2021--2022学年人教版 九年级数学上册23.1 图形的旋转 同步练习(word版、含解析)

人教版
九年级数学上册
23.1
图形的旋转
同步培优
一、选择题
1.
在平面直角坐标系中，点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是(　　)
A．(－2，3)
B．(－3，2)
C．(2，－3)
D．(3，－2)
2.
把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为
(　　)
A．30°
B．90°
C．120°
D．180°
3.
如图，将线段AB先向右平移5个单位长度，再将所得线段绕原点顺时针旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是(　　)
A．(－4，1)
B．(－1，2)
C．(4，－1)
D．(1，－2)
4.
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为(　　)
A.
B．2
C．3
D．2
5.
2018·绵阳
在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点A(3，4)逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为(　　)
A．(4，－3)
B．(－4，3)
C．(－3，4)
D．(－3，－4)
6.
在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为(　　)
A．(，1)
B．(，－1)
C．(2，1)
D．(0，2)
7.
如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为(　　)
A．90°－α　　
B．α　　
C．180°－α　　
D．2α
8.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM.若BC＝2，∠A＝30°，则线段PM的最大值是(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
二、填空题
9.
如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝________°.
10.
如图所示，△ABC的顶点都在网格线的交点(格点)上，如果将△ABC绕点C逆时针旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是________．
11.
如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点C的坐标为(1，0)，点A在x轴正半轴上，且AC＝2.将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位长度，则变化后点A的对应点的坐标为________．
12.
如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2
，BC＝.将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB′C′，连接B′C，则B′C＝________．
13.
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________．
14.
如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10，则S△ABP＋S△BPC＝________．
15.
2018·陕西
如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是AB边上的点，且EF＝AB；G，H是BC边上的点，且GH＝BC.若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是＝________．
16.
如图，AB⊥y轴，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－x上，依次进行下去……若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为________．
三、解答题
17.
如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10.
(1)在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外部的点D1处转到其内部的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．
　　
18.
已知：如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，F，G，H分别为DE，BE，CD的中点．
(1)当△ADE绕点A旋转时，如图①，△FGH的形状为________，并说明理由．
(2)在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图②，若AB＝3，AD＝2，求线段FH的长．
(3)在△ADE旋转的过程中，若AB＝a，AD＝b(a＞b＞0)，则△FGH的周长是否存在最大值和最小值？若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．
19.
(1)如图
(a)，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.
①求证：BE＋CF＞EF；
②若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．
(2)如图(b)，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．
20.
如图，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1.求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
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九年级数学上册
23.1
图形的旋转
同步培优-答案
一、选择题
1.
【答案】A　[解析]
点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1(3，2)，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2(－2，3)．故选A.
2.
【答案】C
3.
【答案】D
4.
【答案】A　[解析]
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5.
∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，
∴AE＝4，DE＝3，∴BE＝1.
在Rt△BED中，BD＝＝.故选A.
5.
【答案】B　[解析]
如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为(－4，3)．
6.
【答案】A　[解析]
如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F，
∴∠AEO＝∠A′FO＝90°.
∵点A的坐标为(1，)，∴AE＝1，OE＝，
∴OA＝2，∠AOE＝30°，由旋转可知∠AOA′＝30°，OA′＝OA＝2，∴∠A′OF＝90°－30°－30°＝30°，∴A′F＝OA′＝1，OF＝，∴A′(，1)．
故选A.
7.
【答案】C　[解析]
由题意可得∠CBD＝α，∠C＝∠EDB.
∵∠EDB＋∠ADB＝180°，
∴∠C＋∠ADB＝180°.
由四边形的内角和定理，得∠CAD＋∠CBD＝180°.
∴∠CAD＝180°－∠CBD＝180°－α.故选C.
8.
【答案】B　[解析]
连接PC.
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4.
根据旋转的性质可知，∠A′CB′＝90°，A′B′＝AB＝4.
∵P是A′B′的中点，∴PC＝A′B′＝2.
∵M是BC的中点，∴CM＝BC＝1.
又∵PM≤PC＋CM，
即PM≤3，
∴PM的最大值为3(此时点P，C，M共线)．
故选B.
二、填空题
9.
【答案】20　[解析]
∵AB＝AB′，∠BAB′＝40°，
∴∠ABB′＝70°.∵B′C′⊥AB，∴∠BB′C′＝20°.
10.
【答案】(1，0)
11.
【答案】(－2，2)　[解析]
△ABC绕点C逆时针旋转90°后，点A的对应点的坐标为(1，2)，再向左平移3个单位长度，点A的对应点的坐标为(－2，2)．
12.
【答案】5　[解析]
由勾股定理，得AC＝＝5.过点C作CE⊥AB′于点E，则四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝.又AB′＝AB＝2
，∴AE＝EB′＝，∴CE垂直平分AB′，∴B′C＝AC＝5.
13.
【答案】18　[解析]
如图．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠B＋∠ADC＝180°.又∵AB＝AD，∴将△ABC绕点A逆时针旋转90°后点B与点D重合，点C的对应点E落在CD的延长线上，∴AE＝AC＝6，∠CAE＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ACE＝AC·AE＝×6×6＝18.
14.
【答案】24＋16
　[解析]
如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得到△BP′A，连接PP′.
根据旋转的性质可知，
旋转角∠PBP′＝∠CBA＝60°，BP＝BP′，
∴△BPP′为等边三角形，
∴BP′＝BP＝8＝PP′.
