2021-2022学年人教版 九年级数学上册_22.1 二次函数的图象和性质 同步培优(word版含答案)

人教版
九年级数学上册
22.1
二次函数的图象和性质
同步培优
一、选择题
1.
将抛物线y＝－3x2平移，得到抛物线y＝－3(x－1)2－2，下列平移方式中，正确的是(　　)
A．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
2.
在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2＋5x＋6，则原抛物线的解析式是(　　)
A.
y＝－(x－)2－
B.
y＝－(x＋)2－
C.
y＝－(x－)2－
D.
y＝－(x＋)2＋
3.
（2020·泰安）在同一平面直角坐标系内，二次函数y﹦ax2＋bx＋b（a≠0）与一次函数y﹦ax＋b的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
4.
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b<0；②c>0；③a＋c0，其中正确的个数是(　　)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
5.
已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是(　　)
A．有最大值－1，有最小值－2
B．有最大值0，有最小值－1
C．有最大值7，有最小值－1
D．有最大值7，有最小值－2
6.
若A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线y＝x2－4x－m上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A．y1＞y2＞y3
B．y2＞y1＞y3
C．y2＞y3＞y1
D．y3＞y1＞y2
7.
如图，将函数y＝(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数解析式是(　　)
A．y＝(x－2)2－2
B．y＝(x－2)2＋7
C．y＝(x－2)2－5
D．y＝(x－2)2＋4
8.
（2020·岳阳）对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点.
若关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9.
已知二次函数的图象经过原点及点(－，－)，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________________．
10.
已知二次函数y＝2(x＋1)2＋1，且－2≤x≤1，则函数y的最小值是________，最大值是________．
11.
(2019 武汉)抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是__________．
12.
已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝－3x2－2的图象关于x轴对称，则a＝________，c＝________．
13.
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是________．
14.
2018·湖州
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a>0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．
15.
(2019 天水)二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为__________．(填“”、“”或“”)
16.
在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2如图所示．已知点A的坐标为(1，1)，过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……依次进行下去，则点A2019的坐标为________．
三、解答题
17.
如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．
(1)求这条抛物线对应的函数解析式；
(2)求直线AB对应的函数解析式．
18.
已知抛物线y＝a(x＋2)2过点(1，－3)．
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标；
(3)当x取何值时，y随x的增大而增大？
19.
已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(ab≠0)的图象经过点(0，－1)，顶点为A(－2，－5)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)把二次函数在第三象限内的部分图象记为图象G，若直线y2＝n与图象G有且仅有1个交点，求n的取值范围．
20.
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(5，－6)，C(6，0)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在直线AB下方的抛物线上是否存在点P，使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
人教版
九年级数学上册
22.1
二次函数的图象和性质
同步培优-答案
一、选择题
1.
【答案】D　[解析]
∵抛物线y＝－3x2的顶点坐标为(0，0)，抛物线y＝－3(x－1)2－2的顶点坐标为(1，－2)，∴将抛物线y＝－3x2向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得到抛物线y＝－3(x－1)2－2.
2.
【答案】A　【解析】∵抛物线的解析式为：y＝x2＋5x＋6，∴绕原点旋转180°变为y＝－x2＋5x－6，即y＝－(x－)2＋，∴再向下平移3个单位长度得到的抛物线解析式为y＝－(x－)2＋－3＝－(x－)2－.
3.
【答案】
C
【解析】本题考查了一次函数与二次函数的图像性质，选项A中y=ax2+bx+c的图像可知a＞0、b＜0，y=ax+b的图像可知a＞0、b＞0，则选项A不正确；选项B中y=ax2+bx+c的图像可知a＜0、b＜0，y=ax+b的图像可知a＞0、b＜0，则选项B不正确；选项C中y=ax2+bx+c的图像可知a＞0、b＜0，y=ax+b的图像可知a＞0、b＜0，则选项C正确；选项D中y=ax2+bx+c的图像可知a＞0、b＜0，y=ax+b的图像可知a＜0、b=0，则选项D不正确；，因此本题选C．
4.
【答案】C　【解析】∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b＞0，故①错误；∵图象与y轴交于x轴上方，∴c＞0，故②正确；当x＝－1时，a－b＋c<0，则a＋c5.
【答案】D　[解析]
∵二次函数y＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2，∴该函数在－1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，y有最小值－2；当x＝－1时，y有最大值7.故选D.
6.
【答案】C　[解析]
∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝1＞0，∴其图象开口向上，对称轴为直线x＝－＝2.∵点A(2，y1)的横坐标为2，∴y1最小．又∵B(－3，y2)，C(－1，y3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故y2＞y3.∴y2＞y3＞y1.
7.
