3.1.2等式的性质（课中练）
知识点1
等式的性质
例1．下列等式变形正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c
B．如果a2＝5a，那么a＝5
C．如果a＝b，那么
D．如果，那么a＝b
变式2．已知等式3a＝2b+5，则下列等式变形不正确的是（ ）
A．3a﹣5＝2b
B．3a+1＝2b+6
C．a＝b+
D．3ac＝2bc+5
变式3．若等式根据等式的性质变形得到，则满足的条件是（
）
A．相等
B．互为倒数
C．互为相反数
D．无法确定
知识点2
利用等式的性质解方程
例4．利用等式的性质解方程：
（1）﹣x＝4
（2）2x＝5x﹣6
（3）5﹣x＝﹣2
（4）3x﹣6＝﹣31﹣2x
变式5．利用等式的性质解下列方程，并写出检验过程：
(1)；
(2)．
课堂练习
6．下列等式变形错误的是（
）
A．由，得
B．由，得
C．由，得
D．由，得
7．已知等式：①②③④，其中可以通过适当变形得到的等式是________．（填序号）
8．已知，则的值为_________．
9．阅读理解题：
下面是小明将等式x﹣4＝3x﹣4进行变形的过程：
x﹣4+4＝3x﹣4+4，①
x＝3x，②
1＝3．③
（1）小明①的依据是 ________________________ ．
（2）小明出错的步骤是 ，错误的原因是 _______ ．
（3）给出正确的解法．
10．运用等式的性质解下列方程：
(1)3x＝2x－6；
(2)2＋x＝2x＋1；
(3)x－8＝－x＋1．
参考答案
1．D
【分析】
根据等式的性质逐个判断即可．
【详解】
解：A、如果a＝b，那么a+c＝b+c，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、如果a2＝5a（a≠0），那么a＝5，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、如果a＝b，那么（c≠0），原变形错误，故此选项不符合题意；
D、如果，那么a＝b，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解决本题的关键．
2．D
【分析】
根据等式的性质逐个判断即可．
【详解】
解：A．∵3a＝2b+5，
∴等式两边都减去5，得3a﹣5＝2b，故本选项不符合题意；
B．∵3a＝2b+5，
∴等式两边都加1，得3a+1＝2b+6，故本选项不符合题意；
C．∵3a＝2b+5，
∴等式两边都除以3，得a＝b+，故本选项不符合题意；
D．∵3a＝2b+5，
∴等式两边都乘c，得3ac＝2bc+5c，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数或式子，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数或式子，等式仍成立．
3．C
【分析】
根据等式的性质，两边都加上b，然后判断即可得解．
【详解】
解：m+a=n-b两边都加上b得，m+a+b=n，
∵等式可变形为m=n，
∴a+b=0，
∴a=-b．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
4．（1）x＝﹣8；（2）x＝2；（3）x＝7；（4）x＝﹣5
【分析】
（1）等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案；
（2）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案；
（3）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案；
（4）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案．
【详解】
解：（1）-x=4，
方程两边同乘以-2，得，x=-8；
（2）2x=5x-6，
方程两边同减去5x，得2x-5x=-6，
合并同类项，得-3x=-6，
两边同除以-3，得x=2．
（3）5﹣x＝﹣2
两边都减5，得-x=-7，
两边都除以-1，得x=7；
（2）3x﹣6＝﹣31﹣2x
两边都加（2x+6），得
5x=-25，
两边都除以5，得
x=-5．
【点睛】
此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立是解本题的关键．
5．(1)；(2).
