(共30张PPT)
1.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y＝ax2(a＜0)的图象与性质
第1章 二次函数
湘教版
九年级下
1
2
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新知笔记
1
2
3
4
D
D
A
5
A
①增大 ②减小
B
3
抛物线
(0，0)；y轴(或直线x＝0)
6
7
8
9
D
D
C
10
0
11
12
13
14
见习题
答案显示
①③⑤
见习题
2
③①②④
1．二次函数y＝ax2(a＜0)的图象开口向下，顶点坐标是________，对称轴是________________．
(0，0)
y轴(或直线x＝0)
2．二次函数y＝ax2(a＜0)的性质：①当x＜0(即在对称轴左侧)时，y随x的增大而__________；②当x＞0(即在对称轴右侧)时，y随x的增大而__________．
增大
减小
3．我们把像二次函数y＝ax2(a≠0)的图象这样的曲线叫作__________，简称为抛物线y＝ax2(a≠0)．
抛物线
1．若二次函数y＝(6－a)x2的图象如图，则a的取值范围是( )
A．a>6
B．a<6
C．a>0
D．a<0
【点拨】∵二次函数y＝(6－a)x2的图象开口向下，∴6－a＜0，∴a＞6.
A
2．【中考·岳阳】二次函数的图象如图所示，则它的表达式为( )
A．y＝2x2
B．y＝－2x2
C．y＝x2
D．y＝－x2
D
3．下列是关于函数y＝－
x2的图象的说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点坐标为(0，0)．其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
4．【2021·河池宜州区期末】在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝mx＋m的图象可能是( )
A
B
C
D
【点拨】∵y＝mx＋m＝m(x＋1)，
∴该一次函数图象经过点(－1，0)，故B,
D不合题意；
A．由二次函数y＝mx2的图象开口向上，可知m＞0，由一次函数y＝mx＋m的图象经过第一、二、三象限，可知m＞0，结论一致，A选项符合题意；C.由二次函数y＝mx2的图象开口向下，可知m＜0，由一次函数y＝mx＋m的图象经过第一、二、三象限可知m＞0，结论矛盾，C选项不合题意．故选A.
【答案】A
5．已知点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)在函数y＝－
x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A．y1B．y1C．y3D．y2B
【点拨】因为函数y＝－
x2的图象开口向下，所以自变量x的绝对值越大，函数值y越小，所以y16．若a≠2，关于抛物线y＝(a－2)x2，下列说法错误的是( )
A．当a＞2时，开口向上，具有最低点
B．抛物线的顶点坐标始终为(0，0)
C．当a＜2时，开口向下，具有最高点
D．当a＜2时，函数值y＜0
【点拨】当a＜2时，开口向下，函数值y≤0.
D
7．【2021·崇左大新期中】在下列函数的图象中，开口最小的是( )
D
8.
(易错题)将抛物线y＝－4x2绕其顶点旋转180°得到抛物线y＝ax2，则下列叙述中正确的是________(填序号)．
①抛物线y＝－4x2与抛物线y＝ax2的开口方向相反；
②抛物线y＝－4x2与抛物线y＝ax2没有公共点；
③a＝4；
④当x＞0时，两条抛物线的增减性相同；
⑤抛物线y＝－4x2与抛物线y＝ax2关于x轴对称；
⑥抛物线y＝－4x2与抛物线y＝ax2的对称轴不同．
【点拨】本题的易错点有两个：(1)抛物线y＝－4x2与抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点，因此它们有公共点，只从图象所在的象限来观察图象而忽视顶点是产生错误的根源．(2)根据旋转不改变图形的大小与形状误认为函数图象在旋转过程中增减性不变．
【答案】C
9．【中考·赤峰】函数y＝k(x－k)，y＝kx2，y＝
(k≠0)在同一坐标系中的图象正确的是( )
C
10．对于二次函数y＝ax2(a≠0)，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为__________．
0
【点拨】∵二次函数y＝ax2(a≠0)的图象的对称轴为y轴，x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，∴x1，x2关于y轴对称，∴x1＋x2＝0，∴当x取x1＋x2时，函数值为0.
11．下列四个关于x的二次函数：①y＝(a2＋1)x2；②y＝－(a2＋2)x2；③y＝－
x2；④y＝(a2＋3)x2，其中图象开口从大到小的排列顺序是__________．
【点拨】∵图象的开口大小与二次项系数的绝对值大小有关，二次项系数的绝对值越大，图象开口越小，且|a2＋3|＞|－(a2＋2)|＞|a2＋1|＞
，∴图象开口从大到小的顺序是③①②④.
③①②④
12．如图，正方形ABCD的中心在直角坐标系的坐标原点O处，AD∥x轴，以O为顶点且过A(－1，1)，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是________．
【答案】2
【点拨】∵点A(－1，1)，D在抛物线上，∴点D的坐标为(1，1)，∴正方形ABCD的边长为2，根据图示及抛物线、正方形的性质，S阴影＝
S正方形＝
×2×2＝2.
13．如图，已知抛物线y＝x2和抛物线y＝－
x2，在x轴上有动点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，出发t
s后，过点P作与y轴平行的直线交抛物线y＝x2于点A，交抛物线y＝－
x2于点B，过A，B分别作x轴的平行线交抛物线y＝x2于点D，交抛物线y＝－
x2于点C，连接CD.
(1)求点B，点D的坐标(用含t的式子表示)；
解：由题意可得点P的坐标为(2t，0)，将x＝2t代入y＝－
x2可得点B的坐标为(2t，－2t2)．设P′为点P关于y轴的对称点．因为点P的坐标为(2t，0)，所以点P′的坐标为(－2t，0)．将x＝－2t代入y＝x2可得点D的坐标为(－2t，4t2)．
(2)求点P运动几秒时，四边形ABCD为正方形．
解：由题意知四边形ABCD为矩形，A(2t，4t2)，
当AD＝AB时，四边形ABCD为正方形，
即2t－(－2t)＝4t2－(－2t2)，所以4t＝6t2，
解得t1＝
，t2＝0(舍去)，
即点P运动
s时，四边形ABCD为正方形．
14．如图，在x轴上有两点A(m，0)，B(n，0)(n＞m＞0)，分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y＝－x2于点C，点D.直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F，点E，点F的纵坐标分别记作yE，yF.
(1)特例探究：
当m＝1，n＝2时，yE＝________，yF＝________；
当m＝3，n＝5时，yE＝________，yF＝________.
【点拨】当m＝1，n＝2时，由题意可得A(1，0)，B(2，0)，C(1，－1)，D(2，－4)．
∴直线OC的表达式是y＝－x，直线OD的表达式是y＝－2x.
∴点F的坐标是(1，－2)，点E的坐标是(2，－2)．
∴yE＝yF＝－2.
同理：当m＝3，n＝5时，yE＝yF＝－15.
【答案】－2；－2；－15；－15
(2)归纳证明：
对任意m，n(n＞m＞0)，猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想．
猜想：yE＝yF.
证明：∵点A的坐标是(m，0)，点B的坐标是(n，0)(n＞m＞0)，
∴点C的坐标是(m，－m2)，点D的坐标是(n，－n2)．
设直线OC的表达式是y＝kx，代入点C的坐标，得km＝－m2，解得k＝－m.
∴直线OC的表达式是y＝－mx.
同理：直线OD的表达式是y＝－nx.
∴点E的坐标是(n，－mn)，点F的坐标是(m，－mn)．
∴yE＝yF.
(3)拓展应用：
若将抛物线y＝－x2改为抛物线y＝ax2(a＜0)，其他条件不变，请直接写出yE与yF的大小关系．
【点拨】∵点A的坐标是(m，0)，点B的坐标是(n，0)(n＞m＞0)，
∴点C的坐标是(m，am2)，点D的坐标是(n，an2)．
设直线OC的表达式是y＝k′x，代入点C的坐标，得k′m＝am2，
解得k′＝am.
∴直线OC的表达式是y＝amx.
同理：直线OD的表达式是y＝anx.
∴点E的坐标是(n，amn)，点F的坐标是(m，amn)，∴yE＝yF.
【答案】yE＝yF(共31张PPT)
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
第1章 二次函数
湘教版
九年级下
1
2
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新知笔记
1
2
3
4
C
C
x1＝－2，x2＝4
5
C
①两个不相等 ②两个相等
③没有
C
3
0；横
x1；x2
6
7
8
9
C
x≈1.7或x≈0.3
10
A
11
12
13
14
－5＜t≤4
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C
15
见习题
②③
B
见习题
1.一般地，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与
x轴有两个不同的交点(x1，0)，(x2，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x＝________，x＝________.
x1
x2
2．①二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个不同的交点，对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有____________的实根；
②二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个重合的交点，对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有________的实根；
③二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有交点，对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0________实数根．
两个不相等
两个相等
没有
3．求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是求二次函数y＝ax2＋bx＋c在y＝________时，自变量x的值，
也就是求二次函数图象与x轴交点的________坐标，
因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根．由于作图或观察的误差，由图象求得的根，
一般是近似的．
横
0
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的根是( )
A．x1＝3，x2＝－3
B．x1＝0，x2＝6
C．x1＝－3，x2＝6
D．x1＝3，x2＝0
【点拨】因为图象与x轴的交点坐标为(－3，0)，(6，0)，所以方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－3，x2＝6.
C
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是( )
A．a＞0,
b＜0,
c＜0
B．当x＜0时，函数值y随x的增大而减小
C．当x＞0时，函数值y随x的增大而增大
D．方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根是x1＝－1，x2＝2
C
3．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1＝2，x2＝－1，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线( )
C
【点拨】依题意可知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的坐标分别是(－1，0)和(2，0)，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝
.
4．【原创题】若抛物线y＝x2－2x＋p(常数p≠0)与x轴的一个交点为(4，0)，则关于x的一元二次方程x2－2x＋p＝0的两个实数根是________________．
x1＝－2，x2＝4
【点拨】∵抛物线的对称轴为直线x＝－
＝1，而抛物线与x轴的一个交点为(4，0)，∴抛物线与x轴的另一个交点为(－2，0)，∴关于x的一元二次方程x2－2x＋p＝0的两个实数根是x1＝－2，x2＝4.
5．【中考·荆门】抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【点拨】当x＝0时，y＝－4，则抛物线与y轴的交点坐标为(0，－4)，当y＝0时，－x2＋4x－4＝0，解得x1＝x2＝2，抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，所以抛物线与坐标轴有2个交点．
C
6．【2021·河南模拟】新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为实数)的“图象数”，如：y＝x2－2x＋3的“图象数”为[1，－2，3]，若“图象数”是[m，2m＋4，2m＋4]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为( )
A．－2
B.
C．－2或2
D．2
C
7．若二次函数y＝ax2＋2x－4的值总是负值，则a的取值范围是__________．
【点拨】∵x取一切实数时，函数值y恒为负，∴图象开口向下，且与x轴无交点，∴a＜0，4－4a×(－4)＜0，∴a＜－
.