【答案】D　[解析]
如图，连接AB，A′B′，则S阴影＝S四边形ABB′A′.由平移可知，AA′＝BB′，AA′∥BB′，所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A，B′B交x轴于点M，N，因为A(1，m)，B(4，n)，所以MN＝4－1＝3.因为S阴影＝AA′·MN，所以9＝3AA′，解得AA′＝3，即原抛物线沿y轴向上平移了3个单位长度，所以新图象的函数解析式为y＝(x－2)2＋4.
8.
【答案】A
二、填空题
9.
【答案】y＝x2＋x或y＝－x2＋x　【解析】依题意，所求函数有可能经过(－1，0)，(－，－)
或(1，0)，(－，－)
.设所求函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，图象经过原点，则c＝0，当图象经过(－1，0)，(－，－)时，代入可求得a＝b＝1，即所求解析式为y＝x2＋x;
当图象经过(1，0)，(－，－)时，代入可求得a＝－，b＝，即所求解析式为y＝－x2＋x.综上所述，所求函数的解析式为y＝x2＋x或y＝－x2＋x.
10.
【答案】1　9　[解析]
当x＝1时，有最大值9，
当x＝－1时，有最小值1.
11.
【答案】，
【解析】依题意，得：，
解得：，
所以，关于x的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx为：，
即：，
化为：，
解得：，，
故答案为：，．
12.
【答案】3　2
13.
【答案】(－2，0)
　【解析】如解图，过D作DM⊥x轴于点M，∴M(m，0)，又B(m＋2，0)，∴MB＝2，由C(0，c)，D(m，c)知：OC＝DM，即点C、D关于对称轴对称，故点O、M也关于对称轴对称，∴OA＝MB＝2，∴A(－2，0)．
14.
【答案】－2　[解析]
∵四边形ABOC是正方形，
∴点B的坐标为(－，－)．
∵抛物线y＝ax2过点B，
∴－＝a(－)2，解得b1＝0(舍去)，b2＝－2.
15.
【答案】<
【解析】当时，，
当时，，
，
即，
故答案为：．
16.
【答案】(－1010，10102)　[解析]
由点A的坐标可得直线OA的解析式为y＝x.由AA1∥x轴可得A1(－1，1)，又因为A1A2∥OA，可得直线A1A2的解析式为y＝x＋2，进而得其与抛物线的交点A2的坐标为(2，4)，依次类推得A3(－2，4)，A4(3，9)，A5(－3，9)，…，A2019(－，10102)，即A2019(－1010，10102)．
三、解答题
17.
【答案】
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个交点，
∴b2－4ac＝(2a)2－4a＝0，解得a＝1，a＝0(舍去)，
∴抛物线的解析式：y＝x2＋2x＋1.(3分)
(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
∵抛物线解析式y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，
∴A(－1，0)，(4分)
过点B作BD⊥x轴于点D，如解图，
∵OC⊥x轴，
∴OC∥BD，
∵C是AB中点，
∴O是AD中点，
∴AO＝OD＝1，(6分)
∴点B的横坐标为1，
把x＝1代入抛物线中，得y＝(x＋1)2＝(1＋1)2＝4，
∴B的坐标为(1，4)．(7分)
把点A(－1，0)
，B(1，4)代入y＝kx＋b，
得，
解得，
∴直线AB的解析式为：
y＝2x＋2.(8分)
18.
【答案】
解：(1)∵抛物线经过点(1，－3)，
∴－3＝9a，a＝－，∴抛物线对应的函数解析式为y＝－(x＋2)2.
(2)抛物线的对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，0)．
(3)∵a＝－<0，
∴当x<－2时，y随x的增大而增大．
19.
【答案】
解：(1)∵二次函数y1＝ax2＋bx＋c(ab≠0)的图象的顶点为A(－2，－5)，
∴y1＝a(x＋2)2－5.
又∵图象经过点(0，－1)，
∴－1＝a(0＋2)2－5，解得a＝1，
∴y1＝(x＋2)2－5＝x2＋4x－1.
(2)结合图象，知直线y＝n与图象G有且仅有1个交点时，n＝－5或－1≤n＜0.
20.
【答案】
解：(1)设y＝a(x＋1)(x－6)，把(5，－6)代入解析式，得a(5＋1)(5－6)＝－6，
解得a＝1，∴y＝(x＋1)(x－6)＝x2－5x－6.
(2)存在．
如图，分别过点P，B向x轴作垂线，垂足为M，N.
设P(m，m2－5m－6)，其中－1＜m＜5，设四边形PACB的面积为S，则PM＝－m2＋5m＋6，AM＝m＋1，MN＝5－m，CN＝6－5＝1，BN＝6，
∴S＝S△AMP＋S梯形PMNB＋S△BNC＝(－m2＋5m＋6)(m＋1)＋(6－m2＋5m＋6)(5－m)＋×1×6＝－3m2＋12m＋36＝－3(m－2)2＋48，
当m＝2时，S有最大值为48，这时m2－5m－6＝22－5×2－6＝－12，
∴P(2，－12)．