(共28张PPT)
2.6 弧长与扇形面积
第1课时 弧长的计算
第2章 圆
湘教版
九年级下
1
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新知笔记
1
2
3
4
C
D
C
5
B
6
7
8
9
6
110
D
10
6π
11
12
13
14
见习题
见习题
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A
15
见习题
半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l＝______________＝__________．
1．【中考·盘锦】如图，一段公路的转弯处是一段圆弧(
)，则
的展直长度为( )
A．3π
m
B．6π
m
C．9π
m
D．12π
m
B
2．【中考·温州】若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为( )
A.
π
B．2π
C．3π
D．6π
C
3．【中考·黄石】如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则
的长为( )
D
4．【中考·泰安】如图，将⊙O沿弦AB折叠，
恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则
的长为( )
A.
π
B．π
C．2π
D．3π
C
【点拨】如图，连接OA，OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC＝
OA，∴∠OAC＝30°.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，
∴
5．【2021·宁德模拟】已知△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，分别以B，C为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，E，再以DE长为直径向下作半圆，得到如图所示的阴影图形，则该阴影图形的周长是__________．(结果保留π)
6．【中考·天门】75°的圆心角所对的弧长是2.5π
cm，则此弧所在圆的半径是________cm.
6
7．一个扇形的弧长是11π
cm，半径是18
cm，则此扇形的圆心角是________度．
110
【点拨】设扇形的圆心角为n度，则
＝11π，解得n＝110.
A
9．【中考·淄博】如图，⊙O的直径AB＝6，若∠BAC＝50°，则劣弧AC的长为( )
【点拨】连接CO，∵AB＝6，∴AO＝CO＝3.
∵∠BAC＝50°，∴∠ACO＝∠BAC＝50°，∴∠AOC＝80°，
∴劣弧AC的长为
D
10．【中考·泰州】如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形的边长为6
cm，则该莱洛三角形的周长为________cm.
6π
11．【2021·青岛二模】如图，在扇形OBC中，∠BOC＝60°，点D为
的中点，点E为半径OB上的动点，若OB＝3，则阴影部分周长的最小值为____________．
【点拨】如图，连接OD，作点D关于OB的对称点D′，
连接D′C交OB于点E′，连接E′D，OD′，
此时E′C＋E′D的长度最小，最小值为CD′的长．
由题意得∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，
12．【教材改编题】如图，一块边长为6
cm的等边三角形木板ABC在水平桌面上绕C点按顺时针方向旋转到△A′B′C的位置，则边AB的中点D的运动路径的长是________cm.
13.
(易错题)如图，王虎将一长为4
cm，宽为3
cm的矩形木板在桌面上按顺时针方向做无滑动的翻滚，木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，求点A从开始到结束所经过的路程为多少．
【点拨】本题的易错点是不能正确区分
两次旋转的旋转角与两段弧长的半径，导致出现计算一段弧长后直接乘2的错误发生．
14.【中考·长春】如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G.
(1)求证：△ABE≌△BCG；
证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∠ABF＋∠EBF＝90°，
∴∠EBF＝∠BAF，
在△ABE与△BCG中，
∴△ABE≌△BCG.
(2)若∠AEB＝55°，OA＝3，求
的长(结果保留π)．
解：连接OF.
∵∠ABE＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°－55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°.
∵OA＝3，
15．如图，等边三角形ABC的边长为1
cm，将线段AC绕点A顺时针旋转120°至AP1，形成扇形D1；将线段BP1绕点B顺时针旋转120°至BP2，形成扇形D2；将线段CP2绕点C顺时针旋转120°至CP3，形成扇形D3；将线段AP3绕点A顺时针旋转120°至AP4，形成扇形D4，…，设ln为扇形Dn的弧长(n＝1，2，3，…)，回答下列问题：
(1)通过计算，填写下表：
n
1
2
3
4
ln/cm
2π
(2)请你将上述表中反映的规律用式子表示出来；
(3)根据上表所反映的规律，试估计当n至少为何值时，扇形Dn的弧长能绕地球赤道一周(地球赤道半径约为6
400
km)．
解：依题意得
＝2π×640
000
000，
解得n＝1.92×109.
答：当n至少为1.92×109时，扇形Dn的弧长能绕地球赤道一周．(共35张PPT)
2.2 圆心角、圆周角
2.2.2 圆周角
第2课时 直径所对的圆周角及圆内接四边形的性质
第2章 圆
湘教版
九年级下
1
2
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新知笔记
1
2
3
4
C
A
C
5
A
外接
D
3
互补
直角；直径
6
7
8
9
B
见习题
B
10
C
11
12
13
14
16
D
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D
15
见习题
C
25°
16
见习题
1．直径所对的圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是________．
直角
直径
2．顺次连接圆周上四点得到的四边形叫作圆内接四边形，这个圆叫作四边形的________圆．
外接
3．圆内接四边形的对角________．圆内接四边形的外角等于与它相邻的内角的对角．
互补
1．【中考·阜新】如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是( )
A．25°
B．35°
C．15°
D．20°
A
2．【中考·葫芦岛】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB两侧的点，若∠D＝30°，则tan
∠ABC的值为( )
C
3．【中考·营口】如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是( )
A．20°
B．70°
C．30°
D．90°
A
4．【2021·长沙模拟】如图，AB为⊙O的弦，AB＝8，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是( )
A．4
B．5
C．4
D．5
C
5．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是( )
【答案】D
6．如图，某同学设计了一个测圆的直径的测量器，将标有刻度的尺子OA，OB在点O处钉在一起，并使它们保持垂直，在测圆的直径时，把点O靠在圆周上，读得刻度OE＝8
cm，OF＝6
cm，则圆的半径为( )
A．6
cm
B．5
cm
C．7
cm
D．4
cm
【答案】B
7．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°.
(1)求∠EBC的度数；
解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.
又∵∠BAC＝45°，
∴∠C＝∠ABC＝
(180°－∠BAC)＝67.5°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°－∠BAC＝45°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝67.5°－45°＝22.5°.
(2)求证：BD＝CD.
证明：连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
又∵AB＝AC，∴BD＝CD.
8．【中考·兰州】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝( )
A．110°
B．120°
C．135°
D．140°
D
9．【中考·苏州】如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是
上的点，若∠BOC＝40°，则∠D的度数为( )
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
【点拨】∵OB＝OC，∠BOC＝40°，
∴∠OBC＝∠OCB＝
∵四边形ABCD内接于半圆所在的⊙O，
∴∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－70°＝110°.
【答案】B
10．【中考·张家界】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为( )
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
C
【点拨】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°－∠BCD＝180°－120°＝60°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝120°.
11．【2021·长沙雨花区模拟】如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是
的中点，∠A＝50°，则∠CBD的度数为________．
25°
12．【2021·泰安】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为( )
【点拨】延长AD，BC交于点E.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，
∴∠ADC＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°.
在Rt△ABE中，AE＝2AB＝4，
在Rt△CDE中，DE＝
∴AD＝AE－DE＝4－
.
故选C.
【答案】C
13.
(易错题)如图，AB是⊙O的直径，OC是⊙O的半径，点D是上半圆AB上一动点(不与A，B重合)，连接AD，DC，DC交直径AB于点E，若∠AOC＝60°，则∠AED的范围是( )
A．0°＜∠AED＜180°
B．30°＜∠AED＜120°
C．60°＜∠AED＜120°
D．60°＜∠AED＜150°
【点拨】如图①，当点E在线段AO上时，连接BD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝30°，∴∠BDE＝60°.
∵∠AED＞∠BDE，∴∠AED＞60°.
如图②，当点E在线段OB上时，
∵∠AOC＝60°，∴∠ADE＝30°，∴∠DEB＞30°.
∵∠AED＋∠DEB＝180°，∴∠AED＜150°，
∴∠AED的范围是60°＜∠AED＜150°.
本题的易错点是忽略点E的位置分别在半径AO与BO上时∠AED的大小不同导致错误．
【答案】D
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF，ED，若∠EDC＝135°，CF＝2
，则AE2＋BE2的值为________．
【点拨】连接CE.∵四边形BCDE内接于⊙O，且∠EDC＝135°，∴∠EFC＝∠ABC＝180°－∠EDC＝45°.
∵∠ACB＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC.
又∵EF是⊙O的直径，∴∠EBF＝∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴∠BCF＝∠ACE.
∵四边形BECF是⊙O的内接四边形，
∴∠AEC＝∠BFC，∴△ACE≌△BCF.
∴AE＝BF.在Rt△ECF中，CF＝2
，∠EFC＝45°，
易得EF2＝16，∴AE2＋BE2＝BF2＋BE2＝EF2＝16.
【答案】16
15．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF.
(1)求证：∠E＝∠C；
证明：连接AD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
又∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.
∴AB＝AC.
∴∠B＝∠C.
又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；
解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＋∠E＝180°.
又∵∠AFD＋∠CFD＝180°，
∴∠CFD＝∠E＝55°.
又由(1)知∠E＝∠C＝55°，
∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.
解：连接OE，
∵∠CFD＝∠AED＝∠C，∴FD＝CD＝BD＝4.
在Rt△ABD中，cos
B＝
，BD＝4，∴AB＝6.
∵E是
的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE＝90°，AO＝OE＝3，∴AE＝3
.
16．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.
(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；
证明：∵∠DCE＝∠BCF，∠E＝∠F，∠ADC＝∠E＋∠DCE，∠ABC＝∠F＋∠BCF，
∴∠ADC＝∠ABC.
(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；
解：由(1)知∠ADC＝∠ABC.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°.
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ADF中，∠A＝90°－∠F＝90°－42°＝48°.
(3)若∠E＝30°，∠F＝40°，求∠A的度数；
解：连接EF，如图．
∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠BCD＋∠A＝180°，
又∵∠BCD＋∠ECD＝180°，∴∠ECD＝∠A.
∵∠ECD＝∠1＋∠2，∴∠A＝∠1＋∠2.
∵∠A＋∠1＋∠2＋∠AEB＋∠AFD＝180°，
∴2∠A＋30°＋40°＝180°，
∴∠A＝
×(180°－30°－40°)＝55°.
(4)若∠E＝α，∠F＝β，请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＋∠A＝180°.
又∵∠BCD＋∠ECD＝180°，∴∠ECD＝∠A.
∵∠ECD＝∠1＋∠2，∴∠A＝∠1＋∠2.
∵∠A＋∠1＋∠2＋∠DEC＋∠BFC＝180°，∠DEC＝α，∠BFC＝β，∴2∠A＋α＋β＝180°.(共29张PPT)
第2章 圆
湘教版
九年级下
2.5 直线与圆的位置关系
2.5.3 切线长定理
1
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新知笔记
1
2
3
4
B
D
D
5
D
C
线段的长
2
切线长
6
7
8
9
D
见习题
见习题
10
见习题
11
12
13
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B
见习题
见习题
1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的________，叫作这点到圆的切线长．
线段的长
2．切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条________相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
切线长
1．如图，过点P作⊙O的切线PA，PB，过
上任一点C作⊙O的切线MN.下列不是切线长的是( )
A．线段PA的长
B．线段MA的长
C．线段CN的长
D．线段MN的长
D
2．【中考·杭州】如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
B
3．【中考·益阳】如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是( )
A．PA＝PB
B．∠BPD＝∠APD
C．AB⊥PD
D．AB平分PD
D
4．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B.如果OP＝6，PA＝3
，那么∠AOB等于( )
A．90°
B．100°
C．110°
D．120°
D
5．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于G，若PA＝8
cm，则△PFG的周长是( )
A．8
cm
B．12
cm
C．16
cm
D．20
cm
【点拨】根据切线长定理可得：PA＝PB，FA＝FE，GE＝GB，所以△PFG的周长＝PF＋FG＋PG＝PF＋FE＋EG＋PG＝PF＋FA＋GB＋PG＝PA＋PB＝16
cm.
C
6．如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，交AB于D，下列结论中错误的是( )
A.
B．∠PAD＝∠PBD
C．△PAD≌△PBD
D．PA2＝PC·PO
【答案】D
【点拨】易知AB⊥OP，OA⊥PA，∴∠OAP＝∠PDA＝90°.∵∠APD＝∠OPA，∴△PAD∽△POA.∴
，∴PA2＝PO·PD.∴选项D错误．
7．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°.
(1)求∠BAC的度数；
解：∵PA，PB是⊙O的切线，∴AP＝BP.
∵∠P＝60°.∴∠PAB＝60°.
∵AC是⊙O的直径，∴∠PAC＝90°，
∴∠BAC＝90°－60°＝30°.
(2)当OA＝2时，求AB的长．
解：连接OP，∵PA，PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，
∴∠APO＝30°，OA⊥AP.
则在Rt△AOP中，AP＝
∵AP＝BP，∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，
∴AB＝AP＝2
.
8．【2021·银川贺兰模拟】如图，在等腰三角形ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E.过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N，那么
的值等于( )
【点拨】如图，连接OM，ON.
∵MD，MF与⊙O相切，∴∠1＝∠2，同理得∠3＝∠4.
∵AB＝AC，O是BC的中点，∴∠B＝∠C，OB＝OC＝
BC.
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠B＋∠C＝360°，
∴∠1＋∠4＋∠B＝180°.
又∵∠1＋∠MOB＋∠B＝180°，∴∠4＝∠MOB.
又∵∠B＝∠C，∴△OMB∽△NOC，
【答案】B
9．如图，四边形ABCD是正方形，以BC边为直径在正方形内作半圆O，再过顶点A作半圆O的切线(切点为F)，交CD边于E，则sin
∠DAE＝________．
10．如图，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，切点分别为F，D，E，且∠ACB＝90°，∠A，∠ABC，∠ACB所对的边长依次为3，4，5，求⊙O的周长．
解：如图，连接OD，OE.