8．下表中列出了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一些对应值，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个近似解x1的范围是( )
A.－3＜x1＜－2
B．－2＜x1＜－1
C．－1＜x1＜0
D．0＜x1＜1
C
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－11
－5
－1
1
1
…
9．二次函数y＝x2－2x＋0.5的图象如图所示，利用图象可得方程x2－2x＋0.5＝0的近似解为_____________．(精确到0.1)
x≈1.7或x≈0.3
10．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－3，0)，B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－2)2＋bx＝2b－c的解是( )
A．x1＝－1，x2＝6
B．x1＝－5，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4
D．x1＝－2，x2＝5
【点拨】关于x的一元二次方程a(x－2)2＋bx＝2b－c变形为a(x－2)2＋b(x－2)＋c＝0，把抛物线y＝ax2＋bx＋c沿x轴向右平移2个单位得到y＝a(x－2)2＋b(x－2)＋c，因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(4，0)，所以抛物线y＝a(x－2)2＋b(x－2)＋c与x轴的两个交点坐标为(－1，0)，(6，0)，所以一元二次方程a(x－2)2＋b(x－2)＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝6.
【答案】A
11．【2021·长沙岳麓区模拟】若点M(m，n)是抛物线y＝－2x2＋2x＋m上的点，且抛物线与x轴至多有一个交点，则m－n的最小值为( )
【答案】B
12.【2021·南充】关于抛物线y＝ax2－2x＋1(a≠0)，给出下列结论：
①当a＜0时，抛物线与直线y＝2x＋2没有交点；
②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点(0，0)与(1，0)之间；
③若抛物线的顶点在点(0，0)，(2，0)，(0，2)围成的三角形区域内(包括边界)，则a≥1.
其中正确结论的序号是__________．
∵Δ＝16＋4a，a<0，∴Δ≥0，
∴抛物线与直线y＝2x＋2可能有交点，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，∴4－4a>0，∴a<1.
易知抛物线经过点(0，1)，∵x＝1时，y＝a－2＋1＝a－1<0，
∴抛物线与x轴的两个交点中的一个一定在(0，0)与(1，0)之间，故②正确；
【答案】②③
13．二次函数y＝－x2＋mx的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程－x2＋mx－t＝0(t为实数)在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是__________．
－5＜t≤4
14．【2021·长沙开福区校级月考】已知抛物线y＝x2－(2m＋2)x＋m2＋2m，其中m是常数．
(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．
证明：∵抛物线y＝x2－(2m＋2)x＋m2＋2m，其中m是常数，
∴[－(2m＋2)]2－4×1×(m2＋2m)＝4m2＋8m＋4－4m2－8m＝4＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．
(2)若该抛物线的对称轴为直线x＝4.
①求该抛物线的表达式；
解：∵抛物线y＝x2－(2m＋2)x＋m2＋2m的对称轴为直线x＝4，
∴－
＝4，解得m＝3，
∴该抛物线的表达式为y＝x2－8x＋15.
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？
解：∵y＝x2－8x＋15＝(x－4)2－1，
∴该抛物线沿y轴向上平移1个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
15．【中考·衡阳】如图，△AOB的顶点A，B分别在x轴，y轴上，∠BAO＝45°，且△AOB的面积为8.
(1)直接写出A，B两点的坐标；
解：点A的坐标是(4，0)，点B的坐标是(0，4)．
【点拨】在Rt△AOB中，
∵∠BAO＝45°，∴∠ABO＝45°，∴AO＝BO.
∵
·OA·OB＝8，∴OA＝OB＝4，
∴点A的坐标是(4，0)，点B的坐标是(0，4)．
(2)过点A，B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C.
①若△ABC是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线的表达式；
解：当点C在点A的左侧时，易知点C的坐标是(－4，0)，顶点为B(0，4)，此时设抛物线的表达式为y＝ax2＋4，将(4，0)代入得到a＝－
，
∴抛物线的表达式为y＝－
x2＋4.
当点C在点A的右侧时，△ABC是以BC为腰的等腰三角形，这个显然不可能，此种情形不存在，
综上所述，抛物线的表达式为y＝－
x2＋4.
②将抛物线G向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点N的坐标．
解：抛物线G向下平移4个单位后，经过原点(0，0)和(4，－4)，
设抛物线的表达式为y＝mx2＋nx，把(4，－4)代入得到n＝－1－4m，
∴抛物线的表达式为y＝mx2＋(－1－4m)x，由题意易得直线AB的表达式为y＝－x＋4.(共31张PPT)
1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
第1章 二次函数
湘教版
九年级下
1
2
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新知笔记
1
2
3
4
B
见习题
y＝－x2－2x＋3
5
A
见习题
横
a，b，c
3
6
7
8
9
B
见习题
10
见习题
11
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D
见习题
1．二次函数的表达式是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因此，要确定这个表达式，就需要求出________的值．
a，b，c
2．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，用待定系数法列三元一次方程组来求解．当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设表达式为顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)来求解．当已知抛物线与x轴的两个交点的坐标时，常设表达式为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)来求解．
3．若给定不共线三点的坐标，且它们的________坐标两两不等，则可以确定一个二次函数；而给定共线三点的坐标，不能确定二次函数．
横
1．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过坐标原点，且当x＝1时，y＝2；当x＝－1时，y＝4，则函数表达式是( )
A．y＝3x2－x
B．y＝－3x2＋x
C．y＝－3x2－x
D．y＝3x2＋x
A
2．【中考·衢州】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上部分点的坐标(x，y)对应值列表如下：
则该函数图象的对称轴是( )
A．直线x＝－3
B．直线x＝－2
C．直线x＝－1
D．直线x＝0
B
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－3
－2
－3
－6
－11
…
3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点(－2，6)，(2，2)．
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)求y随x的增大而减小时x的取值范围．
解：∵a＝
＞0，
∴抛物线的开口向上．
∵抛物线y＝
x2－x＋2的对称轴为直线x＝－
＝1，
∴y随x的增大而减小时x＜1.
4.
(易错题)二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，则这个二次函数的表达式为__________．
【答案】y＝－x2－2x＋3
【点拨】由图象知抛物线的对称轴为直线x＝－1，设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2＋k，将(－3，0)，(0，3)代入，
∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3.本题的易错点是误将对称轴与x轴的交点(－1，0)当成抛物线上的点与点(－3，0)，(0，3)一起代入到一般式中而出现错误．
5．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且其顶点在直线y＝－2x＋2上．
(1)求出抛物线的顶点坐标；
解：把x＝2代入y＝－2x＋2，得y＝－2，
∴抛物线的顶点坐标为(2，－2)．
解：∵抛物线的顶点坐标为(2，－2)，
∴该抛物线所对应的二次函数的表达式为y＝(x－2)2－2，
即该抛物线所对应的二次函数的表达式为y＝x2－4x＋2.
(2)求该抛物线所对应的二次函数的表达式．
6．【2021·株洲茶陵期末】已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为( )
A．y＝x2－2x＋3
B．y＝x2－2x－3
C．y＝x2＋2x－3
D．y＝x2＋2x＋3
【点拨】由二次函数图象与x轴交于点(－1，0)，(3，0)，可设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，把(0，－3)代入，得－3＝(0＋1)(0－3)a，
解得a＝1，
∴这个二次函数的表达式为y＝(x＋1)(x－3)，
即y＝x2－2x－3.
【答案】B
7．【中考·百色】经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线的表达式是__________________．
8．如果抛物线经过点A(2，0)和B(－1，0)，且与y轴交于点C，若OC＝2，则这条抛物线所对应的二次函数的表达式是( )
A．y＝x2－x－2
B．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2
C．y＝－x2＋x＋2
D．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2
【点拨】设该抛物线所对应的二次函数的表达式为y＝a(x－2)(x＋1)，
∵OC＝2，
∴点C的坐标为(0，2)或(0，－2)，把(0，2)代入y＝a(x－2)(x＋1)，
得a·(－2)·1＝2，解得a＝－1，此时该抛物线所对应的二次函数的表达式为y＝－(x－2)(x＋1)，
即y＝－x2＋x＋2；把(0，－2)代入y＝a(x－2)(x＋1)，得a·(－2)·1＝－2，解得a＝1，此时该抛物线所对应的二次函数的表达式为y＝(x－2)(x＋1)，即y＝x2－x－2.综上所述，该抛物线所对应的二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋2或y＝x2－x－2.
【答案】D
9．【2021·河池环江期末】如图，抛物线与直线交于点A(－4，－1)和点B(－2，3)，抛物线顶点为A，直线与y轴交于点C.
(1)求抛物线和直线的表达式；
解：∵抛物线的顶点为A(－4，－1)，
∴设抛物线的表达式为y＝a(x＋4)2－1，
将B(－2，3)的坐标代入，得3＝a(－2＋4)2－1，解得a＝1，
∴抛物线的表达式为y＝(x＋4)2－1(或y＝x2＋8x＋15)．
设直线的表达式为y＝kx＋b，
将A(－4，－1)，B(－2，3)的坐标代入，
∴直线的表达式为y＝2x＋7.
(2)若y轴上存在点P使△PAB的面积为9，求点P的坐标．
解：由直线y＝2x＋7可知C(0，7)，
设P(0，n)，则PC＝|n－7|，
∴S△PAB＝S△PAC－S△BPC＝
×|n－7|×|－4|－
×|n－7|×
|－2|＝
×(4－2)×|n－7|＝9，∴|n－7|＝9，
∴n＝－2或n＝16，∴P(0，－2)或P(0，16)．
10．【中考·永州】如图，已知抛物线经过两点A(－3，0)，B(0，3)，且其对称轴为直线x＝－1.
(1)求此抛物线的表达式；
解：∵抛物线的对称轴是直线x＝－1且经过点A(－3，0)，
∴由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(1，0)．
设抛物线的表达式为y＝a(x－1)(x＋3)，
把B(0，3)代入，得3＝－3a,
∴a＝－1.
∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)(x＋3)，即y＝－x2－2x＋3.
(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，点B)，求△PAB的面积S的最大值，并求出此时点P的坐标．
解：设直线AB的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
将A(－3，0)，B(0，3)代入，
∴直线AB的表达式为y＝x＋3.
如图，作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M.
11．【中考·黑龙江】如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A(0，2)，对称轴为直线x＝－2，平行于x轴的直线与抛物线交于B，C两点，点B在对称轴左侧，BC＝6.
(1)求此抛物线的表达式．
解：由题意得－
＝－2，c＝2，
解得b＝4，
则此抛物线的表达式为y＝x2＋4x＋2.
(2)点P在x轴上，直线CP将△ABC的面积分成2 ∶3两部分，请求出P点坐标．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝－2，BC＝6，
∴点B的横坐标为－5，点C的横坐标为1，
把x＝1代入抛物线表达式得y＝7，
∴点B的坐标为(－5，7)，点C的坐标为(1，7)．
设直线AB的表达式为y＝kx＋2，
把点B(－5，7)的坐标代入，得k＝－1，即y＝－x＋2.
设直线CP与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，设BC与y轴交于点M，
可得△AQH∽△ABM，∴QH∶BM＝AQ∶AB.
∵点P在x轴上，直线CP将△ABC的面积分成2∶3两部分，
∴AQ∶QB＝2∶3或AQ∶QB＝3∶2，即AQ∶AB＝2∶5或AQ∶AB＝3∶5.
∵BM＝5，∴QH＝2或QH＝3.