【分析】
（1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案；
（2）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案．
【详解】
解：(1)两边同加得：．
检验：当时，
左边，右边，
左=右，
∴是方程的解；
(2)两边都减去1，得，
两边都除以2，得．
检验：当时，左边右边，
是方程的解．
【点睛】
本题考查等式的性质，熟知等式的基本性质是解题的关键．
6．D
【分析】
根据等式的性质：1、等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等；2、等式两边同时乘或除相等且不为零的数或式子，两边依然相等；3、等式两边同时乘方或开方,两边依然相等；判断即可．
【详解】
解：A、由，得，故本选项不符合题意；
B、由，得，故本选项不符合题意；
C、由，得，故本选项不符合题意；
D、由，得，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质的内容是解此题的关键．
7．②③④
【分析】
利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案．
【详解】
解：①根据等式性质2，由两边同乘以15得，5x=
3y；
②根据等式性质1，两边同加x得，；
③根据等式性质1，两边同加5y得，；
④根据等式性质2，由两边同乘以3y得，据等式性质1，两边同加3y得，．
故答案为：②③④．
【点睛】
本题主要考查等式的性质：等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．
8．2021
【分析】
根据等式的性质，直接移项即可得出答案．
【详解】
解：∵
∴．
故填2021．
【点睛】
本题主要考查了等式的性质，掌握等式的右边（左边）的项移到左边（右边）符号发生改变是解答本题的关键．
9．（1）等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式；（2）③，等式两边都除以0；（3）见解析．
【分析】
（1）根据等式的基本性质即可解答；
（2）根据等式的基本性质即可解答；
（3）按照移项、合并同类项、系数化为一的步骤解答即可．
【详解】
（1）小明①的依据是等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式；
故答案为：等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式；
（2）小明出错的步骤是③，错误的原因是等式两边都除以0；
故答案为：③；等式两边都除以0．
（3）x﹣4＝3x﹣4，
x﹣4+4＝3x﹣4+4，
x＝3x，
x﹣3x＝0，
﹣2x＝0，
x＝0．
【点睛】
本题主要考查了等式的基本性质和解一元一次方程，掌握给等式两边同乘以一个（不为零）数，等式依然成立是解答本题的关键，也是解答本题的易错点．
10．（1）x＝－6；（2）x＝1；（3）x＝9
【分析】
（1）根据等式的性质：方程两边都减2x，可得答案；
（2）根据等式的性质：方程两边都减x，化简后方程的两边都减1，可得答案．
（3）根据等式的性质：方程两边都加x，化简后方程的两边都加8，可得答案．
【详解】
(1)两边减2x，得3x－2x＝2x－6－2x．
所以x＝－6．
(2)两边减x，得2＋x－x＝2x＋1－x．
化简，得2＝x＋1．
两边减1，得2－1＝x＋1－1
所以x＝1．
(3)两边加x，
得x－8＋x＝－x＋1＋x．
化简，得x－8＝1．
两边加8，得x－8＋8＝1＋8．
所以x＝9．
【点睛】
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．答案第6页，总6页
答案第3页，总8页3.1.2
等式的性质（课前练）
一、复习
回忆上节课内容：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，
这个值就是方程的解．我们可以直接看出简单的方程的解，例如：4x＝24，x＋1＝3
二、新知
阅读教材P81－82，完成下列问题：
等式的定义及其表示：
1.
用等号表示_____的式子，叫等式．通常用_____表示一般的等式．
2.
等式的性质：
把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的_____，则等式成立就可看作是天平保持两边_____；
性质1：等式的两边都加上（或减去）____（或式子），所得的结果仍是_____．
表示为：如果a＝b，那么a±c＝a±c；
性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个____的数，结果仍相等，
如果a＝b，那么____；如果
a＝b（
），那么
＝
利用等式性质解方程：
3.
解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为____（常数）的形式，________是转化的重要依据．
三、课前小练习
4.
若2x=﹣，则8x=（
）
A.
-4
B.
-2
C.
-
D.
4
5.
利用等式的性质填空：
（1）如果，那么_______，
根据__________
（2）如果x－3＝4，那么x－3＋3＝________，根据________
（3）如果4x＝－12y，那么x＝________，根据_____________
（4）如果－0.2x＝4，那么x＝________，根据_____________
参考答案
1.
①.
相等关系
②.
2.
①.
砝码
②.
平衡
③.
同一个数
④.
等式
⑤.
不为0
⑥.
ac＝bc
⑦.
c≠0
3.
①.
x＝a
②.
等式的性质
4.B
【解析】
【分析】根据等式的性质，先解方程2x=﹣，再把x的数值代入8x即可．
【详解】解：由2x=﹣
解得：x=-，
当x=-时，8x=8×（-）=﹣2，
故选B．
【点睛】本题主要考查利用等式的性质解一元一次方程及代数式求值，属于基础题．解一元一次方程的目的是将方程化为x=a的形式．正确的解出x的值是解题的关键．
5.
①.
3×0.5
②.
等式性质2，在等式两边同时乘3
③.
4＋3
④.
等式性质1，在等式两边同加3
⑤.
－3y
⑥.
等式性质2，在等式两边同时除以4
⑦.
－20
⑧.
等式性质2，在等式两边同除－0.2或乘－53.1.2等式的性质（课后练）
1．下列利用等式的性质，错误的是（ ）
A．由a＝b，得到3－2a＝3－2b
B．由4ac＝4bc，得到a＝b
C．由＝得到a＝b
D．由a＝b，得到＝
2．如图所示两个天平都平衡，则3个球体的质量等于（ ）个正方体的质量，括号内应填
A．2
B．3
C．4
D．5
3．如图，图①是一个平衡的天平，图②是由图①变化得到的仍保持平衡的天平．能描述这个变化过程的等式性质是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
4．代数式的值为12，则代数式的值为（
）
A．7
B．8
C．11
D．18
5．2x=6
，则x=________
；x+5=7，则x=________
6．（1）由等式的两边都________，得到等式，这是根据____________；
（2）由等式的两边都______，得到等式x=_____，这是根据__________________.
7．利用等式的性质解下列方程.
(1)y+3=2；
(2)-y-2=3；
(3)9x=8x-6；
(4)8m=4m+1。
8．已知，利用等式的基本性质比较a，b的大小.