∵⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，
∴AF＝AD，BE＝BF，CE＝CD，OD⊥AD，OE⊥BC.
∵∠ACB＝90°，∴∠DCE＝90°.
∵OE＝OD，∴四边形ODCE是正方形．
设OD＝r，则CD＝CE＝r.
∵BC＝3，∴BE＝BF＝3－r.
∵AB＝5，AC＝4，
∴AF＝AB＋BF＝5＋3－r，AD＝AC＋CD＝4＋r，
∴5＋3－r＝4＋r，解得r＝2，
则⊙O的周长＝2πr＝4π.
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为AC上一点，以OC为半径作⊙O与AB相切于点D，交AC于点E，在BO的延长线上取点F，使∠CAF＝∠ABO.
(1)求证：AF⊥BF；
证明：∵∠ACB＝90°，∴OC⊥BC.
又∵OC是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．
∵⊙O与AB相切于点D，∴∠CBO＝∠ABO.
∵∠CAF＝∠ABO，∴∠CBO＝∠CAF.
又∵∠AOF＝∠BOC，∴∠F＝∠BCO＝90°.∴AF⊥BF.
(2)若BC＝3，AC＝4，求⊙O的半径．
解：∵BC＝3，AC＝4，∴由勾股定理，得AB＝5.
又BD＝BC＝3，∴DA＝2，
∵⊙O与AB相切，∴∠ODA＝90°.
设⊙O的半径为x，则OD＝x，OA＝4－x，
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得22＋x2＝(4－x)2，
12．【中考·泸州】如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C，D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G.
(1)求证：DF∥AO；
证明：如图，连接OD.
∵AB与⊙O相切于点D，AC与⊙O相切于点C，
∴AC＝AD.
∵OC＝OD，∴OA是线段CD的垂直平分线．∴OA⊥CD.
易知CF是⊙O的直径，∴∠CDF＝90°，
∴DF⊥CD.∴DF∥AO.
(2)若AC＝6，AB＝10，求CG的长．
13．如图，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E.已知AB＝8，边BC比AD大6.
(1)求边AD，BC的长；
解：过点D作DF⊥BC于F，易知DF＝AB，AD＝BF.
在Rt△DFC中，DF＝AB＝8，FC＝BC－AD＝6，
∴DC2＝62＋82＝100，即DC＝10.
设AD＝x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x＋6，
∴x＋(x＋6)＝10.
∴x＝2.∴AD＝2，BC＝2＋6＝8.
(2)在直径AB上是否存在一动点P，使以A，D，P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．(共29张PPT)
2.4 过不共线三点作圆
第2章 圆
湘教版
九年级下
1
2
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新知笔记
1
2
3
4
B
(2，0)
B
5
D
外心；垂直平分线
A
不在同一直线上
6
7
8
9
B
A
见习题
10
A
11
12
13
14
见习题
答案显示
40
15
见习题
D
B
1.____________________的三个点确定一个圆．
不在同一直线上
2．经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的________，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，三角形的外心是三角形三边的________________的交点．
外心
垂直平分线
1．确定一个圆的条件可以是( )
A．已知圆心
B．已知半径
C．过三个已知点
D．过一个三角形的三个顶点
D
2．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块碎片应该是( )
A．第①块
B．第②块
C．第③块
D．第④块
B
3．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格格点A，B，C，其中B点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为________．
【点拨】连接BC，作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是(2，0)．
(2，0)
4．下列命题正确的有( )
①过两点可以作无数个圆；
②经过三点一定可以作圆；
③任意一个三角形都有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
④任意一个圆有且只有一个内接三角形．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
5．【2021·柳州柳南区三模】如图，点A，B，C分别表示三个村庄，AB＝13千米，BC＝5千米，AC＝12千米．某社区拟建一个文化活动中心．要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在( )
A．AB中点
B．BC中点
C．AC中点
D．∠C的平分线与AB的交点
A
6．【中考·河北】如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( )
A．△ABE
B．△ACF
C．△ABD
D．△ADE
B
7．【2021·怀化模拟】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC＝
，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为( )
A
8．【中考·镇江】如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝________°.
【点拨】连接BD，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠D＝90°－∠BAD＝90°－50°＝40°，
∴∠ACB＝∠D＝40°.
40
9．【中考·临沂】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证：DE＝DB；
证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.
∵∠DBC＝∠CAD，∴∠DBC＝∠BAE.
∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB.
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
【答案】A
11.如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，连接BE，AE，AD，下列叙述正确的是( )
A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
【点拨】如图，连接OA，OB，OD.
∵O是△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC.
∵四边形OCDE是正方形，
∴OC＝OE≠OD.∴OA＝OB＝OE，
∴O是△AEB的外心，
∵OA＝OE≠OD，∴O不是△AED的外心．
【答案】B
12．【2021·杭州西湖区校级三模】如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，F是AC的中点，过点F作EF⊥AC交AB于点E，交AD于点O.若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为( )
A．3π
B．4π
C．6π
D．9π
【点拨】∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线．
∵F是AC的中点，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴点O是△ABC外接圆的圆心．
∵OA＝3，∴△ABC外接圆的面积为π×32＝9π.
【答案】D
13．【中考·内江】已知△ABC的三边长a，b，c满足a＋b2＋|c－6|＋28＝4
＋10b，则△ABC的外接圆半径是____．
【答案】D
∴AC＝BC＝5，AB＝6，如图，作CD⊥AB于点D，则CD经过圆心O，AD＝3，易求得CD＝4，
连接OA，设△ABC的外接圆的半径为r，则OC＝OA＝r，
∴OD＝4－r.
在Rt△AOD中，有AD2＋OD2＝OA2，即32＋(4－r)2＝r2，解得r＝
.
14．【中考·温州】如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在圆上．
(1)求证：AE＝AB；
证明：由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC，
∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC.
∵∠ABD＝∠AED，∴∠ABD＝∠ACD，
∴AB＝AC，∴AE＝AB.
(2)若∠CAB＝90°，cos
∠ADB＝
，BE＝2，求BC的长．
15．已知AD是△ABC的高，△ABC外接圆的半径为R.
(1)当△ABC为锐角三角形时，如图，求证：AB·AC＝2R·AD；
证明：如图①所示，
连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE，
∵∠B与∠E是
所对的圆周角，∴∠B＝∠E.
∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°，
∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，
(2)若△ABC为钝角三角形(∠C为钝角)，(1)的结论还成立吗？请画图证明你的结论．
解：成立．
证明：如图②所示，
连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE，
∵∠B与∠E是
所对的圆周角，∴∠B＝∠E.
∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°，(共29张PPT)
2.1 圆的对称性
第2章 圆
湘教版
九年级下
1
2
定长；定长
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新知笔记
1
2
3
4
C
半径
A
5
C
直径
D
3
圆心；任意一条直径所在的直线
6
7
8
9
A
A
C
10
B
11
12
13
14
A
A
答案显示
A
15
80°
12
B
16
17
18
19
见习题
见习题
见习题
见习题
1．圆是平面内到一定点的距离等于________的所有点组成的图形，这个定点叫作圆心，________叫作半径．
定长
定长
2．连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径，________是圆中最长的弦．
直径
3．圆是中心对称图形，______是它的对称中心；圆是轴对称图形，_______________________都是圆的对称轴．
任意一条直径所在的直线
圆心
1．如图所示的圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2
cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的半径是( )
A.
cm
B．1
cm
C．2
cm
D．4
cm
C
2．到点O的距离等于5
cm的所有点组成的图形是( )
A．圆心O点
B．⊙O的半径
C．⊙O
D．⊙O的内部和⊙O
C
3．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于________．
半径
4．在同一平面内，⊙O的半径为5
cm，点A到圆心O的距离OA＝3
cm，则点A与⊙O的位置关系为( )
A．点A在圆内
B．点A在圆上
C．点A在圆外
D．无法确定
【点拨】∵⊙O的半径为5
cm，点A到圆心O的距离为3
cm，即点A到圆心O的距离小于圆的半径，∴点A在⊙O内．
A
5．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是下列选项中的( )
A．3
B．4
C．5
D．6
D
6．【2021·北京东城区二模】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A(1，
)与⊙O的位置关系是( )
A．在⊙O上
B．在⊙O内
C．在⊙O外
D．不能确定
A
7．下列说法：①长度相等的弧是等弧；②直径是弦，弦是直径；③劣弧一定比优弧短；④直径是圆中最长的弦．其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
A
8．【2021·北京海淀区校级月考】如图，圆O的弦中最长的是( )
A．AB
B．CD
C．EF
D．GH
A
9．下列命题是假命题的是( )
A．同圆或等圆的半径相等
B．同圆的直径是半径的2倍
C．半圆是弧，弧是半圆
D．直径相等的两个圆是等圆
C
10．【中考·赤峰】如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，
为半径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )
A．π
B.
π
C.
π
D．2π
B
11．关于圆的对称性的叙述错误的是( )
A．圆心是圆的对称中心
B．圆的直径是圆的对称轴
C．圆有无数条对称轴
D．任意两个圆组成的图形是以过两圆圆心的直线为对称轴的轴对称图形
B
12．在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为整点．已知一个圆的圆心在原点，半径等于5，那么这个圆上的整点有________个．
12
13.
(易错题)如图，⊙O的直径为4，在弦CD上任意一点B(不与C，D重合)，过B作BE//OC交OD于点E，则EO＋EB的值( )
A．等于2
B．等于3
C．等于4
D．随点B的位置改变而变化
【点拨】∵OC＝OD，∴∠C＝∠D，∵BE//OC，∴∠DBE＝∠C，∴∠D＝∠DBE，∴BE＝DE，∴EO＋EB＝OE＋DE＝OD＝
×4＝2.本题的易错点是未通过仔细分析，不能发现EO＋EB是定值，误以为EO＋EB的值由点B的位置确定而错选D.
【答案】A
14．如图，扇形OMN的两条半径OM⊥ON,
点P在扇形OMN的
上，且点P不与M，N重合，过点P分别作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，当点P在
上移动时，四边形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长度( )
A．不变
B．变小
C．变大
D．无法确定是否变化
【答案】A
【点拨】连接OP,
由题意可知四边形PAOB是矩形，∴AB＝OP＝半径．∵当点P在
上移动时，半径一定，∴AB的长度不变．
15．【永州冷水滩区模拟】如图，△ABC中，∠A＝50°，O是BC的中点，以O为圆心，OB长为半径画圆，分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE，则∠DOE的度数是________．
【点拨】根据题意得OC＝OB＝OD＝OE，∴∠OEC＝∠C，∠B＝∠BDO.∵∠A＝50°，∴∠B＋∠C＝130°，∴∠CEO＋∠BDO＝130°，∴∠AEO＋∠ADO＝230°，∴∠EOD＝360°－∠A－∠AEO－∠ADO＝360°－50°－230°＝80°.
【答案】80°
16．如图，两个圆的圆心都是点O，大圆的弦AB交小圆于C，D.求证：AD＝BC.
证明：如图，连接OA，OB，OC，OD.
∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC，∴AD＝BC.
17．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心画圆，半径为r.当点D在⊙A内且点C在⊙A外时，求r的取值范围．
解：连接AC，
∵在正方形ABCD中，AB＝2，∴AC＝2
，
∴以点A为圆心画圆，并且要使点D在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围应为2＜r＜2
.
18．已知：如图，BD，CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上．
解：连接ME，MD，
∵BD，CE分别是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB.
∵M为BC的中点，
∴ME＝MD＝MC＝MB＝
BC，
∴点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上．
19．【中考·杭州】如图①，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图②，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8.若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的“反演点”，求A′B′的长．
解：∵OA′·OA＝16，且OA＝8，∴OA′＝2.
同理可知，OB′＝4，即B点的“反演点”B′与B重合．
如图，设OA交⊙O于点M，连接B′M，A′B′.
∵∠BOA＝60°，OM＝OB′，∴△OB′M为等边三角形．
又∵OM＝4，OA′＝2，∴点A′为OM的中点，∴A′B′⊥OM.
根据勾股定理，得OB′2＝OA′2＋A′B′2，
即16＝4＋A′B′2，解得A′B′＝2
.(共30张PPT)
专题技能训练(二)
训练1 与圆有关的易错题选讲
湘教版
九年级下
第2章 圆
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1
2
3
4
8或12
D
C
5
D
6
7
8
9
D
C
相切或相交
10
r＝4.8或6＜r≤8
C
11
12
13
14
见习题
答案显示
15
见习题
见习题
16
17
C
见习题
A
1．已知点P是⊙O所在平面内一点，点P到⊙O上各点的最大距离为a，最小距离为b(a＞b)，则⊙O的半径为( )
【点拨】当P点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为a＋b，因而半径为
；当P点在圆外时，圆的直径是a－b，因而半径是
.
【答案】D
2．若点M是⊙O所在平面内一点，⊙O的半径r＝5，点M到⊙O上各点的最短距离为2，则点M到⊙O上各点的最长距离为______________．
【点拨】由题意知⊙O的直径长为10，当点M在⊙O的内部时，点M到⊙O上各点的最长距离为10－2＝8；当点M在⊙O的外部时，点M到⊙O上各点的最长距离为10＋2＝12.