当QH＝2时，把x＝－2代入直线AB的表达式，得y＝4，
此时点Q的坐标为(－2，4)，易得直线CQ的表达式为y＝x＋6，令y＝0，得x＝－6，即点P的坐标为(－6，0)．
当QH＝3时，把x＝－3代入直线AB的表达式，得y＝5，
此时点Q的坐标为(－3，5)，易得直线CQ的表达式为y＝
x＋
，令y＝0，得x＝－13，此时点P的坐标为(－13，0)，
综上，点P的坐标为(－6，0)或(－13，0)．(共28张PPT)
1.2 二次函数的图象与性质
第4课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
第1章 二次函数
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九年级下
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新知笔记
1
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4
A
y＝2(x＋1)2－2
3
5
D
增大；减小
C
3
横；对称
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B
A
B
10
A
11
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13
14
2
020
答案显示
D
15
见习题
C
D
16
见习题
1；9
1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是抛物线，它具有下列性质：
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
顶点坐标
(h,
k)
对称轴
直线x＝h
a＞0
a＜0
增减性
在对称轴的左边(x＜h)，函数值y随x的增大而减小；在对称轴的右边(x＞h)，函数值y随x的增大而增大
在对称轴的左边(x＜h)，函数值y随x的增大而________；在对称轴的右边(x＞h)，函数值y随x的增大而________
增大
减小
2.画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的步骤：
第一步：写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；
第二步：列表(自变量x从顶点的________坐标开始取值)，描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；
第三步：利用________性，画出图象在对称轴左边的部分．
横
对称
3．将二次函数y＝ax2的图象向左或向右平移h(其中h＞0)个单位得到y＝a(x±h)2的图象，将二次函数y＝a(x±h)2的图象向上或向下平移k(其中k＞0)个单位得到y＝a(x±h)2±k的图象．
1．【中考·哈尔滨】将抛物线y＝x2向上平移3个单位，再向右平移5个单位，所得到的抛物线为( )
A．y＝(x＋3)2＋5
B．y＝(x－3)2＋5
C．y＝(x＋5)2＋3
D．y＝(x－5)2＋3
D
2．抛物线y＝(x＋3)2－2可由抛物线y＝x2如何平移得到？( )
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
A
3．将抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为________________．
y＝2(x＋1)2－2
4．【中考·凉山州】将抛物线y＝(x－3)2－2向左平移________个单位后经过点A(2，2)．
3
5．二次函数y＝2(x＋2)2－1的图象是( )
C
6．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数表达式可能是( )
B
7．二次函数y＝a(x－m)2－n的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
A
【点拨】观察二次函数y＝a(x－m)2－n的图象可知m＞0，n＞0，∴一次函数y＝mx＋n的图象经过第一、二、三象限．
8．【2021·绍兴】关于二次函数y＝2(x－4)2＋6的最大值或最小值，下列说法正确的是( )
A．有最大值4
B．有最小值4
C．有最大值6
D．有最小值6
D
9．【2021·长沙雨花区一模】下列关于二次函数y＝4(x－3)2－5的说法，正确的是( )
A．该函数图象的对称轴是直线x＝－3
B．当x＝3时，有最小值－5
C．顶点坐标是(3，5)
D．当x＞3时，y随x的增大而减小
B
10．【中考·兰州】已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( )
A．2＞y1＞y2
B．2＞y2＞y1
C．y1＞y2＞2
D．y2＞y1＞2
A
【点拨】由题意可知抛物线y＝－(x＋1)2＋2的对称轴为直线x＝－1.
∵－1<0，－1<1<2，∴y211．【2021·长沙模拟】已知二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象经过(0，5)，(10，8)两点，若a＜0，0＜h＜10，则h的值可能为( )
A．1
B．3
C．5
D．7
【点拨】抛物线y＝a(x－h)2＋k的对称轴为直线x＝h，
∵a＜0，∴抛物线开口向下．
∵0＜h＜10，(0，5)，(10，8)两点在该抛物线上，
∴h－0＞10－h，解得h＞5.故选D.
D
12．【2021·长沙雨花区模拟】已知抛物线y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)经过A(2，2)和B(9，9)两点，则下列判断正确的是( )
A．若h＝3，则a<0
B．若h＝6，则a＞0
C．若h＝4，则k＜2
D．若h＝5，则k>9
【点拨】将(2，2)，(9，9)分别代入y＝a(x－h)2＋k，
得
②－①，得7＝a[(9－h)2－(2－h)2]，整理，得a＝
.
若h＝3，则a＝
＞0，故A错误；若h＝6，则a＝－1＜0，故B错误；若h＝4，则a＝
＞0，此时抛物线开口向上，易得k＜2，故C正确；若h＝5，则a＝1＞0，此时抛物线开口向上，易得k＜2，故D错误．故选C.
【答案】C
13.【原创题】若A(p，q)，B(p＋2，q)是抛物线y＝－(x－h)2＋2
021上两点，则q＝________．
【点拨】∵A(p，q)，B(p＋2，q)是抛物线y＝－(x－h)2＋2
021上两点，∴A(h－1，q)，B(h＋1，q)，当x＝h＋1时，q＝－(h＋1－h)2＋2
021＝2
020.
2
020
14．已知二次函数y＝2(x＋1)2＋1，若－2≤x≤1，则函数y的最小值是________，最大值是________．
【点拨】∵函数y＝2(x＋1)2＋1的图象开口向上，
对称轴为直线x＝－1，且－2≤x≤1，∴当x＝1时，y有最大值，最大值为
9，当x＝－1时，y有最小值，最小值为1.
1
9
15．如图，正方形ABCD的顶点A在抛物线y＝x2上，顶点B，C在x轴的正半轴上，且点B的坐标为(1，0)．
(1)求点D的坐标；
解：由题意可知点A的横坐标是1.
∵点A在抛物线y＝x2上，∴点A的坐标是(1，1)．
又∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝CD＝1，
∴点D的坐标是(2，1)．
(2)将抛物线y＝x2适当平移，使得平移后的抛物线同时经过点B与点D，求平移后抛物线的表达式，并说明你是如何平移的．
解：设平移后抛物线的表达式为y＝(x－h)2＋k，
把(1，0)，(2，1)代入，
∴平移后抛物线的表达式为y＝(x－1)2.
平移方式：将抛物线y＝x2向右平移1个单位．
16．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(3，4)，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝－
(x－2)2＋k过点A.
(1)求k的值；
(2)若把抛物线y＝－
(x－2)2＋k沿x轴向左平移m个单位，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点C.试判断点B是否落在平移后的抛物线上．
解：如图，设AB与y轴交于点D，则AD⊥y轴，AD＝3，OD＝4，
∴OA＝
∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB＝OC＝5，
∴BD＝AB－AD＝2.
∴点B的坐标是(－2，4)．(共34张PPT)
阶段综合训练[范围：1.1～1.2]
第1章 二次函数
湘教版
九年级下
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B
B
B
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D
C
6
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9
B
A
－2
10
x＞1
B
11
12
13
14
2
(1)0 (2)2
答案显示
15
见习题
>
一
16
17
18
19
见习题
见习题
见习题
见习题
1．下列函数中是二次函数的是( )
A．y＝3x－1
B．y＝x3－2x－3
C．y＝(x＋1)2－x2
D．y＝3x2－1
D
2．二次函数y＝
(x－2)2－3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
B
3．二次函数y＝－
x2＋1与y＝
(x2＋2)的图象的不同之处是( )
A．对称轴
B．开口方向
C．顶点
D．形状
B
4．抛物线y＝
(x－2)2－3的顶点坐标是( )
A．(2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，3)
D．(－2，－3)
B
5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝ax2－bx的图象可能是( )
C
6．【2021·湘西州模拟】二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值是零，那么代数式|a|＋
的化简结果是( )
A．a
B．－a
C．1
D．0
B
7．若二次函数y＝x2－6x＋9的图象经过A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3＋
，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1>y2>y3
B．y1>y3>y2
C．y2>y1>y3
D．y3>y1>y2
A
8．【2021·泰安】将抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过( )
A．(－2，2)
B．(－1，1)
C．(0，6)
D．(1，－3)
B
－2
【点拨】∵函数
是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，
∴
解得m＝－2.
10．在二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是________．
【点拨】y＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵a＝－1<0，∴抛物线开口向下，
∴当x>1时，y随x的增大而减小．
x＞1
11．抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在第________象限．
【点拨】∵y＝x2－2x＋m2＋2＝(x－1)2＋(m2＋1)，
∴该抛物线的顶点坐标为(1，m2＋1)，
∵1>0，m2＋1>0，
∴顶点在第一象限．
一
12．若点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－
(x＋1)2－1上，则y1______y2.
【点拨】∵y＝－
(x＋1)2－1，∴抛物线对称轴为直线x＝－1，开口向下，
∴当x>－1时，y随x的增大而减小，
∵－1<1<2，∴y1>y2.
>
13．【2021·安徽】设抛物线y＝x2＋(a＋1)x＋a，其中a为实数．
(1)若抛物线经过点(－1，m)，则m＝________；
【点拨】将(－1，m)代入y＝x2＋(a＋1)x＋a，
得(－1)2＋(a＋1)×(－1)＋a＝m，解得m＝0.
0
(2)将抛物线y＝x2＋(a＋1)x＋a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是________．
【点拨】抛物线y＝x2＋(a＋1)x＋a向上平移2个单位，可得抛物线y＝x2＋(a＋1)x＋a＋2，
2
14．平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝ax2上的两点A，B满足OA＝OB，且tan∠OAB＝
，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y＝
x2的通径长为________．
2
(1)求m的值；
(2)写出函数图象的开口方向、顶点坐标与对称轴；
解：∵当m＝－4时，函数表达式为y＝－5x2＋10x－5，其中a＝－5＜0，∴函数图象的开口向下．
又y＝－5x2＋10x－5＝－5(x2－2x＋1)＝－5(x－1)2，
∴图象的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，0)．
(3)试说明函数的增减性．
解：当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小．
解：∵二次函数y＝x2＋bx＋3的图象经过点(3，0)，
∴9＋3b＋3＝0，
解得b＝－4.
16．已知二次函数y＝x2＋bx＋3的图象经过点(3，0)．
(1)求b的值；
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
解：y＝x2－4x＋3＝x2－4x＋4－1＝(x－2)2－1，
∴顶点坐标为(2，－1)．
对称轴为直线x＝2.
(3)在如图所示的坐标系中画出二次函数y＝x2＋bx＋3的图象(不要求列对应数值表，但要求尽可能画准确)．
解：如图．
17.一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分(如图)．如果这名同学出手处A点的坐标是(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标是(6，5)．求这个二次函数的表达式．
解：设二次函数的表达式为y＝a(x－6)2＋5(a≠0)，
∵A(0，2)在其图象上，
∴代入解得a＝－
，
∴二次函数的表达式为y＝－
(x－6)2＋5.
18．如图，抛物线y1＝－x2－1与直线y2＝－x－3交于A，B两点．
(1)求A，B两点的坐标；
解：根据题意，联立方程解得点A的坐标为(－1，－2)，
点B的坐标为(2，－5)．
(2)①当x取何值时，y1的值随x的增大而增大？
解：当x＜0时，y1的值随x的增大而增大．
②当x取何值时，y2的值随x的增大而减小？
当x取任何实数时，y2的值随x的增大而减小．
(3)设抛物线y1＝－x2－1的顶点为C，试求△ABC的面积．
解：∵抛物线y1＝－x2－1的顶点坐标为(0，－1)，
∴点C的坐标为(0，－1)，
设直线AB与y轴交于点D，则点D的坐标为(0，－3)，
∴CD＝2，
∴S△ACD＝
×2×1＝1，S△BCD＝
×2×2＝2，
∴S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝1＋2＝3，即△ABC的面积为3.
