(共20张PPT)
26.3
实践与探索
华东师大版
九年级下册
第1课时
二次函数与实际问题
问题1
某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水.
柱子在水面以上部分的高度为1.25
m.
水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示.
（1）
问题1
（2）
根据设计图纸已知：在图（2）所示的平面直角坐标系中，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是
.
（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
就是求函数
最大值
问题1
（2）
根据设计图纸已知：在图（2）所示的平面直角坐标系中，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是
.
（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
当x＝1时，
∴
喷出的水流距水平面的最大高度是
.
（2）
（2）如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？
就是求当y＝0时，x在正半轴的值。
（2）
（2）如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？
解得
，
（舍）
∴水池的半径至少为
2.5m
时，才能使喷出的水流都落在水池内.
问题2
一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示.
现测得当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4
m.
这时，离开水面1.5
m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1
m？
ED的长
D或E的坐标
抛物线的函数表达式
涵洞的横截面所成抛物线有什么特点？
顶点在原点
对称轴为y轴
开口向下
问题2
一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示.
现测得当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4
m.
这时，离开水面1.5
m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1
m？
ED的长
D或E的坐标
抛物线的函数表达式
可设抛物线表达式为
y＝ax2（a＜0）
顶点在原点
对称轴为y轴
开口向下
问题2
一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示.
现测得当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4
m.
这时，离开水面1.5
m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1
m？
解：设涵洞的横截面所成抛物线表达式为
y＝ax2（a＜0）
∵
AB＝1.6m
，
∴
又由题可知OC＝2.4
m，
∴点B的坐标是（0.8，－2.4）
代入y＝ax2（a＜0）
，得－2.4＝a×0.82
∴
因此，函数关系式是
问题2
一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示.
现测得当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4
m.
这时，离开水面1.5
m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1
m？
由题可知OF＝1.5m，
设
FD＝x1m
（x1＞0），
则点D的坐标为（x1，－1.5），
代入
，得
∴
（舍）
∴
所以涵洞宽ED是
，超过1m.
练
习
如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12
m、高6
m.
车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2
m的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于
m的空隙.
你能否根据这些要求，建立适当的平面直角
坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧
道车辆的高度限制？
练
习
【选自教材P28上侧
练习
】
x
y
12
6
解：如图，以抛物线的对称轴为y轴，路面为x轴，建立坐标系.
A
B
C
由已知可得，抛物线顶点坐标C为（0，6），与x轴交点B为（6，0）
设抛物线解析式为
y=ax2+6，
得
把（6，0）代入解析式，
∴抛物线解析式为
当x＝6－2＝4时，
∴通过遂道车辆的高度限制为3米．
随堂演练
1.
如图，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手，出手时铅球离地面的高度约为1.6m，铅球在点B处落地.
铅球在运动员前4
m处（即OC=4）达到最高点，最高点离地面的高度为3.2
m.
已知铅球经过的路线是抛物线，试利用图示的平面直角坐标系算出这个运动员的成绩（精确到0.
1m）
【选自教材P30
习题26.3
第1题】
D
解：∵
OC=4，CD=3.2
∴顶点D坐标为（4，3.2）
设抛物线解析式：y=a（x－4）2+3.2，
D
∵
OA=1.6
∴点A坐标为（0，1.6）
将A点代入
y=a（x－4）2+3.2，
得a（0－4）2+3.2=1.6
∴
a=－0.1
故
y
=
－0.1（x－4）2+3.2，
令
y
=
0，得－0.1（x－4）2+3.2=0
∴x1＝9.7
，x2＝－1.7
（舍）
即OB=9.7
所以这个运动员的成绩是9.7m.
2.
某商店开始时，将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件.店方想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件.
（1）写出出售该商品每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式.
【选自教材P30
习题26.3
第2题】
利润=（售价－进价）×售出件数
y
＝（x－8）[100－10（x－10）]
即
y＝－10x2
＋280x－1600
2.