8或12
3．下列命题中，正确的是( )
A．平分弦的直线必垂直于这条弦
B．垂直于弦的直线必过圆心
C．平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
D．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧
D
4．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是( )
A．7
B．17
C．7或17
D．34
【答案】C
【点拨】如图，过点O作OE⊥AB于E，延长(或反向延长)OE交CD于F，连接OA，OC.易知OF⊥CD，所以AE＝
AB＝12，CF＝
CD＝5，所以OE＝
＝5，
OF＝
＝12，
当两弦在圆心同侧时，距离＝OF－OE＝12－5＝7；
当两弦在圆心异侧时，距离＝OE＋OF＝12＋5＝17.
所以距离为7或17.
5．已知圆中两条平行的弦之间的距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为______________．
【点拨】易知两条弦在圆心的同侧．如图，
过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OC，OA，
∵AB∥CD，∴OF⊥CD.
①若CD＝8，则CF＝
CD＝4，∵OC＝OA＝5，∴OF＝3，
∵EF＝1，∴OE＝2，
则AE＝
，
∴AB＝2AE＝2
；
②若AB＝8，则AE＝
AB＝4，∵OA＝OC＝5，∴OE＝3，
∵EF＝1，∴OF＝4，则CF＝3，
∴CD＝2CF＝6.
综上，另一弦长为6或2
.
【答案】
6．在半径为25
cm的⊙O中，弦AB＝40
cm，则弦AB所对的弧的中点到AB的距离是( )
A．10
cm
B．15
cm
C．40
cm
D．10
cm或40
cm
【点拨】如图，点C和点D为弦AB所对的弧的中点，连接CD交AB于E，连接OA，则CD为直径，CD⊥AB，∴AE＝BE＝
AB＝20
cm，
在Rt△OAE中，∵OA＝25
cm，AE＝20
cm，
∴OE＝
＝15
cm，
∴DE＝OD＋OE＝40
cm，CE＝OC－OE＝10
cm，
即弦AB所对的劣弧的中点到弦AB的距离为10
cm，弦AB所对的优弧的中点到弦AB的距离为40
cm.
【答案】D
7．在半径为1的圆中，长度等于
的弦所对的弧的度数为( )
A．90°
B．135°
C．90°或270°
D．270°或135°
C
8．如图，∠AOB＝110°，弦AB所对的圆周角为( )
A．55°
B．55°或70°
C．55°或125°
D．55°或110°
C
【点拨】如图，在优弧AB上取点C，连接BC，AC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，
∵∠AOB＝110°，∴∠ACB＝
∠AOB＝55°，
∴∠ADB＝180°－∠ACB＝125°.
∴弦AB所对的圆周角为55°或125°.
9．已知⊙O的半径为1，直线l上有一点P满足PO＝1，则直线l与⊙O的位置关系是______________．
【点拨】当OP垂直于直线l时，圆心O到直线l的距离d＝1＝r，直线l与⊙O相切；当OP不垂直于直线l时，圆心O到直线l的距离d＜1＝r，直线l与⊙O相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
相切或相交
10．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8.如果以点C为圆心的圆与斜边AB有唯一的公共点，那么⊙C的半径r的取值范围为______________．
【答案】r＝4.8或6＜r≤8
【点拨】根据勾股定理得BC＝
＝6，当⊙C和斜边相切时，圆的半径即是斜边上的高，则r＝4.8；当⊙C和斜边相交，且只有一个交点时，圆的半径大于短直角边而小于或等于长直角边，即6＜r≤8.故半径r的取值范围是r＝4.8或6＜r≤8.
11．已知∠BAC＝45°，一动点O在射线AB上运动(点O与点A不重合)，设OA＝x，如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点，求x的取值范围．
解：当⊙O与射线AC相切时，设切点为D，如图，
连接OD，则OD⊥AC，∴∠ODA＝90°，
∵∠BAC＝45°，∴∠AOD＝45°，∴AD＝OD＝1，
由勾股定理得AO＝
，即此时x＝
，
∴当半径为1的⊙O与射线AC有公共点时，x的取值范围是0＜x≤
.
12．关于圆的切线的性质叙述错误的是( )
A．圆的切线垂直于圆的半径
B．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
C．圆的切线与圆只有唯一的公共点
D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
A
13.如图，已知AP是∠BAC的平分线，AB是⊙O的切线，切点为E，求证：AC是⊙O的切线．
证明：如图，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接OE，
∵AB是⊙O的切线，切点为E，
∴AE⊥OE.
又∵AP是∠BAC的平分线，
∴OE＝OH，∴AC是⊙O的切线．
14．【中考·湘西州】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.
(1)若D为AC的中点，求证：DE是⊙O的切线；
证明：连接AE，OE，
∵AB是⊙O的直径，且E在⊙O上，
∴∠AEB＝90°，∴∠AEC＝90°，
∵D为AC的中点，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED，
∵AC是⊙O的切线，∴∠CAE＋∠EAO＝∠CAB＝90°，
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠DEA＋∠OEA＝90°，即∠DEO＝90°，
∵OE是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
(2)若CA＝6，CE＝3.6，求⊙O的半径OA的长．
解：∵∠AEC＝∠CAB＝90°，∠C＝∠C，
∴△AEC∽△BAC，∴AC
∶BC＝EC
∶AC，
∵CA＝6，CE＝3.6，∴6
∶BC＝3.6
∶6，∴BC＝10，
∵∠CAB＝90°，∴AB2＋AC2＝BC2，
∴AB＝
＝8，∴OA＝4，
即⊙O的半径OA的长是4.
15．如图，在扇形铁皮OAB中，OA＝20，∠AOB＝36°，OB在直线l上．将此扇形铁皮沿l按顺时针方向旋转(旋转过程中无滑动)，当OA第一次落在直线l上时，停止旋转，则点O所经过的路线长为( )
A．20π
B．22π
C．24π
D．28π
C
16．已知某扇形的圆心角为10°36′30″，半径为
，则该扇形的弧长为________，面积为________．
17．如图，将半径为3的圆形纸片按顺序折叠两次，折叠后的
都经过圆心O.
(1)连接OA，OB，求证：∠AOB＝120°；
证明：作OD⊥AB于点D，如图．
由题意得OD＝
AO，
∴∠OAD＝30°，
∴∠AOD＝60°.
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°.
(2)求图中阴影部分的面积．
解：如图，连接OC，同(1)中的方法可得∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝120°，
∴阴影部分的面积＝S扇形OAC＝
×⊙O的面积＝
×π×32＝3π.
答：图中阴影部分的面积为3π.(共28张PPT)
第2章 圆
湘教版
九年级下
2.5 直线与圆的位置关系
2.5.2 圆的切线
第2课时 圆的切线的性质
1
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新知笔记
1
2
3
4
B
A
B
5
C
A
(1)切点
6
7
8
9
5≤PB≤15
45
B
10
见习题
11
12
13
答案显示
见习题
见习题
见习题
切线的性质：
(1)圆的切线垂直于过________的半径．
(2)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
(3)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
切点
1．下列说法正确的是( )
A．垂直于切线的直线必经过切点
B．垂直于半径的直线是圆的切线
C．圆的切线垂直于过切点的半径
D．垂直于切线的直线必经过圆心
C
2．【中考·重庆】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B的度数为( )
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
B
3．【中考·泰安】如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
A
4．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，连接BD，若∠ACB＝50°，则∠ODB等于( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
B
5．【2021·衡阳模拟】如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，若AB＝8，∠P＝30°，则AC＝( )
A．4
B．4
C．4
D．3
A
6．如图，已知在半径为5的⊙O中，点P为⊙O外一点，切线PA＝5
，B是⊙O上的动点，则线段PB长的取值范围是______________．
【答案】5≤PB≤15
【点拨】如图，连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴OP＝
＝10.当点B在线段OP上时，PB最小为5，当点B在线段PO的延长线上时，PB最大为15，∴PB的长的取值范围是5≤PB≤15.
7．【中考·益阳】如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度．
【点拨】∵AB为直径，∴∠ADB＝90°.
∵BC为切线，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°.
∵AD＝CD，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠C＝45°.
45
8．在△ABC中，∠ABC＝45°，∠C＝60°，⊙O经过点A，B，与BC交于点D，连接AD.
(1)如图①，若AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点E，连接DE，求∠ADE的大小；
解：如图①，连接BE.
∵∠ABC＝45°，∠C＝60°，∴∠BAC＝75°.
∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°－∠BAC＝15°.
∵∠ABE＝∠ADE，∴∠ADE＝15°.
(2)如图②，若⊙O与AC相切，求∠ADC的大小．
解：如图②，连接OA，OD.
∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°.
∵∠ABC＝45°，∴∠AOD＝90°.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝45°.
∴∠DAC＝∠OAC－∠OAD＝45°.
又∵∠C＝60°，∴∠ADC＝75°.
9．【2021·泰安】如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是( )
A．50°
B．48°
C．45°
D．36°
【点拨】连接AD.
∵BC与⊙A相切于点D，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵AB＝6，AG＝AD＝3，∴AD＝
AB，
∴∠B＝30°，∴∠GAD＝60°.
∵∠CDE＝18°，∴∠ADE＝90°－18°＝72°，
∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝72°，
∴∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝180°－72°－72°＝36°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝60°＋36°＝96°，
∴∠GFE＝
∠GAE＝
×96°＝48°.故选B.
【答案】B
10.
(易错题)如图，P是抛物线y＝x2－4x＋3上的一点，以点P为圆心、1个单位为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝0相切时，点P的坐标为_____________________．
11．【中考·济南】如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB，CD，∠BCD＝60°.
(1)求∠ABD的度数；
解：方法一：如图①，连接AD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝90°.
∵∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴∠ABD＝90°－∠BAD＝90°－60°＝30°.
方法二：如图②，连接DA，OD，则∠BOD＝2∠BCD＝2×60°＝120°.
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝
×(180°－120°)＝30°.
即∠ABD＝30°.
(2)若AB＝6，求PD的长度．
12.【2021·泸州】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC.
(1)求证：∠ACF＝∠B；
证明：连接OC.∵CF是⊙O的切线，∴∠OCF＝90°，
∴∠OCA＋∠ACF＝90°.
∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE.
∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，
∴∠OCA＋∠OCE＝90°，∴∠ACF＝∠OCE＝∠E.
∵∠B＝∠E，∴∠ACF＝∠B.
(2)若AB＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD·AE的值．
解：∵∠ACF＝∠B，∠F＝∠F，∴△ACF∽△CBF，
∴
，∴BF＝8，
∴AB＝BC＝BF－AF＝8－2＝6，∴AC＝3.
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ACE＝90°.
又∵∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC，
∴
，∴AD·AE＝AB·AC＝6×3＝18.
13．如图①，在△ABC中，AB＝AC，O为AB的中点．以O为圆心，OB为半径的圆交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，我们可以证得DE是⊙O的切线．
(1)若点O沿AB向点B移动，以O为圆心，OB为半径的圆仍交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，AB＝AC不变(如图②)，那么DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
解：DE与⊙O相切．证明：
如图①，连接OD.
∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.
又∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．
(2)在(1)的条件下，若⊙O与AC相切于点F，交AB于点G(如图③)．已知⊙O的半径为3，CE＝1，求AF的长．
解：如图②，连接OD，OF.
∵DE，AF是⊙O的切线，∴OF⊥AC，OD⊥DE.
又∵DE⊥AC，∴四边形ODEF为矩形，∴OD＝EF.
设AF＝x，则AB＝AC＝x＋3＋1＝x＋4，
∴AO＝AB－OB＝x＋4－3＝x＋1.
∵OF⊥AC，∴AO2＝OF2＋AF2.
即(x＋1)2＝9＋x2，解得x＝4.
故AF的长为4.(共35张PPT)
阶段综合训练[范围：2.5～2.7]
湘教版
九年级下
第2章 圆
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2
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C
D
D
5
B
D
6
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9
B
C
50
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115
96－25π
11
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13
14
0.14
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15
48°
4π
16
17
18
见习题
见习题
见习题
19
见习题
1．【中考·益阳】如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为( )
A．1
B．1或5
C．3
D．5
【点拨】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.
B
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径作⊙C，下列说法正确的是( )
A．当r＝2时，直线AB与⊙C相交
B．当r＝3时，直线AB与⊙C相离
C．当r＝2.4时，直线AB与⊙C相切
D．当r＝4时，直线AB与⊙C相切
【答案】C
【点拨】如图，过C作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝5，
由三角形面积公式得
×3×4＝
×5×CD，∴CD＝2.4，∴当r＝2.4时，C到AB的距离等于⊙C的半径长，即⊙C和直线AB的位置关系是相切．
3．【中考·百色】以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( )
【点拨】当直线y＝－x＋b与圆相切，且经过第一、二、四象限时，如图所示．
在y＝－x＋b中，当x＝0时，y＝b，则直线与y轴的交点是B(0，b)；
当y＝0时，x＝b，则直线与x轴的交点是A(b，0)，
∴OA＝OB，即△OAB是等腰直角三角形．
连接圆心O和切点C，则OC＝2，
【答案】D
4．【中考·深圳】一把直尺、60°的直角三角尺和光盘按如图所示的方式摆放，A为60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是( )
A．3
B．3
C．6
D．6
【点拨】如图，设三角尺与光盘边缘(圆)的切点为C，光盘中心为O，连接OA，OB，OC，
由切线长定理知AB＝AC＝3，AO平分∠BAC，易得∠OAB＝60°，
在Rt
△ABO中，OB＝AB·tan
∠OAB＝3
，∴光盘的直径为6
.
【答案】D
5．【中考·苏州】如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD.若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为( )
A．54°
B．36°
C．32°
D．27°
D
【点拨】∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB＝90°.∵∠ABO＝36°，∴∠AOB＝90°－∠ABO＝54°，∴∠ADC＝
∠AOB＝27°.
