2021-2022学年鲁教版（五四制）七年级数学上册轴对称最短路径问题 专题突破训练 （word版含答案）

2021-2022学年鲁教版七年级数学上册《轴对称最短路径问题》专题突破训练（附答案）
一．选择题
1．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　）
A．2
B．4
C．5
D．6
2．如图，等腰△ABC的底边BC长为6，腰长为8，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则BP+CP的最小值（　　）
A．6
B．8
C．10
D．14
3．如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（　　）
A．10o
B．20o
C．40o
D．50o
4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度（　　）
A．EF
B．AB
C．AC
D．BC
5．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝152°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　）
A．55°
B．56°
C．57°
D．58°
6．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（　　）
A．3.5
B．4
C．5
D．6
7．如图，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是（　　）
A．120°
B．60°
C．30°
D．90°
8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　）
A．110°
B．112°
C．114°
D．116°
9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
10．如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为（　　）
A．8
B．10
C．12
D．14
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝68°，∠C＝36°，AD平分∠BAC，M、N分别是AD、AB上的动点，当BM+MN最小时，∠BMN的度数为（　　）
A．34°
B．68°
C．76°
D．90°
二．填空题
12．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为　
　．
13．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是
　
　．
14．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝8，则△PMN的周长的最小值＝　
　．
15．如图，点C，D分别是边∠AOB两边OA、OB上的定点，∠AOB＝20°，OC＝OD＝4．点E，F分别是边OB，OA上的动点，则CE+EF+FD的最小值是
　
　．
三．解答题
16．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．
17．如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+NQ最短．
18．如图1和图2，P是直线m上一动点，A、B两点在直线m的同侧，且点A、B所在直线与m不平行．
（1）当P点运动到P1位置时，距离A点最近，在图1中的直线m上画出点P1的位置；
（2）当P点运动到P2位置时，与A点的距离和与B点距两相等，请在图2中作出P2位置；
（3）在直线m上是否存在这样一点P3，使得到A点的距离与到B点的距离之和最小？若存在请在图3中作出这点，若不存在清说明理由．（要求：不写作法，请保留作图痕迹）
19．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的
△A1B1C1；
（2）在DE上画出点Q，使△QAC的周长最小．
20．如图，在正方形网格上的一个△ABC．（其中点A、B、C均在网格上）
（1）作△ABC关于直线MN的轴对称图形△A′B′C′；
（2）以P点为一个顶点作一个与△ABC全等的△EPF（规定点P与点B对应，另两顶点都在图中网格交点处）．
（3）在MN上画出点Q，使得QA+QC最小．
参考答案
1．解：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，
∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F，
∴CE+EF的最小值C'F的长，
∴CC'⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠C'BG＝∠GBC，
在△C'BG和△CBG中，
，
∴△C'BG≌△CBG（ASA），
∴BC＝BC'，
∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，BC'＝8，
在Rt△BCC'中，C'F＝4，
∴CE+EF的最小值为4，
故选：B．
2．解：连接AP，
∵EF垂直平分AB，
∴AP＝BP，
∴BP+CP≥AC，
∴当PB+CP＝AC时，BP+CP值最小，
∵等腰△ABC腰长为8，
∴AC＝8，
∴BP+CP的最小值为8，故选：B．
3．解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝20°+（180°﹣β），
∴180°﹣α＝40°+（180°﹣β），
∴β﹣α＝40°，
故选：C．
4．解：连接AK，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AK＝BK，
∴BK+CK＝AK+CK，
∴AK+CK的最小值＝BK+CK的最小值，
∵AK+CK≥AC，
∴当AK+CK＝AC时，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，
∴BK+CK的最小值是线段AC的长度，
故选：C．
5．解：如图，延长AB至A′，使A′B＝AB，
延长AE至A″，使A″E＝AE，
则BC垂直平分AA′，DE垂直平分AA″，
∴AM＝A′M，AN＝A″N，
根据两点之间，线段最短，
