人教版（2019）选择性必修一第一章空间向量与立体几何尖子生测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题：本题共
8
小题，每小题
5
分，共
40
分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
已知空间三点 (1,0,3)， ( 1,1,4)， (2,
1,3)，若
//
，且|
|
=
√14，则点
P的坐标为(
)
A.
(4, 2,2)
B.
( 2,2,4)
C.
(4, 2,2)或( 2,2,4)
D.
( 4,2, 2)或(2,
2,4)
2.
已知向量
=
(1,0，1)，
=
(2,0， 2)，若(
+
)
·
(
+
)
=
2，则
k
的值等于(
)
3
2
1
A.
1
B.
C.
D.
5
5
5
3.
已知向量
=
(1,2,2),
=
( 2,1,1)，则向量
在向量
上的投影向量为(
)
2
4
4
2
4
4
2
1
1
2
1
1
A.
(
,
,
)
B.
(
,
,
)
C.
(
,
,
)
D.
(
,
,
)
9
9
9
9
9
9
3
3
3
3
3
3
4.
在棱长为
1的正四面体
ABCD
中，点
M满足
=
+
+
(1
)
，点
N满足
=
(
1)
，当 , 最短时，
·
=
(
)
1
1
2
2
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3
5.
如图所示，空间四边形
OABC中，
=
，∠
=
∠
=
，则
3
cos
<
，
>的值
是(
)
1
A.
0
B.
C.
√3
D.
√2
2
2
2
6.
如图，在大小为60°的二面角
中，四边形
ABFE，四边形
CDEF都是边长为
1
的正方形，则
B，D两
点间的距离是(
)
A.
√2
B.
2
C.
1
D.
√3
→
→
→
→
7.
在四面体
OABC
中 , 分别是 , 的中点，P是
MN
的三等分点(靠近点 )，若
→
→
=
,
=
,
=
，则
→
=
（
）
1
→
→
→
→
→
1
1
→
1
→
1
1
→
1
→
1
1
→
1
→
1
1
→
A.
+
+
B.
+
+
C.
+
+
D.
+
+
3
6
6
6
3
3
2
6
3
6
2
3
第
1
页，共
5
页
8.
如图，直三棱柱
1 1 1中，侧棱长为
2，
=
=
1，∠
=
90
，点
D
是 1 1的中点，F是侧面 1 1 (含边界)上的动点.要使 1
⊥平面 1 ，则线段 1 的
长的最大值为(
)
5
√13
A.
√
B.
√2
C.
D.
√5
2
3
二、选择题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得
5
分，部分选对的得
2
分，有选错的得
0
分．
9.
如果
1
，
2
是平面 内所有向量的一组基底，那么(
)
A.
若实数 1， 2使
1
1
+
2
2
=
0 ，则 1
=
2
=
0
B.
平面任一向量可以表示为
=
1
1
+
2
2
，这里 1， 2
∈
C.
对实数 1， 2， 1
1
+
2
2
不一定在平面 内
D.
对平面 中的任一向量
，使
=
1
1
+
2
2
的实数 1， 2有无数对
10.
如图，一个结晶体的形状为平行六面体
1 1 1 1，其中，以顶点
A
为端点的三条棱长均为
6，且它们
彼此的夹角都是60 ，下列说法中正确的是(
)
A.
1
=
6√6
B.
向量
1
与
1的夹角是60
√6
C.
1
⊥
D.
1与
AC
所成角的余弦值为
6
11.
下列命题正确的是(
)
A.
已知
，
是两个不共线的向量，若
=
+
，
=
3
2
，
=
2
+
3
则
，
，
共面
B.
若向量
//
，则
，
与任何向量都不能构成空间的一个基底
2
2
C.
若 (1,0，0)， (0,1，0)，则与向量
√
√
共线的单位向量为
=
(
,
,
0)
2
2
D.
在三棱锥
中，若侧棱
OA，OB，OC
两两垂直，则底面△
是锐角三角形
12.
若长方体
1 1 1 1的底面是边长为
2的正方形，高为
4，E是 1的中点，
则(
)
A.