19．【2021·长沙开福区校级月考】已知抛物线y＝(2m－1)x2＋(m＋1)x＋3(m为常数)．
(1)若该抛物线经过点(1，m＋7)，求m的值；
解：∵抛物线经过点(1，m＋7)，
∴m＋7＝2m－1＋m＋1＋3，
∴m＝2.
(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求满足条件的最大整数m；
(3)将该抛物线向下平移若干个单位长度，所得的新抛物线经过P(－5，y1)，Q(7，y2)(其中y1＜y2)两点，当－5≤x≤3时，点P是该部分函数图象的最低点，求m的取值范围．(共31张PPT)
阶段综合训练[范围：1.3～1.5]
第1章 二次函数
湘教版
九年级下
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C
D
A
5
A
C
6
7
8
9
C
5
10
10
0.4米
11
12
13
见习题
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见习题
见习题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是( )
A．m≥－4
B．m≥0
C．m≥5
D．m≥6
A
2．【2021·长沙岳麓区校级模拟】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与直线y＝k(x－1)－
，无论k取任何实数，抛物线与直线都只有一个公共点，则抛物线的表达式是( )
A．y＝x2
B．y＝x2－2x
C．y＝x2－2x＋1
D．y＝2x2－4x＋2
∴1－a＝0，2a＋b＝0，b2－4ac＝0，
解得a＝1，b＝－2，c＝1，
∴抛物线的表达式是y＝x2－2x＋1.
故选C.
【答案】C
3．抛物线与x轴交点的横坐标为－2和1，且过点(2，8)，则抛物线的表达式为( )
A．y＝2x2－2x－4
B．y＝－2x2＋2x－4
C．y＝x2＋x－2
D．y＝2x2＋2x－4
D
【点拨】由题意，设抛物线的表达式为y＝a(x－1)(x＋2)，将(2，8)代入，得8＝a(2－1)(2＋2)，解得a＝2，∴抛物线的表达式为y＝2(x－1)(x＋2)，化简，得y＝2x2＋2x－4.
4．如图，它是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一部分，已知抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点是(－1，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是( )
A．x1＝－1，x2＝5
B．x1＝－1，x2＝4
C．x1＝－1，x2＝3
D．x1＝－1，x2＝2
A
5．【中考·长沙】“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸时间t(单位：分钟)近似满足的函数关系为p＝at2＋bt＋c(a≠0，a，b，c是常数)，
如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A．3.50分钟
B．4.05分钟
C．3.75分钟
D．4.25分钟
C
6．如图，以(1，－4)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的正数解的范围是( )
A．2＜x＜3
B．3＜x＜4
C．4＜x＜5
D．5＜x＜6
【点拨】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标为(1，－4)，∴其图象的对称轴为直线x＝1，而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是－3＜x＜－2，∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5.
【答案】C
7．若抛物线y＝x2－3x－4与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为________．
5
【点拨】抛物线y＝x2－3x－4与x轴的交点A，B的横坐标为一元二次方程x2－3x－4＝0的两个根，求得x1＝－1，x2＝4，则AB＝|x2－x1|＝5.
8．若抛物线y＝2kx2＋3x＋4与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为________________．
9．【中考·广安】在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y＝
，由此可知该生此次实心球训练的成绩为________米．
10
10．【2021·扬州江都区期末】道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，且涂色部分呈抛物线形状(如图①)，图②是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处(点E，点P)以及点A，点B落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分(EF)与第2根栏杆未涂色部分(PQ)长度相等，则EF的长度是____________．
【点拨】设B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
设抛物线表达式为y＝ax2＋bx＋c，
将B(0，0)的坐标代入得c＝0，∴y＝ax2＋bx，
∵BA＝2米，∴A(2，0)，∴0＝a×22＋2b，
∴b＝－2a，∴y＝ax2－2ax，
设EF＝PQ＝m米，则E(0.4，m)，P(0.8，1－m)，
将点E和点P的坐标分别代入y＝ax2－2ax，
【答案】0.4米
11．【2021·桂平模拟】如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于点A(－3，0)，B(1，0)，交y轴于点C.点P(m，0)是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N.
(1)求这个二次函数的表达式；
解：∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于点A(－3，0)，B(1，0)，
即这个二次函数的表达式是y＝x2＋2x－3.
(2)若点P仅在线段AO上运动，求线段MN长度的最大值．
解：∵y＝x2＋2x－3，∴当x＝0时，y＝－3，
即点C的坐标为(0，－3)，
设直线AC的表达式为y＝kx＋a，
即直线AC的表达式为y＝－x－3.
∵点P的坐标为(m，0)，
12．如图，在美化校园的活动中，某兴趣小组想在直角墙角(两边足够长)用28
m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)．设AB＝x
m，若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是18
m和6
m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求围成的花园面积的最大值．
解：由题意可知，AB＝x
m，BC＝(28－x)m.
花园面积S＝x·(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196.
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是18
m和6
m，
∴28－x≥18且x≥6，即6≤x≤10.
∵二次函数S＝－(x－14)2＋196的图象开口向下，对称轴为直线x＝14，
∴当6≤x≤10时，S随x的增大而增大，∴当x＝10时，S取得最大值，S最大＝－(10－14)2＋196＝180(m2).
答：围成的花园面积的最大值为180
m2.
13．【中考·湘潭】如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，
)三点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)P(x1，y1)，Q(4，y2)两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点横坐标x1的取值范围；
解：由题意可知抛物线的对称轴为直线x＝
＝1，抛物线上与Q(4，y2)相对称的点Q′的坐标为(－2，y2)．又P(x1，y1)在该抛物线上，且y1≥y2，
∴根据抛物线的增减性，得－2≤x1≤4.
故P点横坐标x1的取值范围为－2≤x1≤4.
(3)如图②，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD，CB，点F为线段CB的中点，点M，N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．
解：过点F作FG⊥x轴于G，延长GF交CE于H，
在射线FH上截取HF′＝HF.∴FG∥OC，
又∵F为CB的中点，∴OG＝BG＝
OB.∴GF＝
OC.
∵F为线段CB的中点，CB＝2OC，∴CF＝OC.
∴点F与点O关于直线CD对称，∴MF＝MO.
∴△FMN的周长l△FMN＝FN＋MN＋FM＝F′N＋MN＋OM，
当M，N，O，F′在同一条直线上时，l△FMN最小，此时l△FMN＝OF′.连接OF′.
∵F是CB的中点，CH∥GB，易得FH＝FG＝
.
∴F′G＝3FG＝
，∴OF′＝
＝3.
∴△FMN周长的最小值为3.(共31张PPT)
1.2 二次函数的图象与性质
第5课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质
第1章 二次函数
湘教版
九年级下
1
2
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新知笔记
1
2
3
4
B
y＝(x－2)2＋1
C
5
D
D
6
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8
9
D
－2
C
10
D
11
12
13
14
(2，－3)
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见习题
15
见习题
A
A
见习题
2．(1)当a＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口向上，当x＜－
时，y随x的增大而减小；当x＞－
时，y随x的增大而增大．
(2)当a＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口向下，当x＜－
时，y随x的增大而增大；当x＞－
时，y随x的增大而减小．
(3)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可由抛物线y＝ax2向右或向左平移
个单位，再向上或向下平移
个单位得到．
1．把二次函数y＝－(x＋3)2＋11变成一般式是( )
A．y＝－x2＋20
B．y＝－x2＋2
C．y＝－x2＋6x＋20
D．y＝－x2－6x＋2
D
2．【中考·山西】用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )
A．y＝(x－4)2＋7
B．y＝(x－4)2－25
C．y＝(x＋4)2＋7
D．y＝(x＋4)2－25
【点拨】y＝x2－8x－9＝x2－8x＋16－25＝(x－4)2－25.
B
3．【中考·武威】将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为______________．
y＝(x－2)2＋1
4．【中考·上海】下列对二次函数y＝x2－x的图象的描述，正确的是( )
A．开口向下
B．对称轴是y轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧部分是下降的
【点拨】A.∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；
B．∵
，∴抛物线的对称轴为直线x＝
，选项B不正确；
C．当x＝0时，y＝x2－x＝0，∴抛物线经过原点，选项C正确；
D．∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x＝
，∴当x＞
时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．
【答案】C
5．【中考·成都】关于二次函数y＝x2＋2x－8，下列说法正确的是( )
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为(0，8)
C．图象与x轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0)
D．y的最小值为－9
【点拨】∵二次函数y＝x2＋2x－8＝(x＋1)2－9＝(x＋4)(x－2)，
∴该函数图象的对称轴是直线x＝－1，在y轴的左侧，故选项A错误；当x＝0时，y＝－8，即该函数的图象与y轴交于点(0，－8)，故选项B错误；当y＝0时，x＝2或x＝－4，即该函数的图象与x轴的交点坐标为(2，0)和(－4，0)，故选项C错误；当x＝－1时，该函数取得最小值，最小值为－9，故选项D正确．
【答案】D
6．【2021·江西】在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
D
7.
(易错题)若二次函数y＝ax2＋bx＋a2－4(a，b为常数)的图象如图所示，则a的值为________．
－2
【点拨】根据函数图象经过坐标原点可以确定a2－4＝0，解得a＝±2.再利用图象开口向下进一步确定a＜0，∴a＝－2.本题易错点是根据图象经过坐标原点求出a＝±2后忽略图象开口向下的限制，不能进一步判断a的符号．
8．【中考·宁波】如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3)．
(1)求a的值和图象的顶点坐标；
解：把点P(－2，3)代入y＝x2＋ax＋3中，得3＝4－2a＋3.
∴a＝2，
∴y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
∴该二次函数的图象的顶点坐标为(－1，2)．
(2)点Q(m，n)在该二次函数的图象上．
①当m＝2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.
解：由题意得n＝22＋2×2＋3＝11.
2≤n＜11.
9．【2021·周口西华期中】已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则点A(ac，bc)在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C
10．【中考·湘西州】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②b－2a＜0；③a－b＋c＞0；④a＋b＞n(an＋b)(n≠1)；⑤2c＜3b.
其中正确的是( )
A．①③
B．②⑤
C．③④
D．④⑤
【点拨】①由图象可知a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故此结论错误；
②∵a＜0，∴－2a＞0.又∵b＞0，∴b－2a＞0，故此结论错误；③由题意可知当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，故此结论错误；
④由题意可知当x＝1时，y的值最大．此时y＝a＋b＋c.
而当x＝n(n≠1)时，y＝an2＋bn＋c，∴a＋b＋c＞an2＋bn＋c(n≠1)，
故a＋b＞an2＋bn(n≠1)，即a＋b＞n(an＋b)(n≠1)，故此结论正确；⑤由题意易知当x＝3时函数值小于0，即9a＋3b＋c＜0，
∵该抛物线的对称轴是直线x＝－
＝1，
∴2c＜3b，故此结论正确．故④⑤正确．
【答案】D
11．【2021·西安碑林区校级三模】对于抛物线y＝ax2＋(1－a)x＋3，当x＝－1时，y＜0，则这条抛物线的顶点一定在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A
12．【2021·眉山】在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，则与该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为( )
A．y＝－x2－4x＋5
B．y＝x2＋4x＋5
C．y＝－x2＋4x－5
D．y＝－x2－4x－5
【点拨】由抛物线y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1知，该抛物线顶点坐标是(2，1)．
易知C(0，5)，∴与该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是(－2，9)．
易知与该抛物线关于点C成中心对称的抛物线开口向下，
∴与该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为y＝－(x＋2)2＋9＝－x2－4x＋5.故选A.
