4.3.1角（课后练）
1．下列说法正确的是（
）．
A．两点之间，直线最短
B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离
C．两条射线组成的图形叫做角
D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
2．如图所示，从O点出发的五条射线，可以组成小于平角的角的个数是
(
）
A．4个
B．8个
C．9个
D．10个
3．如图，下列说法中正确的是（
）
（选项）
A．∠BAC和∠DAE不是同一个角
B．∠ABC和∠ACB是同一个角
C．∠ADE可以用∠D表示
D．∠ABC可以用∠B表示
4．如图所示，钟表上9：30时，时针与分针之间所成的角是（ ）
A．60°
B．90°
C．105°
D．120°
5．下列说法正确的是（
）
A．若，则点C是线段的中点
B．
C．射线和射线是同一条射线
D．钟表上的时间是11点10分，此时时针与分针所成的夹角是
6．用度分秒表示：______；用度表示：
=________
7．将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表．
8．如图所示，能用一个字母表示的角有__个，以A为顶点的角有__个，图中所有的角有___个．
9．（1）3.76°=______度_____分_______秒．
（2）3.76°=______分=______秒．
（3）钟表在8：30时，分针与时针的夹角为______度．
10．判断题
（1）∠1是钝角，则∠1一定是锐角.（______）
（2）图中∠CAB也可表示成∠A．（______）
（3）两条射线组成的图形叫做角.
（______）
（4）两条直线相交形成的图形叫做角.
（______）
（5）射线绕它上面一点旋转形成的图形叫做角.（___）
11．观察图形，回答下列问题．
（1）写出以B点为顶点的角；
（2）写出以ED为边的角．
12．计算:（1）153°19′42″+26°40′28″；
（2）90°3″﹣57°21′44″；
（3）33°15′16″×5；
（4）175°16′30″﹣47°30′÷6+4°12′50″×3．
参考答案
1．D
【分析】
根据两点之间线段最短性质，可判断选项A；根据两点之间距离的性质，可判断选项B；根据角的定义分析，可判断选项C；根据直线的性质分析，可判断选项D，即可得到答案．
【详解】
两点之间，线段最短，故选项A错误；
连接两点间的线段长度，叫做这两点的距离，故选项B错误；
具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故选项C错误；
经过两点有一条直线，并且只有一条直线，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了线段、直线、角的知识；解题的关键是熟练掌握线段、直线、角的性质，从而完成求解．
2．D
【分析】
先以OA为角的一边，最大角为∠AOB，依次得到以OD、OC、OE、OB为另一边的五个角；然后利用同样的方法得到其他角，最后计算所有角的和即可求解.
【详解】
点O出发的五条射线，可以组成的小于平角的角有：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了角的定义，解题的关键是熟练的掌握角的定义.
3．D
【解析】
A、∠BAC和∠DAE两边相同，顶点相同，故是同一个角，说法错误；
B、由∠ABC和∠ACB顶点不同即可判断二者并非同一角，说法错误；
C、由于以点D为顶点的角有三个，故不可用∠D表示，说法错误；
D、点D处只有一个角，故∠ABC可以用∠B表示，说法正确．
4．C
【分析】
因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．
【详解】
∵在9：30时，时针位于9与10中间，分针指到6上，中间夹3.5份，
∴时针与分针的夹角是30°×3.5＝105°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征．钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，熟练掌握是关键．
5．D
【分析】
根据线段中点的定义、度、分、秒的换算、射线的定义一一判断即可．
【详解】
解：A.
若，则点C不一定在线段AB上，故点C不一定是线段的中点，本选项错误；
B.，本选项错误；
C.
射线和射线不是同一条射线，本选项错误；
D.
钟表上的时间是11点10分，此时时针与分针所成的夹角是，本选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了线段中点的定义、度、分、秒的换算、钟表、射线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．
36.46°
【分析】
利用度、分、秒的换算即可，注意运算过程中秒的结果若满60，则转化为1分，分的结果若满60，则转化为1度．
【详解】
解：∵，，
∴；
∵，，
∴．
故答案为：；36.46°
【点睛】
此题考查的是进行度、分、秒的换算，相对比较简单，注意度、分、秒之间的换算进率为60即可．
7．见解析．
【分析】
依据角的表示方法回答即可．
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题主要考查的是角的概念，掌握角的表示方法是解题的关键．
8．2，
3，
8.