1
⊥
1
B.
平面
平面 1
8
C.
三棱锥 1
1 的体积为
3
第
2
页，共
5
页
D.
三棱锥 1
1 1的外接球的表面积为
三、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．
13.
四棱锥
的底面是平行四边形，
=
2
，若
=
+
+
，则
+
+
=
．
14.
如图，在正四棱锥
中，
=
，点
M
为
PA
的中点，B D
=
B N
.若
⊥
，则实数
=______．
15.
设 (0,0，0)， (0,1，1)， (1,0，1)，点
P是线段
AB
上的一个动点，且满足
=
，若
≥
，
则实数 的取值范围是______．
1
16.
动点
P在正方体
的对角线 1上，记
=
，当∠ 为钝角时， 的取值范围是
．
1
四、解答题：本题共
6
小题，共
70
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.
如图，在空间四边形
OABC中，2
=
，点
E
为
AD
的中点，设
=
,
=
,
=
．
(1)试用向量
,
,
表示向量
；
(2)若
=
=
3，
=
2，∠
=
∠
=
∠
=
60°，求
的值．
18.
四棱柱
的底面
ABCD
为矩形，面
⊥平面
ABCD，
=
=
=
√2，
=
2，E
是
CD
的中点．
(Ⅰ)求证：
⊥
；
(Ⅱ)求
BD与平面
PAB所成角的正弦值．
第
3
页，共
5
页
19.
如图， // 且
=
2 ，
⊥
， // 且
=
， // 且
=
2 ，
⊥平面
ABCD，
=
=
=
2．
(1)若
M
为
CF的中点，N
为
EG
的中点，求证： //平面
CDE；
(2)求二面角
的正弦值；
(3)求直线
AD
到平面
EBC
的距离．
20.
如图，在四棱锥
中，
⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中 // ，
1
1
⊥
，
=
=
=
2，
=
4，E
为棱
BC
上的点，且
=
．
2
4
(1)
求证：
⊥平面
PAC；
(Ⅱ)求二面角
的余弦值；
(Ⅲ)设
Q
为棱
CP上的点(不与
C、P重合)，且直线
QE与平面
PAC
所成角的
5
正弦值为√
，求
的值．
5
2
1.
如图
1，在边长为
4的菱形 中，∠
=
60 ，
⊥
于点
E，将△
沿 折起到△
1 的位置，
使 1
⊥
，如图
2．
(1)求二面角
1
的余弦值
(2)判断在线段 上是否存在一点
P，使平面 1
⊥
平面 1 ？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
第
4
页，共
5
页
22.
如图，在四棱锥
中，侧棱
⊥底面
ABCD， // ，∠
=
90°，
=
1，
=
=
=
2，
M
是棱
PB
的中点．
(1)已知点
E在棱
BC
上，且平面 //平面
PCD，试确定点
E的位置并说明理由；
(2)设点
N
是线段
CD
上的动点，当点
N
在何处时，直线
MN
与平面
PAB所成的角最大 并求最大角的正弦值．
第
5
页，共
5
页人教版（2019）选择性必修一第一章空间向量与立体几何尖子生测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题：本题共
8
小题，每小题
5
分，共
40
分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
已知空间三点 (1,0,3)， ( 1,1,4)， (2,
1,3)，若
//
，且|
|
=
√14，则点
P的坐标为(
)
A.
(4, 2,2)
B.
( 2,2,4)
C.
(4, 2,2)或( 2,2,4)
D.
( 4,2, 2)或(2,
2,4)
【答案】C
【解析】∵
//
，
∴可设
=
．
易知
=
(3, 2, 1)，则
=
(3 ,
2 , )．
又|
|
=
√14，
∴
√(3 )2
+
( 2 )2
+
( )2
=
√14，解得
=
±1，
∴
=
(3, 2, 1)或
=
( 3,2,1)．
设点
P的坐标为( ,y， )，
则
=
(
1,
,
3)，
1
=
3,
1
=
3,
∴
{
=
2,
或{
=
2,
3
=
1
3
=
1,
=
4,
=
2,
解得{
=
2,或{
=
2,
=
2
=
4.
