(共40张PPT)
24.4 直线与圆的位置关系
第2课时 切线的性质与判定
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
D
D
25
60
5
50°或110°
核心必知
1
2
垂直
垂直
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
85°
见习题
B
见习题
10
见习题
11
12
13
14
2
D
3
见习题
15
见习题
1．圆的切线________于经过切点的半径．
垂直
2．切线判定定理：经过半径外端点并且________于这条半径的直线是圆的切线．
垂直
1．【安徽芜湖二十九中月考】如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
D
2．【中考·温州】如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1，则BD的长为( )
D
3．【中考·苏州】如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD.若∠C＝40°，则∠B的度数是________°.
25
4．【中考·安徽】如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E.若点D是AB的中点，则∠DOE＝________°.
【答案】60
【点拨】如图，连接OA，
∵四边形ABOC是菱形，∴BA＝BO.
∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB.
∵点D是AB的中点，∴直线OD是线段AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，∴△AOB是等边三角形．
50°或110°
6．【2021·温州】如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B，将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，点O′落在⊙O上，A′B交AO于点C.若∠A′＝25°，则∠OCB等于________．
【答案】85°
【点拨】∵⊙O与△OAB的边AB相切，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°.如图，连接OO′，
∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，
∴∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′.
又∵OB＝OO′，∴△OO′B为等边三角形，
∴∠OBO′＝60°，∴∠ABA′＝60°，
∴∠OCB＝∠A＋∠ABC＝25°＋60°＝85°.
7．【合肥模拟】如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B.AC经过圆心O，并与圆相交于点D，C，过C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E.
(1)求证：CB平分∠ACE；
证明：如图①，连接OB，
∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB.
∵CE⊥AE，∴OB∥CE，∴∠1＝∠3.
∵OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，
∴CB平分∠ACE.
(2)若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
8．下列说法中，正确的是( )
A．与圆有公共点的直线是圆的切线
B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D．过圆的半径的外端点的直线是圆的切线
B
9．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接BC，BC平分∠ABD.
求证：CD为⊙O的切线．
证明：连接OC.
∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD.
∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线．
10.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以O为圆心的圆与AC相切于点D.
(1)求证：BC与⊙O相切；
证明：如图，过点O作OF⊥BC，垂足为F，连接OD，
∵AC是⊙O的切线，
∴OD⊥AC，
又∵OC为∠ACB的平分线，
∴OF＝OD，即OF是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切．
(2)当AC＝3，BC＝6时，求⊙O的半径．
11．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，连接OC与半圆相交于点D，则CD的长为__________．
【点拨】如图，设半圆O与AC相切于点E，连接OE，则OE⊥AC，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2＋BC2，
∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OE∥BC，
∵AO＝OB，
【答案】2
12．【创新题】【2021·安徽模拟】如图，已知P为⊙O外一点，连接OP交⊙O于点A，且OA＝2AP，求作直线PB，使PB与⊙O相切．以下是甲、乙两名同学的作法．
甲：作OP的垂直平分线，交⊙O于点B，则直线PB即为所求．
乙：取OP的中点M，以M为圆心，OM长为半径画弧，交⊙O于点B，则直线PB即为所求．
对于两人的作法，下列说法正确的是( )
A．两人都对
B．两人都不对
C．甲对，乙不对
D．甲不对，乙对
D
【答案】3
14．【安徽模拟】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
证明：∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，
又∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线．
(2)若DE＋EA＝8，AF＝16，求⊙O的半径．
∴四边形ODEH是矩形，∴OD＝EH，OH＝DE.
设AE＝x.∵DE＋AE＝8，
∴OH＝DE＝8－x，OA＝OD＝HE＝AH＋AE＝8＋x，在Rt△AOH中，由勾股定理，得AH2＋OH2＝OA2，即82＋(8－x)2＝(8＋x)2，解得x＝2，
∴OA＝8＋2＝10.
∴⊙O的半径为10.
15．【中考·江西】如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD.
(1)求证：AB为⊙O的切线；
证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵AD⊥BO于点D，∴∠D＝90°，
∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠AOD＋∠OAD＝90°.
∵∠AOD＝∠BAD，
∴∠ABD＝∠OAD.
又∵BC为⊙O的切线，
∴AC⊥BC，∴∠BCO＝∠D＝90°.(共25张PPT)
24.3 圆周角
第2课时 圆周角和直径的关系
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
A
C
D
A
5
D
核心必知
直角
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
B
B
D
见习题
10
见习题
11
12
13
C
见习题
见习题
半圆或直径所对的圆周角是________；
90°的圆周角所对的弦是直径．
直角
1．如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为( )
A．70°
B．90°
C．40°
D．60°
A
2．【合肥50中新校统考】如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠BCD＝40°，则∠ABD的度数为( )
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】C
【点拨】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠BCD＝40°，
∴∠ACD＝90°－∠BCD＝50°，
∴∠ABD＝∠ACD＝50°.
3．【中考·福建】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是( )
A．∠ADC
B．∠ABD
C．∠BAC
D．∠BAD
D
A．25°
B．50°
C．40°
D．80°
A
5．如图，点P在以AB为直径的半圆形内，连接AP，BP并延长分别交半圆于点C，D，连接AD，BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法一定正确的是( )
①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；
③FP⊥AB；④BD⊥AF.
A．①③
B．①④
C．②④
D．③④
D
6．【中考·常州】如图，把直角三角尺的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8
cm，ON＝6
cm，则该玻璃镜的半径是( )
B
7．下列直角三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )
B
8．下列结论正确的是( )
A．直径所对的角是直角
B．90°的圆心角所对的弦是直径
C．同一条弦所对的圆周角相等
D．半圆所对的圆周角是直角
D
9．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AB＝AD，BA，CD的延长线交于点E，且AB＝AE，求证：BC是⊙O的直径．
证明：如图，连接BD.
∵AE＝AD＝AB，∴∠E＝∠ADE，∠ADB＝∠ABD.
∵∠E＋∠EDB＋∠ABD＝180°，
∴2∠EDA＋2∠ADB＝180°，
∴∠EDA＋∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠EDB＝90°，
∴BC是⊙O的直径．
10．【2021·安庆月考】如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝12，BC＝8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，连接PC，求线段CP长的最小值．
解：∵AB⊥BC，∠PAB＝∠PBC，
∴∠ABP＋∠PBC＝∠ABP＋∠PAB＝90°，∴∠APB＝90°.
∴点P在以AB为直径的圆上．
取AB的中点O，以点O为圆心，AB为直径作圆，连接OC交圆O于P，此时CP长取得最小值．∵AB＝12，∴OB＝6，
∴CP＝10－6＝4，∴线段CP长的最小值是4.
11．【中考·安顺】如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan
∠OBC为( )
C
12.如图，在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于点D，以AD为直径的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接DE，DF.
(1)求证：∠EAF＋∠EDF＝180°；
证明：∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝∠AFD＝90°.
∵∠AED＋∠AFD＋∠EAF＋∠EDF＝360°，
∴∠EAF＋∠EDF＝180°.
(2)已知P是射线DC上一个动点，当点P运动到PD＝BD时，连接AP，交⊙O于点G，连接DG.设∠EDG＝α，∠APB＝β，那么α与β有何数量关系？试证明你的结论(在探究α与β的数量关系时，可直接运用(1)的结论进行推理与解答)．
解：α＝2β.
证明：∵DP＝BD，AD⊥BC，
∴AB＝AP.∴∠B＝∠APB＝β.
由(1)的结论可知，∠BAP＋∠EDG＝180°.
∵∠BAP＋∠B＋∠APB＝180°，
∴∠BAP＝180°－2β.
∴180°－2β＋α＝180°.
∴α＝2β.
13．【合肥瑶海区模拟】如图，△ABC内接于⊙O，已知AB＝c，BC＝a，AC＝b，⊙O的半径为R.
证明：如图，连接CO并延长交⊙O于点D，连接BD，
则∠D＝∠A，∠DBC＝90°，CD＝2R，
(2)若a＝5，∠A＝60°，求⊙O的半径R.(共25张PPT)
专题技能训练(一)
利用旋转变换解题
第24章 圆
答案显示
6
7
8
9
见习题
见习题
见习题
1
2
3
4
A；90
B
见习题
见习题
5
(7，3)
1．如图，正方形ABCD中，E，F分别是CD，CB延长线上的点，且DE＝BF.△ABF可以看作是由△ADE绕旋转中心________点，按顺时针方向旋转________度而得到的．
A
90
2．【2021·芜湖无为县期末】如图，将含有30°角的三角板ABC绕点C逆时针旋转一定角度得到△EDC.连接AE，若AB，CE相交于点F，且AE＝AF，则旋转角是( )
A．45°
B．40°
C．35°
D．30°
【答案】B
【点拨】设旋转角为α，则∠ACE＝α.
又∵∠EFA＝∠ECA＋∠BAC＝α＋30°，
(1)作出以点B为旋转中心，将△AOB按顺时针方向旋转60°所得到的三角形示意图；
解：如图所示，△DEB即为所作．
(2)求OA＋OB＋OC的值．
解：由已知可得AB＝2，∴∠ABC＝30°.
如图，连接OE，根据(1)可知，OB＝BE，OA＝DE，
∠BED＝∠AOB＝120°，∠OBE＝∠ABD＝60°，
∴△OBE为等边三角形，
∴OB＝OE，∠BOE＝∠BEO＝60°，
又∵∠BOC＝∠BED＝120°，∴点C、O、E、D在一条直线上，
∴OA＋OB＋OC＝DE＋OE＋OC＝CD.
又∵∠ABC＝30°，∴∠CBD＝30°＋60°＝90°.
4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点按逆时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.
(1)求证：△AEC≌△ADB；
证明：∵把△ABC绕A点按逆时针方向旋转得到△ADE，
AB＝AC，
∴AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，
∴△AEC≌△ADB.
解：∵四边形ADFC是菱形，
∴∠DBA＝∠BAC＝45°.
∵AD＝AB，∴∠DBA＝∠BDA＝45°，
∴∠DAB＝90°，∴BD2＝AD2＋AB2.
(7，3)
6．【2021·上海】定义：平面上一点到图形的最短距离为d.如图，OP＝2，正方形ABCD的边长为2，O为正方形ABCD的中心，当正方形ABCD绕点O旋转时，d的取值范围为__________________．
7．如图，在Rt△ABC中，四边形DECF是正方形．
(1)请简述图①经过怎样的变换得到图②；
解：将题图①中△ADE绕点D逆时针旋转90°得到题图②.
(2)当AD＝5，BD＝6时，设△ADE，△BDF的面积分别为S1，S2，求S1＋S2.
解：△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则S1＋S2＝S△BDG.由旋转可知，∠ADG＝90°，DG＝AD＝5，
∴S1＋S2＝15.
8．【中考·日照】如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ.求证：
(1)EA是∠QED的平分线；
证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，
∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF.
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF＋∠BAE＝45°.
∴∠QAE＝∠BAQ＋∠BAE＝45°.∴∠QAE＝∠FAE.
∴∠AEQ＝∠AEF，即EA是∠QED的平分线．
(2)EF2＝BE2＋DF2.
