NF1F2<1，D错．
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为__________.
【解析】因为e＝＝，
不妨设a＝4，c＝1，
则b＝，
所以对应双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：y＝±x
8．(2020·六安高二检测)已知双曲线C：－＝1的右焦点到渐近线的距离为3.现有如下条件：
①双曲线C的离心率为；②双曲线C与椭圆C′：＋＝1共焦点；③双曲线右支上的一点P到F1，F2的距离之差是虚轴长的倍．
请从上述3个条件中任选一个，得到双曲线C的方程为________.
【解析】依题意，双曲线C：－＝1，
渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，
右焦点到渐近线的距离为3，故＝3，即b＝3；
若选①，双曲线C的离心率为，故＝；
又b＝3，且a2＋b2＝c2，所以a＝4，c＝5，
故双曲线C的方程为－＝1；
若选②，椭圆C′：＋＝1的焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，
故c＝5；又a2＋b2＝c2，故a＝4，
故双曲线C的方程为－＝1；
若选③，依题意，设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，
故－＝·2b，故a＝4，
故双曲线C的方程为－＝1.
答案：－＝1
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为48，求此双曲线的方程．
【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，
则点F2到渐近线距离为＝b(其中c是双曲线的半焦距)，
所以由题意知c＋a＝2b.又因为a2＋b2＝c2，
解得b＝a，
故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y＝0.
(2)因为∠F1PF2＝60°，
由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
60°
＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝4c2 ①.
又由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，
平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2 ②，
①②相减得|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2.
根据三角形的面积公式得S＝|PF1|·|PF2|sin
60°＝·4b2＝b2＝48，
得b2＝48.再由(1)得a2＝b2＝27，
故所求双曲线方程是－＝1.
10．(2020·绵阳高二检测)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的上焦点为F.
(1)若双曲线C是等轴双曲线，且c＝2，求双曲线的标准方程；
(2)若经过原点且倾斜角为30°的直线l与双曲线C的上支交于点A，O为坐标原点，△OAF是以线段AF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率及渐近线方程．
【解析】(1)由双曲线为等轴双曲线，则a＝b，
又c＝2，则a2＋b2＝c2＝4，所以a2＝b2＝2，
故双曲线的标准方程为－＝1；
(2)由题意得＝c，
又OA的倾斜角为30°，A
则2a＝
＝(－1)c，a＝c，所以e＝＝＋1
又e2＝1＋，则＝3＋2，
则渐近线方程为y＝±x.
拓展
1．(2020·上饶高二检测)已知F1，F2是双曲线C：－＝1的左右焦点，过F1的直线与圆x2＋y2＝a2相切，切点为T，且交双曲线右支于点P，若2F1T＝，则双曲线C的离心率为( )
A．2
B．
C．
D．
【解析】选C.
如图，连接OT，PF2，由F1P与圆x2＋y2＝a2相切于点T可得∠F1TO＝.
因为＝c，＝a，故＝b，
所以cos
∠PF1F2＝.
又＝2＝2b，故＝3b，所以＝3b－2a.
在△PF1F2中，由余弦定理得2＝4c2＋9b2－2×2c×3b×，
整理得2b＝3a，
所以4＝9a2，即＝，
所以e＝.
2．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．
【解析】因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|，
所以＝＝＋4a＋|PF2|≥8a，当且仅当＝|PF2|，
即|PF2|＝2a时取等号，
所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a，
因为|PF1|－|PF2|＝2a<2c，|PF1|＋|PF2|＝6a＞2c e＝＜3，
所以e∈(1，3).
PAGE
基础练
(15分钟 30分)
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2
B．2
C．4
D．4
2．(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
3．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且C经过点A(2，)，则双曲线C的方程为( )
A．x2－y2＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
4．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
5．(2020·荆州高二检测)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2－|PF2|2＝4，求△PF1F2的周长．
能力练
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＝0的夹角为60°，若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，则双曲线C的标准方程为( )
A．－y2＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．x2－＝1
3．(2020·保定高二检测)已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，点N在C的渐近线上(异于原点)，若M点满足＝，且·＝0，则|MN|＝( )
A．2a
B．a
C．4a
D．2a
4．(2020·大庆高二检测)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上一点，且PF1·＝0(O为坐标原点)，cos
∠PF2F1＝，则双曲线C的离心率为( )
A．2
B．
C．
D．
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．(2020·济南高二检测)已知动点P在双曲线C：x2－＝1上，双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2，下列结论正确的是( )
A．C的离心率为2
B．C的渐近线方程为y＝±x
C．动点P到两条渐近线的距离之积为定值
D．当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为
6．(2020·济宁高二检测)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与双曲线左右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且MF2·＝2，则以下结论正确的是( )
A．∠F1MF2＝120°
B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
D．直线l的斜率为1
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为__________.