故点
P的坐标为(4, 2,2)或( 2,2，4)．
故选
C．
2.
已知向量
=
(1,0，1)，
=
(2,0， 2)，若(
+
)
·
(
+
)
=
2，则
k
的值等于(
)
3
2
1
A.
1
B.
C.
D.
5
5
5
【答案】D
→
→
→
【解析】由已知得| |
=
√2，| |
=
2
√2，且
→
=
0，
→
→
→
→由(
+
)
(
+
)
=
2得
∥
∥2+
∥
∥2+
( 2
+
1)
=
2，
1
即
2
+
8
=
2，解得
=
．
故选：D
5
第
1
页，共
17
页
3.
已知向量
=
(1,2,2),
=
( 2,1,1)，则向量
在向量
上的投影向量为(
)
2
4
4
2
4
4
2
1
1
2
1
1
A.
(
,
,
)
B.
(
,
,
)
C.
(
,
,
)
D.
(
,
,
)
9
9
9
9
9
9
3
3
3
3
3
3
【答案】B
【解析】因为
=
(1,2,2),
=
( 2,1,1)，
所以
=
2
×
1
+
2
×
1
+
2
×
1
=
2，
2
2
所以向量
在向量
上的投影为
=
=
，
|
|
√22+22+12
3
2
设向量
在向量
上的投影向量为
，则
=
(
>
0)且|
|
=
，
3
2
2
所以
=
( ,
2 ,
2 )，所以 2
+
4 2
+
4 2
=
(
)2，解得
=
，
3
9
2
4
4
所以
=
(
,
,
)，
9
9
9
故选
B．
4.
在棱长为
1的正四面体
ABCD
中，点
M满足
=
+
+
(1
)
，点
N满足
=
(
1)
，当 , 最短时，
·
=
(
)
1
1
2
2
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3
【答案】A
【解析】∵
=
+
+
(1
)
，
=
(
1)
，
∴
∈平面
BCD，
∈直线
AB，
当
AM、DN
最短时，
⊥平面
BCD，
⊥
，
∴
为△
的中心，N为线段
AB
的中点，
如图：
又正四面体的棱长为
1，
√
6
√6
∴
=
，cos∠
=
，
3
3
∵
⊥平面
BCD，
第
2
页，共
17
页
2
∴
=
|
|
|
|cos∠
=
|
|
，
1
1
2
1
1
6
1
∴
=
(
)
=
(
)
=
=
|
|2
=
×
=
．
2
2
2
2
9
3
故选：A．
5.
如图所示，空间四边形
OABC中，
=
，∠
=
∠
=
，则cos
<
，3
>的值
是(
)
1
A.
0
B.
C.
√3
D.
√2
2
2
2
【答案】A
【解析】空间四边形
OABC中，
=
，∠
=
∠
=
，
3
∴
=
，
∴
=
(
)
=
=
|
|
×
|
|
×
cos
|
|
×
|
|
×
cos
3
3
1
=
|
|
×
(|
|
|
|)
2
=
0，
∴
cos
<
，
>=
=
0．
故选
A．
|
|×|
|
6.
如图，在大小为60°的二面角
中，四边形
ABFE，四边形
CDEF都是边长为
1
的正方形，则
B，D两
点间的距离是(
)
A.
√2
B.
2
C.
1
D.
√3
【答案】A
【解析】由题以{
,
,
}为空间一组基底向量，因为四边形
ABFE，四边形
CDEF都是边长为
1
的正方形且二
面角
的大小为60°，
所以
，
又∵
=
+
+
，
2
∴
|
|
=
√(
+
+
)
2
2
2
=
√|
|
+
|
|
+
|
|
+
2
·
+
2
·
+
2
·
=
√1
+
1
+
1
+
2
×
1
×
1
×
cos120°
=
√2．
故选
A．
第
3
页，共
17
页
→
→
→
→
在四面体
中 , 分别是 , 的中点，
是
的三等分点(靠近点 )，若
→
→7.