【答案】A
13．【原创题】若抛物线y＝－2x2－qx＋2q＋5中不论q为何值时都通过定点，则定点坐标为__________．
【点拨】∵y＝－2x2－qx＋2q＋5可化为y＝－2x2－q(x－2)＋5，当x＝2时，y＝－3且与q的取值无关．故不论q为何值时都通过定点(2，－3)．
(2，－3)
14．定义：若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点和顶点构成直角三角形，则称这条抛物线为“直角抛物线”．
(1)抛物线y＝x2－1________直角抛物线；(填“是”或“不是”)
是
(2)直角抛物线y＝a(x＋2)2－3与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，顶点为P，求a的值．
解：设对称轴与x轴的交点为F，
∵y＝a(x＋2)2－3是直角抛物线，顶点坐标为P(－2，－3)，
∴AF＝BF＝PF＝3，且OF＝2，
∴OB＝BF－OF＝3－2＝1，
∴点B的坐标为(1，0)，把点B的坐标代入抛物线的表达式可得0＝a(1＋2)2－3，
15．【中考·杭州】在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.
(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；
解：根据题意，将(1，－2)代入y1＝(x＋a)(x－a－1)，
得(1＋a)(1－a－1)＝－2.
解得a1＝－2，a2＝1.
当a＝－2时，y1＝(x－2)(x＋2－1)，化简得y1＝x2－x－2.
当a＝1时，y1＝(x＋1)(x－2)，
化简得y1＝x2－x－2.
综上所述：函数y1的表达式为y1＝x2－x－2.
(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
解：当y＝0时，(x＋a)(x－a－1)＝0，
解得x1＝－a，x2＝a＋1，
∴y1的图象与x轴的交点坐标是(－a，0)，(a＋1，0)．
当y2＝ax＋b经过(－a，0)时，－a2＋b＝0，即b＝a2.
当y2＝ax＋b经过(a＋1，0)时，a2＋a＋b＝0，
即b＝－a2－a.
(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
解：由题意知，函数y1的图象的对称轴为直线x＝
.
∴点Q(1，n)关于直线x＝
对称的点为点(0，n)．
∵函数y1的图象开口向上，
∴当m1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质
第1章 二次函数
湘教版
九年级下
1
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新知笔记
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C
B
5
C
原点(0，0)；y轴(或直线x＝0)
＞
3
①减小 ②增大
6
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见习题
D
A
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C
11
12
13
14
0＜m＜2
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B
15
见习题
D
见习题
16
见习题
1．描点法作二次函数的图象的步骤：①列表；②描点；③连线．
2．二次函数y＝ax2(a＞0)的图象开口向上，对称轴与图象的交点是___________，对称轴是_________________．
原点(0，0)
y轴(或直线x＝0)
3．二次函数y＝ax2(a＞0)的性质：①当x＜0(即在对称轴左侧)时，y随x的增大而________；②当x＞0(即在对称轴右侧)时，y随x的增大而________．
增大
减小
1．【中考·益阳】函数y＝2x2的图象大致为( )
C
2.
(易错题)关于函数y＝
x2的图象的说法错误的是( )
A．函数的图象开口向上
B．函数的图象有最低点
C．函数的图象是轴对称图形
D．图象只在第一、二象限
D
【点拨】本题的易错点是忽略坐标原点不属于任何象限，而y＝
x2的图象经过坐标原点．
3.
(易错题)已知正方形的边长为x(cm)，则它的面积y(cm2)与边长x(cm)的函数表达式的大致图象是( )
【点拨】正方形的面积y(cm2)与它的边长x(cm)之间的函数表达式为y＝x2(x＞0)，故它的大致图象应为C.本题的易错点是忽略自变量x的取值范围是x＞0.
C
4．二次函数y＝5x2与一次函数y＝3x－3在同一直角坐标系中的图象大致是( )
B
5．二次函数y1＝mx2，y2＝nx2的图象如图所示，则m______n．(填“＞”或“＜”)
＞
6．已知二次函数y＝ax2的图象经过点A(－1，2)．
(1)求函数表达式；
解：∵二次函数y＝ax2的图象经过点A(－1，2)，
∴2＝a·(－1)2，
∴a＝2.
∴函数表达式为y＝2x2.
(2)画出函数y＝ax2的图象；
解：列表：
描点、连线，图象如图所示．
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
8
2
0
2
8
…
(3)从图象中可以看出：在对称轴左侧，图象逐渐________；在对称轴右侧，图象逐渐________．
下降
上升
7．对于二次函数y＝
x2的性质下列说法不正确的是( )
A．当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大
B．当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小
C．当x＝0时，
函数值y取得最小值0
D．函数值y的取值范围是y＞0
D
8．【原创题】已知二次函数y＝ax2的图象经过点(3，2)，则下列点中也在该函数图象上的是( )
A．(2，3)
B．(－3，2)
C．(－3，－2)
D．(3，－2)
【点拨】二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，而点(3，2)关于y轴的对称点是(－3，2)，所以(－3，2)也在该函数的图象上．
B
9．已知点(－1，y1)，(2，y2)，(－3，y3)都在函数y＝x2的图象上，则( )
A．y1B．y1C．y3D．y2
A
【点拨】根据二次函数y＝ax2(a＞0)的图象的性质可得y3＞y2＞y1.故选A.
10．关于二次函数y＝2x2，y＝4x2，y＝
x2的共同性质不正确的是( )
A．它们的图象的对称轴都是y轴
B．当x＝0时，函数都有最小值0
C．函数的图象的开口大小与开口方向相同
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
C
【点拨】函数图象的开口方向相同，但是开口大小不相同．故选C.
11．已知二次函数y＝ax2的图象经过点(1，3)．
(1)求a的值；
(2)当x＝3时，求y的值；
解：∵二次函数y＝ax2的图象经过点(1，3)，∴a×12＝3，∴a＝3.
把x＝3代入y＝3x2，得y＝3×32＝27.
(3)写出此二次函数的三条性质．
解：①二次函数的图象开口向上；
②对称轴是y轴；
③当x＞0时，y随x的增大而增大．(答案不唯一)
12．【中考·岳阳】在同一直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝
(x＞0)的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A(x1，m)，B(x2，m)，C(x3，m)，其中m为常数，令ω＝x1＋x2＋x3，则ω的值为( )
【点拨】设点A，B在二次函数y＝x2的图象上，点C在反比例函数y＝
(x＞0)的图象上．因为A，B两点的纵坐标相同，则A，B关于y轴对称，则x1＋x2＝0，因为点C(x3，m)在反比例函数的图象上，则x3＝
，所以ω＝x1＋x2＋x3＝x3＝
.
【答案】D
【答案】0＜m＜2
14．【2021·钦州期末】如图，点A1，A2，A3，…，An在抛物线y＝x2上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn都是等腰直角三角形，则△A2
022B2
021B2
022的腰长为__________．
【点拨】过点A1作A1C⊥y轴于C，A1D⊥x轴于D，过点A2作A2E⊥y轴于E，A2F⊥x轴于F，过点B1作B1N⊥A2F于N.
∵△A1OB1，△A2B1B2都是等腰直角三角形，
∴B1C＝OC＝DO＝A1D，B2E＝B1E＝A2E＝A2N.
设DO＝a，则A1(a，a)，
将其代入y＝x2，得a＝a2，
解得a＝0(不合题意，舍去)或a＝1.
∴B1O＝2，由勾股定理得A1O＝
.
设点A2(m，n)，易得A2N＝n－2，∴B1N＝m＝n－2，
又点A2在抛物线y＝x2上，∴n＝m2，即m＋2＝m2，
解得m＝2或m＝－1(不合题意，舍去)，
15．已知二次函数y＝ax2的图象经过点A(2，1)．
(1)求这个函数的表达式；
点B的坐标为(－2，1)
(2)写出图象上点A关于y轴对称的点B的坐标；
(3)求△OAB的面积；
(4)图象上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．
设C点的坐标为(m，n)，则n≥0.
16．已知点A(2，a)在二次函数y＝x2的图象上．
(1)求点A的坐标；
解：∵点A(2，a)在二次函数y＝x2的图象上，
∴a＝22＝4，
∴点A的坐标为(2，4)．
(2)在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
当以P为顶角的顶点时，OP′＝AP′.
在Rt△AEP′中，AE2＋P′E2＝AP′2.
设AP′＝m，则42＋(m－2)2＝m2，解得m＝5，
∴点P′的坐标为(5，0)．
综上所述，使△OAP是等腰三角形的点P的坐标为(－2
，0)或(2
，0)或(4，0)或(5，0)．(共35张PPT)
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九年级下
1.5 二次函数的应用
第2课时 几何中的最值问题与最大利润
第1章 二次函数
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新知笔记
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见习题
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300
见习题
1.几何图形中的二次函数问题常见的有几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
2．利用二次函数解决最大利润、最大销量等问题的关键是通过题意，确定出二次函数的表达式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围．
1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6
cm，BC＝12
cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1
cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以2
cm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，要使四边形APQC的面积最小，经过的时间是( )
A．1
s
B．2
s
C．3
s
D．4
s
【点拨】设P，Q同时出发后经过的时间为t
s(0cm2，则有S＝S△ABC－S△PBQ＝
×12×6－
(6－t)×2t＝t2－6t＋36＝(t－3)2＋27(0【答案】C
2．【中考·宿迁】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6
cm，BC＝2
cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1
cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是( )
A．20
cm
B．18
cm
C．2
cm
D．3
cm
C
3．【中考·沈阳】如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900
m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝__________m时，矩形土地ABCD的面积最大．
150
【点拨】设AB＝x
m(0(900－3x)m，由题意可得，S＝AB×BC＝x×
(900－3x)＝－
(x2－300x)＝－
(x－150)2＋33
750.∴当x＝150时，S取得最大值，此时，S＝33
750，∴AB＝150
m.
4．某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x(元)与商品的销售量y(件)满足当x＝130时，y＝70，当x＝150时，y＝50，且y是x的一次函数，为了获得最大利润S(元)，每件商品的售价应定为( )
A．160元
B．180元
C．140元
D．200元
【点拨】根据题意设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将(130，70)，(150，50)代入，
∴一次函数的表达式为y＝－x＋200.由题意，得S＝(x－120)y＝－x2＋320x－24
000＝－(x－160)2＋1
600，∴当每件商品的售价定为160元时，获得最大利润．
【答案】A
5．【教材改编题】某商场销售一批文具，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经过调查发现，销售单价每降低5元，每天可多售出10件，下列说法错误的是( )
A．当销售单价降低15元时，每天获得的利润最大
B．每天获得的利润最大为1
250元
C．若每天的利润为1
050元，则销售单价降低5元
D．若销售单价降低10元，则每天的利润为1
200元
C
6．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为每件50元的商品，每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数表达式为y＝－4x＋440，要获得最大利润，该商品的销售单价应定为( )
A．60元
B．70元
C．80元
D．90元
【点拨】设销售该商品每月所获总利润为w元，
则w＝(x－50)(－4x＋440)＝－4x2＋640x－22
000＝－4(x－80)2＋3
600，∴当x＝80时，w取得最大值，最大值为3
600，即销售单价为80元时，销售该商品所获利润最大．
【答案】C
7.