某商店开始时，将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件.店方想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件.
（2）每件售价定为多少元，才能使每天所得的利润最大
【选自教材P30
习题26.3
第2题】
y＝－10x2
＋280x－1600＝－（x－14）2＋360
∴当x＝14时，y最大
＝360元
课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业(共16张PPT)
华东师大版
九年级下册
第2课时
二次函数和一元二次方程方程（不等式）的关系
复习导入
y＝kx＋b
y＝0
kx＋b＝0
一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解.
现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）和二次函数y＝ax2
＋bx＋c（a≠0）
，它们之间是否也存在一定的关系呢？
问题3
画出函数
y＝x2－x－
的图象，
根据图象回答下列问题：
（1）图象与x轴交点的坐标是什么？
（2）当x取何值时，y=0？
这里x的取值与方程
x2－x－
＝0有什么关系？
方程
x2－x－
＝0的解就是函数y＝x2－x－
与x轴交点的横坐标。
（3）你能从中得到什么启发？
方程ax2+bx+c=0的解就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标。当抛物线与x轴没有公共点时，对应的方程无实数根.
结论
反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与
x
轴的位置关系。
结论
抛物线y=ax2+bx+c与x轴
ax2+bx+c
=
0
的根
△=
b2
–
4ac
有两个交点
有两个不同实根
△
>
0
有一个交点
有两个相同实根
△
=
0
没有交点
没有根
△
<
0
试一试
继续回答下列问题:
（1）当x取何值时，y<0？当x取何值时，y>0？
（2）试用含有x的不等式来描述问题（1）.
x2－x－
＜0的解集为
x2－x－
＞0的解集为
或
练
习
1.
画出函数y
=
x2－2x
－1的图象，利用图象求方程x2－2x－
1
=
0的根.
（精确到0.
1）
【选自教材P28下侧
练习
第1题
】
（－0.41，0）
（2.41，0）
方程x2－2x－
1
=
0的根为－0.41或2.41
练
习
2.
试画出适当的函数图象，利用图象解方程
x2＝
x+3.
x2－
x－3＝0
【选自教材P28下侧
练习
第2题
】
（－1.5，0）
（2，0）
x2＝
x＋3的解为－1.5或2
问题4
育才中学九年级（3）班的学生在上节课的练习中出现了争论：解方程x2＝
x＋3时，几乎所有学生都是将方程化为x2－
x－3
=0，画出函数y=x2－
x－3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的根.
唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y=x2和y=
x
+3的图象，如图，认为它们的交点A、B的横坐标－
和2就是原方程的根.
运用小刘的方法求下列方程的根，并检验小刘的方法是否合理：
（1）x2＋x－1＝0（精确到0.1）
y＝x2＋x－1
（－1.6，0）
（0.6，0）
x2＝－x＋1
y＝x2
y＝－x＋1
（－1.6，0）
（0.6，0）
运用小刘的方法求下列方程的根，并检验小刘的方法是否合理：
（2）2x2－3x－2＝0
y＝2x2－3x－2
（－0.5，0）
（2，0）
2x2＝3x＋2
y＝2x2
y＝3x＋2
（－0.5，0）
（2，0）
方程组的解就是对应两个函数图象的交点
结论
随堂演练
1.
利用函数的图象求下列方程的根：
（1）x2＋x－12＝0
（2）2x2－x－3＝0
【选自教材P30
习题26.3
第3题】
y＝x2＋x－12
（－4，0）
（3，0）
x2＋x－12＝0的解为－4或3
y＝2x2－x－3
（－1，0）
（1.5，0）
2x2－x－3＝0的解为－1或1.5
2.
利用函数的图象求下列方程组的解：
【选自教材P30
习题26.3
第4题】
（－0.6，0）
（1.1，0）
y＝x2
方程组的解为
y＝x2－
x
y＝－
3x－1
方程组的解为
课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