9．老师在黑板上写了一个等式．王聪说，刘敏说不一定，当时，这个等式也可能成立．
（1）你认为他们俩的说法正确吗？请说明理由；
（2）你能求出当时中x的值吗？
10．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“同心有理数对”，记为，如：数对，，都是“同心有理数对”．
（1）数对，是“同心有理数对”的是 ；
（2）若是“同心有理数对”，求的值；
（3）若是“同心有理数对”，则 “同心有理数对”（填“是”或“不是”）.
参考答案
1．B
【分析】
根据等式的性质逐一分析，即可判断．
【详解】
A、在等式a=b的两边同时乘以-2再加上3，等式仍成立，即，故本选项不符合题意；
B、当c=0时，，但a不一定等于b，故本选项符合题意；
C、在等式=的两边同时乘以c，等式仍成立，即a=b，故本选项不符合题意；
D、在等式a=b的两边同时除以不为0的式子（c2+），等式仍成立，即=，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．注意ac=bc，且c≠0时，才能有a=b．
2．D
【分析】
根据等式的性质求解即可．
【详解】
解：由图可知，
2个球体的质量=5个圆柱的质量，2个正方体的质量=3个圆柱的质量，
∴6个球体的质量=15个圆柱的质量，10个正方体的质量=15个圆柱的质量，
∴6个球体的质量=10个正方体的质量，
∴3个球体的质量=5个正方体的质量，
故选D．
【点睛】
本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．
3．C
【分析】
根据等式的性质，等式两边同时加上一个数，等式不变，选出正确选项．
【详解】
解：图片可以理解为等式两边同时加上一个数，等式不变，
即如果，那么．
故选：C．
【点睛】
本题考查等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质．
4．B
【分析】
由题意可得到，等式两边同时除以3得到，然后代入求解即可．
【详解】
解：∵由题意可知：，
∴，
∴，
∴＝2＋6＝8，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是代数式求值，利用等式的性质求得是解题的关键．
5．3
2
【分析】
直接等式的基本性质即可解答．
【详解】
解：2x=6，则x=3，
x+5=7，则x=2，
故答案为：3，2．
【点睛】
本题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟知等式的基本性质．
6．减去2x，等式的性质1；除以，，等式的性质2．
【解析】
【分析】
根据等式的性质即可作答．等式的性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【详解】
（1）由等式的两边都减去2x，得到等式，这是根据等式的性质1；
（2）由等式的两边都除以，得到等式x=，这是根据等式的性质2；
故答案为：减去2x，等式的性质1；除以，，等式的性质2．
【点睛】
本题考查了等式的性质．遇到此类题目要先确定等式变形前后用的是性质1还是2，再用相应的方法求解．
7．(1)-1;(2)-10;(3)-6;(4).
【解析】
【分析】
（1）利用等式的性质1进行求解即可得；
（2）利用等式的性质1、2进行求解即可得；
（3）利用等式的性质1进行求解即可得；
（4）利用等式的性质1、2进行求解即可得.
【详解】
(1)两边同时减去3，得
y+3-3=2-3，
y=-1；
(2)两边同时加2，得
-y-2+2=3+2，
-y=5，
两边同时乘以-2，得
y=-10；
(3)两边同时减去8x，得
9x-8x=8x-6-8x，
x=-6；
(4)两边同时减去4m，得
8m-4m=4m+1-4m，
4m=1，
两边同时除以4，得
m=.
【点睛】
本题考查了利用等式的性质解一元一次方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键.
等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式；
等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式．
8．a>b
【分析】
利用等式的性质将一个字母用另一个字母表示出来，再判断．
【详解】
解：等式两边同时加3b+1，得5a=8b-3a+1．
等式两边同时加3a，得8a=8b+1．
等式两边同时除以8，得a=b+，
所以a＞b．
【点睛】
本题主要考查了等式的基本性质．等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
9．（1）王聪的说法不正确，见解析；（2）
【分析】
（1）根据等式的性质进行判断即可．
（2）利用代入法求解即可．
【详解】
（1）王聪的说法不正确．
理由：两边除以不符合等式的性质2，因为当时，x为任意实数．
刘敏的说法正确．
理由：因为当时，x为任意实数，所以当时，这个等式也可能成立．
（2）将代入，得，解得．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的问题，掌握一元一次方程的性质、等式的性质是解题的关键．
10．（1）；（2）；（3）是．
【分析】
（1）根据：使等式成立的一对有理数，为“同心有理数对”，判断出数对，是“同心有理数对”的是哪个即可；
（2）根据是“同心有理数对”，得到，求解即可；
（3）根据是“同心有理数对”，得到，进行判断即可；
【详解】
解：（1）∵，
，，
∴数对，、不是“同心有理数对”；
∵，，
∴，
∴是“同心有理数”，
∴数对，是“同心有理数对”的是；
（2）∵是“同心有理数对”，
∴，
∴．
（3）是．
理由：∵是“同心有理数对”，
∴，
∴，
∴是“同心有理数对”．
【点睛】
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
本题主要考查了有理数和等式的性质，准确理解计算是解题的关键．答案第6页，总6页
答案第4页，总8页