(易错题)便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1
558，由于某种原因，每件销售价的取值范围为15≤x≤19，那么一周可获得的最大利润是( )
A．1
508元
B．1
556元
C．1
558元
D．1
560元
【点拨】∵－2＜0，∴当x＜20时，y随x的增大而增大，∵15≤x≤19，∴当x＝19时，y取得最大值，最大利润为－2×(19－20)2＋1
558＝1
556(元)．本题的易错点是忽略每件销售价的取值范围为15≤x≤19，误取当x＝20时得出最大利润，为1
558元，错选C.
【答案】B
8．【中考·贺州】某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，每天可卖出(30－x)件，若使利润最大，则每件商品的售价应为________元．
【点拨】设利润为w元，则w＝(x－20)(30－x)＝－(x－25)2＋25，∵20≤x≤30，∴当x＝25时，利润最大．
25
9．超市的小王对该超市苹果的销售进行了统计，进价为2元/千克的某品种的苹果每天的销售量y(千克)和当天的售价x(元/千克)之间满足y＝－20x＋200(3≤x≤5)，若要使该品种苹果当天的利润达到最高，则其售价应为__________元/千克．[利润＝销售量×(售价－进价)]
【点拨】设销售这种苹果每天所获得的利润为w元．
则w＝(x－2)(－20x＋200)＝－20x2＋240x－400＝－20(x－6)2＋320，∴当x＜6时，w随x的增大而增大．∵3≤x≤5，∴当x＝5时，w取得最大值，即该品种苹果当天的利润达到最高．
【答案】5
10．某旅馆开设了100张床位接待游客住宿，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少10张床位租出，如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是( )
A．140元
B．150元
C．160元
D．180元
【答案】C
【点拨】设每张床位每天的收费提高x个20元，每天收入为y元．则有y＝(100＋20x)(100－10x)＝－200x2＋1
000x＋10
000.当x＝－
＝2.5时，可使y有最大值．
因为x为整数，所以为使租出的床位少且租金高，应取x＝3，即每张床位每天应收费：100＋3×20＝160(元)．
11．如图，在一个直角三角形铁片的内部切割一个矩形零件ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，C点在斜边上，设矩形零件的一边AB＝x
m，矩形零件的面积为y
m2，则y的最大值为________．
【答案】300
12．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，当销售单价是________元时，每天获利最多．
【点拨】设销售单价降低x元，每天获利y元．根据题意得y＝(100－50－x)(
50＋5x)＝－5x2＋200x＋2
500＝－5(x－20)2＋4
500，∵－5＜0，∴当x＝20时，y有最大值，100－x＝80，80＞50，∴当销售单价是80元时，每天获利最多．
【答案】80
13.【2021·长沙开福区校级月考】某网店专售一品牌牙膏，其成本为22元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y(支)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，当售价为30元时销售量为100支，售价为35元时销售量为50支．
(1)请求出y与x之间的函数关系式．
解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵当售价为30元时销售量为100支，售价为35元时销售量为50支，
∴y＝－10x＋400.
(2)该品牌牙膏销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：设每天销售利润为w元，由题意得w＝(x－22)(－10x＋400)＝－10x2＋620x－8
800＝－10(x－31)2＋810，
∴当x＝31时，w有最大值，最大值为810元．
∴当该品牌牙膏销售单价定为31元时，每天的销售利润最大，最大利润是810元．
(3)该网店店主决定从每天获得的利润中抽出100元捐给希望工程，为了保证捐款后每天剩余的利润不低于350元，请你给该网店店主提供一个合理化的销售单价范围．
解：由(2)得w＝－10x2＋620x－8
800，
∴从每天获得的利润中抽出100元捐给希望工程且每天剩余的利润等于350元时，有－10x2＋620x－8
800－100＝350，
整理得x2－62x＋925＝0，解得x1＝25，x2＝37.
∵w是关于x的二次函数，二次项系数为负数，
∴当25≤x≤37时，捐款后每天剩余的利润不低于350元，
∴销售单价范围为25≤x≤37.
14．大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，该种饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元，每月要少卖10件；售价每下降1元，每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将该种饰品售价调整为每件(60＋x)元(x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降)，每月该种饰品的销量为y(件)，月利润为w(元)．
(1)直接写出y与x之间的函数表达式．
(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求出最大月利润．
由题意可知x应取整数，且当x＝－2或x＝－3时，w＜6
125＜6
250，∴当x＝5时，月利润最大.60＋x＝65.
故当销售价格为每件65元时，月利润最大，最大月利润为6
250元．
(3)为了使月利润不少于6
000元，应如何控制销售价格？
解：由题意，得w≥6
000.
将w＝6
000代入当－20≤x＜0时对应的二次函数表达式，即6
000＝－20
＋6
125，
解得x1＝－5，x2＝0，
将w＝6
000代入当0≤x≤30时对应的二次函数表达式，即6
000＝－10(x－5)2＋6
250，
解得x3＝0，x4＝10，
综上可得，－5≤x≤10，
故将销售价格控制在每件55元到70元之间(含55元和70元)，才能使月利润不少于6
000元．(共30张PPT)
全章整合与提升
第1章 二次函数
湘教版
九年级下
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1
2
3
4
B
C
D
5
B
D
6
7
8
9
见习题
A
D
10
C
见习题
11
12
13
14
－2
见习题
答案显示
15
见习题
D
k≤1
16
见习题
1．若y＝(a＋4)x|a|－2＋5x－8是二次函数，则a的值为( )
A．－4
B．4
C．±4
D．±2
【点拨】∵y＝(a＋4)x|a|－2＋5x－8是二次函数，∴|a|－2＝2且a＋4≠0，解得a＝4.
B
2．对于二次函数y＝－(x＋1)(x－1)的二次项系数a，一次项系数b，常数项c描述正确的是( )
A．a＝－1，b＝－1，c＝0
B．a＝－1，b＝0，c＝1
C．a＝－1，b＝0，c＝－1
D．a＝1，b＝0，c＝－1
B
3．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx－2k和二次函数y＝－kx2＋2x－4(k是常数且k≠0)的图象可能是( )
C
A B C
D
4．关于二次函数y＝－(x＋3)2＋2的图象，下列说法错误的是( )
A．图象开口向下
B．抛物线的对称轴是直线x＝－3
C．抛物线的顶点坐标是(－3，2)
D．图象与y轴的交点坐标是(0，2)
D
5．已知点A(－2，a)，B(2，b)，C(4，c)是抛物线y＝x2－4x上的三点，则a，b，c的大小关系为( )
A．b＞c＞a
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b
D
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，在对称轴左边函数值y随自变量x的增大而减小？
解：∵在对称轴左边函数值y随自变量x的增大而减小，
∴函数图象的开口向上，
∴m＋3>0.
∴m>－3.
∴m＝1.
∴当m＝1时，在对称轴左边函数值y随自变量x的增大而减小．
(3)当m为何值时，该函数有最大值？
解：∵函数有最大值，
∴m＋3<0，
∴m<－3.
∴m＝－5.
∴当m＝－5时，该函数有最大值．
7．【2021·张家界永定区校级期末】抛物线y＝
(x－3)2＋5先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线是( )
A
8．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝x2＋(3－m)x经过点A(－2，0)．
(1)将抛物线C沿直线y＝1翻折，得到抛物线C1，求抛物线C1的顶点坐标；
解：将点A的坐标代入抛物线C的表达式，得0＝4＋(3－m)·(－2)，解得m＝1.
故抛物线C的表达式为y＝x2＋2x.
∴抛物线C的顶点坐标为(－1，－1)．
∴抛物线C1的顶点坐标为(－1，3)．
(2)将抛物线C沿直线y＝n(n>0)翻折，得到抛物线C2，设C与C2的交点记为点M，点N，抛物线C的顶点记为F，抛物线C2的顶点记为E，若在四边形MFNE中，∠MFN＝60°，求抛物线C2的表达式．
解：如图，连接EF交MN于点G.
∵∠MFN＝60°，∴△MNF为等边三角形，
设边长为2a，则GF＝
a，GN＝a，
∵点F的坐标为(－1，－1)，∴点E的坐标为(－1，2n＋1)，
将点N的坐标代入抛物线C：y＝x2＋2x，解得n＝2(负值舍去)．
故点E的坐标为(－1，5)，
则抛物线C2的表达式为y＝－(x＋1)2＋5＝－x2－2x＋4.
9．【2021·凉山州】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中不正确的是( )
A．abc＞0
B．函数的最大值为a－b＋c
C．当－3≤x≤1时，y≥0
D．4a－2b＋c＜0
D
10．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解的范围是( )
C
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
A
．
3B．3.23C．3.24D．3.25
11．已知二次函数y＝x2－2x＋k的图象与x轴有交点，则k的取值范围是________．
k≤1
【点拨】由二次函数y＝ax2＋2ax－3的表达式，得其图象的对称轴是直线x＝－1，∵x1与x2关于对称轴对称，x1＝1.3，∴x2＝－3.3.
12．已知二次函数y＝ax2＋2ax－3的部分图象如图，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋2ax－3＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝( )
A．－1.3
B．－2.3
C．－0.3
D．－3.3
D
13．数学兴趣小组几名同学到某商店调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售，平均每天销售30箱，价格每降低1元，平均每天可多销售3箱．
(1)现该商店要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价应为多少元？
解：设每箱售价为x元，根据题意得(x－40)[30＋3(70－x)]＝900，
化简得x2－120x＋3
500＝0，
解得x1＝50，x2＝70.
要使顾客得到实惠，则x＝50.
答：每箱售价应为50元．
(2)若每天盈利w元，当每箱售价为多少元时，每天盈利最多？
解：由(1)可知w＝(x－40)[30＋3(70－x)]＝－3x2＋360x－9
600＝－3(x－60)2＋1
200，
当x＝60时，w取得最大值．
答：当每箱售价为60元时，每天盈利最多．
14．如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2－5x＋4－a2的图象，则a的值是________．
【点拨】由题图知，二次函数y＝ax2－5x＋4－a2的图象经过原点(0，0)，∴0＝4－a2，解得a＝±2.又∵该函数图象的开口方向向下，∴a＜0，∴a＝－2.
－2
15．已知抛物线y＝x2＋kx＋k－2与直线y＝x.
求证：抛物线和直线总有交点．
证明：根据题意，联立得方程组
把y＝x代入y＝x2＋kx＋k－2，得
x2＋kx＋k－2＝x，
化简，得x2＋(k－1)x＋k－2＝0，
∵Δ＝(k－1)2－4×1×(k－2)＝k2－6k＋9＝(k－3)2≥0，
∴x2＋(k－1)x＋k－2＝0总有实数根，
16．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)，B(4，0)，交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式．
(2)点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D，使S△ABC＝S△ABD？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(共35张PPT)
1.2 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
第1章 二次函数
湘教版
九年级下
1
2
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新知笔记
1
2
3
4
B
A
5
D
x＝h；(h，0)
A
3
(1)> (2)<
6
7
8
9
D
x＝－2
A
10
＜；－5；0
11
12
13
14
＞
答案显示
B
15
见习题
B
C
16
见习题
见习题
17
见习题
1．二次函数y＝a(x－h)2的图象是抛物线，它的对称轴是直线________，它的顶点坐标是________．
x＝h
(h，0)
2．抛物线y＝ax2向左平移h个单位(其中h＞0)，得到的抛物线的表达式为y＝a(x＋h)2；抛物线y＝ax2向右平移h个单位(其中h＞0)，得到的抛物线的表达式为y＝a(x－h)2.