6．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6，将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好落在
上的点O′处，折痕交OB于点C，则
的长是( )
A.
π
B．π
C．2π
D．3π
【点拨】连接OO′，则OO′＝OA，∵将扇形OAB沿过点A的直线折叠，点O恰好落在
上的点O′处，∴OA＝O′A，∴△AOO′是等边三角形，∴∠AOO′＝60°，又∵∠AOB＝90°，∴∠BOO′＝30°，∴
的长＝
【答案】B
7．【中考·武汉】已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为( )
C
8．【2021·重庆B卷】如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，
AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．(结果保留π)
96－25π
9．【中考·长沙】如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB＝________度．
【点拨】∵∠A＝20°，∴∠BOC＝40°.
∵BC是⊙O的切线，B为切点，
∴∠OBC＝90°，∴∠OCB＝90°－40°＝50°.
50
10．【中考·包头】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在
上(不与点B，C重合)，连接BE，CE.若∠D＝40°，则∠BEC＝________度．
【点拨】连接OC，∵DC切⊙O于C，∴∠DCO＝90°，
又∵∠D＝40°，
∴∠COB＝∠D＋∠DCO＝130°，
【答案】115
11．【中考·黄石】在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，则△ABC的内切圆的周长为________．
4π
12．【中考·永州】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，1)，以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则
的长为________．
【点拨】∵点A的坐标是(1，1)，∴OA＝
点A在第一象限的角平分线上．
∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，
∴∠AOB＝45°，
∴
【答案】
13．【中考·株洲】如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝________．
48°
0.14
14．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S－S1＝________.(π取3.14)
15．【中考·玉林】如图，正六边形ABCDEF的边长是6＋4
，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2＝___________．
16.【中考·镇江】在三角形纸片ABC(如图①)中，∠BAC＝78°，AC＝10.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图②)．
(1)∠ABC＝________°；
【点拨】∵五边形ABDEF是正五边形，
∴∠BAF＝
＝108°，
∴∠ABC＝∠NAF＝∠BAF－∠BAC＝30°.
30
(2)求正五边形GHMNC的边GC的长．
(参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7)
解：如图，作CQ⊥AB于Q.
在Rt△AQC中，sin∠QAC＝
，
∴QC＝AC·sin∠QAC≈10×0.98＝9.8.
在Rt△BQC中，∠QBC＝30°，
∴BC＝2QC＝19.6，
∴GC＝BC－BG＝BC－AC＝9.6.
17．【2021·江西模拟】如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且AC平分∠DAB，CD⊥AD于点D，连接BC.
(1)求证：CD与⊙O相切；
证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO.
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC.
∵CD⊥AD，∴OC⊥CD.
又∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
(2)若AD＝x，AC＝x＋2，AB＝x＋5，求CD的长．
18．【中考·百色】已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若
，如图①.
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
解：△ABC为等腰三角形．
理由：∵
，∴∠EOF＝∠DOE，
易知∠CFO＝∠CEO＝∠OEB＝∠ODB＝90°，
∴∠EOF＋∠C＝180°，∠DOE＋∠B＝180°，
∴∠C＝∠B，∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
(2)设AE与DF相交于点M，如图②，AF＝2FC＝4，求AM的长．
解：连接OB，OC，OD，OF，如图．
易知AE经过圆心O，∴AE⊥BC.
∵AB＝AC，∴BE＝CE，
由切线长定理得AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，
∴BD＝CF，∴DF∥BC，∴AM∶AE＝AF∶AC，
∵AF＝2FC＝4，∴AF∶AC＝2∶3，AC＝6，FC＝CE＝2.
19．如图，已知正三角形的边长为2a.
(1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；
解：设正三角形ABC的中心为O，BC切内切圆于点D，连接OB，OD，如图．
易知OD⊥BC，BD＝DC＝a，
则S圆环＝π·OB2－π·OD2＝π(OB2－OD2)＝π·BD2＝πa2.
(2)根据(1)中的计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的长？
解：如图，只需测出弦BC(或AC，AB)的长．
(3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正六边形”你能得出怎样的结论？
S圆环＝πa2.
(4)已知正n边形的边长为2a，请求出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．
解：如图，EF为正n边形的一边，正n边形的中心为O′，EF与小圆切于点G，连接O′E，O′G，
则O′G⊥EF，EG＝
EF＝a，
在Rt△EO′G中，根据勾股定理得EG2＝a2＝O′E2－O′G2，
则S圆环＝S大圆－S小圆＝π·O′E2－π·O′G2＝π(O′E2－O′G2)＝πa2.
即S圆环＝πa2.(共28张PPT)
专题技能训练(二)
训练2 三角形的外接圆与内切圆半径的求法
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九年级下
第2章 圆
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1
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A
见习题
见习题
5
A
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A
D
10
见习题
D
11
12
13
14
见习题
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B
见习题
B
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12，则这个三角形的外接圆的半径是( )
A．10
B．8
C．6
D.
A
2．△ABC的三条边长分别是10，26，24，则其外接圆半径是( )
A．13
B．12
C．10
D．9
A
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，tan
B＝
，则△ABC的外接圆周长为________．
4．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4，3)，B(－2，1)，C(0，－1)．
(1)求△ABC的外接圆的半径；
解：由△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4，3)，B(－2，1)，C(0，－1)，
易得AB2＝(4＋2)2＋(3－1)2＝40，AC2＝(4－0)2＋(3＋1)2＝32，BC2＝(－2－0)2＋(1＋1)2＝8，
∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°.
(2)求△ABC的外接圆的圆心坐标．
解：如图，过B作BM⊥x轴于M，过A作AN⊥x轴于N，设AB的中点为O′，过O′作O′E⊥x轴于E，则O′为△ABC的外接圆的圆心，BM∥O′E∥AN，
∵A(4，3)，B(－2，1)，∴BM＝1，AN＝3，MN＝4＋2＝6，
∵O′为AB的中点，∴E为MN的中点，
∴O′E＝
(BM＋AN)＝2，EN＝
MN＝3，
∴OE＝4－3＝1，∴点O′的坐标是(1，2)，
即△ABC的外接圆的圆心坐标为(1，2)．
5．已知△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点D为优弧BC的中点．
(1)如图①，连接OD，求证：AB∥OD；
证明：如图①，延长DO交BC于F，
∵点D为优弧BC的中点，∴
∴DF⊥BC，
∵AC为⊙O的直径，∴∠B＝90°，即AB⊥BC，
∴AB∥OD.
(2)如图②，过点D作DE⊥AC，垂足为E.若AE＝3，BC＝8，求⊙O的半径．
解：如图②，连接DO并延长交BC于G.
∵点D为优弧BC的中点，∴
∴DG⊥CB，∴CG＝
BC＝4，
∵DE⊥AC，∴∠DEO＝∠CGO＝90°，
又∵∠DOE＝∠COG，OD＝OC，∴△DOE≌△COG，
∴OG＝OE＝OA－AE＝OC－3，
∵OC2＝OG2＋CG2，∴OC2＝(OC－3)2＋42，
∴OC＝
，∴⊙O的半径为
.
6．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为( )
【点拨】如图，连接OA，OB，∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，AB＝4，∴OA＝2
.
A
7．如图，等边三角形ABC的边长为6，则△ABC外接圆的半径为________．
【点拨】连接OC，作OD⊥BC于点D，如图．易知∠OCD＝30°，D为BC的中点，OC为△ABC外接圆的半径．
∵BC＝6，∴CD＝3，
在Rt△OCD中，tan
30°＝
，
∴OD＝
，∴CO＝2
.
8．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，周长为12，那么△ABC内切圆的半径为( )
A．3
B．2.5
C．2
D．1
D
9．周长是48的直角三角形的三边长a，b，c满足a＋c＝2b，它的内切圆的半径为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
D
10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若BF＝2，AF＝3，求△ABC的面积．
解：如图，连接DO，EO.
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD＝CE，BD＝BF＝2，AF＝AE＝3.
又∵∠C＝90°，EO＝DO，∴四边形OECD是正方形，
设⊙O的半径为x，则EC＝CD＝x，
在Rt△ABC中，BC2＋AC2＝AB2，
故(x＋2)2＋(x＋3)2＝(2＋3)2，解得x＝1(负值舍去)，
∴BC＝3，AC＝4，∴S△ABC＝
×3×4＝6.
11．如图，已知直角三角形ABC的三边BC，AC，AB的长分别为a，b，c，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为E，F，D，求△ABC的内切圆的半径r.
解：都正确．理由如下：连接OA，OB，OC，OE，OF，OD，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为E，F，D，
∴BE＝BD，AD＝AF，CE＝CF，∠OEC＝∠OFC＝90°.
又∵∠C＝90°，OE＝OF，∴四边形CEOF是正方形，
∴OE＝OF＝CE＝CF＝r，
∴BE＝BD＝a－r，AD＝AF＝b－r，
∵AB＝c，∴b－r＋a－r＝c，
12．已知△ABC的周长为14，面积为7，则△ABC的内切圆的半径为( )
A．0.5
B．1
C．2
D．3
B
13．【2021·天津河西区二模】如图，点D，E，F分别在正三角形ABC的三边上，且△DEF也是正三角形．若△ABC的边长为a，△DEF的边长为b，则△FDC的内切圆半径为( )
【点拨】∵△ABC，△DEF都为正三角形，
∴AB＝BC＝CA，EF＝FD＝DE，∠A＝∠B＝∠ACB＝∠FED＝∠EFD＝∠EDF＝60°，
∴∠AFE＋∠DFC＝∠DFC＋∠FDC＝120°，
∴∠AFE＝∠CDF.
在△AEF和△CFD中，
∴△AEF≌△CFD(AAS)．
∴CD＝AF，∴CD＋CF＝AF＋CF＝a.
如图，设△FDC的内切圆圆心为I，作IH⊥FC于点H，连接CI.
【答案】B
如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9.
(1)用海伦公式求△ABC的面积；
(2)求△ABC的内切圆半径r.(共34张PPT)
2.6 弧长与扇形面积
第2课时 扇形面积的计算
第2章 圆
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新知笔记
1
2
3
4
C
B
6π
5
C
2
弧；两条半径
6
7
8
9
C
D
6π
10
25π－48
11
12
13
14
见习题
A
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A
15
见习题
D
16
见习题
1.圆的一条______和经过这条弧的端点的__________所围成的图形叫作扇形．
弧
两条半径
2．半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积为S扇形＝________．已知扇形的弧长l和半径r，则扇形的面积S扇形＝________．
1．【中考·长沙】一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )
A．2π
B．4π
C．12π
D．24π
C
2．【中考·成都】如图，在 ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是( )
A．π
B．2π
C．3π
D．6π
C
【点拨】∵在 ABCD中，∠B＝60°，
∴∠C＝120°，∴图中阴影部分的面积是
＝3π.
3．【中考·抚顺】如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝2，则阴影部分的面积是( )
A.
B.
C．π
D．2π
B
【点拨】∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝60°.
∵OA＝2，∴阴影部分的面积是
4．【2021·长沙模拟】如图，矩形ABCD的对角线交于点O，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，刚好过点O，以点D为圆心，DO的长为半径画弧，交AD于点E，若AC＝2，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)
【点拨】∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝
AC＝1.
由题意可得AB＝AO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，∴∠EDO＝30°，
∴图中阴影部分的面积为
5．【中考·哈尔滨】一个扇形的圆心角为135°，弧长为3π
cm，则此扇形的面积是________cm2.
【点拨】设扇形的半径为R
cm，
∵扇形的圆心角为135°，弧长为3π
cm，
∴
＝3π，解得R＝4，
∴此扇形的面积为
＝6π(cm2)．
6π
6．【2021·临清期末】中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图(阴影部分为摆盘)，通过测量得到AC＝BD＝12
cm，C，D两点之间的距离为3
cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是( )
A．12π
cm2
B．24π
cm2
C．36π
cm2
D．48π
cm2
C
7．【中考·包头】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2
，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是( )
A．π－1
B．4－π
C.
D．2
【点拨】连接CD，∵BC是半圆的直径，∴CD⊥AB.
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2
，∴△BCA是等腰直角三角形，∴点D是AB的中点，∴CD＝BD，易得阴影部分的面积＝
【答案】D
8．如图，以五边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则圆与五边形的重合部分(阴影部分)的面积为________．
9．【中考·十堰】如图，AB为半圆形的直径，且AB＝6，将半圆形绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为________．
6π
10．【中考·吉林】如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的 ODCE的顶点C在
上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分的面积是______________．(结果保留π)
【答案】25π－48
【点拨】连接OC，
∵∠AOB＝90°，四边形ODCE是平行四边形，∴ ODCE是矩形，∴∠ODC＝90°，DC＝OE＝6.
∵OD＝8，∴OC＝
＝10，
∴阴影部分的面积＝
－8×6＝25π－48.
11．【2021·遂宁】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4
，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为( )
A．16π－12
B．16π－24
C．20π－12
D．20π－24
【点拨】连接OE.
∵∠CDF＝15°，DF⊥AC，∴∠C＝90°－15°＝75°.
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，
∴∠A＝180°－75°－75°＝30°.
∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠A＝30°，
∴∠AOE＝180°－30°－30°＝120°.
作OH⊥AE于H.
在Rt△AOH中，OA＝4
，
【答案】A
12．【中考·株洲】如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为0，2，4，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为( )
A．4π
B．6
C．4
D.
