2021-2022学年人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质 同步练习 (word版含答案)

2021——2022学年度人教版八年级数学上册
第十二章全等三角形
12.3角的平分线的性质
同步练习
一、选择题
1．在尺规作图作一个角的平分线时的两个三角形全等的依据是（
）
A．SAS
B．AAS
C．SSS
D．HL
2．如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB，BC，CA的距离OF＝DO＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（
）．
A．95°
B．105°
C．115°
D．125°
3．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，有下面四个结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到B，C两点的距离相等；④到AE，AF的距离相等的点到DE，DF的距离也相等．其中正确的结论有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．已知，如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积等于（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AC＝6cm，则BD+DE的和为（
）
A．5cm
B．6cm
C．7cm
D．8cm
7．如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC＝α，∠EFC＝β，∠ADC＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（
）
A．β＝α+γ
B．β＝2γ﹣α
C．β＝α+2γ
D．β＝2α﹣2γ
8．如图，在中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．已知，则点到的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
9．如图，OP平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（
）
①；②PO平分；③；④AB垂直平分OP．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．如图AB＝AC，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；
②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°－∠ABD；④∠ADB＝∠DBC．其中正确的结论有
（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
11．如图，一块余料，，现进行如下操作：以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧在内部相交于点，画射线，交于点．连结、．若，则的度数为_____度．
12．如图：在中，，平分交于点，且，，则点到的距离为______．
13．如图，在中，，平分交于点，于点，则下列结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的有___________（填写正确的序号）
14．如图，在中，，是它的角平分线，若，且，则点到直线的距离为______．
15．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC
上，DE⊥AB于点E，DC=DE，∠A=32°，则∠BDC的度数为________．
三、解答题
16．在三角形ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O，求证：OE＝OD
17．已知△ABC中，AD是∠A的平分线，D为BC边上的中点，证明AB＝AC
18．如图，C是内部的一条射线OM上一点，D、E分别在边OA、OB上．，．求证：．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，点F在AC上，且DF＝BD．
（1）
求证：CF＝BE
（2）
若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，求DE的长
20．如图，在中，是它的角平分线．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
21．阅读材料：若，且是钝角，则我们称是的差余角．例如：由，，可得，则是的差余角．
利用以上知识解决下列问题．
已知，点O在直线AB上，是钝角．
（1）如图1，OD平分，OE平分．
①请你说明：是的差余角；
②写出图中的其它差余角．
（2）如图2，点C和点P在直线AB的上方．若，是的差余角，求的值．
22．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在第一象限，，，平分，，点，的横坐标分别为，，且．
（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）设点的横坐标为，求证：．