OABC
P
MN
=
,
=
,
=
，则
→
=
（
）
→
→
→
→
1
→
1
1
→
1
→
1
1
→
1
→
1
1
→
1
→
1
1
→
A.
+
+
B.
+
+
C.
+
+
D.
+
+
3
6
6
6
3
3
2
6
3
6
2
3
【答案】B
【解析】如图所示：
→
→
→
→
2
→
=
+
=
+
，
3
1
→
2
→
→
=
+
(
)
2
3
1
→
2
1
→
1
→
1
→
=
+
(
+
)，
2
3
2
2
2
1
→
1
→
1
→
=
+
+
6
3
3
1
1
1
=
+
+
．
故选：B
6
3
3
8.
如图，直三棱柱
1 1 1中，侧棱长为
2，
=
=
1，∠
=
90
，点
D
是 1 1的中点，F是侧面 1 1 (含边界)上的动点.要使 1
⊥平面 1 ，则线段 1 的
长的最大值为(
)
5
√13
A.
√
B.
√2
C.
D.
√5
2
3
【答案】A
【解析】取 1上靠近 1的四等分点为
E，连接
DE，
当点
F在
DE上时， 1
⊥平面 1 ，
证明如下：因为直三棱柱
1 1 1中，
侧棱长为
2，
=
=
1，∠
=
90 ，点
D
是 1 1的中点，
第
4
页，共
17
页
所以 1
⊥平面 1 1 ，
所以 1
⊥
1．
以 1为坐标原点， 1 1， 1 1， 1 分别为
x
轴，y轴，z
轴建立空间直角坐标系，
1
1
1
所以 (1,0，2)， 1(0,1，0)， (
,
,
0)， (0,1，
)，
2
2
2
1
1
1
即
1
=
( 1,1， 2)，
=
(
,
,
)，
2
2
2
此时
1
=
0，即 1
⊥
．
又
∩
1
=
，DE， 1
平面 1 ，
所以 1
⊥平面 1 ，
故当
F在
DE上时， 1
⊥平面 1 ，
5
很明显，当
E，F重合时，线段
√1 最长，此时 1
=
．
2
故选
A．
二、选择题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得
5
分，部分选对的得
2
分，有选错的得
0
分．
9.
如果 1
，
2
是平面 内所有向量的一组基底，那么(
)
A.
若实数 1， 2使 1
1
+
2
2
=
0 ，则 1
=
2
=
0
B.
平面任一向量可以表示为
=
1
1
+
2
2
，这里 1， 2
∈
C.
对实数 1， 2， 1
1
+
2
2
不一定在平面 内
D.
对平面 中的任一向量
，使
=
1
1
+
2
2
的实数 1， 2有无数对
【答案】AB
【解析】∵由基底的定义可知，
1
和 2
是平面上不共线的两个向量，
∴实数 1， 2使 1
1
+
2
2
=
0 ，则 1
=
2
=
0，故
A
正确；
平面 内所有向量都可以表示为
=
1
1
+
2
2
，故
B正确；
平面 中的任一向量
均可以表示为
=
1
1
+
2
2
的形式，此时实数 1， 2有且只有一对，故
D
错误；
对实数 1， 2， 1
1
+
2
2
一定在平面 内，C
错误;
故选：AB．
第
5
页，共
17
页
10.
如图，一个结晶体的形状为平行六面体
1 1 1 1，其中，以顶点
A
为端点的三条棱长均为
6，且它们
彼此的夹角都是60 ，下列说法中正确的是(
)
A.
1
=
6√6
B.
向量
1
与
1的夹角是60
√6
C.
1
⊥
D.