π
D
13.【2021·自贡】如图，直线y＝－2x＋2与坐标轴交于A，B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝－x＋3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域(阴影部分)面积的最大值是( )
【点拨】设P(m，－2m＋2)，则Q(m，－m＋3)．
∴OP2＝m2＋(－2m＋2)2＝5m2－8m＋4，OQ2＝m2＋(－m＋3)2＝2m2－6m＋9.
∵△OPQ绕点O顺时针旋转45°，
∴△OPQ≌△OBC，∠QOC＝∠POB＝45°.
【答案】A
14．【原创题】如图，已知两个同心半圆形的圆心为点O，直径分别为AB，EF，大半圆形的弦AC与小半圆形相切，切点为D点，若AB＝8，EF＝4.
(1)求∠BAC的度数；
解：如图，连接OD，由题意得OD⊥AC.
∵AB＝8，EF＝4，
∴AO＝4，EO＝2，
∴OD＝OE＝2.
在Rt△AOD中，sin∠BAC＝
∴∠BAC＝30°.
(2)求阴影部分的面积．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC＝BC，直线DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.
(1)求证：CD＝CE；
证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵DC＝BC，∴AD＝AB，∴∠D＝∠ABC.
又∵∠E＝∠ABC，∴∠E＝∠D，
∴CD＝CE.
(2)若AC＝2，∠E＝30°，求阴影部分(弓形)的面积．
解：由(1)可知∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝∠E＝30°，∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝2
.
连接OC，则∠COB＝2∠CAB＝120°，
(1)试说明曲边梯形的面积S＝
(l1＋l2)h；
(2)某班兴趣小组进行了一次纸杯制作与探究活动．如图②所示，所要制作的纸杯规格要求：杯口直径为6
cm，杯底直径为4
cm，杯壁长为6
cm，并且在制作过程中纸杯的侧面展开图(如图③)不允许有拼接．请你求出侧面展开图中
所在的圆的半径长度．(共40张PPT)
2.7 正多边形与圆
第2章 圆
湘教版
九年级下
1
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新知笔记
1
2
3
4
D
15
72°
5
A
2
各内角也相等
外接圆；圆心
C
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9
B
B
54
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12
13
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见习题
见习题
答案显示
D
15
见习题
9或10或18
16
见习题
1．把各边相等，______________的多边形叫作正多边形．
各内角也相等
2．将一个圆
n(n≥3)等分，
依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形，
这个圆是这个正多边形的________，正多边形的外接圆的________叫作正多边形的中心．
外接圆
圆心
3．将一个圆
n(n≥3)等分，经过各等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形．
4．每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．
1．下列关于正n边形的叙述中，错误的是( )
【点拨】当n是偶数时，正n边形既是轴对称图形，也是中心对称图形；当n是奇数时，正n边形只是轴对称图形，不是中心对称图形，选项A错误．
【答案】A
2．【中考·河池】如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2
，则它的边长是( )
A．1
B.
C.
D．2
D
【点拨】过点B作BG⊥AC于点G.
由题意可知∠ABC＝120°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，AG＝
AC＝
，∴AB＝2，即边长为2.
3．【中考·南充】如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH＝________度．
15
【点拨】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°.
在正六边形ABEFGH中，AB＝AH，∠BAH＝120°，∴AH＝AD，∠HAD＝360°－90°－120°＝150°，∴∠ADH＝∠AHD＝
×(180°－150°)＝15°.
4．【中考·陕西】如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为________．
【点拨】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝∠ABC＝
＝108°，BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°.同理得∠ABE＝36°，∴∠AFE＝∠ABF＋∠BAF＝36°＋36°＝72°.
72°
5．小明同学发现自己珍藏的旧版人民币的一角硬币正面图案(如图)是一个正九边形，它的外接圆半径是R，则它的边长是( )
A．Rsin
20°
B．Rsin
40°
C．2Rsin
20°
D．2Rsin
40°
【点拨】画部分示意图如图，过O作OD⊥AB于点D，则AD＝BD＝
AB，∠AOD＝∠DOB.
∵多边形是正九边形，∴∠AOB＝
＝40°，∴∠AOD＝
＝20°，
在Rt△AOD中，AD＝OA·sin
∠AOD＝Rsin
20°，∴AB＝2AD＝2Rsin
20°.
【答案】C
6．【中考·广元】如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是
上的一点，则∠CPD的度数是( )
A．30°
B．36°
C．45°
D．72°
B
7．【中考·德阳】已知圆内接正三角形的面积为
，则该圆的内接正六边形的边心距(即圆心到边的距离)是( )
A．2
B．1
C.
D.
【答案】B
8．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的长度分别为( )
C
9．【中考·青岛】如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是________°.
54
10．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积S来近似估计圆O的面积，则S＝________．(结果保留根号)
【点拨】依照题意画出图形，如图所示，连接OA，OB，OM，易知OM⊥AB.
∵六边形ABCDEF为正六边形，∴△ABO为等边三角形，
∵圆O的半径为1，∴OM＝1，
【答案】
11．【中考·雅安】如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距(圆心到边的距离)OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE的面积为( )
A．2
B．4
C．6
D．4
【答案】D
12．【2021·江西】如图，在边长为6
的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE和CF上的动点．若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为________．
【点拨】如图①，连接DF，DB，BF，则△DBF是等边三角形．
设BE交DF于点J.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴由对称性可知，DF⊥BE，∠JEF＝60°，
∴DJ＝FJ＝EF·sin60°＝6
×＝9，∴DF＝18，
∴当点M与B重合，点N与F重合时，△MDN是等边三角形，
此时边长为18；
如图②，设BE，CF交于点O，当点N在OC上，点M在OE上时，在OC上截取ON＝ME，连接DN，MN，DM，OD.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴OD＝ED，∠NOD＝∠MED＝60°，
在△NOD和△MED中，
∴△NOD≌△MED，
∴DN＝DM，∠ODN＝∠EDM，
∵∠EDM＋∠MDO＝60°，
∴∠ODN＋∠MDO＝MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形．
当DM⊥OE时，DM有最小值，此时DM＝DE·sin
60°＝
当点M与点O或E重合时，DM有最大值，此时DM＝DE＝6
.
∴等边三角形DMN的边长的最大值为6
，最小值为9，
∵等边三角形DMN的边长为整数，
∴边长为10或9.
综上所述，等边三角形DMN的边长为9或10或18.
【答案】9或10或18
13．【2021·福州鼓楼区二模】如图，在正六边形ABCDEF中，以AD为对角线作正方形APDQ，AP，DP与BC分别交于M，N.
(1)∠BAM＝________°；
15
(2)若AB＝4，求MN的长．(参考数据：
≈1.73，结果精确到0.1，可以直接利用(1)的结论)
解：如图，连接BE交AD于点O，连接OP交BC于H.
在正六边形ABCDEF
中，CD＝BC＝AB＝4，∠BAF＝∠ABC＝∠C＝∠CDE＝120°，AO，BO分别平分∠BAF，∠ABC，OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝∠CBO＝
×120°＝60°，∴△ABO
是等边三角形，∴BC∥AD，AO＝BO＝AB＝4，∴AD＝2AO＝8，
在正方形APDQ
中，AP＝DP，∠APD＝90°，
∵AO＝DO，∴PO＝
AD＝4，PO⊥AD，∠APO＝∠DPO＝
∠APD＝45°，
∵AD∥BC，∴∠MHP＝∠AOP＝90°，
∠BHO＝180°－∠AOP＝90°，∴PH＝MH＝HN.
在Rt△BOH中，OH＝OB·sin∠OBH＝4×sin60°＝2
，
∴PH＝OP－OH＝4－2
，
∴MN＝2MH＝2PH＝8－4
≈1.1.
14.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48
，试求正六边形的周长．
15．【中考·铜仁】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G.
(1)求证：FG是⊙O的切线；
∵OB＝OF，∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠BFO，∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，∴OF⊥FG.
又∵OF是⊙O的半径，∴FG是⊙O的切线．
(2)若AC＝2
，∠E＝30°，求阴影部分(弓形)的面积．
解：如图，连接OA.
∵
，∴∠AOF＝60°，∠AFB＝∠EBF，
∴AF∥BE，∴S△ABF＝S△AOF.
∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，∴∠AFG＝30°.
∵FG＝2
，FG⊥BA，∴AF＝4，∴AO＝4，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形OAF＝
16．如图①②③，等边三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在圆上逆时针运动，AM，BN相交于点P.
(1)求图①中∠APB的度数；
解：∵点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在圆上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN.∴∠APN＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝120°.
(2)图②中，∠APB的度数是________，图③中∠APB的度数是________；
90°
72°
(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
解：能推广到一般的正n边形的情况．
问题：正n边形ABCD…内接于⊙O，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在圆上逆时针运动，AM，BN相交于点P，求∠APB的度数．
结论：∠APB的度数为所在正n边形的外角度数，即∠APB＝(共30张PPT)
阶段综合训练[范围：2.1～2.4]
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九年级下
第2章 圆
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D
B
A
5
B
C
6
7
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9
C
B
D
10
70°
A
11
12
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14
见习题
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15
见习题
155
20
16
17
18
见习题
见习题
见习题
1．已知⊙O的半径为6
cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长( )
A．等于6
cm
B．等于12
cm
C．小于6
cm
D．大于12
cm
【点拨】根据点和圆的位置关系，得OP＝6
cm，再根据线段的中点的概念，得OA＝2OP＝12
cm.
B
2．下面的说法：①圆上各点到圆心的距离相等；②到圆心的距离相等的点都在圆上；③圆上的点到圆心的距离等于圆的半径；④在平面内，圆是到定点的距离等于定长的点组成的图形；⑤优弧大于半圆．其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
3．在研究圆的有关性质时，我们曾进行过这样的一个操作：将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合．由此说明( )
A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心
B．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
C．圆的直径互相平分
D．垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧
B
4．【2021·重庆B卷】如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为( )
A．70°
B．90°
C．40°
D．60°
A
5．如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OM⊥CD，ON⊥AB，如果AB＝CD，则下列结论不正确的是( )
A．∠AON＝∠DOM
B．AN＝DM
C．OM＝DM
D．OM＝ON
C
6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点(A，B除外)，∠AOD＝130°，则∠C的度数是( )
A．50°
B．60°
C．25°
D．30°
C
【点拨】∵∠AOD＝130°，
∴∠BOD＝50°，
∴∠C＝
∠BOD＝25°.
7．【中考·德州】如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是( )
A．130°
B．140°
C．150°
D．160°
【点拨】由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出⊙O，如图所示．
∴四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝140°.
【答案】B
8．【2021·自贡】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是( )
A．9.6
B．4
C．5
D．10
【答案】A
9．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB于D.已知cos∠CAD＝
，BC＝8，则AC的长为( )
A．2
B.
C．6
D.
D
10．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，已知∠BOC＝55°，AD∥OC，则∠AOD＝________．
【点拨】∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠BOC＝55°.
又∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠DAO＝55°，
∴∠AOD＝180－55°－55°＝70°.
70°
11．【中考·株洲】如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝________度．
【点拨】连接OD.
∵OC⊥AB，∴∠COE＝90°.
∵∠AEC＝65°，∴∠OCE＝90°－65°＝25°.
∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCE＝25°，
∴∠DOC＝180°－25°－25°＝130°，
∴∠BOD＝∠DOC－∠COE＝40°，
∴∠BAD＝
∠BOD＝20°.
【答案】20
12．【中考·盐城】如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且
为50°，则∠E＋∠C＝________°.
155
【点拨】连接EA.
∵
为50°，∴∠BEA＝25°.
∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEA＋∠C＝180°，
∴∠DEB＋∠C＝180°－25°＝155°.
13．【中考·株洲】据《汉书·律历志》记载：“量者，龠(yuè)、合、升、斗、斛(hú)也．”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜(huán)其外，旁有庣(tiāo)焉．”意思是说：“斛的底面为正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺)，“庣旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺)，则此斛底面的正方形
的周长为________尺．(结果用最简根式表示)
证明：∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB.
∵∠DAE是圆内接四边形ABCD的外角，
∴∠DAE＋∠DAB＝180°.
又∵∠DAB＋∠DCB＝180°，∴∠DAE＝∠DCB.
又∠DCB＝∠DBC，∴∠DAE＝∠DBC.
∵∠DBC＝∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC，∴AD平分∠EAC.
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E在BA的延长线上，点D在⊙O上，BD＝CD，连接AD.求证：AD平分∠EAC.
15.【2021·常德澧县期末】如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上(C与A，B不重合)，连接CA，CB，过点O作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D，E.
(1)求线段DE的长；
解：∵OD经过圆心O，OD⊥AC.
∴AD＝DC.
同理CE＝EB，∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝
AB＝
×8＝4.
(2)点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
解：如图，连接OA，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，
则OH＝3，AH＝BH＝
在Rt△AHO中，AO＝
即圆O的半径为5.
证明：连接AD.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
又∵BD＝CD，∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．
16．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D，已知BD＝DC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)若∠A＝36°，求
的度数．
解：∵∠BAC＝36°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝(180°－∠BAC)÷2＝72°，
∴
的度数＝2∠B＝72°×2＝144°.
17．【2021·长沙期末】如图，△ABC的外角∠BAD的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE.
(1)求证：BE＝CE；
证明：∵四边形ACBE是⊙O的内接四边形，
∴∠EBC＋∠EAC＝180°.
又∵∠EAD＋∠EAC＝180°，∴∠EAD＝∠EBC，
∵AE平分∠BAD，∴∠EAD＝∠BAE，∴∠BAE＝∠EBC.
又∵∠BAE＝∠BCE，∴∠EBC＝∠BCE，∴BE＝CE.