8．(2020·六安高二检测)已知双曲线C：－＝1的右焦点到渐近线的距离为3.现有如下条件：
①双曲线C的离心率为；②双曲线C与椭圆C′：＋＝1共焦点；③双曲线右支上的一点P到F1，F2的距离之差是虚轴长的倍．
请从上述3个条件中任选一个，得到双曲线C的方程为________.
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为48，求此双曲线的方程．
10．(2020·绵阳高二检测)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的上焦点为F.
(1)若双曲线C是等轴双曲线，且c＝2，求双曲线的标准方程；
(2)若经过原点且倾斜角为30°的直线l与双曲线C的上支交于点A，O为坐标原点，△OAF是以线段AF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率及渐近线方程．
拓展
1．(2020·上饶高二检测)已知F1，F2是双曲线C：－＝1的左右焦点，过F1的直线与圆x2＋y2＝a2相切，切点为T，且交双曲线右支于点P，若2F1T＝，则双曲线C的离心率为( )
A．2
B．
C．
D．
2．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．
参考答案：
基础练
(15分钟 30分)
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A．2
B．2
C．4
D．4
【解析】选C.将双曲线化成标准形式为－＝1，得2a＝4.
2．(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝( )
A．1
B．2
C．4
D．8
【解析】选A.设PF1＝m，PF2＝n，m＞n，S△PF1F2＝
mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，e＝＝，所以a＝1.
3．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且C经过点A(2，)，则双曲线C的方程为( )
A．x2－y2＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
【解析】选A.由双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线为等轴双曲线，即a＝b，
双曲线C：x2－y2＝a2，
将A(2，)代入双曲线方程，解得a＝1，
所以双曲线的标准方程为x2－y2＝1.
4．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选C.不妨设|PF1|＞|PF2|，
则|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＋|PF2|＝6a，
解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，为30°，
所以|PF2|2＝|PF1|2＋|F2F1|2－2|PF1||F2F1|cos
30°，
所以(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a×2c×，
化为e2－2e＋3＝0，解得e＝.
5．(2020·荆州高二检测)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P为双曲线右支上一点，且满足|PF1|2－|PF2|2＝4，求△PF1F2的周长．
【解析】由题意得＝2，得a＝，c＝＝，P为双曲线右支上一点，所以－＝2a＝，因为2－2＝(－)(＋)＝4，所以＋＝2，所以△PF1F2的周长为＋＋＝2＋＝.
所以△PF1F2的周长为.
能力练
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
【解析】选C.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，故有＝，所以＝，解得＝.
故双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＝0的夹角为60°，若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，则双曲线C的标准方程为( )
A．－y2＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．x2－＝1
【解析】选A.双曲线的渐近线为y＝±x，
因为渐近线与直线x＝0的夹角为60°，
所以＝tan
30°＝，①
因为以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的周长为8，所以4＝8，②
由①②，解得a2＝3，b2＝1.
所以双曲线C的标准方程为－y2＝1.
3．(2020·保定高二检测)已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，点N在C的渐近线上(异于原点)，若M点满足＝，且·＝0，则|MN|＝( )
A．2a
B．a
C．4a
D．2a
【解析】选C.不妨设双曲线C：－＝1的一条渐近线为y＝2x，其斜率为2，所以b＝2a，F(a，0).
因为M点满足＝，且·＝0，
所以F是OM的中点，且ON⊥MN，
作FH⊥ON于H，如图所示：
则点F到渐近线的距离为|FH|＝＝2a，
所以|MN|＝4a.
4．(2020·大庆高二检测)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线左支上一点，且PF1·＝0(O为坐标原点)，cos
∠PF2F1＝，则双曲线C的离心率为( )
A．2
B．
C．
D．
【解析】选D.如图，取PF1的中点为M，
则＝.
由PF1·＝0，得
PF1·＝0，即PF1⊥.
因为OM为△PF1F2的中位线，所以PF1⊥PF2．
由cos
∠PF2F1＝，
设＝12，则＝13，＝5，
所以2a＝－＝7，2c＝＝13，
得双曲线C的离心率为＝.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．(2020·济南高二检测)已知动点P在双曲线C：x2－＝1上，双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2，下列结论正确的是( )
A．C的离心率为2
B．C的渐近线方程为y＝±x
C．动点P到两条渐近线的距离之积为定值
D．当动点P在双曲线C的左支上时，的最大值为
【解析】选AC.对于双曲线C：x2－＝1，a＝1，b＝，c＝2，
所以双曲线C的离心率为e＝＝2，渐近线方程为y＝±x，A选项正确，B选项错误；设点P的坐标为，则x－
eq
\f(y,3)
＝1，双曲线C的两条渐近线方程分别为x－y＝0和x＋y＝0，则点P到两条渐近线的距离之积为·＝
eq
\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,3))),\f(4,3))
＝，C选项正确；当动点P在双曲线C的左支上时，≥c－a＝1，＝2a＋＝＋2，
＝＝＝≤＝，当且仅当＝2时，等号成立，
所以，的最大值为，D选项错误．
6．(2020·济宁高二检测)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与双曲线左右两支交于M，N两点，以MN为直径的圆过F2，且MF2·＝2，则以下结论正确的是( )
A．∠F1MF2＝120°
B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
D．直线l的斜率为1
【解析】选BC.如图，作F2D⊥MN于点D，
则MF2·＝·cos
∠F2MN＝＝2＝2，
所以＝，
所以D是MN的中点，从而＝.
