26.2.3.求二次函数的表达式-2021-2022学年华东师大版数学九年级下册（18张）

(共18张PPT)
求二次函数的表达式
华东师大版
九年级下册
新课导入
知道图象上两点的坐标，可以确定一次函数
y
=
kx
+
b（k
≠
0）的关系式.
知道图象上一点的坐标，可以确定反比例函数
y
=
（k
≠
0）的关系式.
如果要确定二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c（a
≠
0）的关系式，需要知道几个条件呢？
新课探究
问题2
如图，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线
AOB）的薄壳屋顶.它的拱宽
AB
为
4
m，拱高
CO
为
0.8
m.
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系，再写出函数表达式，然后根据这个函数表达式画出图形.
解:如图所示，以
AB
的垂直平分线为
y
轴，以过点
О
作
y
轴的垂线为
x
轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是
y
轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为:
如图，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线
AOB）的薄壳屋顶.它的拱宽
AB
为
4
m，拱高
CO
为
0.8
m.
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
问题2
y
=
ax2（a
<
0）
（1）
如图，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线
AOB）的薄壳屋顶.它的拱宽
AB
为
4
m，拱高
CO
为
0.8
m.
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
问题2
y
=
ax2（a
<
0）
（1）
因为
y
轴垂直平分
AB，并交
AB
于点
C，所以
CB
=
=
2（m），又CO
=
0.8
m，所以点
B
的坐标为（2，-0.8）.
因为点
B
在抛物线上，将它的坐标代入（1）得
-0.8
=
a×22，所以
a
=
-0.2，因此，所求函数关系式是
y
=
-0.2x2.
y
=
-0.2x2.
你能根据这个函数表达式，画出模板的轮廓线吗？
一个二次函数的图象经过点
(0，1)，它的顶点坐标为
(8，9)，求这个二次函数的表达式.
图象顶点坐标为（h，k）的二次函数表达式有怎样的形式？
二次函数顶点式
y=a(x-h)2+k
一个二次函数的图象经过点
(0，1)，它的顶点坐标为
(8，9)，求这个二次函数的表达式.
设所求二次函数的表达式为
y
=
a(
x
–
8
)2
+
9，
由这个函数的图象经过点（0,
1），可得
a
=
.
因此，所求二次函数的表达式为
y
=
(
x
–
8
)2
+
9.
已知顶点坐标和一点，求二次函数解析式的一般步骤:
第一步：设解析式为
y
=
a(x
-
h)2
+
k.
第二步：将已知点坐标代入求
a
值得出解析式.
归纳
一个二次函数的图象经过点
(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式.
设所求二次函数的表达式为
y
=
ax
2
+
bx
+
c，
由这个函数的图象经过点（0,
1），可得
c
=
1.又由于其图象经过(2，4)、(3，10)两点，可得
4a
+
2b
+
1
=
4，
9a
+
3b
+
1
=
10.
解这个方程组，得
因此，所求二次函数的表达式为
y
=
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
归纳
任意两点的连线不与y轴平行
练
习
1.求图象为下列抛物线的二次函数的表达式：
【选自教材P23
练习
第1题】
解：（1）设抛物线的解析式为
y
=
ax2
(a
≠
0).
∵抛物线经过点（2，8），∴4a
=
8，∴a
=
2，∴y
=
2x2.
（1）抛物线的顶点在原点，且抛物线经过点（2,8）；
（2）抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且抛物线经过点（1,10）；
（2）∵抛物线的顶点坐标是（-1，-2），
∴设其解析式为
y
=
a(x+1)2
-
2
(a
≠
0).
∵抛物线经过点（1，10），∴a(1+1)2
-
2
=
10，∴a
=
3，
∴
y
=
3(x+1)2
-
2
=
3x2
+
6x
+
1.
1.求图象为下列抛物线的二次函数的表达式：
（3）抛物线经过三点：（0，-2），（1,0），（2,3）.
练
习
【选自教材P23
练习
第1题】
（3）设抛物线解析式为y
=
ax2
+
bx
+
c（a
≠
0）.
∵抛物线过点（0，-2），（1，0），（2，3）三点，
c
=
-2，
a
+
b
+
c
=
0，
4a
+
2b
+
c
=
3.
∴
解得
∴
【选自教材P23
练习
第2题】
2.
已知抛物线
y
=
ax2
+
bx
+
c
经过三点：（-1,1），（0，-2），（1,1）.
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式.
（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
解：（1）∵抛物线过（-1，-1），（0，-2），（1，1）三点，
∴这条抛物线所对应的二次函数的关系式为
y
=
2x2
+
x
-2.
a
–
b
+
c
=
-1
c
=
-2
a
+
b
+
c
=
1
a
=
2
b
=
1
c
=
-2
解得
【选自教材P23
练习
第2题】
2.
已知抛物线
y
=
ax2
+
bx
+
c
经过三点：（-1,1），（0，-2），（1,1）.
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式.
（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.
（3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
（2）此抛物线的开口向上，对称轴为直线
，
顶点坐标为
.
（3）这个函数有最小值，最小值为
.
【选自教材P23
练习
第3题】
3.
将抛物线
向下平移
1
个单位，再向右平移
4
个
单位，求所得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
解：
，平移后的抛物线解析式为
，其开口向下，对称轴为直线
x
=
3，顶点坐标为
.
课堂小结
待定系数法求二次函数解析式
:
（1）知道三点，设其形式为
y
=
ax2
+
bx
+
c
（a≠0），其中a、b、c
是待定系数；
（2）知道一点和顶点坐标，通常设其形式为
y
=
a(x-h)2
+
k（a
≠
0），其中
a
是待定系数.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业