解：由(1)知△AQE≌△AFE，
∴QE＝EF.由题意知∠ABQ＝∠ADF＝∠ABD＝45°，∴∠QBE＝∠ABQ＋∠ABD＝45°＋45°＝90°.
∴在Rt△QBE中，QB2＋BE2＝QE2.
∴EF2＝BE2＋DF2.
9．【2021·安徽模拟改编】【提出问题】如图①，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．
【解决问题】解：如图①，连接BD，将△DCB绕点D顺时针旋转60°得到△DAB′，
∴易得B，A，B′三点共线，∴△BDB′是等边三角形．
∵AB′＝BC，∴BB′＝AB＋AB′＝AB＋BC＝3.
【探究问题】请仿照上面的解题思路，解答下面的问题：
如图②，等边三角形ABC的边长为2，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，
连接MN，求△AMN的周长．
解：如图，将△BDM绕点D顺时针旋转120°得到△CDP，
∴易得A，C，P三点共线．
∵∠MDN＝60°，∠MDP＝120°，
∴∠PDN＝120°－60°＝60°，
∴∠MDN＝∠PDN.
∵△BDM≌△CDP，
∴MD＝PD，CP＝BM.
∴△NMD≌△NPD，∴MN＝PN＝NC＋CP＝NC＋BM，
∴△AMN的周长＝AM＋AN＋MN＝AM＋AN＋NC＋BM
＝AB＋AC＝2＋2＝4.(共11张PPT)
专题技能训练(三)
1.与圆有关的位置关系判断与应用的四种方法
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
见习题
见习题
B
见习题
1．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC.连接CP，求线段CP长的最小值．
解：∵∠PAB＝∠PBC，∠ABC＝90°，
∴∠BAP＋∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，
2．【合肥寿春中学单元测试】如图，⊙O′过坐标原点O，点O′的坐标为(1，1)．判断点P(－1，1)，点Q(0，1)，点R(2，2)和⊙O′的位置关系．
3．已知直线l经过⊙O上的A，B两点，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．无法确定
B
4．如图，在平面直角坐标系中，点M在第一象限内，MN⊥x轴于点N，MN＝1，⊙M与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点．
(1)求⊙M的半径；
解：连接AM，如图所示．
∵M为圆心，MN⊥x轴于点N，MN＝1，⊙M与x轴交于点A(2，0)，B(6，0)，
(2)请判断⊙M与直线x＝7的位置关系，并说明理由.
解：相离．理由：易知点M的横坐标为4，其到直线x＝7的距离为3.(共28张PPT)
24.6 正多边形与圆
第1课时 正多边形与圆
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
C
C
C
C
5
C
核心必知
1
2
各角也相等
(1)内接正n边形
(2)外切正n边形
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
C
B
见习题
C
10
C
11
12
13
14
C
15
见习题
见习题
1．各边相等、__________的多边形叫做正多边形．
各角也相等
2．把圆分成n(n≥3)等份：(1)依次连接n等分点所得的多边形是这个圆的______________；(2)经过n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的______________．
内接正n边形
内接正n边形
1．下面图形中，是正多边形的是( )
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．等腰梯形
C
2．【2021·安徽模拟】线段OA以点O为旋转中心逆时针旋转60°得到OA1，再将OA1以点O为旋转中心逆时针旋转60°得到OA2，依次操作直到点An与点A重合为止，顺次连接点A，A1，…，An－1，则得到的多边形是( )
A．正四边形
B．正五边形
C．正六边形
D．正七边形
C
3．【中考·衡阳】正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为( )
A．10
B．11
C．12
D．13
C
4．【教材改编题】一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( )
A．正六边形
B．正八边形
C．正十边形
D．正十二边形
C
C
6．下列说法：①各边相等的圆内接多边形必为正多边形；②各角相等的圆内接多边形必为正多边形；③各边相等的圆外切多边形必为正多边形；④各角相等的圆外切多边形必为正多边形．其中正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．4个
C
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】B
【点拨】连接OB，OC，如图，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴易得∠BOC＝90°，
解：如图，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H.
∵四边形ABCD是正方形，
同理，∠BFC＝45°.
∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠BDE＝∠DBF，∠BDC＝∠ABD，
∴∠ABF＝∠CDE.∵∠CFA＝∠AEC＝90°，
∴∠DEC＝∠AFB＝135°.
∵CD＝AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF＝CE＝1，
∵∠DHE＝90°，∴∠HDE＝∠HED＝45°，
∴DH＝HE.设DH＝EH＝x，
在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2＋DH2，
9．下列正多边形，通过直尺和圆规不能作出的是( )
A．正三角形
B．正方形
C．正七边形
D．正六边形
C
10．如图，A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，则∠ACB等于( )
A．60°
B．45°
C．30°
D．22.5°
C
11．【创新题】【2021·安徽模拟】小明用一些完全相同的三角形纸片拼接图案，已知用六个完全相同的纸片按照如图①所示的方法拼接可得到外轮廓是正六边形的图案．若用n个这样的纸片按如图②所示的方法拼接外轮廓是正多边形的图案，则n的值是( )
A．12
B．10
C．9
D．8
C
【答案】15
【点拨】如图，连接BO，
∵AC是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOC＝360°÷6＝60°.
∵BC是⊙O内接正十边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷10＝36°.
∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝60°－36°＝24°，
∴n＝360°÷24°＝15.
13．如图，在△AFG中，AF＝AG，∠FAG＝108°，点C，D在FG上，且CF＝CA，DG＝DA，过点A，C，D的⊙O分别交AF，AG于点B，E.
求证：五边形ABCDE是正五边形．
证明：∵AF＝AG，∠FAG＝108°，∴∠F＝∠G＝36°.
∵CF＝CA，DG＝DA，∴∠FAC＝∠GAD＝36°.
∴∠CAD＝36°.∴BC＝CD＝DE.
∵∠ACD＝∠FAC＋∠F＝72°，∠GAD＝36°，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
即点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点．
∴五边形ABCDE是正五边形．
14．如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE……的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)试求图①中∠MON的度数；
解：连接OB，OC，如图所示．
∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°.
∴∠BOC＝120°.∵OB＝OC，
∴∠OBN＝∠OCN＝30°.
∴∠OBM＝∠OCN＝30°.
又∵BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN.∴∠BOM＝∠CON.
∴∠MON＝∠BOM＋∠BON
＝∠CON＋∠BON＝∠BOC＝120°.
(2)猜想图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
(3)探究∠MON的度数与正n边形的边数n(n≥3)之间的关系(直接写答案即可)．
90°
72°(共34张PPT)
24.2 圆的基本性质
第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
D
A
D
A
5
D
核心必知
1
2
旋转对称；圆心；圆心角
弧；弦；旋转对称；
圆心角
提示：点击
进入习题
3
答案显示
6
7
8
9
C
C
B
D
10
120
11
12
13
14
＜
C
见习题
15
见习题
16
见习题
1．圆是__________图形，旋转中心为________．顶点在圆心的角叫做________．
旋转对称
圆心
圆心角
2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的________相等，所对的________相等，所对弦的弦心距相等．其依据是圆的__________性，应用的前提是________相等．
弧
弦
旋转对称
圆心角
3．推论：在同圆或等圆中，圆心角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等．
1．下列命题中，正确的是( )
A．圆只有一条对称轴
B．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴
C．圆是中心对称图形但不是旋转对称图形
D．圆既是中心对称图形又是旋转对称图形
D
2．【2021·武汉】下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A
3．如图，AB，CD分别为⊙O的两条弦，OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，且∠AOB＝∠COD，则( )
A．AB＝CD
B．OM＝ON
D．以上结论都正确
D
4．A，B，C，D四点在⊙O上，∠AOB＝2∠COD，则下列关系正确的是( )
A
D
6．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD的度数为( )
A．100°
B．110°
C．120°
D．135°
C
C
B
9．【2021·安庆期末】如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于( )
【点拨】作AH⊥BC于H，延长CA交⊙A于点F，连接BF，如图．
∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∠BAC＋∠BAF＝180°，
∵AH⊥BC，AB＝AC，∴CH＝BH，
又∵CA＝AF，∴AH为△CBF的中位线，
【答案】D
10．如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，且交CD于点E，如果OE＝BE，那么弦CD所对的圆心角是________度．
【答案】120
【点拨】如图，连接OC，BC，OD.
∵直径AB平分弦CD，OE＝BE，
∴OC＝BC＝OB，∴△OCB是等边三角形．
∴∠COB＝60°，∴∠COD＝2∠COB＝120°，
即弦CD所对的圆心角是120°.
11．在⊙O中，M为弧AB的中点，则AB______2AM.(填“＞”“＜”或“＝”)
＜
A．AB＋CD＝EF
B．AB＋CD＜EF
C．AB＋CD＞EF
D．无法确定
【答案】C
∴AB＝FM，CD＝EM，
在△MEF中，FM＋EM＞EF，
∴AB＋CD＞EF.故选C.
【点拨】如图，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，此时AP＋BP＝AP＋B′P＝AB′最小，连接OB′.
∵点B和点B′关于MN对称，
∴PB＝PB′.
∴∠AON＝180°÷3＝60°，
∠B′ON＝∠AON÷2＝30°，
∴∠AOB′＝∠AON＋∠B′ON＝90°.
(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
解：△AOC是等边三角形．
又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形．
(2)求证：OC∥BD.
证明：∵∠AOC＝∠COD＝60°，
∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°.
∵OD＝OB，∴△ODB为等边三角形．
∴∠ODB＝60°.
∴∠ODB＝∠COD.∴OC∥BD.
15．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB.
(1)求证：AB＝CD；
证明：∵AD＝BC，
(2)如果⊙O的半径为5，DE＝1，求AE的长．
解：过点O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，
连接OA，OC.
则AF＝FD，BG＝CG.
∵AD＝BC，∴AF＝CG.
∴Rt△AOF≌Rt△COG，∴OF＝OG，
∴四边形OFEG是正方形，∴OF＝EF.
设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x＋1，
在Rt△OAF中，由勾股定理得，x2＋
(x＋1)2＝52，解得x＝3(负根舍去)．
则AF＝3＋1＝4，即AE＝AF＋3＝7.
①
∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°.
∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°.
∵OA＝OC，∠AOC＝30°，
∴AE＝AC.同理可得BF＝BD.
∴AE＝BF＝CD.
(2)在(1)中，如果∠AOB＝120°，其他条件不变，如图②所示，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
②
解：成立．证明如下：
连接AC，BD.
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝40°.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°.
∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝70°.
∵OA＝OC，∠AOC＝40°，
∴AE＝AC.同理可得BF＝BD.
∴AE＝BF＝CD.(共16张PPT)
专题技能训练(四)
1.圆中常见的四种计算题型
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
见习题
1．【2021·天津改编】已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．
(1)如图①，连接BD，CD，若BD为⊙O的直径，则∠DBC＝________，
∠ACD＝________；
【答案】48°；21°
(2)如图②，连接CD，AD，OC，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，若CD∥BA，求∠E的大小．
解：如图，连接OD，
∵CD∥AB，∴∠ACD＝∠BAC＝42°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B＋∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°－∠B＝180°－69°＝111°，
∴∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC
＝180°－42°－111°＝27°，∴∠COD＝2∠CAD＝54°，
∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE＝90°，
∴∠E＝180°－90°－54°＝36°.