3．(1)当a______0时，抛物线y＝a(x－h)2开口向上，若x＜h(即在对称轴左侧)，则函数值y随x的增大而减小；若x＞h(即在对称轴右侧)，则函数值y随x的增大而增大．
(2)当a______0时，抛物线y＝a(x－h)2开口向下，若x＜h(即在对称轴左侧)，则函数值y随x的增大而增大；若x＞h(即在对称轴右侧)，则函数值y随x的增大而减小．
<
>
1．【中考·百色】把抛物线y＝－
x2向右平移2个单位，则平移后所得抛物线的表达式为( )
D
2．要得到函数y＝2x2的图象，将二次函数y＝2(x－3)2的图象( )
A．向右平移3个单位
B．向左平移3个单位
C．向右平移2个单位
D．向左平移2个单位
B
3．将抛物线y＝(x－1)2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为( )
A．y＝(x＋1)2
B．y＝(x－3)2
C．y＝(x－1)2＋2
D．y＝(x－1)2－2
A
5．二次函数y＝－(x－4)2的图象的顶点坐标是( )
A．(4，0)
B．(－4，0)
C．(0，4)
D．(0，－4)
A
6．【中考·沈阳】在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是( )
D
7．【2021·防城港期末】将抛物线y＝2x2向左平移2个单位，所得抛物线的对称轴是直线__________．
x＝－2
8．点(5，4)在抛物线y＝a(x－2)2上，则下列的点也一定在该抛物线上的是( )
A．(－5，4)
B．(－1，4)
C．(－9，4)
D．(1，4)
B
9．【岳阳平江模拟】点(－2，y1)，(－3，y2)是抛物线y＝－(x＋1)2上的点，则y1，y2的大小关系为( )
A．y1＞y2
B．y1＜y2
C．y1＝y2
D．无法确定
A
【点拨】∵二次函数的表达式为y＝－(x＋1)2，∴该抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－1，∴当x＜－1时，y随x的增大而增大，∵－1＞－2＞－3，∴y1＞y2.
10．如果二次函数y＝a(x＋5)2有最大值，那么a______0，当x＝________时，函数有最大值，最大值是_______．
＜
【点拨】如果二次函数y＝a(x＋5)2有最大值，则图象开口向下，那么a＜0，当x＝－5时，函数有最大值，最大值是0.
－5
0
11．顶点为(－5，0)，与函数y＝－3x2的图象的开口方向、形状相同的抛物线是( )
A．y＝3(x－5)2
B．y＝－3(x－5)2
C．y＝－3(x＋5)2
D．y＝3(x＋5)2
C
12．【2021·河池南丹期中】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致为( )
B
13．若点A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y＝(a2＋1)(x－5)2上的两点，当x1＜x2＜5时，则y1______y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
＞
14．在如图所示的坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的大致图象．
(1)指出函数y2＝2(x－2)2，y3＝2(x＋2)2的图象的顶点坐标与对称轴；
解：如图．
函数y2＝2(x－2)2的图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，0)．
函数y3＝2(x＋2)2的图象的对称轴为直线x＝－2，顶点坐标为(－2，0)．
(2)说明y2＝2(x－2)2，y3＝2(x＋2)2的图象与y1＝2x2的图象的关系．
解：y2＝2(x－2)2的图象由y1＝2x2的图象向右平移2个单位得到．
y3＝2(x＋2)2的图象由y1＝2x2的图象向左平移2个单位得到．
15.抛物线y＝a(x－2)2经过点(1，－1)．
(1)确定a的值；
解：把(1，－1)代入y＝a(x－2)2，得a·(1－2)2＝－1,
解得a＝－1.
(2)求出该抛物线与坐标轴的交点坐标．
解：由(1)可知抛物线的表达式为y＝－(x－2)2.
当y＝0时，－(x－2)2＝0，
解得x1＝x2＝2，
所以抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)．
当x＝0时，y＝－4，
所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，－4)．
16．如图，已知直线l经过A(4，0)和B(0，4)两点，抛物线y＝a(x－h)2的顶点为P(1，0)，直线l与抛物线的交点为M，连接PM.
(1)求直线l的表达式；
解：设直线l的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
将A(4，0)，B(0，4)的坐标分别代入y＝kx＋b(k≠0)，
∴直线l的表达式为y＝－x＋4.
(2)若S△AMP＝3，求抛物线的表达式．
解：设点M的坐标为(m，n)，
∵S△AMP＝3，∴
×(4－1)×n＝3，解得n＝2，
把M(m，2)代入y＝－x＋4，得m＝2，
∴点M的坐标是(2，2)．
∵抛物线y＝a(x－h)2的顶点为P(1，0)，∴y＝a(x－1)2，
把M(2，2)的坐标代入y＝a(x－1)2，得2＝a·(2－1)2，
解得a＝2，∴抛物线的表达式为y＝2(x－1)2.
17．已知抛物线y＝(x－3)2与直线y＝x＋3交于A，B两点(点A在点B的左侧)，抛物线的顶点为C，直线y＝x＋3与x轴交于点D.
(1)求抛物线的顶点C的坐标及A，B两点的坐标；
(2)将抛物线y＝(x－3)2向上平移1个单位，再向左平移t(t＞0)个单位得到新抛物线，若新抛物线的顶点E在△DAC内，求t的取值范围；
解：由题意可知：新抛物线的顶点坐标为(3－t，1)，
设直线AC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)．
将(1，4)，(3，0)代入y＝kx＋b中，
(3)点P(m，n)(－3＜m＜1)是抛物线y＝(x－3)2上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求m，n的值．
解：如图，设直线AB与y轴交于点F，连接CF，
过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥x轴于点N，交DB于点G，
由直线y＝x＋3与x轴交于点D，与y轴交于点F，
得点D的坐标是(－3，0)，点F的坐标是(0，3)．
∴OD＝OF＝3.
又∵∠FOD＝90°，∴∠OFD＝∠ODF＝45°.
∵OC＝OF＝3，∠FOC＝90°，
∴CF＝
∠OFC＝∠OCF＝45°.
∴∠DFC＝∠DFO＋∠OFC＝45°＋45°＝90°.
∴CF⊥AB.
∵△PAB的面积是△ABC面积的2倍，∴
AB·PM＝2×
AB·CF.(共23张PPT)
1.5 二次函数的应用
第1课时 建立二次函数模型与抛物线路径问题
第1章 二次函数
湘教版
九年级下
1
2
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新知笔记
1
2
3
4
C
5
B
3.4
3
6
7
8
9
A
见习题
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见习题
见习题
1．构建二次函数模型解决抛物线形状的隧道、拱桥和拱门等实际问题时，要从实际问题中抽象出二次函数关系，并合理建立平面直角坐标系，通过函数表达式解决问题．
2．建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤：
实际问题→建立二次函数模型→利用二次函数的图象和性质求解→实际问题的解
1．【中考·山西】北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连．最高的钢拱如图所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即
AB＝90米)，以最高点O为坐标原点，
以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线形钢拱的函数表达式为( )
B
2．【中考·绵阳】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2
m时，水面宽4
m，水面下降2
m，水面宽度增加__________m.
3．【2021·白银期末】中国贵州省省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到AB的距离是100米，若按如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式是__________________．
4．如图是某学校教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其表达式为y＝－(x－2)2＋6，则水柱的最大高度是( )
A．2
m
B．4
m
C．6
m
D．(2＋
)m
C
5．【2021·长春宽城区一模】如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)运动的路线是抛物线y＝－
x2＋bx＋1的一部分，跳起的演员在距点A所在y轴2.5米时身体离地面最高，若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为________米．
3.4
6．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4
m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5
m时，达到最大高度3.5
m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05
m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )
A．此抛物线的表达式是y＝－
x2＋3.5
B．篮圈中心的坐标是(4，3.05)
C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)
D．篮球出手时离地面的高度是2
m
【点拨】由题图可知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，故B选项错误；
∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，
∴可设抛物线的表达式为y＝ax2＋3.5.∵(1.5，3.05)在抛物线上，∴3.05＝a×1.52＋3.5.解得a＝－
.∴y＝－
x2＋3.5.故A选项正确，C选项错误；设篮球出手时离地面h
m，由题意得h＝－
×(－2.5)2＋3.5＝2.25，∴篮球出手时离地面2.25
m，故D选项错误．
【答案】A
7．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，最低点离地面0.5米，小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，求小明的身高．
解：如图，建立平面直角坐标系．
设抛物线的表达式为y＝ax2＋c，
由题意得抛物线过点(0，0.5)，(1，2.5)．
∴该抛物线的表达式为y＝2x2＋0.5，
当x＝－1＋0.5＝－0.5时，y＝2×(－0.5)2＋0.5＝1.
∴小明的身高为1米．
8.【2021·长沙模拟】为构建“魅力雨花，和谐雨花，人文雨花”，规划在圭塘河上修建一座观光人行桥，此工程由桥梁工程与桥上拱形工程组成，桥上拱形工程包含三组完全相同的拱形桥，观光人行桥的正视图如图所示，已知桥面上三组拱形桥都为相同的抛物线y＝－
(x－k)2＋t的一部分，拱高(抛物线最高点到桥面的距离)为16米，三条抛物线依次与桥面AB相交于点A，C，D，B.
(1)求桥长AB；
解：如图，以线段AC的垂直平分线为y轴，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则抛物线AC的顶点坐标为(0，16)，
∴抛物线AC的表达式为y＝－
x2＋16，
当y＝0时，－
x2＋16＝0，解得x1＝16，x2＝－16，
∴点A的坐标为(－16，0)，点C的坐标为(16，0)，
∴AC＝16－(－16)＝32(米)，∴AB＝3AC＝96米，
即桥长AB为96米．
(2)已知一组拱形桥的造价为a万元，桥面每米的平均造价为b万元．若一组拱形桥的造价为整个桥面造价的
，这座观光桥的总造价为504万元，求a，b的值．
9．【中考·青岛】如图，隧道的截面由一段抛物线和长方形构成，长方形的长是12
m，宽是4
m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－
x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3
m，到地面OA的距离为
m.
(1)求该抛物线的表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离．
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6
m，宽为4
m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8
m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？(共30张PPT)
专题技能训练(一)
训练2 二次函数的图象与几何图形的综合运用
第1章 二次函数
湘教版
九年级下
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1
2
3
4
B
见习题
3
5
A
15
6
7
8
9
－2
见习题
C
10
D
11
答案显示
见习题
1．【中考·辽阳】如图，抛物线y＝x2－2x－3与y轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为( )
【点拨】令x＝0，则y＝－3，∴点C的坐标为(0，－3)．
∵点D的坐标为(0，－1)，∴线段CD中点的纵坐标为－2.
∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，∴点P的纵坐标为－2，
【答案】A
2．【2021·无为月考】如图，抛物线y＝ax2与Rt△AOB的直角边AB相交于点P(
，2)，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，点C恰好落在抛物线上，则点C的坐标是( )
A．(－2，2)
B．(－2，4)
C．(－
，2)
D．(－
，4)
B
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象与x轴交于A(－4，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的表达式；
解：根据题意，该二次函数的表达式可设为y＝a(x＋4)(x－1)，即y＝ax2＋3ax－4a，
∴－4a＝2，
(2)连接AC，BC，判断△ABC的形状，并证明．
解：△ABC为直角三角形．证明如下：
当x＝0时，y＝－
x2－
x＋2＝2，则点C的坐标为(0，2)，
∵点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(1，0)，
∴AC2＝42＋22＝20，BC2＝12＋22＝5，AB2＝52＝25，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋4上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为__________．
【点拨】y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，则抛物线的顶点坐标为(1，3)，∴当点A在抛物线的顶点时，AC最小，最小值为3.∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴对角线BD的最小值为3.
