2021年新教材高中数学2.3.3_2.3.4点到直线的距离公式两条平行直线间的距离（Word含解析）

点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离
基础练(15分钟　30分)
1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　)
A．7
B．5
C．3
D．2
2．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则c的值为(　　)
A．9
B．11或－9
C．－11
D．9或－11
3．两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为(　　)
A．a＝6，d＝
B．a＝－6，d＝
C．a＝6，d＝
D．a＝－6，d＝
4．点P(m，6)到直线3x－4y－2＝0的距离不大于4，则m的取值范围是________.
5．求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程．
能力练(20分钟　40分)
一、单选题(每小题5分，共15分)
1．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)
A．
B．
C．
D．
2．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为(　　)
A．3
B．2
C．
D．4
3．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)
A．(1，2)或(2，－1)
B．(1，2)
C．(1，－2)或(2，1)
D．(2，－1)
二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
4．已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　)
A．直线l的倾斜角是
B．点(，0)到直线l的距离是2
C．若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
D．过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P距离为2的直线方程为__________.
6．直线l1：2mx＋y＋4＝0恒过定点________；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为________.
四、解答题
7．(10分)设直线l经过点A(1，0)，且与直线3x＋4y－12＝0平行．
(1)求直线l的方程；
(2)若点B(a，1)到直线l的距离小于2，求实数a的取值范围．
参考答案：
基础练(15分钟　30分)
1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　)
A．7
B．5
C．3
D．2
【解析】选A.直线x＋2＝0，即x＝－2，为平行于y轴的直线，
所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.
2．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则c的值为(　　)
A．9
B．11或－9
C．－11
D．9或－11
【解析】选B.两平行线间的距离为d＝＝2，解得c＝－9或11.
3．两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为(　　)
A．a＝6，d＝
B．a＝－6，d＝
C．a＝6，d＝
D．a＝－6，d＝
【解析】选B.因为两条直线为平行直线，
所以2×3＝·a，解得a＝－6，
所以ax＋3y－4＝0方程为－6x＋3y－4＝0，
即2x－y＋＝0，所以d＝＝.
4．点P(m，6)到直线3x－4y－2＝0的距离不大于4，则m的取值范围是________.
【解析】依题意可知，≤4，
解得2≤m≤.
答案：
5．求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程．
【解析】设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知：
d＝＝＝.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6，解得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
能力练(20分钟　40分)
一、单选题(每小题5分，共15分)
1．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选C.因为＝≠－，所以两直线平行，
将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
即＝，所以|PQ|的最小值为.
2．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为(　　)
A．3
B．2
C．
D．4
【解析】选A.由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，
设该直线方程为x＋y＋c＝0，则＝，即c＝－6，所以点M在直线x＋y－6＝0上，
所以点M到原点距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3.
3．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)
A．(1，2)或(2，－1)
B．(1，2)
C．(1，－2)或(2，1)
D．(2，－1)
【解析】选A.点P在直线3x＋y－5＝0上，
设P，P到直线x－y－1＝0的距离为，
＝，＝2，
解得a＝1或a＝2，点P的坐标为(1，2)或(2，－1).
二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
4．已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　)
A．直线l的倾斜角是
B．点(，0)到直线l的距离是2
C．若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
D．过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0
【解析】选BD.直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝tan
θ＝，故直线l的倾斜角是，A错误；点到直线l的距离d＝＝2，B正确；因为直线m：x－y＋1＝0的斜率k′＝，kk′＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，C错误；过与直线l平行的直线方程是y－2＝(x－2)，整理得：x－y－4＝0，D正确．
三、填空题(每小题5分，共10分)
5．过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P距离为2的直线方程为__________.
【解析】由得所以直线l1与l2的交点为.
当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝1，点P到该直线的距离为1，不合题意；
当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－2＝k，即kx－y－k＋2＝0，
由于点P到所求直线的距离为2，
可得2＝，整理得3k2－4k＝0，解得k＝0或k＝.
综上，所求直线的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.
答案：y＝2或4x－3y＋2＝0
6．直线l1：2mx＋y＋4＝0恒过定点________；若过原点作直线l2∥l1，则当直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为________.
【解题指南】将直线方程整理为m＋(4－2y)＝0，由此得到，解方程组可求得定点坐标；根据平行关系和l2过原点可知l2为2mx＋y＝0，根据平行直线间距离公式和二次函数性质可确定距离最大时m的值，代入整理可得结果．
【解析】由2mx＋y＋4＝0得m＋＝0，
由得，所以l1恒过定点.
设直线l2的方程为：2mx＋y＋C＝0，
因为l2过原点，所以C＝0，所以l2：2mx＋y＝0，则l1，l2之间距离d＝
＝
当m＝时min＝，
所以dmax＝.所以l2的方程为：y＝x.
答案：　y＝x
四、解答题
7．(10分)设直线l经过点A(1，0)，且与直线3x＋4y－12＝0平行．
(1)求直线l的方程；
(2)若点B(a，1)到直线l的距离小于2，求实数a的取值范围．
【解析】(1)因为直线3x＋4y－12＝0的斜率k＝－，
又直线l过点A，
所以直线l的方程为y－0＝－，
整理得3x＋4y－3＝0.
(2)点B到直线l的距离d＝，
依题意可得<2，
即<10，解得－PAGE