2．【2021·安徽模拟】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，点F在⊙O上，FA⊥CD，垂足为点E，连接CF交AB于点H.
证明：如图，连接CO并延长，交BF于点M，
∵CD为⊙O的切线，∴∠ECM＝90°，
∵AB为⊙O的直径，∴∠EFB＝90°，
又∵FA⊥CD，∴四边形CEFM为矩形，
【点拨】如图，∵FA＝FH，∴∠1＝∠2，
由(1)知，OC∥EF，∴∠4＝∠1，
又∵∠3＝∠2，∴∠3＝∠4，∴CH＝OC.
设CH＝OC＝x，则OB＝x，
(1)求⊙O的半径OA的长；
解：连接OD.
∵OA⊥OB，FD∥OB，∴∠OCD＝90°.
设OC＝a，则OA＝2a＝OD.
在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD2＋a2＝(2a)2，
∴⊙O的半径OA的长为2a＝2.
(2)计算阴影部分的面积．
如图，在矩形ABCD中，∠AFG＝120°，过F作EF⊥AB，AD＝EF＝AF＝FG＝60
cm，∴EF∥BC.
∴∠FGB＝∠EFG＝∠AFG－∠AFE＝120°－90°＝30°，
∴FB＝FG·sin
30°＝30
cm，
∴AB＝AF＋FB＝60＋30＝90(cm)，
∴选长为90
cm，宽为60
cm的矩形铁皮，
才能最节约成本(即用料最少)．(共28张PPT)
24.4 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
A
D
A
相交
5
见习题
核心必知
1
2
见习题
(1)公共点
(2)d与r的大小
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
C
B
B
见习题
10
见习题
11
12
13
14
A
D
C
C
15
C
16
相离
17
18
3
cm或5
cm
见习题
1．直线与圆的位置关系表
直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点的个数
公共点名称
直线名称
圆心到直线的距离d与r的关系
2
1
0
交点
切点
—
割线
切线
—
d＜r
d＝r
d＞r
2.确定直线与圆的位置关系的方法有两种：
(1)根据定义，由______________的个数来判断；
(2)根据性质，由______________的关系来判断．
公共点
d与r的大小
1．【2021·合肥模拟】若⊙O的半径为6，点O到直线l的距离为3，则下列选项中，大致位置关系正确的是( )
A
2．已知⊙A的直径为8，点A的坐标为(－3，－4)，则⊙A与x轴、y轴的位置关系分别是( )
A．相离、相切
B．相切、相离
C．相交、相切
D．相切、相交
D
3．【合肥庐阳区统考】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8
cm，BC＝6
cm，以点C为圆心，5
cm为半径的圆与直线AB的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
A
4．已知∠ABC＝60°，点O在∠ABC的平分线上，OB＝5
cm，以O为圆心，3
cm为半径作圆，则⊙O与BC的位置关系是________．
相交
5．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6厘米，BC＝8厘米，以C为圆心，r为半径作圆．
(1)若r＝2厘米，则⊙C与AB的位置关系是________；
(2)若r＝4.8厘米，则⊙C与AB的位置关系是__________；
(3)若r＝5厘米，则⊙C与AB的位置关系是________．
相离
相切
相交
6．已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是( )
A．2.5
B．3
C．5
D．10
C
7．圆的最大弦长为10
cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么( )
A．0
cm＜d＜5
cm
B．0
cm≤d＜5
cm
C．0
cm≤d≤5
cm
D．d≥5
cm
B
8．已知圆的直径为12，圆心到直线AB的距离等于6，则直线AB和圆( )
A．没有公共点
B．只有一个公共点
C．有两个公共点
D．至少有一个公共点
B
9.
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，以R为半径画圆，若⊙C与边AB只有一个公共点，则R的取值范围是_____________________．
【易错点】本题易只考虑AB与⊙C相切的情况，漏掉如图②所示的情况．
【点拨】如图①，过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝4，AB＝5，∠ACB＝90°，
10．已知等边三角形ABC的边长为6，以点A为圆心作圆，与BC边所在的直线相交，那么⊙A的半径R应满足什么条件？
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
11．如果⊙O的直径为6厘米，圆心O到直线AB的距离为5厘米，则直线AB与⊙O的位置关系为( )
A．相离
B．相切
C．相交
D．不确定
A
12.【2021·嘉兴】已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2
cm，线段OA＝3
cm，OB＝2
cm，则直线AB与⊙O的位置关系为( )
A．相离
B．相交
C．相切
D．相交或相切
D
13．设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围为( )
A．d≤4
B．d＜4
C．d≥4
D．d＝4
C
A．相离
B．相交
C．相切
D．无法确定
C
A．相离
B．相交
C．相切
D．无法确定
C
16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝2
cm，BD＝1
cm，以C点为圆心，1.4
cm长为半径作圆，则此圆和AB的位置关系是__________．
相离
17．【中考·泰州】如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4
cm，O为直线b上一动点，若以1
cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为______________．
3
cm或5
cm
(1)求直线与y轴的交点B的坐标；
(2)直线AB与⊙O是否相切？如果相切，说明理由；如果不相切，求出圆沿着x轴怎样运动，才能使直线AB与圆相切？
解：由(1)知AO＝8，BO＝6，∴AB＝10.
过点O作OC⊥AB于点C.
∴AB与⊙O相离，不相切．
如图①，当AB与⊙O′相切时，
作O′C′⊥AB于点C′，则O′C′＝3.
解得AO′＝5，∴OO′＝3.如图②，当AB与⊙O″相切时，
同样有AO″＝5，∴OO″＝13.
∴当圆沿着x轴向左平移3个单位长度
或13个单位长度时，能使直线AB与圆相切．(共31张PPT)
24.6 正多边形与圆
第2课时 正多边形的性质
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
C
A
C
A
5
A
核心必知
1
2
n；中心
中心；半径；边心距；中心角
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
C
A
8
cm
10
48°
11
12
13
14
B
见习题
见习题
见习题
1．正多边形都是轴对称图形，一个正n边形的每个顶点与它的中心连线所在的直线都是这个正n边形的对称轴．一个正n边形共有________条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．正n边形(n为偶数)也是________对称图形，它的对称中心就是这个正n边形的中心．
n
中心
2．任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的________；外接圆的半径叫做正多边形的________；内切圆的半径叫做正多边形的________；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的________．
中心
半径
边心距
中心角
1．下列说法中，不正确的是( )
A．正多边形一定有一个外接圆
B．正多边形的内切圆与外接圆是两个同心圆
C．正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形
D．各边相等的多边形未必是正多边形
C
2．一个正多边形绕着它的中心旋转72°后，才与原正多边形第一次重合，那么这个多边形( )
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
A
3．【2021·合肥蜀山区期末】如图，螺母的外围可以看成正六边形ABCDEF，已知这个正六边形的半径是2，则它的周长是( )
C
4．【中考·株洲】下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
A
5．【中考·滨州】若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( )
A
6．【合肥蜀山区西苑中学期中】已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的周长为( )
A．4
B．6
C．12
D．8
C
7．【安徽霍邱期末】如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列式子错误的是( )
A．R2－r2＝a2
B．a＝2R
sin36°
C．a＝2r
tan
36°
D．r＝R
cos36°
A
8．一个正n边形的面积是240
cm2，周长是60
cm，则边心距是________．
【答案】8
cm
9．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB＝1，∠C＝30°，则⊙O的内接正六边形的面积为________．
【点拨】连接AO，BO，过点O作OE⊥AB于点E，
∵∠C＝30°，∴∠AOB＝60°.
又∵AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AO＝BO＝AB＝1，
10．【巢湖校级联考】如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM的度数为________．
【答案】
48°
B
12．如图，已知五边形ABCDE是正五边形，过顶点A作CD，DE，CB的垂线，垂足分别为H，G，F.
(1)求证：HC＝HD；
证明：连接AC，AD.
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，
∴△ABC≌△AED.∴AC＝AD.
又∵AH⊥CD，∴HC＝HD.
(2)若正五边形ABCDE的边心距为2，求AH＋AG＋AF的值．
13.如图，等腰直角三角形ABC和等边三角形AEF都是半径为R的圆的内接三角形．
(1)求AF的长；
解：如图，连接OF，过O作OG⊥AF于G，
∵△AEF为等边三角形，
∴∠AOF＝120°.∴∠GOF＝60°.
(2)通过对△ABC和△AEF的观察，请你先猜想谁的面积大，再证明你的猜想．
【类比探究】如图②，∠BOC为正方形ABCD的中心角，将∠BOC绕点O逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，与正方形ABCD的边BC，CD分别交于点M，N.若正方形ABCD的面积为S，请用含S的式子表示四边形OMCN的面积(写出具体探究过程)．
解：∵∠BOC为正方形ABCD的中心角，
∴易得OB＝OC，∠OBM＝∠OCN＝45°，
∵∠BOC绕点O逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，与正方形ABCD的边BC，CD分别交于点M，N，
∴∠BOM＝∠CON，∴△BOM≌△CON，(共34张PPT)
24.3 圆周角
第3课时 圆内接四边形
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
B
D
C
B
5
B
核心必知
互补；等于
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
D
40°
155
210°
10
见习题
11
12
13
14
D
C
见习题
见习题
四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，则四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，⊙O叫做四边形ABCD的外接圆．圆内接四边形的对角________，且任何一个外角都________它的内对角．
互补
等于
1．【中考·湖州】如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是( )
A．70°
B．110°
C．130°
D．140°
B
2．【2021·安徽月考】若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比可能是( )
A．3∶1∶2∶5
B．1∶2∶2∶3
C．2∶7∶3∶6
D．1∶2∶4∶3
D
3．【2021·泰安】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠C＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为( )
C
4．如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝3∠BAC，则∠ADC的度数为( )
A．100°
B．112.5°
C．120°
D．135°
B
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，OD∥BC，∠ABC＝40°，则∠BCD的度数是( )
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
B
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为( )
A．40°
B．60°
C．80°
D．90°
【答案】D
【点拨】如图，连接OD，OB，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCB＝180°－∠DAB＝40°.
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠DCB＝80°，
∴40°≤∠BPD≤80°，
∴∠BPD不可能为90°，故选D.
7．【中考·青岛】如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝________.
40°
【答案】155
【点拨】如图，连接EA，
∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEA＋∠C＝180°，
∴∠DEB＋∠C＝180°－25°＝155°.
9．【合肥模拟】如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝30°，则∠B＋∠E＝________．
【答案】210°
【点拨】如图，连接CE.
∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，
∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠B＋∠AEC＝180°.
∵∠CED＝∠CAD＝30°，
∴∠B＋∠AED＝180°＋30°＝210°.
10．【2021·苏州】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED.
(1)求证：BD＝ED；
证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴易得∠A＝∠DCE.
∴△ABD≌△CED(SAS)，∴BD＝ED.
(2)若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．
解：如图，过点D作DM⊥BE于M.
∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，
∴BE＝BC＋EC＝10.
∵BD＝ED，DM⊥BE，
【答案】D
【点拨】如图，连接AC.∵BA平分∠DBE，
∴∠1＝∠2.∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠1＝∠CDA.
∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，
∴AC＝AD＝5.∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，
12.如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝30°，则∠ADC的度数是( )
A．130°
B．140°
C．150°
D．160°
【答案】C
【点拨】如图，连接OA，OD，由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出⊙O，∴四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.
∵∠ABC＝30°，∴∠ADC＝150°.
(1)求证：四边形AOCD是菱形；
证明：如图，连接OD，
∴AD＝DC，∠AOD＝∠DOC.
∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，∴∠AOD＝∠DOC＝60°.
∵OC＝OD＝OA，∴△AOD和△OCD均是等边三角形，
∴OA＝OC＝CD＝AD，∴四边形AOCD是菱形．
(2)若AD＝6，求DE的长．
解：由(1)可知，△COD是等边三角形．
∴∠OCD＝∠ODC＝60°.
∵CE＝AD，CD＝AD，∴CE＝CD，
∴∠ODE＝∠ODC＋∠CDE＝90°，
由(1)知AD＝OD＝6.
14．【2021·安徽模拟改编】阅读下面例题，并完成相应的任务．
例：如图①，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB＝AC.试猜想线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由．
下面是该例题的部分解答过程：
如图①，过点A作AM⊥AD，交BD于点M.
∴∠MAD＝90°＝∠BAC，∴∠BAM＝∠CAD.
任务：
(1)完成上面的解答过程；
(2)如图②，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD.BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°，则线段AD，BD，CD之间满足的数量关系是
___________________________
___________________________
_________________．
【点拨】过点A作MA⊥AD，交BD于M，
∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°＝∠MAD，
∴∠BAM＝∠CAD，
∴∠ABM＝∠ACD，∴△ABM∽△ACD，
在Rt△MAD中，(共28张PPT)
24.2 圆的基本性质
第1课时 圆的认识
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
D
D
C
C
5
12＜r＜13
核心必知
1
2
3
一周；距离；组成的图形
＞；＝；＜
线段；圆心；圆弧；半圆
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
2
D
A
C
10
见习题
11
12
13
14
D
＝
见习题
见习题
15
见习题
1．在平面内，线段OP绕着它固定的一个端点O旋转________，则另一个端点P所形成的封闭曲线叫做圆；或平面内到定点的______等于定长的所有点____________叫做圆．
一周
距离
组成的图形
2．设⊙O的半径为r，平面上一点P到圆心O的距离OP＝d，则有点P在⊙O外 d________r；点P在⊙O上 d________r；点P在⊙O内 d________r.
＞
＝
＜
3．连接圆上任意两点的________叫做弦，经过________的弦叫做直径，圆上任意两点间的部分叫做________，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做________．
线段
圆心
圆弧
半圆
1．【亳州月考】平面内有两点O和A，按以下语句画圆是唯一确定的是( )
A．以点O为圆心画圆
B．以OA的长为半径画圆
C．画圆使它经过点A
D．以点O为圆心，OA的长为半径画圆
D
2．以点O为圆心，可以作圆的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．无数
D
3．【2021·上海改编】在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，圆A的半径为5，则点C、D与圆A的位置关系是( )
A．点C在圆A外，点D在圆A内
B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内
D．点C在圆A内，点D在圆A外
C
4．在平面直角坐标系中，⊙P，⊙Q的位置如图所示．下列四个点中，在⊙P外部且在⊙Q内部的是( )
A．(1，2)
B．(2，1)
C．(2，－1)
D．(3，1)
C
5．【滁州单元测试】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，以点A为圆心作⊙A，要使B，C两点中的一点在圆外，另一点在圆内，那么⊙A的半径r的取值范围为____________．
12＜r＜13
6．在同一平面内，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6
cm，最短为2
cm，则⊙O的半径为_________cm.
2
7．圆上任意两点间的部分是( )
A．半圆
B．直径
C．弦
D．弧
D
8．下列命题中是真命题的有( )
①两个端点能够重合的弧是等弧；
②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；
③长度相等的弧是等弧；
④半径相等的圆是等圆；
⑤直径是最长的弦；
⑥半圆所对的弦是直径．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
A
9．如图，以AB为直径的半圆O上有两点D，E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠C＝20°，则∠EOB的度数是( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
C
10．【合肥42中单元测试】如图，在⊙O中，AB为弦，C，D两点在AB上，且AC＝BD，求证：△OAC≌△OBD.
证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，
∴△OAC≌△OBD.
11．【2021·安徽月考】已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是( )
A．8
B．10
C．12
D．14
D
12．如图，AB，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，点P，Q为上的任意两点，作PE⊥CD，PF⊥AB，QM⊥CD，QN⊥AB，则线段EF，MN的大小关系为EF________MN.(填“＜”“＞”或“＝”)
【答案】＝
【点拨】如图，连接OP，OQ.
∵AB⊥CD，PE⊥CD，PF⊥AB，
∴∠PEO＝∠EOF＝∠OFP＝90°.
∴四边形OEPF是矩形．∴EF＝OP.
同理MN＝OQ.
又∵OP＝OQ，∴EF＝MN.
13.【教材改编题】如图，△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90°.求证：A，B，C，D四点在同一个圆上．
证明：如图，取AB的中点O，连接OC，OD.
∵△ABC和△ABD都为直角三角形，
且∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴DO，CO分别为Rt△ABD和Rt△ABC斜边上的中线．
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∴A，B，C，D四点在同一个圆上．
14．如图，公路OM，ON相交，∠MON＝30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处点O
80
m的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50
m内会受到噪音影响．已知有两台相距30
m的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5
m/s，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给这所小学带
来噪音影响的时间是多少秒？
解：如图，过点A作AC⊥ON，垂足为C.以点A为圆心，50
m长为半径作圆，交ON于点B，D.连接AB，AD.
由题可知，∠MON＝30°，OA＝80
m，
∴AC＝40
m.
当第一台拖拉机到点B时对小学产生噪音影响，
此时AB＝50
m，由勾股定理得BC＝30
m.
当第一台拖拉机到点D时噪音消失，易知CD＝30
m.
由于两台拖拉机相距30
m，则第一台到D点时第二台在C点，还需前行30
m后才对小学没有噪音影响．
∴影响的时间应是(60＋30)÷5＝18(s)．
答：这两台拖拉机沿ON方向行驶时给这所小学带来噪音影响的时间是18
s.
15．【中考·杭州】如图①，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图②，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8.若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的“反演点”，求A′B′的长．
解：∵OA′·OA＝16，且OA＝8，
∴OA′＝2.
同理可知，OB′＝4，即B点的“反演点”B′与B重合．
如图，设OA交⊙O于点M，连接B′M，A′B′.
∵∠BOA＝60°，OM＝OB′，
∴△OB′M为等边三角形．
又∵OM＝4，OA′＝2，
∴点A′为OM的中点．
∴A′B′⊥OM.
根据勾股定理，得OB′2＝OA′2＋A′B′2，即16＝4＋A′B′2，(共23张PPT)
第24章 圆
24.7 弧长与扇形面积
第2课时 圆柱、圆锥的侧面展开图
答案显示
1
2
3
4
D
B
D
B
5
B
核心必知
1
2
母线；侧棱；矩形；底面周长
扇形；弧长；πrl；侧面积；底面圆的面积
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
5
6.75
见习题
B
10
C
11
12
见习题
见习题
1．柱体(圆柱、棱柱)的侧面沿着________或________剪开，可以展开成一个________，这个矩形的面积等于母线或侧棱长×__________．
母线
侧棱
矩形
底面周长
2．圆锥的侧面展开图是一个________，圆锥的底面圆周长等于侧面展开图的扇形的________．母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积＝________，圆锥的全面积＝________＋__________________．
扇形
弧长
πrl
侧面积
底面圆的面积
1．【教材改编题】下列平面展开图与标注的立体图形不相符的是( )
D
2．【2021·怀化】下列图形中，是圆锥侧面展开图的是( )
B
3．【2021·安徽模拟】如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F，将阴影部分剪掉，余下扇形EAF，将扇形EAF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，
则这个圆锥的高为( )
D
4．已知圆锥的母线长是5
cm，侧面积是15π
cm2，则这个圆锥底面圆的半径是( )
A．1.5
cm
B．3
cm
C．4
cm
D．6
cm
B
5．【中考·湖州】已知圆锥的底面半径为5
cm，母线长为13
cm，则这个圆锥的侧面积是( )
A．60π
cm2
B．65π
cm2
C．120π
cm2
D．130π
cm2
B
6．【中考·连云港改编】用一个圆心角为90°，面积为100π
cm2的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为________cm.
5
7．如图，要把100个形状是圆锥体的实心积木的表面刷成红色，每平方厘米需油漆约0.000
3
L，全部刷完共需油漆约________L
.(π取3)
6.75
(1)圆锥的母线长l与底面半径r的比值；
(2)∠BAC的度数；
(3)圆锥的侧面积(结果保留π)．
9．【2021·淮南期末】小红同学要用纸板制作一个高4
cm，底面周长是6π
cm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是( )
A．12π
cm2
B．15π
cm2
C．18π
cm2
D．24π
cm2
B
10．【2021·眉山】我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，则该整流罩的侧面积是( )
A．7.2π平方米
B．11.52π平方米
C．12π平方米
D．13.44π平方米
C
11.如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A，B，C，请在网格中进行下列操作：
(1)请在图中标出该圆弧所在圆的圆心D的位置，D点坐标为________；
(2)连接AD，CD，求⊙D的半径及
扇形ADC的圆心角的度数；
(2，0)
解：图略
(3)若扇形ADC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆半径．
12．如图，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥侧面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行的最短路径，并求出最短路程．(共28张PPT)
24.3 圆周角
第1课时 圆周角和圆心角、弧的关系
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
B
A
B
A
5
B
核心必知
1
2
3
在圆上；两边
一半
同弧；等弧；相等
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
D
C
见习题
C
10
D
11
12
13
二
见习题
见习题
1．顶点________，并且________都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角．
在圆上
两边
2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的________．
一半
3．在同圆或等圆中，________或________所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也________．
同弧
等弧
相等
1．下列图形中的角是圆周角的是( )
B
2．【中考·茂名】如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的度数是( )
A．150°
B．140°
C．130°
D．120°
A
3．【2021·邵阳】如图，点A，B，C是⊙O上的三点，若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为( )
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
B
4．【2021·安徽月考】如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
A
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
B
A．84°
B．24°
C．22°
D．21°
D
7．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，∠ADC＝56°，则∠ADB的度数为( )
A．112°
B．56°
C．28°
D．14°
C
∵∠BAC＝50°，∴∠B＝∠ACB＝65°.
∴∠AEC＝∠B＝65°.
9．【2021·安徽模拟】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝25°，则∠BOD等于( )
A．30°
B．40°
C．50°
D．55°
C
A．3α＋β＝180°
B．2α＋β＝180°
C．3α－β＝90°
D．2α－β＝90°
D
11．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择第________种射门方式．
【答案】二
【点拨】如图，设AP与圆交于点C，连接QC.根据“同弧所对的圆周角相等”可知∠PCQ＝∠B，根据三角形外角的性质可知∠PCQ＞∠A，所以∠B＞∠A，即在B处射门比在A处射门视角范围更大，
所以应选择第二种射门方式．
12．【中考·福建】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为点E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF，CF.