1与
AC
所成角的余弦值为
6
【答案】ACD
【解析】因为以顶点
A
为端点的三条棱长均为
6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以
1
=
1
=
=
6
×
6
×
cos 60
°
=
18，
2
2
(
1
+
+
)
2
=
+
+
+
2
1
1
+
2
+
2
1
=
36
+
36
+
36
+
3
×
2
×
18
=
216，
则|
|
=
|
+
+
1
1
|
=
6√6，
所以
A
正确；
显然△
°1 为等边三角形，则∠ 1
=
60
．
因为
=
，且向量
与
的夹角是120°，所以
1
1
1
1
1 与 1的夹角是120°，
所以
B
不正确；
=
(
+
+
1
1
)
(
)
2
2
=
，
所以
C
正确；
1
1
+
+
=
0
因为
1
=
+
,
1
=
+
，
所以|
1
|
=
√(
+
1
)2
=
6√2,
|
|
=
√(
+
)2
=
6√3，
1
=
(
+
1
)
(
+
)
=
36，
36
√6
所以cos
11
,
=
=
=
，
所以
D
正确．
|
1
| |
|
6√2×6√3
6
第
6
页，共
17
页
故选
ACD．
11.
下列命题正确的是(
)
A.
已知
，
是两个不共线的向量，若
=
+
，
=
3
2
，
=
2
+
3
则
，
，
共面
B.
若向量
//
，则
，
与任何向量都不能构成空间的一个基底
C.
若 (1,0，0)， (0,1，0)，则与向量
2
2
共线的单位向量为
√
√
=
(
,
,
0)
2
2
D.
在三棱锥
中，若侧棱
OA，OB，OC
两两垂直，则底面△
是锐角三角形
【答案】ABD
2
1
3
1
【解析】对于 ，由
=
+
，
=
3
2
，得
=
+
,
=
，
5
5
5
5
4
2
9
3
所以
=
2
+
3
=
+
+
13
1
=
，
5
5
5
5
5
5
所以向量
，
，
共面，故
A
正确；
对于B，若向量
//
，则
，
与任何向量都共面，
所以
，
与任何向量不能构成空间的一个基底，故
B
正确；
对于C，由题意可知：
=
( 1,1,0)，
设与向量
共线的单位向量为
=
=
( ,
,
0)，
2
2
2
2
2
则√( )2
√
+
2
+
02
=
1，解得：
=
±
，则
√
√
或
√
√
=
(
,
,
0)
=
(
,
,
0)，故
C
错误；
2
2
2
2
2
对于D，如图，
若侧棱
OA，OB，OC
两两互相垂直，
2
·
=
(
)
·
(
)
=
|
|
>
0，
所以∠ 为锐角，同理∠ ，∠ 均为锐角，
∴△
为锐角三角形．故
D
正确．
故选
ABD．
12.
若长方体
1 1 1 1的底面是边长为
2的正方形，高为
4，E
是 1的中点，则
(
)
A.
1
⊥
1
第
7
页，共
17
页
B.
平面
平面 1
8
C.
三棱锥 1
1 的体积为
3
D.
三棱锥 1
1 1的外接球的表面积为
【答案】CD
【解析】以
A
为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
∴
1(2,0,4)， (0,2,2)， 1(0,0,4)， (2,0,0)，
(2,2,0)， (0,2,0)，
∴
=
( 2,2, 2),
=
(2,0, 4)，
=
( 2,0,2),
1
1
1
=
(0,2, 4)，
∴
·
1
1
=
4
+
8
=
4
≠
0，
故
A
错误；
设平面 1 的一个法向量为
=
( ,
,
)，
·
=
0
2
+
2
=
0
∴
{
,即
{
(
)
·
=
0
2
+
2
2
=
0
，令
=
1，可得
=
1,2,1
，
1
设平面 1 的一条法向量为
=
( 1,
1,
1)
·
1
=
0
2 ∴
{
，即{
1
4 1
=
0，令
=
2，可得
=
(2,2,1)
·
1
=
0
2 1
4 1
=
0
显然两平面对应的法向量不平行，所以这两个平面也不平行，
故
B错误；
1
1
8
=
=
×
(
×
4
×
2)
×
2
=
，
故
C
正确；
1
1
1
1
3
2
3
通过三棱锥的结构分析可知三棱锥 1
1 1的外接球即为长方体
1 1 1 1的外接球，
4+4+16
其外接球半径
√
=
=
√6，所以其表面积为
，
故
D正确，
2
故选
CD．
三、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．
13.