(2)若BC＝4，tan∠EAB＝
，求⊙O的半径．
解：由(1)知，△BCE是等腰三角形．
如图，连接EO并延长交BC于点F，连接OC，
由圆的对称性及等腰三角形的对称性可知EF⊥BC，
∴点F是BC的中点．
∵BC＝4，tan∠EAB＝
，
∴CF＝2，tan∠ECB＝
18．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，连接OB，OC.
(1)求证：四边形OBDC是菱形；
证明：连接OD.
∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴
.∴∠BOD＝∠COD＝60°.
∵OB＝OD＝OC，∴△BOD和△COD都是等边三角形，
∴OB＝BD＝OD＝DC＝OC，∴四边形OBDC是菱形．
(2)若∠ABO＝15°，求∠ADC的度数．
解：连接OA.
∵AO＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝15°.
又∵∠BAC＝60°，∴∠OAC＝45°.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∴∠ADC＝
∠AOC＝45°.(共31张PPT)
2.5 直线与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
第2章 圆
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4
D
B
相交
5
B
相离
(1)2 (2)＝ (3)相离
6
7
8
9
(1)1 (2)1(－1，－2)
A
10
C
11
12
13
14
见习题
答案显示
见习题
15
见习题
见习题
见习题
若⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l与⊙O的公共点的个数为n，则有：
(1)直线l与⊙O相交 d＜r n＝______；
(2)直线l与⊙O相切 d______r n＝1；
(3)直线l与⊙O________ d＞r n＝0.
2
＝
相离
1．【中考·湘西州】已知⊙O的半径为5
cm，圆心O到某直线l的距离为5
cm，则直线l与⊙O的位置关系为( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
B
2.
(易错题)已知⊙O的直径等于8
cm，圆心O到直线l上一点的距离为4
cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．1或2
【点拨】∵⊙O的直径等于8
cm，圆心O到直线l上一点的距离为4
cm，∴⊙O的半径等于4
cm，圆心O到直线l的距离≤4
cm，即圆心O到直线l的距离≤圆的半径，∴直线l和⊙O相切或相交，∴直线l与⊙O有1个或2个公共点．本题的易错点是易混淆两点间的距离与点到直线的距离．圆心O到直线上的点的距离为4
cm是指两点间的距离，而圆心O到直线的距离是点到直线的距离．
【答案】D
3．已知⊙O的半径为10，圆心O到直线l的距离为6，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( )
【点拨】∵⊙O的半径为10，圆心O到直线l的距离为6，∴d＝6，r＝10，∴d＜r，∴直线与圆相交但不过圆心．
B
4．已知⊙O的半径为3
cm，点A，B，C是直线l上的三个点，点A，B，C到圆心O的距离分别为2
cm，3
cm，5
cm，则直线l与⊙O的位置关系是________．
相交
5．【模拟·郴州嘉禾】在平面直角坐标系内，以点P(－2，3)为圆心，2为半径的⊙P与x轴的位置关系是________．
相离
【点拨】∵点P的坐标为(－2，3)，∴点P到x轴的距离是3.∵2＜3，∴以点P(－2，3)为圆心，2为半径的⊙P与x轴的位置关系是相离．
6．【中考·永州】如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4.由此可知：
(1)当d＝3时，m＝________；
(2)当m＝2时，d的取值范围是____________．
1
17．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M，N两点．若点M的坐标是(－4，－2)，则点N的坐标为_________________．
【点拨】如图，过点A作AQ⊥MN于Q，连接AN.设⊙A的半径为r，由垂径定理得MQ＝NQ，易知AQ＝2，AN＝r，NQ＝4－r.利用勾股定理可以求出r＝2.5，从而得NQ＝1.5，所以N点坐标为(－1，－2)．
(－1，－2)
8.
(易错题)如图，已知矩形ABCD，AB＝10，AD＝25，P，Q分别是AB，CD的中点，点O从点P出发，以每秒1个单位的速度，沿着PQ向点Q移动，移动时间为t
s，当到达点Q时停止运动，在运动过程中，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与矩形ABCD四边的交点个数会出现哪些情况？请直接写出，并指明对应的t的取值范围．
【点拨】本题易错点是不能根据t的取值进行有效的分类讨论，尤其容易遗漏t＝0的情形而出现解答不完整的错误．
解：如图，连接BD交PQ于H.
∵四边形ABCD是矩形，P，Q分别是AB，CD的中点，
∴AP＝PB＝DQ＝CQ，AP∥DQ.
又∠PAD＝90°，∴四边形APQD是矩形．
∴∠APQ＝∠PQD＝90°，PQ＝AD＝25.
∴∠BPH＝∠DQH.
又∠PHB＝∠QHD，PB＝QD，∴△PBH≌△QDH.
∴PH＝HQ＝12.5，BH＝HD.
∴当t＝0时，⊙O与矩形四边的交点个数为2个．
当0＜t≤12.5时，有4个交点．
当12.5＜t≤25时，有2个交点．
9．在平面直角坐标系内，以点P(－12，－5)为圆心，r为半径的⊙P与y轴没有交点，与x轴有两个交点，则半径r的取值范围为( )
A．5＜r＜12
B．12＜r＜13
C．0＜r＜13
D．5＜r＜13
【点拨】∵点P的坐标是(－12，－5)，∴点P到x轴的距离是5，到y轴的距离是12.∵以点P为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，∴r的取值范围是5＜r＜12.
A
10．【2021·上海奉贤区二模】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，点O在边AB上，且BO＝2OA.以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，那么下列各值中，半径r不可以是( )
A．6
B．10
C．15
D．16
【点拨】∵∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，
∴AB＝
∵BO＝2OA，∴OA＝10，OB＝20.
如图，过O分别作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，
∴∠ADO＝∠C＝∠BEO.
∵∠A＝∠A，∠B＝∠B，
∴△AOD∽△ABC，△BEO∽△BCA，
【答案】C
∴OD＝6，OE＝16.
由图易知当r＝6或10或16时，⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，当r＝15时，有2个公共点．
故选C.
11.【中考·大庆】已知直线y＝kx(k≠0)经过点(12，－5)，将直线向上平移m(m＞0)个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交(点O为坐标原点)，则m的取值范围为____________．
12．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，以A为圆心，分别以下列长为半径作圆，请你判定⊙A与直线BC的位置关系：(1)r＝6；(2)r＝8；(3)r＝12.
解：如图，作AD⊥BC于点D.
∵AB＝AC＝10，AD⊥BC，BC＝12，
∴BD＝6.
在Rt△ABD中，根据勾股定理得
AD＝8为圆心到直线的距离d，
(1)当r＝6时，即d＞r，则直线BC与⊙A相离；
(2)当r＝8时，即d＝r，则直线BC与⊙A相切；
(3)当r＝12时，即d＜r，则直线BC与⊙A相交．
13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.动点O在边CA上移动，且⊙O的半径为2.
(1)若圆心O与点C重合，则⊙O与直线AB有怎样的位置关系？
(2)当OC等于多少时，⊙O与直线AB相切？
14．如图，已知∠APB＝30°，OP＝3
cm，⊙O的半径为1
cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动．
(1)当圆心O移动的距离为1
cm时，⊙O与直线PA的位置关系是什么？
解：如图，点O移动1
cm到O′位置，
∴PO′＝PO－O′O＝3－1＝2(cm)．
作O′C⊥PA于C，∵∠APB＝30°，∴O′C＝
PO′＝1
cm.
∵圆的半径为1
cm，∴⊙O与直线PA相切．
解：如图，当圆心O由O′向左继续移动时，PA与圆相交，
当圆心O移动到O″时，圆与AP相切，此时O″P＝PO′＝2
cm，
∵OP＝3
cm，∴OO″＝OP＋O″P＝3＋2＝5(cm)．
∴当圆心O移动的距离d的范围满足1
cm＜d＜5
cm时，
⊙O与直线PA相交．
(2)若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，d的取值范围是什么？
15．设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A，O间的距离为d.
(1)如图①，当r＜a时，根据d与a，r之间的关系，将⊙O与正方形的公共点的个数填入下表：
所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有________个；
d，a，r之间的关系
公共点的个数
d＞a＋r
d＝a＋r
a－r＜d＜a＋r
d＝a－r
d＜a－r
0
1
2
1
0
0，1或2
(2)如图②，当r＝a时，根据d与a，r之间的关系，将⊙O与正方形的公共点的个数填入下表：
d，a，r之间的关系
公共点的个数
d＞a＋r
d＝a＋r
a≤d＜a＋r
d＜a
0
1
2
4
所以当r＝a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有_____________个；
0，1，2或4
(3)如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明：r＝
a.
解：如图，设l与正方形交于E，F两点，连接OC，
则OE＝OC＝r，OF＝EF－OE＝2a－r.
在Rt△OCF中，由勾股定理，得
OF2＋FC2＝OC2，
即(2a－r)2＋a2＝r2，4a2－4ar＋r2＋a2＝r2，5a2＝4ar.(共26张PPT)
2.2 圆心角、圆周角
2.2.2 圆周角
第1课时 圆周角定理
第2章 圆
湘教版
九年级下
1
2
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新知笔记
1
2
3
4
C
B
B
5
B
一半
A
3
同弧；等弧；相等
圆上；两边
6
7
8
9
见习题
D
D
10
D
11
12
13
14
见习题
6
答案显示
C
15
见习题
D
见习题
16
见习题
1．顶点在________，并且________都与圆相交的角叫作圆周角．
圆上
两边
2．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的________．
一半
3．在同圆(或等圆)中，________或________所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧________．
等弧
同弧
相等
1．下面图形中的角，是圆周角的是( )
B
2．【2021·娄底娄星区模拟】如图，在⊙O中，OA，OB为半径，AB，AC，BC为弦，若∠OAB＝70°，则∠C的度数为( )
A．40°
B．70°
C．20°
D．30°
C
3．【中考·贵港】如图，AD是⊙O的直径，
，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
B
【点拨】∵
，∠AOB＝40°，∴∠COD＝∠AOB＝40°.∵∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝180°，∴∠BOC＝100°，∴∠BPC＝
∠BOC＝50°.
4．【中考·吉林】如图，在⊙O中，
所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为
上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为( )
A．30°
B．45°
C．55°
D．60°
【点拨】∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°.∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝45°.
B
5．【中考·宜昌】如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是( )
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
A
【点拨】∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°－40°－40°＝100°，
∴∠A＝
∠BOC＝50°.
6．【2021·娄底新化期末】如图，△ABC的三个顶点都在直径为6
cm的⊙O上，AD，BC都为直径，∠DAC＝2∠B，求AC的长．
解：∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，
∴∠AOC＝∠DAC.
∴OC＝AC.
7．【中考·柳州】如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是( )
A．∠B
B．∠C
C．∠DEB
D．∠D
D
8．【2021·长沙模拟】如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝40°，∠APD＝76°，则∠B的大小是( )
A．38°
B．40°
C．36°
D．42°
C
9．【中考·柳州】如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为( )
A．84°
B．60°
C．36°
D．24°
D
【点拨】∵∠B与∠C所对的弧都是
，∴∠C＝∠B＝24°.
10．【中考·日照】如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于( )
D
【点拨】∵∠BAD＝∠BED，
∴tan∠BED＝tan∠BAD＝
.
11．【教材改编题】如图，A，B，P，C是⊙O上的四个点，PC是∠APB的平分线，且∠ACB＝60°.判断△ABC的形状，并证明你的结论．
解：△ABC是等边三角形．
证明：∵PC是∠APB的平分线，∴∠APC＝∠BPC.
∴
∴AC＝BC.
又∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形．
12．【中考·聊城】如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是( )
A．25°
B．27.5°
C．30°
D．35°
【点拨】∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝85°－60°＝25°，∠CDO＝95°，∴∠AOC＝2∠B＝50°，∴∠C＝180°－95°－50°＝35°.
D
13．【中考·连云港】如图，点A，B，C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为________．
【点拨】连接OB，OC.∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，OB＝OC，∴△BOC是等边三角形.
∴OB＝BC＝6.
6
14．如图，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD.求证：四边形OBDC是菱形．
证明：连接OD.
∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°.
∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，∴∠BAD＝∠CAD，
∴
，∴∠BOD＝∠COD＝60°.
∵OB＝OD＝OC，∴△BOD和△COD都是等边三角形，
∴OB＝BD＝OD＝DC＝OC，∴四边形OBDC是菱形．
15．如图，已知点P，C是⊙O上两点，
AB为⊙O的直径，且
，AB与PC交于点D.
(1)求证：∠PCO
＝∠A；
证明：连接OP.
∵
，∴PA＝PC.
在△POA与△POC中，
∴△POA≌△POC(SSS)．∴∠PCO＝∠A.
(2)连接CB,
求证：CP平分∠BCO；
证明：由(1)得∠PCO＝∠A，
又∵∠A＝∠BCP，
∴∠PCO＝∠BCP.
∴CP平分∠BCO.
(3)若CD＝OD，求证：BC2＝BD·OB.
证明：∵OD＝DC，∴∠DOC＝∠OCD.
又∵∠OCD＝∠DCB，∴∠BOC＝∠DCB.
又∵∠OBC＝∠CBD，
∴△BOC∽△BCD，
∴
∴BC2＝BD·OB.
16．如图①，PC是⊙O的直径，PA与PB是弦，且
(1)求证：PA＝PB.
(2)如果点P由圆上运动到圆外，PC过圆心，如图②，是否仍有PA＝PB？为什么？
解：仍有PA＝PB.理由：连接AC，BC，设PC与⊙O交于点D(如图①)．
∵
∴∠ACD＝∠BCD.
又PC＝PC，∴△APC≌△BPC.
∴PA＝PB.