(1)求证：∠BAC＝2∠CAD；
又∵BD⊥AC，
∴AC是线段BF的垂直平分线，∴AB＝AF＝AC＝10.
设AE＝x，则CE＝10－x，由AB2－AE2＝BC2－CE2，
得100－x2＝80－(10－x)2，解得x＝6，
∴AE＝6，BE＝8，CE＝4.
∴BD＝BE＋DE＝3＋8＝11，
如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H.
13．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判断△ABC的形状：______________；
(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量
关系，并证明你的结论；
等边三角形
解：PA＋PB＝PC.
证明：如图①，在PC上截取PD＝PA，连接AD.
∵∠APC＝60°，∴△PAD是等边三角形．
∴PA＝AD，∠PAD＝60°.
∵∠CPB＝60°，∴∠BAC＝60°.∴∠PAD＝∠BAC.
∴∠PAB＝∠DAC.
由(1)得△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，
∴△PAB≌△DAC.∴PB＝DC.
∵PD＋DC＝PC，∴PA＋PB＝PC.
如图②，过点P作PE⊥AB，垂足为E，
过点C作CF⊥AB，垂足为F.
∵△ABC是等边三角形，
∴F为AB的中点，且CF过圆心O.(共29张PPT)
24.5 三角形的内切圆
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
B
B
B
B
5
B
核心必知
相切；内心；外切三角形
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
B
8
14
见习题
10
C
11
12
13
B
见习题
见习题
与三角形三边都________的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的________，这个三角形叫做圆的____________．
相切
内心
外切三角形
1．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
B
2．【2021·湖州改编】如图，已知点O是△ABC的内心，∠A＝40°，连接BO，CO，则∠BOC的度数是( )
A．100°
B．110°
C．
120°
D．
130°
B
3．【中考·河北】如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( )
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
B
4．如图，△ABC是一张三角形纸片，⊙O是它的内切圆，点D，E是其中的两个切点，已知CD＝6
cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的一条直线MN剪下一块三角形(△CMN)，则剪下的△CMN的周长是( )
A．9
cm
B．12
cm
C．15
cm
D．18
cm
【答案】B
【点拨】如图，设切线MN与⊙O的切点为F，则DM＝MF，FN＝EN，且由题意得CD＝CE，∴△CMN的周长＝CM＋CN＋MN＝CD＋CE＝6＋6＝12(cm)．故选B.
5．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆的半径是( )
B
6．若等腰直角三角形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( )
B
7．如图，△ABC的三边与⊙O分别相切于点D，E，F，已知AB＝7
cm，AC＝5
cm，AD＝2
cm，则BC＝__________cm.
【答案】8
【点拨】∵△ABC的三边与⊙O分别相切于点D，E，F，
∴AE＝AD＝2
cm，BF＝BD＝AB－AD＝7－2＝5(cm)，
CF＝CE＝AC－AE＝5－2＝3(cm)，
∴BC＝BF＋CF＝5＋3＝8(cm)．
8．⊙O内切于△ABC，D，E，F分别为AB，BC，AC上的切点．若△ABC的周长为60，且AB∶BC∶AC＝4∶5∶6，则CF＝__________．
14
9．【2021·安徽模拟】如图，已知点O为勾股形ABC(我国古代数学家刘徽称直角三角形为勾股形)的内心，其中∠A为直角，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，∠ADO＝∠AFO＝∠BEO＝90°，若BD＝4，CF＝6，求四边形ADOF的面积．
解：由题意得BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，
∴BC＝BE＋CE＝10.
设AD＝AF＝x，则AB＝x＋4，AC＝x＋6.
在Rt△ABC中，(x＋4)2＋(x＋6)2＝102，∴x1＝2，x2＝－12(舍去)．∴AD＝2.
由题意得，四边形ADOF是正方形，∴S正方形ADOF＝22＝4.
10．【创新题】【2021·淮南模拟】如图，点O在△ABC内部，把△ABC沿AO，BO，CO剪开后，得到三个三角形，将边AB，BC，AC放在同一直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l.若∠BOC＝120°，则∠BAC的度数为( )
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
C
11.【中考·遵义】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是( )
【点拨】∵四边形ABCD为矩形，∴△ACD≌△CAB.
∴⊙P和⊙Q的半径相等．
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
【答案】B
过点Q作QE∥BC，过点P作PE∥AB交QE于点E，则∠QEP＝90°，如图所示．
在Rt△QEP中，QE＝BC－2r＝3－2＝1，
EP＝AB－2r＝4－2＝2，
12．【中考·孝感】如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G.
(1)求证：DG∥CA；
(2)求证：AD＝ID；
证明：如图，∵点I是△ABC的内心，∴∠5＝∠6，∠2＝∠7.
∵∠3＝∠2，∴∠3＝∠7.
∵∠4＝∠7＋∠5＝∠3＋∠6，
即∠4＝∠DAI.∴AD＝ID.
(3)若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA，
∴△DEA∽△DAB，
∴AD∶BD＝DE∶DA，
即AD∶9＝4∶AD，∴AD＝6，
∴DI＝6，∴BI＝BD－DI＝9－6＝3.
解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴BE＝AB－AE＝21－5＝16.
在Rt△AED中，∵AD＝13，AE＝5，(共13张PPT)
专题技能训练(二)
1.巧用圆的基本性质解圆的五种关系
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
见习题
5
见习题
1．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，AB＝CD.求证：BE＝DE.
证明：如图，连接BC，AD.
∴BC＝AD.∵∠1与∠2，∠3与∠4是同弧所对的圆周角，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∴△BEC≌△DEA，∴BE＝DE.
2．如图，AB，AC，BC都是⊙O的弦，且∠CAB＝∠CBA.求证：∠COB＝∠COA.
∴∠COB＝2∠CAB.
同理∠COA＝2∠CBA.
又∵∠CAB＝∠CBA，∴∠COB＝∠COA.
证明：如图，连接DF，DG.
∵BD是⊙O的直径，∴∠DFB＝∠DGB＝90°，
∵∠DFB＝∠EDF＋∠A，∠DGB＝∠HDG＋∠C，
∴∠A＝∠C.
4．如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O，交AB于点D，交AC于点E.试判断BD，DE，EC之间的大小关系，并说明理由．
解：BD＝DE＝EC.理由如下：连接OD，OE.
∵OB＝OD＝OE＝OC，∠B＝∠C＝60°，
∴△BOD与△COE都是等边三角形．
∴∠BOD＝∠COE＝60°.
∴∠DOE＝180°－∠BOD－∠COE＝60°.
∴∠DOE＝∠BOD＝∠COE.
5．等边三角形ABC的顶点A，B，C在⊙O上，D为⊙O上一点，且BD＝CD，如图所示．判断四边形OBDC是哪种特殊四边形，并说明理由．
解：四边形OBDC是菱形．理由如下：连接AD，
∴AD为⊙O的直径，即AD过圆心O.
∵AB＝BC＝CA，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°.
∴∠BOD＝∠COD＝60°.
又∵OB＝OC＝OD，∴△BOD和△COD都是等边三角形．
∴OB＝OD＝BD，OC＝OD＝CD.
∴OB＝OC＝BD＝CD.∴四边形OBDC是菱形．(共15张PPT)
24.1 旋 转
第1课时 旋转及其性质
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
90°
75°
D
5
D
核心必知
1
2
相等；旋转中心
旋转对称图形
提示：点击
进入习题
6
7
2
见习题
1．在一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离________；两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；__________是唯一不动的点．
相等
旋转中心
2．在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度θ(0°＜θ＜360°)后，能够与原图形重合，这样的图形叫做__________________，这个定点就是旋转中心．
旋转对称图形
1．如图，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A′B′C′，则其旋转角的度数是________．
90°
2．【2021·广安改编】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°，AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为________．
75°
4．下面四个图案中，是旋转对称图形的是( )
D
5．将正五边形绕它的中心顺时针旋转α度后与它本身完全重合，则α的最小值是( )
A．30
B．45
C．60
D．72
【点拨】正五边形每边所对的中心角是360°÷5＝72°，因此α的最小值是72.
D
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是AB上一动点，将△ACP绕点C顺时针旋转到△BCQ的位置，则PQ的最小值为________．
【答案】2
【点拨】∵将△ACP绕点C顺时针旋转到△BCQ的位置，
∴PC＝CQ，∠PCQ＝90°.∴PQ2＝PC2＋CQ2＝2PC2，
∴当PC的值最小时，PQ取最小值，
即PC⊥AB时，PQ取最小值．
7．【2021·庐江县期末节选】阅读下面例题及其解题思路．
例：如图①，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF，试说明：EF＝BE＋DF.
解题思路如下：如图①，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，∴∠ADG＝∠B＝90°，∴F，D，G三点共线．根据“SAS”易证△AFG≌△AFE，∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF.
请仿照上面的解题思路，回答下面的问题：
如图②，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°，∠B＋∠D＝180°，试探究BE，DF，EF之间满足的等量关系．
解：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，
∴∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，BE＝DG.
∵∠B＋∠ADF＝180°，∴∠ADG＋∠ADF＝180°，
∴F，D，G三点共线．
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE＋∠DAF＝45°.
∴∠DAG＋∠DAF＝45°，
∴∠FAG＝45°＝∠EAF.
又∵AF＝AF，
∴△EAF≌△GAF(SAS)．
∴EF＝FG.
∵FG＝DG＋DF，
∴EF＝BE＋DF.(共23张PPT)
24.1 旋 转
第2课时 中心对称
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
C
C
B
A
5
C
核心必知
1
2
180°；点O
对称中心；平分；全等
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
D
(1，2)
见习题
B
10
(－1，－1)
11
12
见习题
见习题
1．将一个图形绕定点O旋转________，得到另一个图形，这两个图形关于点O的对称叫做中心对称，________就是对称中心．
180°
点O
2．中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过____________，且被对称中心________，中心对称的两个图形是________图形．
对称中心
平分
全等
1．下列说法正确的是( )
A．全等的两个图形成中心对称
B．平移后能重合的两个图形成中心对称
C．成中心对称的两个图形全等
D．旋转后能够重合的两个图形成中心对称
C
2．如图所示的四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有( )
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
【点拨】根据中心对称的概念，知②③④都成中心对称．故选C.
C
3．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则与△AOB成中心对称的是( )
A．△BOC
B．△COD
C．△AOD
D．△ACD
B
4．下列各组图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是( )
A
5．下列说法中正确的是( )
A．两个能够重合的图形一定关于某条直线成轴对称
B．成中心对称的两个图形旋转后一定不重合
C．两个成中心对称的图形的对应点连线必过对称中心
D．两个能够重合的三角形一定关于某一点成中心对称
C
6．如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，有下列说法：
①∠BAC＝∠B1A1C1；②AC＝A1C1；③OA＝OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等．
其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
7．【2021·怀化改编】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1成中心对称，则对称中心的坐标为________．
(1，2)
8．【2021·阜阳模拟改编】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)．
(1)请画出以点B为对称中心，且与
△ABC成中心对称的△A′BC′；
(2)请画出以点O为对称中心，且与
(1)中所作的△A′BC′成中心对称
的△A″B″C″；
(3)请写出线段A″C″的中点P的坐标．
解：(1)如图所示．
(2)如图所示．
9．【2021·安徽模拟】如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，运动到点B停止，连接EO并延长交CD于点F，则四边形
AECF形状的变化依次为( )
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
B
10．【合肥50中月考】如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，点M是线段PQ的中点．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为(1，0)，(0，1)，(0，0)，点P1，P2，P3，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，
点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…，且这些对称中心依次循环，已知点P1的坐标是(1，1)，则点P2
022的坐标为____________．
【答案】(－1，－1)
【点拨】由题意可得点P2(1，－1)，P3(－1，3)，P4(1，－3)，P5(1，3)，P6(－1，－1)，P7(1，1)，…，可知6个点一个循环，2
022÷6＝337，故点P2
022的坐标与点P6的坐标相同，即(－1，－1)．
11．如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，连接BC，AD.