四棱锥
的底面是平行四边形，
=
2
，若
=
+
+
，则
+
+
=
．
2
【答案】
3
1
【解析】因为
=
2
，所以
=
，
3
四棱锥
的底面是平行四边形，则
+
=
，
第
8
页，共
17
页
所以
1
1
=
+
=
+
=
+
(
)
3
3
=
1
1
2
1
+
(
)
=
+
，
3
3
3
3
又
=
+
+
，
1
2
1
所以
=
,
=
,
=
，
3
3
3
2
故
+
+
=
．
3
2
故答案为：
．
3
14.
如图，在正四棱锥
中，
=
，点
M
为
PA
的中点，B D
=
B N
.若
⊥
，则实数
=______．
【答案】4
【解析】连接
AC，BD
交于点
O，
以
OA为
x轴，以
OB
为
y
轴，以
OP为
z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设
=
=
√2，
1
1
则 (1,0，0)， (0,1，0)， (0, 1,0)， (0,0，1)， (
,0，
)，
2
2
∴
=
(0, 2,0)，
设 (0,y，0)，则
=
(0,
1,0)，
∵
=
，
2
2
∴
=
，∴
(0,
,
0)，
∴
1
2
1
=
(
,
,
)，
=
( 1, 1,0)．
2
2
又∵
⊥
，
∴
·
=
0，
1
2
∴
=
0
，解得
=
4．
2
故答案为
4．
15.
设 (0,0，0)， (0,1，1)， (1,0，1)，点
P是线段
AB
上的一个动点，且满足
=
，若
≥
，
则实数 的取值范围是______．
【答案】[2
√2,
2
+
√2]
第
9
页，共
17
页
【解析】∵
(0,0，0)， (0,1，1)， (1,0，1)，
设 ( ,y， )，
∴
=
(1, 1,0)，
∵
=
=
( , ,
0)
=
( ,
1,
1)，
=
∴
{
=
1
，
=
1
∴
=
( ,
1
,
1)，
=
( ,
,
0)，
=
(1
,
1,0)，
∵
=
2
1，
=
2 2
2 ，
又∵
≥
，
∴
2
1
≥
2 2
2 ，
整理可得，2 2
4
+
1
≤
0，
解可得，2
√2
≤
≤
2
+
√2，
故答案为：[1
√2,
2
+
√2].
1
16.
动点
P在正方体
的对角线 1上，记
=
，当∠ 为钝角时， 的取值范围是
．
1
1【答案】(
,
1)
3
【解析】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系
，
设
=
1，则有 (1,0，0)， (1,1，0)， (0,1，0)， 1(0,0，1)，
∴
1
=
(1,1， 1)，∴
1
=
( ,
, )，
=
+
1
1
=
( , ,
)
+
(1,0， 1)
=
(1
， ，
1)，
=
1
+
1
=
( , ,
)
+
(0,1， 1)
=
( ，1
，
1)，
显然∠ 不是平角，所以∠ 为钝角等价于cos∠
<
0，
∴
<
0，
1
∴
(1
)( )
+
( )(1
)
+
(
1)2
=
(
1)(3
1)
<
0，得
<
<
1，
3
第
10
页，共
17
页
1
因此， 的取值范围是(
,
1)，
3
1
故答案为：(
,
1)．
3
四、解答题：本题共
6
小题，共
70
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.
如图，在空间四边形
OABC中，2
=
，点
E
为
AD
的中点，设
=
,
=
,
=
．
(1)试用向量
,
,
表示向量
；
(2)若
=
=
3，
=
2，∠
=
∠
=
∠
=
60°，求
的值．
【解析】(1)
因为2
=
，
所以
1
=
1
=
(
1
)
=
(
)，
3
3
3
所以
1
2
1
=
+
=
+
(
)
=
+
，
3
3
3
因为
E
为
AD中点，
所以
1
=
(
+
1
2
1
1
1
1
)
=
(
+
+
)
=
+
+
;
2
2
3
3
2
3
6
1
9
(2)
由题意知：
·
=
|
|
·
|
|cos60°
=
3
×
3
×
=
，
2
2
1
·
=
|
|
·
|
|cos60°
=
3
×
2
×
=
3，
2
1
·
=
|
|
·
|
|cos60°
=
3
×
2
×
=
3，
2
=
·
(
1
1
1
)
=
(
+
+
)
·
(
)
2
3
6
1
2
1
2
1
1
1
=
+
+
·
+
·
·
2
6
3
3
3
1
1
1
9
1
1
=
×
32
+
×
32
+
×
+
×
3
×
3
2
6
3
2
3
3
3
=
．
2
18.