当A′，M，N，A″四点在一条直线时，A′M+MN+NA″最小，
则AM+MN+AN的值最小，
即△AMN的周长最小，
∵AM＝A′M，AN＝A″N，
∴可设∠MAA′＝∠MA′A＝x，∠NAA″＝∠NA″A＝y，
在△AA′A″中，x+y＝180°﹣∠BAE＝180°﹣152°＝28°，
∵∠AMN＝∠MAA′+∠MA′A＝2x，∠ANM＝2y，
∴∠AMN+∠ANM＝2x+2y＝56°，
故选：B．
6．解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，AQ＝2cm，QD＝1.5cm，
∴AD＝DC＝AQ+QD＝3.5（cm），
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝2cm，AD＝DC＝3.5cm，
∴QD＝DQ′＝1.5（cm），
∴CQ′＝BP＝2（cm），
∴AP＝AQ′＝5（cm），
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝5（cm），
∴PE+QE的最小值为5cm．
故选：C．
7．解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2交OA于M，交OB于N，
∴OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质可得MP＝P1M，PN＝P2N，
∴△PMN的周长的最小值＝P1P2，
由轴对称的性质可得∠P1OP2＝2∠AOB，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2∠P1OP2，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2∠P1OP2＝60°，
故选：B．
8．解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．
∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α，
∴∠ADC＝180°﹣α，
由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣32°）
＝32°，
∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°，
∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）
＝180°﹣64°
＝116°．
故选：D．
9．解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE≥BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，
∴∠ACP＝30°，
故选：A．
10．解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝24，解得AD＝12，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝12+×4＝14．
故选：D．
11．解：∵∠BAC＝68°，∠C＝36°，
∴∠ABC＝180°﹣68°﹣36°＝76°，
如图，过B作BE⊥AC于E，交AD于M，
在AB上截取AN＝AE，连接MN，
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM＝∠NAM，
在△AME与△AMN中，
，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME＝MN．∠ANM＝∠AEM，
∴BM+MN＝BM+ME＝BE，
BM+MN最小值，只要求BM+EM的最小值，
当BE⊥AC时，BM+ME最小，
此时∠ABE＝90°﹣68°＝22°，
∴∠ANM＝90°，
∴∠BMN＝90°﹣22°＝68°
故选：B．
12．解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴△ACP的周长＝AP+PC+AC＝BP+AP+AC≥AB+AC，
∴当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小，
∵AB＝6，BC＝7，AC＝4，
∴△ACP的周长6+4＝10，
∴△ACP的周长最小值为10，
故答案为10．
13．解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN＝5，
∴DM+CN+MN＝5，
即CD＝5＝OP，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°；
故答案为30°．
14．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝8cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝8．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝8．
故答案为：8．
15．解：作C关于OB的对称点C′，作D关于OA的对称点D′，
连接C′D′，即为CE+EF+FD的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠DOC′＝∠AOB＝∠FOD′＝20°，
∴△OC′D′为等边三角形
∴C′D′＝OC′＝OC＝4．
故答案为4．
16．解：如图所示：分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对应点P1与P2，
连接P1P2交OX于M，交OY于N，
则PM+MN+NP最短．
17．解：如图所示．
18．解：（1）过点A作直线m的垂线，垂足为P1，
则P1即为所求；
（2）作线段AB的垂直平分线交直线m于P2，
则P2即为所求；
（3）作点A关于直线m对称点A′，连接BA′交直线m于P3，
则P3即为所求．
19．解：（1）所作图形如图所示：
（2）如图所示：
利用轴对称图形的性质可得点C关于直线DE的对称点C1，
连接AC1，交直线DE于点Q，点
Q即为所求，此时△QAC的周长最小．
20．解：（1）如右图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）如右图所示，△EPF即为所求；
（3）如右图所示，线段AC′于MN的交点Q即为所求．