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
证明：∵△AOB与△COD关于点O成中心对称，
∴AO＝OC，BO＝OD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
(2)若△AOB的面积为15
cm2，求四边形ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S四边形ABCD＝4S△AOB＝4×15＝60(cm2)．
12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D为BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，试写出线段BE，EF，FC之间的数量关系，并说明理由．
【点拨】通过几何图形的中心对称变换，可以将线段进行等长的位置转移，使分散的几何元素集中起来．
解：FC2＋BE2＝EF2.理由如下：
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD.作△BDE关于点D成中心对称的△CDM，
如图所示．
由中心对称的性质可得CM＝BE，MD＝ED，∠DCM＝∠B.
∵∠B＋∠ACB＝90°，
∴∠DCM＋∠ACB＝90°，即∠FCM＝90°.
连接FM.在△FME中，
∵MD＝ED，FD⊥ME，∴FM＝FE.
又∵在Rt△FCM中，FC2＋CM2＝FM2，∴FC2＋BE2＝EF2.(共31张PPT)
24.4 直线与圆的位置关系
第3课时 切线长定理
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
B
D
D
C
5
C
核心必知
1
2
切线上一点；切点
两；相等；平分
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
D
30°；4
2
见习题
10
C
11
12
13
B
见习题
见习题
1．过圆外一点能够作圆的两条切线，__________到________之间的线段长叫做这点到圆的切线长．
切线上一点
切点
2．切线长定理：过圆外一点作圆的________条切线，两条切线长________，圆心与这一点的连线________两条切线的夹角．
两
相等
平分
1．【2021·荆门】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO等于( )
A．30°
B．35°
C．45°
D．55°
B
2．【中考·益阳】如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是( )
A．PA＝PB
B．∠BPD＝∠APD
C．AB⊥PD
D．AB平分PD
D
3．【中考·深圳】如图，一把直尺，60°的直角三角尺和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是( )
【答案】D
【点拨】设光盘圆心为O，三角尺与光盘的切点为C，连接OA，OB，如图．由切线长定理知AO平分∠BAC，
4．如图，AD，AE，CB均为⊙O的切线，D，E，F分别是切点，AD＝8，则△ABC的周长为( )
A．8
B．12
C．16
D．不能确定
C
5．如图，已知⊙O分别与△ABC的BC边、AB的延长线、AC的延长线相切，则∠BOC等于( )
A．∠A
B．90°＋∠A
C
6．【合肥蜀山区校级联考】如图，正方形ABCD的边长为4
cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积是( )
A．12
cm2
B．24
cm2
C．8
cm2
D．6
cm2
【答案】D
【点拨】∵AE与半圆O切于点F，
∴AF＝AB＝4
cm，EF＝EC，
设EF＝EC＝x
cm，则DE＝(4－x)
cm，AE＝(4＋x)
cm，在△ADE中，由勾股定理得，(4－x)2＋42＝(4＋x)2，解得x＝1，∴CE＝1
cm，∴DE＝4－1＝3(cm)，
∴S△ADE＝AD·DE÷2＝4×3÷2＝6(cm2)．
7．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B，若AP＝4，∠APB＝60°，则∠APO＝______，PB＝______.
30°
4
8．如图，AC⊥BC于点C，BC＝4，AC＝3，⊙O与AB，BC，CA都相切，则⊙O的半径为________．
2
9．【阜阳十一中期中】如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，且AB∥CD，OB＝6
cm，OC＝8
cm.求：
(1)∠BOC的度数；
解：如图，连接OF.根据切线长定理得，BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.
∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴∠OBF＋∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°.
(2)BE＋CG的长；
(3)⊙O的半径．
10．如图，PA，PB，CD分别切⊙O于A，B，E，CD交PA，PB于C，D两点，若∠P＝60°，则∠PAE＋∠PBE的度数为( )
A．90°
B．75°
C．60°
D．45°
C
【点拨】如图，连接OM，ON，
∵MD，MF与⊙O相切，∴∠1＝∠2，同理得∠3＝∠4，
而∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠B＋∠C＝360°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，∴∠2＋∠3＋∠B＝180°.
而∠1＋∠MOB＋∠B＝180°，
∴∠3＝∠MOB，即有∠4＝∠MOB，∴△OMB∽△NOC，
【答案】B
12．已知在⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B.
(1)如图①，若∠BAC＝25°，求∠AMB的大小；
解：∵MA切⊙O于点A，∴∠MAC＝90°.
∴∠MAB＝∠MAC－∠BAC＝65°.
∵MA，MB分别切⊙O于点A，B，
∴MA＝MB.∴∠MAB＝∠MBA.
∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝50°.
(2)如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求∠AMB的大小．
解：如图，连接AD，AB.
∵AC为直径，MA与⊙O相切，∴MA⊥AC.
又∵BD⊥AC，∴BD∥MA.
又BD＝MA，∴四边形MADB是平行四边形．
∵MA，MB分别切⊙O于点A，B，∴MA＝MB.
∴四边形MADB是菱形．∴AD＝BD.
(1)求证：BC∥OA；
证明：如图，连接OB，延长AO交⊙O于点D，
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∴∠P＋∠AOB＝180°.
∵∠AOB＋∠BOD＝180°，∴∠BOD＝∠P，
又∵∠COA＝∠P，∴∠COA＝∠BOD.
∴∠COB＋2∠COA＝180°.
∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO.∴∠COB＋2∠BCO＝180°，
∴∠COA＝∠BCO，∴BC∥OA.
(2)若BC＝10，OA＝13，求PA的长．(共20张PPT)
专题技能训练(四)
3.圆与学科内知识的综合应用
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
见习题
1．如图，已知AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E.
(1)求证：∠BME＝∠MAB；
证明：如图，连接OM，
∵直线CD切⊙O于点M，∴∠OMD＝90°，
∴∠BME＋∠OMB＝90°，
∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，
∴∠AMO＋∠OMB＝90°，∴∠BME＝∠AMO，
∵OA＝OM，∴∠MAB＝∠AMO，∴∠BME＝∠MAB.
(2)求证：BM2＝BE·AB；
2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E.
(1)求证：BD＝BE；
证明：设∠BAD＝α，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝α.
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°－2α.
∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，
∴∠DBE＝2α，∠BED＝∠BAD＋∠ABC＝90°－α，
∴∠D＝180°－∠DBE－∠BED＝90°－α，
∴∠D＝∠BED，∴BD＝BE.
解：设AD交⊙O于点F，CE＝x，连接BF，如图．
∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°.
∵BD＝BE，DE＝2，∴FE＝FD＝1.
∵∠BAD＋∠D＝90°，∠D＋∠FBD＝90°，
证明：如图，连接OD，AD，
∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ODA，
∴∠DAC＝∠ODA，∴OD∥AE.
∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
(2)若OF＝2，求AC的长度．
解：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵OD∥AE，∴∠DOB＝∠EAB.
∵∠DFO＝∠BCA＝90°，∴△DFO∽△BCA，
4．AB是⊙O的直径，在AB的异侧分别有定点C和动点P，如图所示，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD，交PB的延长线于D，已知AB＝5，BC∶CA＝4∶3.
(1)求证：AC·CD＝PC·BC；
证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°
∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°，
∴∠PCD＝∠ACB，且∠CAB＝∠CPB，
解：∵AB＝5，BC∶CA＝4∶3，
∠ACB＝90°，
∴BC＝4，AC＝3.
(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求出这个最大面积．(共41张PPT)
全章整合与提升
第24章 圆
答案显示
6
7
8
9
D
D
见习题
见习题
10
见习题
11
12
13
14
见习题
B
见习题
15
4
1
2
3
4
C
D
C
D
5
C
答案显示
21
见习题
16
17
18
19
B
D
B
15°或75°
20
见习题
1．下列运动形式属于旋转的是( )
A．上升的氢气球
B．飞驰的火车
C．钟表上摆动的钟摆
D．运动员掷出的标枪
C
2．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的是( )
D
3．【2021·六安金寨县期末】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
C
4．下列说法正确的是( )
A．直径是弦，弦也是直径
B．半圆是弧，弧是半圆
C．过圆内任一点，只能作一条直径
D．在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍
D
5．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD.下列结论错误的是( )
A．BD平分∠ABC
B．AD∥BC
C．S△ABD＝2S△BED
D．△ABD是等边三角形
C
6．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是( )
A．点A与点A′是对应点
B．BO＝B′O
C．AB∥A′B′
D．∠ACB＝∠C′A′B′
D
7．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为(6，4)．若直线l经过点(1，0)，且将 OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是( )
D
8．【2021·自贡】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，求CD的长．
(1)求证：四边形OACB是菱形；
证明：连接OC，如图，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴AC＝OA＝OB＝BC，∴四边形OACB是菱形．
解：由(1)知AC＝OA，∠OAC＝∠ACO＝60°，
∴∠PAC＝120°.
又∵OA＝AP，∴AP＝AC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，
∴∠PCO＝∠PCA＋∠ACO＝90°，
即PC⊥OC.又∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线，
10．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点(不与点A，B重合)，连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD.
(1)弦长AB＝________(结果保留根号)；
(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数．
解：如图，连接OA.
∵OA＝OB，OA＝OD，∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D.
∴∠BAD＝∠BAO＋∠DAO＝∠B＋∠D.
又∵∠B＝30°，∠D＝20°，
∴∠BAD＝50°.
∴∠BOD＝2∠BAD＝100°.
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以B为圆心，BC长为半径的圆弧交AB于点D，若B，C，D三点中只有一点在以A为圆心的⊙A内，则⊙A的半径r的取值范围是________________．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E，连接OC.
(1)判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
解：
CD与⊙O相切，理由如下：
∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，∴CD与⊙O相切．
设⊙O的半径为r.
在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2＋OB2，
∴∠ECD＝180°－90°－30°＝60°，
A．30°
B．36°
C．60°
D．72°
B
证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.
又∵∠PCQ＋∠ACP＝90°＝∠CAP＋∠CQP，
∴∠PCQ＝∠CQP.∴CP＝PQ.∴CP＝AP＝PQ，
∴点P是△ACQ的外心．
15．【2021·合肥蜀山区期末】《九章算术》是我国古代数学著作，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的直径是多少步？根据题意，该直角三角形内切圆的直径为__________步．
4
【点拨】连接OB，BD，如图．
∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∴∠D＝60°，
∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形，
【答案】B
17．【2021·六安模拟】如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB的面积为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
D
18．【中考·宁波】如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6
cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为( )
A．3.5
cm
B．4
cm
C．4.5
cm
D．5
cm
【答案】B
【点拨】设AB＝x
cm，则DE＝(6－x)cm，根据题意，
【答案】15°或75°
20．如图①，正方形ABCD的边长为4，点P为线段AD上的一动点，以BP为直径作半圆，圆心为O，线段OF∥AD，OF与CD相交于点F，与半圆O相交于点E.