【答案】3
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4，3)，D是抛物线y＝－x2＋6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值是__________．
【答案】15
【点拨】∵D是抛物线y＝－x2＋6x上一点，
∴设D点坐标为(m，－m2＋6m)．
∵顶点C(4，3)，∴OC＝
＝5.
∵四边形OABC是菱形，∴BC＝OC＝5，BC∥x轴，
6．【中考·湖州】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2(a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是__________．
【答案】－2
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，它的顶点为D(1，－4)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设F为抛物线对称轴上一点，纵坐标为m，求BF的长l与m之间的函数表达式(不要求写出自变量m的取值范围)；
解：令y＝0，得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
即点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)．
设对称轴与x轴交于C点．
由题意知点F的坐标为(1，m)，易知FC＝|m|，BC＝2，
解：存在．①若以O，B，F，G为顶点的四边形是以OB为边的平行四边形，
设F(1，y0)，则点G的坐标为(x0，y0)．
又∵FG＝|x0－1|，OB＝3，FG＝OB，
∴|x0－1|＝3，解得x0＝－2或4，∴点G的坐标为(－2，5)或(4，5)；
(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点G，使以O，B，F，G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
②若以O，B，F，G为顶点的四边形是以OB为对角线的平行四边形，过点G作GE⊥OB于点E，
∴∠FCO＝∠GEB＝90°.
∵四边形OFBG为平行四边形，
∴OF∥BG，且OF＝BG，∴∠FOC＝∠GBE，
在△FOC和△GBE中，
∴△FOC≌△GBE，
∴OC＝BE＝1，
∴OE＝2，
当x＝2时，y＝－3，
即点G的坐标为(2，－3)，
综上，点G的坐标为(－2，5)或(4，5)或(2，－3)．
8．【2021·宁波模拟】如图，点A
，点C在抛物线y＝2x2上，且点C在第二象限，过点A作y轴的垂线，垂足为B，连接BC，OC，若∠OCB＝90°，则点C的坐标为( )
【答案】D
9．如图，点A为x轴上一点，点B的坐标为(a，b)，以OA，AB为边构造 OABC，过点O，C，B的抛物线与x轴交于点D，连接CD，交边AB于点E，若AE＝BE，则点C的横坐标为( )
【点拨】∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA，设点C的坐标为(t，b)，则BC＝a－t.
∵BC∥AD，∴∠EBC＝∠EAD，
在△EBC和△EAD中，∵
∴△EBC≌△EAD，∴BC＝AD＝a－t，∴OA＝AD.
∴点A为OD的中点，∴抛物线的对称轴为直线x＝a－t，
∴a－t－t＝a－(a－t)，∴t＝
a.
【答案】C
10．如图，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，cos∠COH＝
，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y＝x2(x＞0)上，则点A的坐标为__________．
11．如图，直线y＝kx＋b与x轴、y轴分别相交于点A，B，与抛物线y＝x2相交于C，D，AC＝
，且sin∠OAB＝
，求该直线的表达式及点D的坐标．(共17张PPT)
1.1 二次函数
第1章 二次函数
湘教版
九年级下
1
2
二次多项式
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新知笔记
1
2
3
4
C
D
D
5
D
≠
B
3
所有实数
6
7
8
9
B
B
见习题
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C
1．如果函数的表达式是自变量的____________，
那么，这样的函数称为二次函数．
二次多项式
2．二次函数的一般形式是y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a____0)．其中x是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数、
一次项系数和常数项．
≠
3．二次函数的自变量的取值范围是______________．但在实际问题中，
它的自变量的取值范围会有一些限制．
所有实数
1．下列函数不是关于自变量x的二次函数的是( )
A．y＝x(1－x)
B．y＝(1－2x)(1＋2x)
C．y＝(a2＋1)x2－3x
D．y＝2x2－
【点拨】选项A，B中函数表达式整理后得到含x的二次多项式，它们是二次函数，选项C中a2＋1不等于0，也是关于x的二次多项式．本题的易错点是忽略选项D中表达式不是整式表达式，容易误判为二次函数．
D
2．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是( )
A．S是R的正比例函数
B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数
D．S是R的反比例函数
C
3．已知二次函数y＝2－3x＋x2，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为( )
A．a＝2，b＝－3，c＝1
B．a＝2，b＝3，c＝1
C．a＝1，b＝3，c＝2
D．a＝1，b＝－3，c＝2
D
4．二次函数y＝2x(x－3)的二次项系数与一次项系数的和为( )
A．2
B．－2
C．－1
D．－4
【点拨】y＝2x(x－3)＝2x2－6x，
所以二次项系数与一次项系数的和为2＋(－6)＝－4.
D
5．矩形的周长为24
cm，其中一边长为x
cm(x＞0)，面积为y
cm2，则y与x之间的函数表达式是( )
A．y＝x2
B．y＝x(12－x)
C．y＝12－x2
D．y＝2(12－x)
B
6．【2021·宜昌远安期末】共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是( )
A．y＝x2＋a
B．y＝a(1＋x)2
C．y＝(1－x)2＋a
D．y＝a(1－x)2
B
7．若函数y＝(a2＋a)
x|a|＋1＋2x＋m是关于x的二次函数，则a的值为( )
A．±1
B．1
C．－1
D．1或0
【点拨】根据题意，得|a|＋1＝2且a2＋a≠0，解得a＝1.
B
8．【教材改编题】一个矩形，长为20
cm，宽为10
cm，在四个角上各剪去一个边长为x
cm的小正方形，然后把四边折起来，折成底面积为y
cm2的无盖的长方体盒子，则y与x(0＜x＜5)的关系式为( )
A．y＝(10－x)(20－x)
B．y＝10×20－4x2
C．y＝(10－2x)(20－2x)
D．y＝10×20＋4x2
【点拨】由题意知，无盖长方体盒子的底面是长为(20－2x)cm，宽为(10－2x)cm的矩形，故y＝(10－2x)·(20－2x)．
C
9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12
cm，BC＝24
cm，动点P从点A开始沿边AB向B以2
cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4
cm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，设运动的时间为x
s，四边形APQC的面积为y
cm2.
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)直接写出自变量x的取值范围；
解：0(3)四边形APQC的面积能否等于172
cm2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
不能．理由：当y＝172时，4x2－24x＋144＝172.
解得x1＝7，x2＝－1.
又∵0cm2.(共21张PPT)
专题技能训练(一)
训练1 二次函数的系数与函数图象的关系
第1章 二次函数
湘教版
九年级下
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1
2
3
4
D
B
B
5
A
D
6
7
8
9
C
D
B
10
D
A
11
12
答案显示
①③④
D
1．如图，已知a＜0，b＞0，c＜0，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
A
A B
C
D
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．a＞b＞c
B．c＞a＞b
C．c＞b＞a
D．b＞a＞c
【点拨】由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知a＞0，c＜0，－
＝－1.∴b＝2a，∴b＞a，∴b＞a＞c.
D
3．【中考·常德】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③4a＋b＝0；④4a－2b＋c＞0.其中正确结论的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
B
4．【中考·益阳】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．ac＜0
B．b＜0
C．b2－4ac＜0
D．a＋b＋c＜0
【点拨】∵抛物线开口向上，∴a＞0.
∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0，∴ac＞0，∴A错误；
∵－
＞0，a＞0，∴b＜0，∴B正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，∴C错误；
当x＝1时，y＞0，∴a＋b＋c＞0，∴D错误．
【答案】B
5．【中考·沈阳】已知函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．abc<0
B．b2－4ac<0
C．a－b＋c<0
D．2a＋b＝0
D
6．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－1，且过点(1，0)，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：
①
ab＞0且c＜0；②
4a－2b＋c＞0；③
8a＋c＞0；④
c＝3a－3b；⑤一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1，x2＝－3；⑥直线y＝2x＋2与抛物线y＝ax2＋bx＋c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＋x1x2＝5.
其中正确的有( )
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
C
7．【2021·泸州】直线l过点(0，4)且与y轴垂直，若二次函数y＝(x－a)2＋(x－2a)2＋(x－3a)2－2a2＋a(其中x是自变量)的图象与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是( )
A．a＞4
B．a＞0
C．0＜a≤4
D．0＜a＜4
【点拨】∵直线l过点(0，4)且与y轴垂直，
∴直线l的表达式为y＝4.
整理得3x2－12ax＋12a2＋a－4＝0，
∵二次函数y＝(x－a)2＋(x－2a)2＋(x－3a)2－2a2＋a的图象与直线l有两个不同的交点，
∴Δ＝(－12a)2－4×3(12a2＋a－4)＝－12a＋48＞0，∴a＜4.
【答案】D
又∵二次函数y＝(x－a)2＋(x－2a)2＋(x－3a)2－2a2＋a＝3x2－12ax＋12a2＋a的图象的对称轴在y轴右侧，
∴－
＝2a＞0，
∴a＞0，∴0＜a＜4.故选D.
8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与y轴的一个交点坐标为(0，3)，其部分图象如图所示，下列结论：
①
abc＜0；②
4a＋c＞0；
③方程ax2＋bx＋c＝3的两个根是x1＝0，x2＝2；
④方程ax2＋bx＋c＝0有一个实根大于2；
⑤当x＜0时，y随x的增大而增大．
其中结论正确的有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
A
9．【中考·绥化】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一部分如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x＝1.
下列结论：①
abc＞0；②
2a＋b＝0；
③方程ax2＋bx＋c＝3有两个不相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－2，0)；
⑤若点A(m，n)在该抛物线上，则am2＋bm＋c≤a＋b＋c.
其中正确的有( )
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【点拨】①由题意可知a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0.故①错误；
②∵－
＝1，∴b＝－2a，∴2a＋b＝0.故②正确；
③由题图知，直线y＝3与抛物线有两个交点，∴方程ax2＋bx＋c＝3有两个不相等的实数根．故③正确；
④∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－2，0)．故④正确；
⑤∵抛物线的对称轴是直线x＝1，且开口向下，
∴y的最大值是a＋b＋c.
∵点A(m，n)在该抛物线上，
∴am2＋bm＋c≤a＋b＋c，故⑤正确．
【答案】B
10．【2021·常德模拟】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②a＋c＞b；③a＋b＋c＞0；④2a－b＞0；⑤9a－3b＋c＜0.其中正确的有( )
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
D
11．【2021·长沙开福区月考】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是( )
A．－1＜x＜5
B．x＞5
C．x＜－1且x＞5
D．x＜－1或x＞5
D
12．【中考·贺州】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法：①
abc＜0；②
a－b＋c＜0；③3a＋c＝0；④当－1＜x＜3时，y＞0.
其中正确的是______________．(填写序号)
【点拨】根据图象可得a＜0，c＞0，－
＝1，∴b＝－2a，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；把x＝－1代入函数表达式y＝ax2＋bx＋c中，得y＝a－b＋c，由抛物线的对称轴是直线x＝1，且过点(3，0)，可得当x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0，故②错误；∵b＝－2a，∴a－(－2a)＋c＝0，即3a＋c＝0，故③正确；由图象可以直接看出④正确．
【答案】①③④