【分析】
根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案即可．
【详解】
能用一个字母表示的角有2个：∠B，∠C；
以A为顶点的角有3个：∠BAD，∠BAC，∠DAC；
图中所有的角有8个：∠BAD，∠BAC，∠DAC，∠B，∠C，∠ADB，∠ADC，∠BDC．
【点睛】
本题考查了角的定义：从一点引出两条射线组成的图形就叫做角．
角的表示方法一般有以下几种：
1、∠＋3个大写英文字母；
2、∠＋1个大写英文字母；
3、∠＋小写希腊字母；
4、∠＋阿拉伯数字．
9．3
45
36
225.6
13536
75
【分析】
（1）根据度分秒得换算得到0.76°×60＝45.6′，0.6′×60＝36″，则3.76°＝3°45′36″；
（2）先计算3°×60＝180′，0.76°×60＝45.6′，所以180′+45.6′=225.6′，所以225.6′×60=13536″；
（3）8点时两针的夹角为240°，则根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°得到8：30时，分针与时针的夹角＝240°＋30×0.5° 30×6°，然后进行加减运算即可．
【详解】
解：（1）∵0.76°×60＝45.6′，0.6′×60＝36″，
∴3.76°＝3°45′36″；
（2）∵3°×60＝180′，0.76°×60＝45.6′，
而45.6′＋180′＝225.6′，
∴3.76°=225.6′，
∴
225.6′×60=13536″
（3）∵
8点时两针的夹角为240°，
30分钟时针走的度数为30×0.5°=15°，30分钟分针走的度数为：30×6°=180°
8：30时，分针与时针的夹角＝240°＋15° 180°=75°．
故答案为3，45，36；225.6，13536；75．
【点睛】
本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格为30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．也考查了度分秒的换算．
10．√
×
×
×
×
【解析】
试题解析：（1）∵∠1是钝角，
∴90°＜∠1＜180°，
∴45°＜∠1＜90°，
∵大于0度小于90°的角叫锐角，
∴此结论正确．
（2）只有顶点处有一个角时，才能用一个字母表示此角．
故答案为×．
（3）两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，故错误；
（4）两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，故错误；
（5）两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，故错误；
11．(1)∠ABD，∠ABC，∠DBC
；(2)∠AED，∠ADE，∠BED，∠CED，∠BDE，∠CDE
【解析】
试题分析：
（1）观察可得：以点B为顶点角共有3个；
（2）观察可得：以DE为边的角共有6个；
试题解析：
(1)
以点B为顶点角有：∠ABD，∠ABC，∠DBC
(2)
以DE为边的角有：∠AED，∠ADE，∠BED，∠CED，∠BDE，∠CDE
12．（1）180°10″（2）32°38′19″（3）166°16′20″（4）180°
【分析】
进行度、分、秒的加法、减法．乘除法计算，度与度，分与分，秒与秒对应相加，分的结果若满60，则转化为度；度与度，分与分，秒与秒对应相乘除，分的结果若满60，则转化为度．
【详解】
（1）153°19′42″+26°40′28″
=179°+59′+70″
=179°+60′+10″
=180°10″
（2）90°3″﹣57°21′44″
=89°59′63″﹣57°21′44″
=32°38′19″
（3）33°15′16″×5
=165°+75′+80″
=165°+76′+20″
=166°16′20″
（4）175°16′30″﹣47°30′÷6+4°12′50″×3
=175°16′30″﹣42°330′÷6+12°36′150″
=175°16′30″﹣7°﹣55′+12°38′30″
=187°54′60″﹣7°55′
=180°
【点睛】
本题考查了度、分、秒的加、减、乘、除运算，解题的关键在于要注意度、分、秒是60进制．答案第6页，共6页
答案第9页，共9页4.3.1角（课中练）
知识点1
角度的定义
例1．下列说法正确的是(
)
A．两条有公共点的射线组成的图形叫做角
B．有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C．一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角
D．角是从同一点引出的两条线段
变式2．下图中能用表示的是（
）
A．
B．
C．
D．
变式3．如图，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（
）．
A．
B．
C．
D．
知识点2
角度的换算
例4．等于
_______分，等于________秒，3600秒等于________度．
变式5．31.46°＝_____度_____分_____秒．
变式6．______．
课堂练习
7．如图所示，下列表示角的方法中，错误的是（
）
A．与表示同一个角
B．也可用表示
C．图中共有三个角，分别是
D．表示
8．将化成度分秒表示，结果是_____．
9．下列图形中有哪些角？请用适当的方法把图中的角表示出来．
10．计算：（1）″；
（2）″″
（3）
11．（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有
个不同的角；
（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有
个不同的角；
（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有
个不同的角；
（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有
个不同的角；
（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有
个不同的角．
参考答案
1．C
【分析】
根据静态定义具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角，排除A、B选项，再根据动态定义一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，选出答案．
【详解】
解：A.