(1)如图②，当点P与点D重合时，求EF的长；
(2)当AP的长为何值时，CD与半圆O相切？
21．【中考·东营】如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
证明：如图，连接OC.
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝∠D＝30°.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAD＝30°.
∴∠OCD＝∠ACD－∠ACO＝90°，即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
(2)若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．(共13张PPT)
专题技能训练(二)
2.垂径定理的四种应用技巧
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
见习题
见习题
A
5
见习题
1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，
且四边形OCDB是平行四边形．求点C的坐标．
解：如图，连接CM，作MN⊥CD于点N，CH⊥OA于点H.
∵四边形OCDB是平行四边形，
∴CD＝OB＝8.
又∵MN⊥CD，CH⊥OA，
∵OA＝10，
∴半圆M的半径MO＝MC＝5.
∴CH＝3.
又∵OH＝OM－MH＝5－4＝1，
∴点C的坐标为(1，3)．
2．【中考·嘉兴】如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．
【点拨】连接OD，如图．设OD＝x，
∵CD⊥OC，∴∠OCD＝90°，
当OC的值最小时，CD的值最大，
3．如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O交AB于点C，D，求证：AC＝BD.
证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E.
∵在⊙O中，OE⊥CD，∴CE＝DE.
∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE，
∴AE－CE＝BE－DE，∴AC＝BD.
4．某同学看到一张海上日出时的照片，其示意图如图所示，他测得图上太阳的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全脱离海平面的时间为16分钟，则太阳升起的速度为( )
A．1.0厘米/分钟
B．0.8厘米/分钟
C．1.2厘米/分钟
D．1.4厘米/分钟
A
5．某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2
m，拱顶高出水面2.4
m，现有一艘宽3
m，船舱顶部为矩形并高出水面2
m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
设OA＝r
m，
则OD＝OC－DC＝(r－2.4)m.
在Rt△AOD中，OA2＝AD2＋OD2，
即r2＝3.62＋(r－2.4)2，解得r＝3.9.
∴FN＝DH＝OH－OD＝3.6－(3.9－2.4)＝2.1(m)．
∵2.1m＞2m，∴此货船能顺利通过这座拱桥．(共24张PPT)
24.1 旋 转
第3课时 中心对称图形
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
A
D
①④⑤⑥
见习题
5
D
核心必知
1
2
重合；中心对称图形；对称中心
中点；交点
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
(4，－1)
3
见习题
见习题
10
见习题
11
见习题
1．把一个图形绕某一个定点旋转180°，如果旋转后的图形能和原来图形________，那么这个图形叫做____________，这个定点就是__________．
重合
中心对称图形
对称中心
2．根据中心对称图形的性质可知，任何一组对应点的连线的________就是该中心对称图形的对称中心，或两组对应点的连线的________是对称中心．
中点
交点
1．【2021·宿迁】
对称美是美的一种重要形式，它能给人们一种圆满、协调的美感，下列图形属于中心对称图形的是( )
A
2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A．圆
B．菱形
C．矩形
D．等腰三角形
D
3.
有下列平面图形：①线段；②等腰直角三角形；③平行四边形；④矩形；⑤正八边形；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有________．(填序号)
【答案】①④⑤⑥
【点拨】①线段是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；②等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；③平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；④矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；⑤正八边形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；⑥圆是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故答案为①④⑤⑥.
4．如图，AC＝BD，∠A＝∠B，点E，F在AB上，且DE∥CF，试说明此图形是中心对称图形．
解：如图，连接CD，交AB于点O.
在△ACO和△BDO中，∠COA＝∠DOB，
∠A＝∠B，AC＝BD，
∴△ACO≌△BDO(AAS)，∴OA＝OB，OC＝OD.
∵DE∥CF，∴∠DEO＝∠CFO.
在△ODE和△OCF中，∠DEO＝∠CFO，∠DOE＝∠COF，OD＝OC，∴△ODE≌△OCF(AAS)，
∴OE＝OF，DE＝CF.∴此图形是中心对称图形．
D
6．【2021·临沂】在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A，B的坐标分别是(－1，1)和(2，1)，将平行四边形ABCD沿x轴正方向平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是________.
(4，－1)
7．如图是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂上阴影，就可以使图中的阴影部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是________．
【答案】3
【点拨】如图，把标有数字3的白色小正方形涂上阴影，就可以使图中的阴影部分构成一个中心对称图形．
8．如图①②均为7×6的正方形网格，点A，B，C在格点(小正方形的顶点)上．
(1)在图①中确定格点D，并画出一个以A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；
(2)在图②中确定格点E，
并画出一个以A，B，
C，E为顶点的四边形，
使其为中心对称图形．
解：(1)如图．
[第8(1)题]
(2)如图．
[第8(2)题]
9．【滁州期中】如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，已知AC＝4，BC＝6.
(1)以点D为对称中心，将三角形补成中心对称图形；
解：如图所示．
(2)根据图形说明线段CD长的取值范围．
解：由(1)易知△ADE≌△BDC，
则CD＝DE，AE＝BC.
由三角形的三边关系，得AE－AC＜2CD＜AE＋AC，
∴BC－AC＜2CD＜BC＋AC，
即6－4＜2CD＜6＋4，∴1＜CD＜5.
10.知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将该图形分成全等的两部分．
(1)如图①，直线m经过 ABCD对角线的交点M，则S四边形BFEA________S四边形DEFC(填“＞”“＜”或“＝”)；
＝
(2)两个正方形如图②所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
解：如图所示．
(3)八个大小相同的小正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分割)．
解：如图所示．
11．如图，矩形ABCD的顶点B，C在坐标轴上，顶点D的坐标是(3，3)，若直线y＝mx恰好将矩形分成面积相等的两部分，求m的值．
解：∵直线y＝mx恰好将矩形分成面积相等的两部分，且矩形ABCD是中心对称图形，
∴该直线过矩形的对称中心，即矩形对角线的交点．对角线交点的横坐标即为线段BC的中点对应的横坐标，对角线交点的纵坐标即为线段DC的中点对应的纵坐标，(共36张PPT)
24.2 圆的基本性质
第4课时 圆的确定
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
C
C
C
D
5
D
核心必知
1
2
3
不在同一直线上
外接圆；垂直平分线；外心
命题结论
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
B
C
5
见习题
10
C
11
12
13
14
B
216
cm2或96
cm2
见习题
15
见习题
16
见习题
1．__________________的三个点确定一个圆．
不在同一直线上
2．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的________，外接圆的圆心是三角形三条边的______________的交点，叫做这个三角形的________．
外接圆
垂直平分线
外心
3．先假设________不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法．
命题结论
1．下列给定的三个点能确定一个圆的是( )
A．线段AB的中点C及两个端点
B．角的顶点及角的边上的两点
C．三角形的三个顶点
D．矩形的对角线交点及两个顶点
C
2．【教材改编题】点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4个点中的任意3个点，能画圆的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
3．【黄山期末】根据下列条件，A，B，C三点能确定一个圆的是( )
A．AB＝2，BC＝2，AC＝4
B．AB＝4.5，BC＝5.5，AC＝10
C．AB＝4，BC＝3，AC＝5
【答案】C
4．关于三角形的外心，下列说法错误的是( )
A．它到三角形三个顶点的距离相等
B．它是三角形外接圆的圆心
C．它是三角形三条边垂直平分线的交点
D．它一定在三角形的外部
【答案】D
【点拨】锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部，故D选项的说法是错误的．
5．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则( )
A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上
B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内
C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外
D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内
D
6．【创新题】【2021·芜湖期末】如图，在等边三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，点P，Q，M是AB与网格线的交点，则△ABC的外心是( )
A．点P
B．点Q
C．点M
D．点N
B
7．已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙O的半径为( )
A．4
B．3.25
C．3.125
D．2.25
【答案】C
8．已知△ABC的一边长为10，另两边长分别是方程x2－14x＋48＝0的两个根，若用一张圆形纸片将此三角形完全覆盖，则该圆形纸片的最小半径是________．
【答案】5
【点拨】通过解方程我们可以确定另两边的长分别为6，8，由此我们可以确定这个三角形是直角三角形，能覆盖此三角形的最小圆是该三角形的外接圆，故该圆形纸片的最小半径为5.
9．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和没有刻度的直尺作出△ABC的外接圆，并计算此外接圆的半径．
解：如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆．
连接OA，OB，易知OA⊥BC.
∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，
∴∠BAO＝60°.∵OB＝OA，
∴△ABO为等边三角形．
∴OA＝OB＝AB＝8.
∴此外接圆的半径为8.
10．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )
A．有一个内角大于60°
B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60°
D．每一个内角都小于60°
C
11．等边三角形的外接圆的半径和高的比为( )
【答案】B
12．【创新题】【2021·安徽模拟】如图，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________．
13.【宿州模拟】已知，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24
cm，外心O到BC的距离为5
cm，则△ABC的面积是____________．
【点拨】当外心O在△ABC的内部时，如图①，AB＝AC，BC＝24
cm.作OD⊥BC于点D，则BD＝CD＝12
cm.
∵AB＝AC，∴点A在直线AD上．连接OB，在Rt△OBD中，OD＝5
cm，BD＝12
cm，
【答案】216
cm2或96
cm2
当外心O在△ABC的外部时，如图②，作OD⊥BC于点D，连接OB，
同①可计算出OB＝13
cm，则AD＝13－5＝8(cm)，
14．“不在同一直线上的三个点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆．
【点拨】若想判断三个点是否能确定一个圆，只要我们确定三点是否在同一条直线上，若三点在同一条直线上，则三点不能确定一个圆，若三点不在同一条直线上，则三点可以确定一个圆．
解：设经过A，B两点的直线表达式为y＝kx＋b，
∴经过A，B两点的直线表达式为y＝2x－1.当x＝5时，y＝2x－1＝2×5－1＝9≠11，
∴点C(5，11)不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一直线上，∴A，B，C三点可以确定一个圆．
15．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB和AC上，求证：CD，BE不可能互相平分．
证明：假设CD，BE可以互相平分，如图，连接DE，则四边形BCED是平行四边形．
∴BD∥CE，与△ABC相矛盾，
∴CD，BE不可能互相平分．
16．【中考·哈尔滨】如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，∠A＝∠D，且AE＝DE，BC＝CE.
(1)求∠ACB的度数；
解：∵在⊙O中，∠A＝∠D，
且∠AEB＝∠DEC，AE＝DE，
∴△AEB≌△DEC.∴EB＝EC.
又∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC.
∴△EBC为等边三角形．
∴∠ACB＝60°.
(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．
解：∵OF⊥AC，∴AF＝CF.
∵△EBC为等边三角形，∴∠GEF＝60°.∴∠EGF＝30°.
∵EG＝2，∴EF＝1.