(3)如图③，如果点P由圆上运动到圆内呢？
解：仍有PA＝PB.
理由：
连接AC，BC，设直线PC与⊙O交于另一点D(如图②)．
∵
∴∠ACD＝∠BCD.
又PC＝PC，∴△APC≌△BPC.
∴PA＝PB.(共30张PPT)
第2章 圆
湘教版
九年级下
2.5 直线与圆的位置关系
2.5.4 三角形的内切圆
1
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新知笔记
1
2
3
4
C
125°
C
5
B
C
相切；内心
2
角平分线
6
7
8
9
A
70°
A
10
见习题
11
12
13
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见习题
见习题
A
1．与三角形各边都________的圆叫作三角形的内切圆．内切圆的圆心叫作三角形的________，这个三角形叫作圆的外切三角形．
相切
内心
2．三角形的内心是这个三角形的三条_________的交点．三角形的内心到三角形三边的距离相等．
角平分线
1．如图，点O是△ABC的内心，则点O是△ABC的( )
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
B
2．【中考·烟台】如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为( )
A．56°
B．62°
C．68°
D．78°
C
3．【2021·桂林雁山区月考】如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC＝140°，则∠BIC的度数为________．
125°
4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( )
A．3步
B．5步
C．6步
D．8步
【答案】C
5．下列说法错误的是( )
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
C
【答案】A
【点拨】连接AO，CO，CO的延长线交AB于H，如图．
∵O是△ABC的内心，∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC.
∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，CH⊥AB，
7．【中考·湖州】如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．
【点拨】∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，
∴BO平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠BDO＝90°，∠OBD＝
∠ABC＝
×40°＝20°，∴∠BOD＝90°－∠OBD＝70°.
70°
8．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC.求证：DG是⊙O的切线．
证明：连接OD交BC于H，如图．
∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，∴
，∴OD⊥BC.
∵DG∥BC，∴OD⊥DG.
又∵OD是⊙O的半径，∴DG是⊙O的切线．
9．【中考·荆门】如图，△ABC的内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是( )
A．DI＝DB
B．DI＞DB
C．DI＜DB
D．不确定
【点拨】如图，连接BI.
∵△ABC的内心为I，∴∠1＝∠2，∠5＝∠6.
∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2，∴∠4＝∠2＋∠6＝∠3＋∠5，即∠4＝∠DBI，∴DI＝DB.
A
10.
(易错题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为( )
A．(－2，3)
B．(－3，2)
C．(3，－2)
D．(2，－3)
【点拨】如图，过点I作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，∵A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，∴BC＝4，AC＝3.易知AC⊥BC，∴AB＝5.∵I是△ABC的内心，∴I到△ABC各边距离相等且等于其内切圆的半径，∴IF＝1，故I到BC的距离也为1，则AE＝1，故IE＝3－1＝2，OE＝4－1＝3，∴点I的坐标为(3，2)．∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，∴I的对应点I′的坐标为(－2，3)．本题将I(3，2)绕原点逆时针旋转90°时，易对旋转方向和旋转角度把握不当而误选D.
【答案】A
11.【2021·长沙雨花区模拟】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O作OD∥BC，交AC于点D，则DC的长为________．
【点拨】如图，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OH⊥AB于H，连接AO，BO.
∵点O为Rt△ABC的内心，∴OE＝OH＝OF.
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝
12．【中考·长沙】如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC＝8，AD＝3.
(1)求CE的长；
解：∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD.
又∵CE∥AD，∴AD为△BCE的中位线，
∴CE＝2AD＝6.
证明：∵CE∥AD，
∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE.
又∵∠BAD＝∠CAD，∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC.
由(1)知AB＝AE，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．
(2)求证：△ABC为等腰三角形；
(3)求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．
13．阅读材料：
已知，如图①，在面积为S的△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，内切圆⊙O的半径为r.连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形．
(1)类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)⊙O，如图②，各边长分别为AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求四边形的内切圆半径r；
(2)理解应用：如图③，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝21，CD＝11，AD＝BC＝13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求
的值．
解：如图②，过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F.
∵AB∥CD，
∴四边形CDEF是矩形．易知Rt△ADE≌Rt△BCF.
∴AE＝
(AB－CD)＝
×(21－11)＝5，
∴EB＝AB－AE＝21－5＝16.
∵在Rt△AED中，AD＝13，AE＝5，∴DE＝12，(共34张PPT)
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九年级下
第2章 圆
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1
2
3
4
见习题
B
A
5
C
6
7
8
9
见习题
见习题
D
10
B
C
见习题
11
12
13
14
4
答案显示
15
B
B
见习题
1．下列说法不正确的是( )
A．在同圆中，劣弧一定比优弧短
B．面积相等的圆是等圆
C．长度相等的弧是等弧
D．直径的两个端点平分圆周
C
2．如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是
的中点，CE⊥OA交⊙O于点E，连接AE.求证：AE＝AO.
证明：连接OC，AC.
∵∠AOB＝120°，C是
的中点，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵OA＝OC，∴△AOC为等边三角形，∴AC＝AO.
∵OA⊥CE，∴
∴AE＝AC，∴AE＝AO.
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝35°，那么∠BAD的度数是( )
A．50°
B．55°
C．65°
D．70°
【点拨】连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ABD＝∠ACD＝35°，∴∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝55°.
B
4．如图，AB为⊙O的直径，C为
上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是( )
A．x＋y＝90
B．2x＋y＝90
C．2x＋y＝180
D．x＝y
【点拨】连接BC，由圆周角定理，得∠BAC＝
∠BOC＝
x°，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°－
x°.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
【答案】A
∴∠D＝180°－∠B＝90°＋
x°，
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝
x°，
∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA＝
x°，
∴∠ACD＝180°－∠DAC－∠D，
即y°＝180°－
x°－
＝90°－x°，∴x＋y＝90.
5．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20
cm的砖塞在球的两侧(如图)，他量了下两砖之间的距离刚好是80
cm，大理石球的半径是( )
A．40
cm
B．30
cm
C．20
cm
D．50
cm
【点拨】如图，连接OA，AB，OC，OC交AB于点D.由题意知AB＝80
cm，CD＝20
cm，OD⊥AB.设⊙O的半径为a
cm，则OD＝(a－20)cm.在Rt△AOD中，易得AD＝40
cm，由勾股定理，得a2＝(a－20)2＋402，解得a＝50.
【答案】D
6．【中考·荆门】如图，已知锐角三角形ABC的外接圆圆心为O，半径为R.
证明：如图，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，
∵AD为直径，∴∠ACD＝90°.
(2)若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝
，求BC的长及sin
C的值．
解：如图，连接OA，OB，OC，OE，OF，OD.
∵△ABC的内切圆的半径r＝
，
D，E，F为切点，∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝∠CBO＝30°，BE＝BD，CD＝CF，AE＝AF，OE⊥AB，OD⊥BC，OF⊥AC.
7．如图，已知△ABC的内切圆的半径r＝
，D，E，F为切点，∠ABC＝60°，BC＝8，S△ABC＝10
，求AB，AC的长．
8．若点B(a，0)在以点A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为( )
A．a＜－1
B．a＞3
C．－1＜a＜3
D．a≥－1且a≠0
C
【点拨】∵点B(a，0)在以点A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，∴|a－1|＜2，∴－1＜a＜3.
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F.
(1)判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：相切．
理由：连接OD，OE.
∵点E是AB的中点，点O是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC.
∴∠BOE＝∠OCD，∠DOE＝∠ODC.
∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠BOE＝∠DOE.
又∵OB＝OD，OE＝OE，
∴△OBE≌△ODE.
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴OD⊥DE.
又∵OD是⊙O的半径，
∴直线DF与⊙O相切．
(2)若CF＝8，DF＝4，求⊙O的半径和AC的长．
解：设⊙O的半径为x，则OD＝x，OF＝8－x.由(1)知，∠ODE＝90°，∴OD2＋FD2＝OF2，
∴x2＋42＝(8－x)2，∴x＝3.
∴⊙O的半径为3.
∵∠FBE＝∠FDO＝90°，∠F＝∠F，
∴△FBE∽△FDO，∴
∵BF＝FC－BC＝2，OD＝3，DF＝4，
10．【2021·厦门模拟】将一个半径为1的圆形轮子沿直线l水平向右滚动，图中显示的是轮子上的点P的起始位置与终止位置，其中在起始位置时PO∥l，在终止位置时PO所在直线与l所夹锐角为60°，则滚动前后，圆心之间的距离可能为( )
【点拨】由题意可得，圆形轮子可能滚动不止一周，设轮子滚动了n周后又滚动120°到达终止位置，
则OP滚动的角度α＝(120＋360n)°(n为整数)，
易得圆心运动前后的距离即为OP滚动完毕扫过的角度所对应的弧长，
【答案】B
11．日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．如图①是一个赤道式日晷，晷面外延一般有三个圆圈，内圈标示着“十二地支”(子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、
酉、戌、亥)，
如图②，通过测量得到晷面内圈的半径为24
cm，若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时结束划过的图形面积是( )
A．240π
cm2
B．192π
cm2
C．144π
cm2
D．96π
cm2
B
12．【中考·梧州】如图，已知半径为1的⊙O上有三点A，B，C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC的面积是________．
【点拨】∵∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，∴∠C＝∠ADO－∠CAB＝65°.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝65°，∴∠AOC＝50°，∴阴影部分的扇形OAC的面积＝
13．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H.若该圆的半径为15
cm，则线段GH的长为( )
【点拨】由题意可得AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°.∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，∴AG＝BG，BH＝CH，∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，∴AG＝BG＝GH＝BH＝CH.连接OA，OB，OB交AC于N，由题意可知OB⊥AC，∠AOB＝60°.
【答案】B
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与矩形ABCD的边CD相切时，BP的长为________．
【点拨】当⊙P与矩形ABCD的边CD相切时，设PC＝PM＝x.∵M是AB的中点，∴BM＝3.在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2＋PB2，∴x2＝32＋(9－x)2，∴x＝5，即PC＝5，∴BP＝BC－PC＝9－5＝4.
【答案】4
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)在第一象限．以P为圆心的圆经过原点，与y轴的另一个交点为A.点Q是线段OA上的点(不与O，A重合)，过点Q作PQ的垂线交⊙P于点B(m，n)，其中m≥0，连接BP.
(1)若b＝5，则点A的坐标是________；
(0，10)
(2)在(1)的条件下，若OQ＝8，求线段BQ的长；
解：如图，连接OP，过点P作PH⊥OA于H.
∵b＝5，PH⊥OA，∴OH＝AH＝5.
∵OQ＝8，∴QH＝OQ－OH＝3.
在Rt△QHP中，PQ2＝QH2＋PH2＝9＋PH2，
在Rt△PHO中，PO2＝OH2＋PH2＝25＋PH2＝BP2，
在Rt△BQP中，BQ2＝BP2－PQ2＝(25＋PH2)－(9＋PH2)＝16，
∴BQ＝4.
(3)若点P在函数y＝x2(x＞0)的图象上，△BQP是等腰三角形且PQ＝
，求点B的坐标．
解：∵△BQP是等腰直角三角形，PQ＝
，∴BP＝2
.
又点P在函数y＝x2(x＞0)的图象上，点P的横坐标为a，
∴P(a，a2)，
∴OP2＝a2＋a4＝BP2＝(2
)2，
即a4＋a2－20＝0，解得a＝±2.
∵a＞0，∴a＝2.∴P(2，4)．(共26张PPT)
2.2 圆心角、圆周角
2.2.1
圆心角
第2章 圆
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1
2
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1
2
3
4
B
D
5
5
D
弧；弦
④
3
圆心角；弦
6
7
8
9
50°
C
见习题
10
C
11
12
13
14
见习题
见习题
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D
15
见习题
80；60
30
1．圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
2．在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的________相等，所对的________也相等．
弧
弦
3．在同圆或等圆中，如果两个________、两条弧和两条________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
弦
圆心角
1．下面四个图中的角，是圆心角的是( )
D
2．在半径为5
cm的⊙O中，长度为5
cm的弦所对的圆心角为( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
B
3．如图，AB，CD分别为⊙O的两条弦，OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，且∠AOB＝∠COD，则( )
A．AB＝CD
B．OM＝ON
C.
D．以上结论都对
D
4．【原创题】如图，⊙O的直径AB和DE交于点O，AC∥DE，若弦CE＝5，则弦BE＝________．
【点拨】如图，连接OC，∵AC∥DE，
∴∠A＝∠1，∠2＝∠ACO，
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠1＝∠2.
∴BE＝CE＝5.
5
5．如图，已知点A，B，C，D在⊙O上，∠AOB＝∠COD，有下列结论：①AB＝CD；②
；③△AOB≌△COD；④△AOB与△COD都是等边三角形．其中不一定成立的是________．
④
6．【中考·菏泽】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC的长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则
的度数为________．
50°
7．【2021·娄底新化期末】如图，AB为⊙O的直径，点C，D是
的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为( )
A．40°
B．60°
C．80°
D．120°
C
8．【中考·舟山】在⊙O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，如果OM＝ON，那么在结论：①AB＝CD；②
；③∠AOB＝∠COD中，正确的是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
D
9．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，且AC＝BD.求证：AB＝CD.
10．【中考·舟山】把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中虚线表示折痕，则
的度数是( )
A．120°
B．135°
C．150°
D．165°
C
11．【中考·毕节】如图，AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为______°.
30
【点拨】连接OC.由题意可得
，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°.∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A＝60°.∵CE⊥OA，∴∠AEC＝90°，∴∠ACE＝90°－60°＝30°.
12．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝________°，∠B＝________°.