由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10，
在△APP′中，PP′＝8，AP＝6，AP′＝10，
由勾股定理的逆定理，得△APP′是直角三角形，
∴S△ABP＋S△BPC＝S四边形AP′BP＝S△BPP′＋S△AP′P＝BP2＋PP′·AP＝24＋16
.
故答案为24＋16
.
15.
【答案】　[解析]
∵＝＝，＝＝，
∴S1＝S△AOB，S2＝S△BOC.
∵点O是 ABCD的对称中心，
∴S△AOB＝S△BOC＝S平行四边形ABCD，∴＝.
16.
【答案】9＋3
　[解析]
将y＝1代入y＝－x，解得x＝－.
∴AB＝，OA＝2，且直线y＝－x与x轴所夹的锐角是30°.
由图可知，在旋转过程中每3次一循环，其中OO2＝O2O4＝O4O6＝O6O8＝O8O10＝O10O12＝2＋＋1＝3＋.
∴OO12＝6×(3＋)＝18＋6
.
∴点O12的纵坐标＝OO12＝9＋3
.
三、解答题
17.
【答案】
解：(1)①当A，D，M三点在同一直线上时，AM＝AD＋DM＝40或AM＝AD－DM＝20.
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，显然∠MAD不能为直角．
当∠AMD为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，∵AM>0，
∴AM＝20
.
当∠ADM＝90°时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1000，∵AM>0，
∴AM＝10
.
综上所述，满足条件的AM的长为20
或10
.
(2)如图，连接CD1，
由题意得，∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，
∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30
.
∵∠AD2C＝135°，
∴∠CD2D1＝∠AD2C－∠AD2D1＝90°，
∴CD1＝＝30
.
∵∠BAC＝∠D1AD2＝90°，
∴∠BAC－∠CAD2＝∠D1AD2－∠CAD2，
∴∠BAD2＝∠CAD1.
又∵AB＝AC，AD2＝AD1，
∴△BAD2≌△CAD1(SAS)，
∴BD2＝CD1＝30
.
18.
【答案】
解：(1)△FGH是等边三角形．理由如下：
如图①，连接BD，CE，延长BD交CE于点M，设BM交FH于点O.
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC.
∵EG＝GB，EF＝FD，
∴FG＝BD，FG∥BD.
∵DF＝EF，DH＝HC，
∴FH＝CE，FH∥CE，
∴FG＝FH.
∵∠ADB＋∠ADM＝180°，
∴∠AEC＋∠ADM＝180°，
∴∠DME＋∠DAE＝180°.
∵∠DAE＝60°.
∴∠DME＝120°，∴∠BMC＝60°，
∴∠GFH＝∠BOH＝∠BMC＝60°，
∴△FGH是等边三角形．
(2)如图②，连接AF，EC.
易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE＝2，EF＝DF＝1，
∴AF＝＝.
在Rt△ABF中，BF＝＝.
同(1)可得FH＝CE，BD＝CE，
∴CE＝BD＝BF－DF＝－1，
∴FH＝CE＝.
(3)存在．
由(1)可知，△FGH是等边三角形，GF＝BD，∴△FGH的周长＝3GF＝BD.
∵AB＝a，AD＝b，AB－AD≤BD≤AB＋AD，
∴BD的最小值为a－b，最大值为a＋b，
∴△FGH的周长的最大值为(a＋b)，最小值为(a－b)．
19.
【答案】
解：(1)①证明：如图(a)，将△DBE绕点D旋转180°得到△DCG，连接FG，则△DCG≌△DBE.
∴DG＝DE，CG＝BE.
又∵DE⊥DF，
∴DF垂直平分线段EG，∴FG＝EF.
∵在△CFG中，CG＋CF＞FG，
∴BE＋CF＞EF.
②BE2＋CF2＝EF2.
证明：∵∠A＝90°，∴∠B＋∠ACD＝90°.
由①得，∠FCG＝∠FCD＋∠DCG＝∠FCD＋∠B＝90°，
∴在Rt△CFG中，由勾股定理，得CG2＋CF2＝FG2，∴BE2＋CF2＝EF2.
(2)EF＝BE＋CF.
证明：如图(b)．∵CD＝BD，∠BDC＝120°，
∴将△CDF绕点D逆时针旋转120°得到△BDM，
∴△BDM≌△CDF，
∴DM＝DF，BM＝CF，∠BDM＝∠CDF，∠DBM＝∠C.
∵∠ABD＋∠C＝180°，
∴∠ABD＋∠DBM＝180°，
∴点A，B，M共线，
∴∠EDM＝∠EDB＋∠BDM＝∠EDB＋∠CDF＝∠BDC－∠EDF＝120°－60°＝60°＝∠EDF.
在△DEM和△DEF中，
∴△DEM≌△DEF，
∴EF＝EM＝BE＋BM＝BE＋CF.
20.
【答案】
解：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP′A(如图)．连接PP′，由旋转的性质知△BPP′为等边三角形，AP′＝PC＝1，
∴PP′＝PB＝，∠BPP′＝∠BP′P＝60°.
在△APP′中，∵AP′2＋PP′2＝12＋()2＝22＝PA2，
∴△APP′是直角三角形，且∠AP′P＝90°，
∴∠BP′A＝∠BP′P＋∠AP′P＝60°＋90°＝150°，
∴∠BPC＝∠BP′A＝150°.
在Rt△APP′中，∵PA＝2，AP′＝1，
∴∠APP′＝30°.
又∵∠BPP′＝60°，
∴∠APB＝90°，
∴在Rt△ABP中，AB＝＝＝，
即等边三角形ABC的边长为.