23．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是x轴上一点，于D交y轴于点E，
（1）如图1，图中与全等的三角形是__________；
（2）如图1，小明过点O作于M，于N，证明了平分，请写出证明过程；
（3）如图2，若点C在线段上，过点B作，使，连接交y轴于点G，若点G的坐标为，请直接写出的长．
【参考答案】
1．C
2．D
3．D
4．D
5．B
6．B
7．B
8．B
9．C
10．C
11．28
12．3cm
13．①②④
14．
15．61°
16．方法1：截取等线段得全等；
在AC上截取CF＝CD，连接OD
∵CE，AD分别是∠BCA，∠BAC的角平分线
∴∠DCO＝∠OCF，∠FAO＝∠EAO
在△ODC和△OFC中
OC＝OC
∠DCO＝∠OCF
CD＝CF
∴△ODC
≌
△OFC(SAS)
∴∠DOC＝∠FOC，OF＝OD
∵∠B＝60°
∴∠BAC＋∠ACB＝120°
∴∠OAF＋∠FCO＝60°
∴∠AOE＝∠OAF＋∠FCO＝60°
∴∠DOC＝∠EOA＝60°
∴∠FOC＝∠DOC＝60°
∴∠AOF＝180°－∠COF－∠DOC＝180°－60°－60°＝60°
在△AEO和△AFO中
∠EAO＝∠FAO
AO＝AO
∠EOA＝∠AOF
∴△AEO
≌
△AFO(ASA)
∴
OE
＝
OF
∴OE＝OD
方法2：角平分线上的点到两边距离相等；
过点O分别向AB，BC，CD作垂线，垂直分别是J，H，I
∵CE，AD是三角形ABC的角平分线，
∴OH＝OI＝OJ
∵CE，AD分别是∠BCA，∠BAC的角平分线
∴∠DCO＝∠OCI，∠IAO＝∠EAO
∵∠B＝60°
∴∠BAC＋∠ACB＝120°
∴∠OAI＋∠ICO＝60°
∴∠AOE＝∠OAI＋∠ICO＝60°
∴∠EOD＝120°
在四边形BJOH中
∠HOJ＝360°－60°－90°－90°＝120°
∴∠EOJ＝∠HOD
在△OEJ和△OHD中
OJ＝OH
∠EOJ＝∠HOD
∠EJO＝∠OHD
∴△OEJ
≌
△OHD（AAS）
∴OE＝OD
17．方法1：见中点，倍长中线构造全等，运用等角对等边证线段相等；
证明：延长AD至点E使得AD＝DE，连接BD
∵D是BC的中点
∴BD＝AC
在△ADC和△EDB中
AE＝DE
∠BDE＝∠ADC
BD＝CD
∴△ADC≌△EDB（SAS）
∴BE＝AC，∠CAD＝∠E
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠DAC
∴∠BAD＝∠E
∴BA＝BE
方法2：面积法
证明：过点D作DE⊥AB，过点F作DF⊥AC
∵AD是∠BAC的角平分线
∴DE＝DF
∵D是BC的中点
∴S△ABD＝S△ADC
∴×AB×DE＝×AC×DF
∴AB＝AC
18．证明：过点C作，．
，
，
又，
．
在与中，
，
，
，
又，，
OM平分，
．
．
19．（1）证明：∵AD平分∠CAB且DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE＝DC
在Rt△DCF和Rt△DEB中
∵
DE＝DC，DF＝BD
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝BE；
（2）由（1）得：CD=DE，
∵S△ACB=S△ACD+S△ADB，
∴S△ABC=AC CD+AB DE，
又∵AC=8，AB=10，且△ABC的面积等于24，
∴，
∴．
20．（1）证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF．
∵，，
∴．
即S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
（2）解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
21．解：（1）①∵OD平分，
∴．
∵OE平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的差余角；
②∵，，
∴是的差余角，是的差余角，是的差余角；
（2）是的差余角，
∴，
∴；
①点P在内部，
∵，
∴，
∴，
则，
∴；
②点P在内部，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上可知，的值是0或4．
22．解：（1），，
平分，
，
；
（2）如图，过点作轴于点，作于．
平分，
．
在和中，
．
；
（3）如图，作于，过点作轴于点．
平分，
．
在和中，
，
．
．
由（2）得，，
．
，
．
在中，，
．
．
，
，
．
23．解：（1）∵点A的坐标是，点B的坐标是，
∴OA=OB，
∵，
∴∠ADB=∠AOB=90°，
∵∠DEB=∠AEO，
∴∠OBC=∠OAE，
在△BOC和△AOE中，
,
∴，
故答案为：△AOE．
（2）由（1）可知，∠OBC=∠OAE，OA=OB，
∵，，
∴∠OMA=∠ONB=90°，
在△BON和△AOM中，
,
∴，
∴ON=OM,
∴DO平分∠ADC．
（3）过点F作FH⊥y轴，垂足为H，可得，∠FHB=90°，
∵，
∴∠CBF=90°，
∠CBO+∠FBG=90°，
∠HFB+∠FBG=90°，
∴∠CBO=∠HFB，
在△BOC和△FHB中，
,
∴，
∴FH=OB=OA，HB=OC，
在△AOG和△FHG中，
，
∴，
∴OG=GH=，
OH=，
OC=BH=OB-OH=5-=．