根据双曲线定义，得－＝2a，－＝2a，所以－＝＝4a，
又以MN为直径的圆过F2，所以MF2⊥NF2，∠MNF2＝∠NMF2＝45°，于是∠F1MF2＝135°，A错；又＝＝2a，＝(2＋2)a，
由余弦定理2＝2＋2－
2cos
45°得
4c2＝(2a)2＋(2＋2)2a2－2×2a×(2＋2)a×，化简得＝3，所以e＝＝，B正确；由＝＝3得＝2，即＝，所以渐近线方程为y＝±x，C正确；
由图易知∠NF1F2<∠NMF2＝45°，
所以kMN＝tan
∠NF1F2<1，D错．
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为__________.
【解析】因为e＝＝，
不妨设a＝4，c＝1，
则b＝，
所以对应双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：y＝±x
8．(2020·六安高二检测)已知双曲线C：－＝1的右焦点到渐近线的距离为3.现有如下条件：
①双曲线C的离心率为；②双曲线C与椭圆C′：＋＝1共焦点；③双曲线右支上的一点P到F1，F2的距离之差是虚轴长的倍．
请从上述3个条件中任选一个，得到双曲线C的方程为________.
【解析】依题意，双曲线C：－＝1，
渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，
右焦点到渐近线的距离为3，故＝3，即b＝3；
若选①，双曲线C的离心率为，故＝；
又b＝3，且a2＋b2＝c2，所以a＝4，c＝5，
故双曲线C的方程为－＝1；
若选②，椭圆C′：＋＝1的焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，
故c＝5；又a2＋b2＝c2，故a＝4，
故双曲线C的方程为－＝1；
若选③，依题意，设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，
故－＝·2b，故a＝4，
故双曲线C的方程为－＝1.
答案：－＝1
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)当∠F1PF2＝60°时，△PF1F2的面积为48，求此双曲线的方程．
【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，
则点F2到渐近线距离为＝b(其中c是双曲线的半焦距)，
所以由题意知c＋a＝2b.又因为a2＋b2＝c2，
解得b＝a，
故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y＝0.
(2)因为∠F1PF2＝60°，
由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
60°
＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝4c2 ①.
又由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，
平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2 ②，
①②相减得|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2.
根据三角形的面积公式得S＝|PF1|·|PF2|sin
60°＝·4b2＝b2＝48，
得b2＝48.再由(1)得a2＝b2＝27，
故所求双曲线方程是－＝1.
10．(2020·绵阳高二检测)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的上焦点为F.
(1)若双曲线C是等轴双曲线，且c＝2，求双曲线的标准方程；
(2)若经过原点且倾斜角为30°的直线l与双曲线C的上支交于点A，O为坐标原点，△OAF是以线段AF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率及渐近线方程．
【解析】(1)由双曲线为等轴双曲线，则a＝b，
又c＝2，则a2＋b2＝c2＝4，所以a2＝b2＝2，
故双曲线的标准方程为－＝1；
(2)由题意得＝c，
又OA的倾斜角为30°，A
则2a＝
＝(－1)c，a＝c，所以e＝＝＋1
又e2＝1＋，则＝3＋2，
则渐近线方程为y＝±x.
拓展
1．(2020·上饶高二检测)已知F1，F2是双曲线C：－＝1的左右焦点，过F1的直线与圆x2＋y2＝a2相切，切点为T，且交双曲线右支于点P，若2F1T＝，则双曲线C的离心率为( )
A．2
B．
C．
D．
【解析】选C.
如图，连接OT，PF2，由F1P与圆x2＋y2＝a2相切于点T可得∠F1TO＝.
因为＝c，＝a，故＝b，
所以cos
∠PF1F2＝.
又＝2＝2b，故＝3b，所以＝3b－2a.
在△PF1F2中，由余弦定理得2＝4c2＋9b2－2×2c×3b×，
整理得2b＝3a，
所以4＝9a2，即＝，
所以e＝.
2．已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．
【解析】因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|，
所以＝＝＋4a＋|PF2|≥8a，当且仅当＝|PF2|，
即|PF2|＝2a时取等号，
所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a，
因为|PF1|－|PF2|＝2a<2c，|PF1|＋|PF2|＝6a＞2c e＝＜3，
所以e∈(1，3).
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