【点拨】连接OA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝20°，∴∠AOC＝140°.∵∠BAC＝40°，∠OAC＝20°，
∴∠OAB＝60°.∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝∠AOB＝60°.∴∠BOC＝80°.
80
60
13.如图，过⊙O的直径AB上两点M，N，分别作弦CD，EF，若CD∥EF，AC＝BF.求证：
证明：连接OC，OF.
∵AC＝BF，∴∠COA＝∠BOF.
∵∠AOC＋∠COB＝180°，∠BOF＋∠AOF＝180°，
∴∠COB＝∠FOA.
(2)AM＝BN.
证明：∵∠COA＝∠BOF，OC＝OF＝OA＝OB，
∴∠A＝∠OCA＝∠BFC＝∠B.
∵CD∥EF，∴∠AMC＝∠ANE.
又∵∠BNF＝∠ANE.∴∠AMC＝∠BNF.
在△AMC和△BNF中，
∴△AMC≌△BNF(AAS)．∴AM＝BN.
14．如图，MN是⊙O的直径，点A是上半圆的三等分点，点B是
的中点，点P是直径MN上一动点．若MN＝2
，求点P到A，B两点距离之和的最小值．
解：如图，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P′，点P在P′位置时到A，B两点的距离之和最小．连接OA′，OA，OB，AP′.
∵点A与点A′关于MN对称，点A是上半圆的一个三等分点，
∴∠A′ON＝∠AON＝60°，P′A＝P′A′.
∵点B是
的中点，∴∠BON＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′ON＋∠BON＝90°.
又∵OB＝OA′＝
，∴A′B＝2.
∴P′A＋P′B＝P′A′＋P′B＝A′B＝2，
即点P到A，B两点距离之和的最小值为2.
15．(1)如图①，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是
的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.
求证：AE＝BF＝CD.
证明：连接AC，BD.
∵C，D是
的三等分点，
∴
∴AC＝CD＝BD.
∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°.
∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°.
∵OA＝OC，∠AOC＝30°，
∴∠ACE＝
×(180°－30°)＝75°＝∠AEC.
∴AE＝AC.
同理可得BF＝BD.
∴AE＝BF＝CD.
(2)在(1)题中，如果∠AOB＝120°，其他条件不变，如图②所示，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
解：成立．证明如下：
连接AC，BD.
∵C，D是
的三等分点，∴
∴AC＝CD＝BD.
∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝40°.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°.
∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝70°.
∵OA＝OC，∠AOC＝40°，
∴∠ACE＝
×(180°－40°)＝70°＝∠AEC.
∴AE＝AC.
同理可得BF＝BD.
∴AE＝BF＝CD.(共27张PPT)
2.5 直线与圆的位置关系
2.5.2 圆的切线
第1课时 圆的切线的判定
第2章 圆
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1
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1
2
3
4
C
C
见习题
5
B
见习题
垂直
6
7
8
9
C
见习题
10
见习题
11
12
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见习题
见习题
见习题
经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆的切线．
垂直
1．下列说法中，正确的是( )
A．与圆有公共点的直线是圆的切线
B．若圆心到直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
B
2．如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是( )
A．以PA为半径的圆
B．以PB为半径的圆
C．以PC为半径的圆
D．以PD为半径的圆
C
3．如图，已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P，下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是( )
A．OP＝5
B．OE＝OF
C．OP⊥EF
D．O到直线EF的距离是4
C
4．【2021·张家界模拟】如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F.求证：
(1)AD＝BD；
证明：连接CD.
∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB.
∵AC＝BC，∴AD＝BD.
(2)DF是⊙O的切线．
证明：连接OD.
∵AD＝BD，OB＝OC，∴OD是△BCA的中位线，
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴DF⊥OD.
∵OD为半径，∴DF是⊙O的切线．
5．【中考·湘潭】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E.
(1)求证：△ABD≌△ACD；
证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD.
(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD.
由△ABD≌△ACD知，BD＝CD，
又∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．
6．【中考·无锡】如图，在矩形ABCD中，G是BC的中点，过A，D，G三点的⊙O与边AB，CD分别交于点E，点F，给出下列说法：(1)AC与BD的交点是⊙O的圆心；(2)AF与DE的交点是⊙O的圆心；(3)BC与⊙O相切．其中正确说法的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
C
7．【2021·福州鼓楼区校级模拟】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝5，点D在边AB上，以AD为直径的⊙O与边BC有公共点E，则AD的最小值是________．
【点拨】易知当点E是切点且EO⊥BC时，AD有最小值．
∵∠EBO＝∠CBA，∠OEB＝∠ACB＝90°，
8．在数学课上，老师请同学思考如下问题：
已知：如图①，在△ABC中，∠A＝90°.
求作：⊙P，使得点P在边AC上，且⊙P与AB，BC都相切．
小轩的主要作法如下：如图②，
(1)作∠ABC的平分线BF，与AC交于点P；
【点拨】如图，过点P作PD⊥BC于D，
∵BF平分∠ABC，∠A＝90°，∴PA＝PD.
∴PD是⊙P的半径，∴D在⊙P上，∴BC与⊙P相切．
(2)以点P为圆心，AP长为半径作⊙P.⊙P即为所求．
请回答：⊙P与BC相切的依据是_____________________
_____________________________________________________________________.
角平分线上的点到角两边的距离相等，若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线为圆的切线
9．【中考·邵阳】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接BC，OC，BC平分∠ABD.
求证：CD为⊙O的切线．
证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD.
∵BD⊥CD，∴OC⊥CD.
∵OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线．
10.【中考·张家界】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD＝∠A.
(1)求证：CD为⊙O的切线；
证明：连接OC，由题意可知∠A＋∠ABC＝90°，OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB.
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线．
(2)若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE＝2时，求EF的长．
解：∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，
又∵∠BCD＝∠A，∴∠A＋∠ADE＝∠BCD＋∠CDF，
即∠CEF＝∠CFE，∴CF＝CE＝2.
又∵∠ACB＝90°，∴EF＝2
.
11．【2021·南充】如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝OB，连接AC.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
证明：∵AB＝OA＝OB，∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°.
∵BC＝OB，∴BC＝AB，∴∠BAC＝∠C.
∵∠OBA＝∠BAC＋∠C＝60°，∴∠BAC＝∠C＝30°.
∴∠OAC＝∠OAB＋∠BAC＝90°.
∴OA⊥AC，
∵OA是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．
(2)点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，若OA＝4，求GF的长．
解：如图，连接OF，过点O作OH⊥GF于点H，
则GF＝2HF，∠OHE＝∠OHF＝90°.
∵点D，E分别是AC，OA的中点，
∴OE＝AE＝
OA＝
×4＝2，DE∥OC.
∴∠OEH＝∠AOB＝60°，
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝13
cm，BC＝16
cm，CD＝5
cm，圆心O为AB上一点，且半径OA＝2
cm.动点P沿AD方向从点A开始向点D以1
cm/s的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2
cm/s的速度运动，点P，Q分别从A，C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．
(1)判定BC与⊙O的位置关系；
解：如图，过点D作DE⊥BC于E，由题意知AB＝DE，BE＝AD＝13
cm.
∵BC＝16
cm，∴EC＝3
cm，
在Rt△DCE中，DC＝5
cm，
则DE＝
又AB＝DE＝4
cm，OA＝2
cm，
∴OB＝2
cm，∴OB为⊙O的半径．
由∠B＝90°得OB⊥BC，∴BC与⊙O相切．
(2)求四边形PQCD的面积y关于P，Q的运动时间t的函数表达式，并求当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积．
解：当P，Q运动t
s时，由点P，Q的运动速度分别为1
cm/s和2
cm/s，
得PD＝(13－t)cm，CQ＝2t
cm，
∴四边形PQCD的面积y＝
AB·(PD＋CQ)，
即y＝
×4×(13－t＋2t)＝2t＋26(0＜t≤8)．(共30张PPT)
2.3 垂径定理
第2章 圆
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1
2
3
4
B
A
B
5
B
这条弦；两条弧
6
7
8
9
D
C
见习题
10
B
11
12
13
14
见习题
见习题
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5
见习题
C
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分________，并且平分弦所对的________________．
这条弦
两条弧
2．平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧，平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．
1．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，则下列结论中一定正确的是( )
A．AE＝OE
B．CE＝DE
C.
D．AO＝CD
B
2．【中考·惠州】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( )
A.
B．2
C．6
D．8
B
3．【中考·张家界】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5
cm，CD＝8
cm，则AE的长为( )
A．8
cm
B．5
cm
C．3
cm
D．2
cm
A
【点拨】∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8
cm，∴CE＝
CD＝4
cm.在Rt△OCE中，OC＝5
cm，CE＝4
cm，∴OE＝
＝3
cm，∴AE＝AO＋OE＝5＋3＝8(cm)．
4．【中考·甘孜州】如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是( )
A．AC＝AB
B．∠C＝
∠BOD
C．∠C＝∠B
D．∠A＝∠BOD
B
5．【2021·株洲攸县期末】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则CE的长为________．
【点拨】连接BE，设⊙O的半径为R.
∵OD⊥AB，∴AC＝BC＝
AB＝
×8＝4.
在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R－CD＝R－2，
∵OC2＋AC2＝OA2，∴(R－2)2＋42＝R2，解得R＝5，
∴OC＝5－2＝3，
∵AC＝BC，AO＝EO，∴BE＝2OC＝6.
∵AE为直径，∴∠ABE＝90°.
在Rt△BCE中，CE＝
【答案】2
6．下列说法正确的是( )
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．弦的垂直平分线经过圆心
D
7．【中考·乐山】《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中(如图)，不知其大小，
【点拨】设⊙O的半径为r.在Rt△ADO中，易知AD＝5，OD＝r－1，OA＝r，则有r2＝52＋(r－1)2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸．
用锯去锯这块木材，锯口深1寸(ED＝1寸)，锯道长1尺(AB＝1尺＝10寸)，问这块圆柱形木材的直径是多少？”请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是( )
A．13寸
B．20寸
C．26寸
D．28寸
C
8．如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9
m，水面宽AB为6
m，则桥拱半径OC为________m.
5
【点拨】连接OA，∵OD⊥AB，∴AD＝
AB＝3
m．在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，即OC2＝OA2＝(9－OC)2＋32，解得OC＝5
m.
9．一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10
mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8
mm，求这个孔道的直径AB.
解：如图，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD.
∵钢球的直径是10
mm，∴钢球的半径是5
mm.
∵钢球顶端离孔道外端的距离为8
mm，
∴OD＝3
mm.
在Rt△AOD中，AD＝
∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．
10．【中考·荆州】如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan
∠BOD的值是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【点拨】如图，连接AB，过点P作PE⊥BO于点E，并延长EP交⊙P于点D，连接OD，此时点D到弦OB的距离最大．∵A(8，0)，B(0，6)，∴AO＝8，BO＝6.
∵∠BOA＝90°，∴AB为⊙P的直径，且AB＝
∴⊙P的半径为5.
∵PE⊥BO，∴BE＝EO＝3，∴PE＝
∴ED＝PE＋PD＝9，∴tan
∠BOD＝
＝3.
【答案】B
11.【中考·梧州】如图，在半径为
的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是( )
A．2
B．2
C．2
D．4
【答案】C
12．【2021·湖州】如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是
所对的圆周角，∠ACD＝30°.
(1)求∠DAB的度数；
解：连接BD.
∵∠ACD＝30°，∴∠B＝∠ACD＝30°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴∠DAB＝90°－∠B＝60°.
(2)过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F.若AB＝4，求DF的长．
13.
(易错题)已知⊙O的半径为5
cm，AB，CD是⊙O的弦，AB∥CD，AB＝8
cm，CD＝6
cm，求AB和CD之间的距离．
【点拨】本题的易错点是条件中没有给出具体的图形，解题时容易忽略存在两种情形：两条弦在圆心的同侧与两条弦在圆心的异侧．
解：①当弦AB和CD在圆心的同侧时，如图①，
作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E.
∵AB∥CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB.
∵AB＝8
cm，CD＝6
cm，∴AE＝4
cm，CF＝3
cm，
连接OA，OC.
∵OA＝OC＝5
cm，
∴
∴EF＝OF－OE＝1
cm.
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
作OE⊥AB，垂足为E，延长EO，交CD于F.
连接AO，CO.
∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD.
∵AB＝8
cm，CD＝6
cm，∴AE＝4
cm，CF＝3
cm，
∵OA＝OC＝5
cm，
∴
∴EF＝OF＋OE＝7
cm.
答：AB和CD之间的距离为1
cm或7
cm.
14．如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12
m，拱顶高出水面4
m.
(1)求这座拱桥所在圆的半径；
解：如图，连接OA.根据题意，得CD＝4
m，AB＝12
m，
则AD＝
AB＝6
m，
设这座拱桥所在圆的半径为x
m，
则OA＝OC＝x
m，OD＝OC－CD＝(x－4)m，
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，
即x2＝(x－4)2＋62，解得x＝6.5，
故这座拱桥所在圆的半径为6.5
m.
(2)现有一艘宽5
m，船舱顶部为正方形并高出水面3.6
m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
解：货船不能顺利通过这座拱桥．理由如下：
如图，设OC交MN于点H，连接OM.
∵OC⊥MN，MN＝5
m，∴MH＝
MN＝2.5
m.
在Rt△OMH中，OH＝
＝6
m，
∵OD＝OC－CD＝6.5－4＝2.5(m)．
∴ME＝DH＝OH－OD＝6－2.5＝3.5(m)＜3.6
m，
∴货船不能顺利通过这座拱桥．