具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角，选项说法错误，不符合题意；B.
具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角，选项说法错误，不符合题意；
C．一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，选项说法正确，符合题意；
D．角是从同一点引出的两条射线所组成的图形，选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题考查了角的动态定义（一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．）与静态定义（具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边），熟悉定义是解题的关键．
2．C
【分析】
根据角的表示方法：用三个大写英文字母表示，顶点写在中间，表示该角是射线BA和射线BC的夹角，即可得出答案．
【详解】
用三个大写英文字母表示角，顶点B写在中间，表示该角是射线BA和射线BC的夹角，
∴C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】
题目主要考察角的表示方法（用三个大写字母表示），掌握方法是解题关键．
3．D
【分析】
根据角的四种表示方法和具体要求回答即可．
【详解】
A、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故A选项错误；
B、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故B选项错误；
C、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故C选项错误；
D、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了角的表示方法的应用，掌握角的表示方法是解题的关键.
4．24
1440
1
【分析】
根据度化为分、分化秒乘以进率，秒化度除以进率进行单位换算即可．
【详解】
＝；
＝秒；
3600秒＝度＝1度．
故答案为：24，1440，1．
【点睛】
考查了度、分、秒单位换算，解题关键是熟记：1度=60分，1分=60秒，1度=60×60秒=3600秒
5．31
27
36
【分析】
根据“1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″”进行换算．
【详解】
解：0.46°＝（0.46×60）′＝27.6′，
0.6′＝（0.6×60）″＝36″，
所以31.46°＝31°27′36″，
故答案为：31，27，36．
【点睛】
本题考查了度分秒的换算，掌握度分秒的进制关系是解决本题的关键．
6．
【分析】
根据角的度量单位是六十进位,即1°=60′，直接计算即可.
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了度分秒的换算，解题的关键是掌握度数的减法运算的方法，注意分位上不够减时，要借位，1°=60′.
7．B
【分析】
根据角的概念和角的表示方法进行分析判断，即可得出结论．
【详解】
解：A、∠1与∠AOB表示同一个角，表示角的方法正确，故本选项不符合题意；
B、∠AOC不能用∠O表示，表示角的方法错误，故本选项符合题意；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，表示角的方法正确，故本选项不符合题意；
D、∠β表示的是∠BOC，表示角的方法正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了角的表示方法，
掌握角的表示方法并能结合图形正确表示各角是解题的关键．
8．
【分析】
根据角度的换算方法即可求解．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查角度的换算，解题的关键是熟知角度的换算方法．
9．∠1，∠2，∠3，∠α，∠BAD．
【解析】
试题分析：先找到图中角的顶点，再找到角的两边，从而找到角，以各顶点为切入点，把角表示出来即可．
试题解析：
图中所有的角为∠1，∠2，∠3，∠α，∠BAD.