又∵AE＝DE＝3，∴CF＝AF＝AE＋EF＝4.
∴AC＝8，CE＝5.
∴BC＝5.
如图，过点B作BM⊥AC于点M.(共30张PPT)
24.2 圆的基本性质
第2课时 垂径分弦
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
A
A
B
C
5
D
核心必知
1
2
3
圆心
直径
直径；平分
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
4
C
C
10
C
11
12
13
14
C
见习题
见习题
见习题
1．圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过________的直线．
圆心
2．垂径定理：垂直于弦的________平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
直径
3．平分弦(不是直径)的________垂直于弦，并且________弦所对的两条弧．
直径
平分
1．下列结论正确的是( )
A．经过圆心的直线是圆的对称轴
B．直径是圆的对称轴
C．与圆相交的直线是圆的对称轴
D．与直径相交的直线是圆的对称轴
A
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论：①CE＝DE；②BE＝OE；③＝；④∠CAB＝∠DAB；⑤AC＝AD.一定正确的有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】A
3．【2021·凉山州】点P是圆O内一点，过点P的最长弦为10
cm，最短弦为6
cm，则OP的长为( )
A．3
cm
B．4
cm
C．5
cm
D．6
cm
B
4．【2021·安徽模拟】⊙P与y轴交于点M(0，－4)，N(0，－10)，圆心P的横坐标为－4，则⊙P的半径为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
C
5．【安徽裕安中学月考】如图，AB为⊙O的弦，OA＝4，∠AOB＝120°，则AB的长为( )
【答案】D
6．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，连接CD，则CD的长为________．
4
7．如图，点A，B，C均在⊙O上，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为( )
C
其中一定正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
9．【2021·合肥模拟】如图是一个圆形木制艺术品，记圆心为O.已知⊙O的半径为12
cm，在距离点O
8
cm的点A处发生虫蛀，现需沿过点A的弦PQ将艺术品裁开，然后用美化材料沿PQ进行粘贴，则美化材料(即弦PQ的长)最少需要________cm.
10．【教材改编题】下列命题中正确的有( )
①垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
②平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
③弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
④平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
11．【创新题】【2021·安徽模拟】如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
C
12.如图，M为⊙O内任意一点，AB为过点M的一条弦，且AB⊥OM.求证：
(1)AB是过点M的所有弦中最短的弦；
证明：设CD为过点M的任意一条不与AB重合的弦，作ON⊥CD，垂足为点N，连接OB，OC，如图所示．
(2)经过线段OM的弦是过点M的所有弦中最长的弦．
∴经过线段OM的弦是过点M的所有弦中最长的弦．
13．如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12
m，拱顶高出水面4
m.
(1)求这座拱桥所在圆的半径．
(2)现有一艘宽5
m，船舱顶部为正方形且高出水面3.6
m的货船要经过这里，问货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．
解：货船不能顺利通过这座拱桥．
理由：如图，连接OM.
∵OD＝OC－CD＝6.5－4＝2.5(m)，
∴ME＝HD＝OH－OD＝6－2.5＝3.5(m)＜3.6
m.
∴货船不能顺利通过这座拱桥．
14．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向(PQ)移动，已知台风移动的速度为30
km/h，受影响区域的半径为200
km，B市位于点P北偏东75°的方向上，距离P点320
km处．
(1)试判断台风是否会影响B市；
解：如图，过点B作BH⊥PQ于点H.在Rt△BHP中，
由条件易知，
BP＝320
km，∠BPQ＝75°－45°＝30°.
∴台风会影响B市．
(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．
解：解：如图，以点B为圆心，200
km长
为半径作圆，交PQ于P1，P2两点，
连接BP1.由垂径定理知P1P2＝2P1H.
在Rt△BHP1中，BP1＝200
km，BH＝160
km，(共15张PPT)
专题技能训练(四)
2.圆中常用的作辅助线的四种方法
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
见习题
1．如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上，小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正方形的边长为4
cm，求该半圆的半径．
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E.
(1)求证：EC＝AC；
证明：∵BC∥AE，∴∠ACB＝∠EAC.
∵∠ACB＝∠BAD，∴∠EAC＝∠BAD，∴∠EAD＝∠CAB.
∵∠ADE＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，
∴∠ADE＝∠ABC.
∵∠EAD＋∠ADE＋∠E＝180°，
∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠E＝∠ACB＝∠EAC，∴EC＝AC.
解：如图，设AE交⊙O于M，连接DM，作MH⊥DE于H.
∵∠MDE＋∠MDC＝180°，
∠MDC＋∠MAC＝180°，
∴∠MDE＝∠MAC.
∵∠E＝∠CAE，∴∠E＝∠MDE，∴MD＝ME＝10.
∵MH⊥DE，∴EH＝DH.
∴EH＝4，∴DE＝2EH＝8.
3．【中考·黄冈】已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN.求证：
(1)DE是⊙O的切线；
证明：∵ME平分∠DMN，
∴∠OME＝∠DME.
∵OM＝OE，∴∠OME＝∠OEM.
∴∠DME＝∠OEM.∴OE∥MD.
∵MD⊥DE，∴OE⊥DE.
又∵OE是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
(2)ME2＝MD·MN.
解：如图，连接EN.
∵MD⊥DE，MN为⊙O的直径，
∴∠MDE＝∠MEN＝90°.
∵∠DME＝∠NME，∴△MDE∽△MEN.
4．如图，已知⊙O的半径为5，AB为⊙O的弦，C为弧AB上一点，过点C作MN∥AB.
(1)若AB＝8，MN与⊙O相切于点C，求弦AC的长；
(2)连接OB，CB，若四边形OACB是平行四边形，求证：MN是⊙O的切线．
证明：在平行四边形OACB中，
∵OA＝OB，∴平行四边形OACB是菱形，∴OC⊥AB.
∵AB∥MN，∴OC⊥MN.
∵C
为弧
AB
上一点，∴MN
是⊙O的切线．(共31张PPT)
24.7 弧长与扇形面积
第1课时 弧长与扇形面积
第24章 圆
答案显示
1
2
3
4
C
C
B
C
5
核心必知
1
2
提示：点击
进入习题
答案显示
6
7
8
9
C
D
π
10
11
12
13
14
见习题
B
见习题
15
见习题
1．在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为______．
2．我们把__________与____________围成的图形叫做扇形；半径为R，圆心角为n°的扇形的面积为____________；若已知扇形的半径为R，弧长为C1，则扇形的面积为________．
两条半径
所夹弧
C
2．如图所示的5个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿弧ADA1，弧A1EA2，弧A2FA3，弧A3GB的路线爬行，乙虫沿弧ACB的路线爬行，则下列结论正确的是( )
A．甲虫先到B点
B．乙虫先到B点
C．两虫同时到B点
D．无法确定
C
A．20°
B．30°
C．45°
D．60°
【答案】B
【点拨】如图，连接OA、OB.
设∠AOB＝n°.
4．【教材改编题】如图，用一个半径为5
cm的滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了( )
A．π
cm
B．2π
cm
C．3π
cm
D．5π
cm
C
6．【创新题】【2021·广安改编】如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路(劣弧AB)和便民路(线段AB)．已知A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，则小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走______________米．
7．【中考·长沙】一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )
A．2π
B．4π
C．12π
D．24π
C
8．【合肥北城新区月考】如果一个扇形的弧长和半径均为2，则此扇形的面积为( )
D
9．如图，分别以n边形的顶点为圆心，以1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为________．
π
10．如图，点O是线段AB上一点，AB＝4
cm，AO＝1
cm，若线段AB绕点O顺时针旋转120°到线段A′B′的位置，则线段AB在旋转过程中扫过的图形的面积为________cm2.(结果保留π)
11.【2021·白银改编】如图，从一块直径为4
dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，求此扇形的面积．
解：如图，连接AC，
∵从一块直径为4
dm的圆形铁皮上剪
出一圆心角为90°的扇形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴AC为直径，∴AC＝4
dm.
12．【创新题】【2021·黄山月考】中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，如图是一种摆盘的几何示意图(阴影部分为摆盘)，通过测量得到AC＝BD＝12
cm，C，D两点之间的距离为4
cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是( )
A．80π
cm2
B．40π
cm2
C．24π
cm2
D．2π
cm2
B
15．某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图①所示，规格要求：杯口直径AB＝6
cm，杯底直径CD＝4
cm，杯壁母线AC＝BD＝6
cm.请你和他们一起解决下列问题：
(1)小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图(如图②，忽略拼接部分)，得到的图形是圆环的一部分．
6π
4π
(2)小顾同学计划利用一张正方形纸片，按如图④所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．
解：如图，连接EF，OB，它们相交于点P，
∵四边形OABC为正方形，
∴OA＝OC，∠OBC＝45°.
∵∠EOF＝60°，OE＝OF，∴△OEF为等边三角形，
由(2)知，OF＝18
cm，∴EF＝OF＝18
cm.(共19张PPT)
专题技能训练(三)
2.与切线有关的常用辅助线的作法
第24章 圆
答案显示
6
见习题
1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
见习题
5
见习题
1．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，CD是⊙O的切线．
(1)求证：∠CDA＝∠CBD；
证明：如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，
∴∠CDA＝90°－∠ODA.
∵OA＝OD
∴∠ODA＝∠OAD，∴∠CDA＝90°－∠OAD，
∵AB
是直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠CBD＝90°－∠OAD，∴∠CDA＝∠CBD.
解：补全图形如图，连接EO.
∵EB为⊙O的切线，ED为切线，
∴∠OED＝∠OEB，DE＝BE.
2．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA＝PD，⊙O是△PAD的外接圆．求证：AB是⊙O的切线．
证明：连接OP，OA，OP交AD于E，如图，
∴∠1＋∠OPA＝90°，
∵OP＝OA，∴∠OAP＝∠OPA，∴∠1＋∠OAP＝90°，
∵四边形ABCD为菱形，∴∠1＝∠2，
∴∠2＋∠OAP＝90°，
∴OA⊥AB，∴AB是⊙O的切线．
3．【2021·广安节选】如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，∠BAF的平分线AE交⊙O于点E，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D，延长DE，AB相交于点C.求证：CD是⊙O的切线．
证明：如图，连接OE，
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠BAF，∴∠OAE＝∠DAE，
∴∠OEA＝∠EAD，∴OE∥AD，
∵ED⊥AF，∴OE⊥DE，
∴CD是⊙O的切线．
4．如图，四边形ABCD是矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF.求证：CF与⊙O相切．
证明：如图，连接OF，OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝90°，
∵AO＝DO，E为BC边中点，
5．【安庆模拟】如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点D，取AC的中点E，连接DE，求证：DE与⊙O相切．
证明：如图，连接OD，AD，
∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵E为AC的中点，∴DE＝CE＝EA，∴∠EDA＝∠EAD.
∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAO，
∴∠EDA＋∠ODA＝∠EAD＋∠DAO，
即∠EDO＝∠EAO＝90°.∵点D在⊙O上，∴DE与⊙O相切．
6．【中考·南充】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心，OC为半径作半圆．
(1)求证：AB为半圆的切线；
证明：如图，作OM⊥AB于M，
∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，
∴OC＝OM，∴AB是半圆的切线．