点睛：此题考查了角的定义，也考查了角的表示，除用三个大写字母表示外，也可用数字或希腊字母来表示，但需在靠近顶点处加上弧线．
10．（1）″；（2）″；（3）
【分析】
（1）根据度分秒的减法法则计算即可求解；
（2）根据度分秒的加法法则计算即可求解；
（3）先算乘法，再算加法．
【详解】
（1）″=″；
（2）″″=″；
（3）
=
=．
【点评】
本题考查了度分秒的换算，具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是进制，将高级单位化为低级单位时，乘以，反之，将低级单位转化为高级单位时除以．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
11．（1）3（2）6（3）10（4）66（5）
【解析】
试题分析：（1）根据图形，图中有1+2=3个不同的角；
（2）根据图形，图中有1+2+3=6个不同的角；
（3）图中有1+2+3+4=10个不同的角，；
（4）图中有1+2+3+…+9+10+11=66个角；
（5）求出1+2+3+…+n+（n+1）的值即可
试题解析：（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角，故答案为3．
（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，故答案为6．
（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有10个不同的角，故答案为10．
（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+10+11=66个不同的角，
故答案为66．
（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+n+（n+1）=个不同的角．
考点：角的概念．答案第4页，共5页
答案第7页，共7页4.3.1角
（课前练）
一、新知
阅读教材P132--134，回答下列问题．
1.
角的概念：有______的______组成的图形叫做角．
2.
角用“______”表示，读作“
_______”．角的表示方法有下面四种：
（1）角可以用______大写字母表示，但表示顶点的字母一定要写在______．
（2）用一个字母表示角，必须是以这个字母为______的角，而且只有______．
（3）用一个______表示角，在靠近顶点处______．
（4）用一个______表示，在靠近顶点处______．
⑦.
数字
⑧.
画上弧线
⑨.
希腊字母
⑩.
画上弧线
3.
量角器是角的度量工具，可用它量角，角的度量单位是______．
4.
使用量角器测量角的度数的步骤：
（1）把量角器放在角的上面；使量角器的中心和角的顶点______；
（2）______刻度线和角的一条边重合．
（3）角的______所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数．
5.
角的度量单位：度、分、秒
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作：1°
1°的60分之一为1分，记作：1′，即1°＝_______
1′的60分之一为1秒，记作：1″，即1′＝_______
1°＝60′＝______，
一周角＝360°，一平角＝180°，一直角＝90°，一周角＝______平角＝______直角
二、课堂小练习
6.
下图中能用表示的是（
）
A.
B.
C.
D.
7.
把用度、分、秒表示，正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
8.
把下列结果化为度？
（1）72°42′
（2）37°14′24″
参考答案
1.
①.
公共端点
②.
两条射线
2.
①.
∠
②.
角
③.
三个
④.
中间
⑤.
顶点
⑥.
一个
3.度、分、秒
4.
①.
重合
②.
零度
③.
另一条边
5.
①.
60′
②.
60″
③.
3600″
④.
2
⑤.
4
6.C
【解析】
【分析】根据角的表示方法：用三个大写英文字母表示，顶点写在中间，表示该角是射线BA和射线BC的夹角，即可得出答案．
【详解】用三个大写英文字母表示角，顶点B写在中间，表示该角是射线BA和射线BC的夹角，
∴C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】题目主要考察角的表示方法（用三个大写字母表示），掌握方法是解题关键．
7.A
【解析】
【分析】根据大单位化小单位除以进率，可得答案．
【详解】解：2.36°＝2°＋0.36×60′＝2°21′＋0.6×60″＝2°21′36″，
故选：A．
【点睛】此题主要考查度、分、秒的转化运算，进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．
8.（1）72.7°；（2）37.24°
【解析】
【分析】
【详解】：解：（1）72°42′＝72°＋42′
＝72°＋（42÷60）°
＝72°＋0.7°
＝72.7°
（2）37°14′24″＝37°＋14′＋24″
＝37°＋14′＋（24÷60）′
＝37°＋14′＋0.4′
＝37°＋14.4′
＝37°＋（14.4÷60）°
＝37°＋0.24°
＝37.24°