四棱柱
的底面
ABCD
为矩形，面
⊥平面
ABCD，
=
=
=
√2，
=
2，E
是
CD
的中点．
(Ⅰ)求证：
⊥
；
(Ⅱ)求
BD与平面
PAB所成角的正弦值．
【解析】(Ⅰ)∵四棱柱
的底面
ABCD
为矩形，面
⊥平面
ABCD，
=
=
=
√2，
=
2，
E
是
CD的中点．
∴
⊥底面
ABCD，以
E为原点，在平面
ABCD内过点
E作
CD
的垂线为
x
轴，EC为
y
轴，EP为
z
轴，
第
11
页，共
17
页
建立空间直角坐标系，
(√2, 1,0)， (0,1，0)， (0,0，1)， (√2,1，0)，
∴
=
( √2,2，0)，
=
(√2,
1,
1)，
∴
=
2
+
2
+
0
=
0，
∴
⊥
．
(Ⅱ) (0， 1，0)，
=
( √2, 2,0)，
=
(√2, 1, 1)，
设平面
PAB的法向量
=
( ,y， )，
=
√2
=
0
则
{
，取
=
1，得
=
(1,0，√2)，
=
√2
+
=
0
设
BD
与平面
PAB
所成角为 ，
|
|
√2
1
则
=
=
=
．
|
| |
|
√6 √3
3
1
∴
与平面
PAB
所成角的正弦值为
．
3
19.
如图， // 且
=
2 ，
⊥
， // 且
=
， // 且
=
2 ，
⊥平面
ABCD，
=
=
=
2．
(1)若
M
为
CF的中点，N
为
EG
的中点，求证： //平面
CDE；
(2)求二面角
的正弦值；
(3)求直线
AD
到平面
EBC
的距离．
【解析】(1)证明：依题意，以
D
为坐标原点，分别以
、
、
的方向为
x
轴，y轴，z
轴的正方向建立空间直
角坐标系．
第
12
页，共
17
页
3
可得 (0,0，0)， (2,0，0)， (1,2，0)， (0,2，0)， (2,0，2)， (0,1，2)， (0,0，2)， (0,
,
1)，
2
(1,0，2)．
设 0
=
( ,
,
)为平面
CDE
的法向量，
=
2
=
0
则
{
0
，不妨令
=
1，可得 0
=
(1,0, 1)；
0
=
2
+
2
=
0
又
3
=
(1,
,
1)，可得
0
=
0．
2
又∵直线
平面
CDE，
∴
//平面
CDE；
(2)
依题意，可得
=
( 1,0,0)，
=
(1, 2,2)，
=
(0, 1,2)．
设
=
( 1,
1,
1)为平面
BCE
的法向量，
=
则
{
1
=
0
，不妨令 1
=
1，可得
=
(0,1,1)．
=
1
2 1
+
2 1
=
0
设
=
( 2,
2,
2)为平面
BCF的法向量，
=
则
{
2
=
0
，不妨令
=
1，可得
=
(0,2,1)．
2
=
2
+
2 2
=
0
3√10
√10因此有cos
<
,
>=
=
，于是sin
<
,
>=
．
|
| |
|
10
10
10
∴二面角
的正弦值为√
．
10
(3)
∵
// ，
平面
EBC，
平面
EBC，
∵
//平面
EBC，
∴
到平面
EBC的距离即
A
到平面
EBC的距离，
设
A
到平面
EBC
的距离为
d，
=
(0,0,2)，
|
|
2
则
=
=
=
√2.
|
|
√2
第
13
页，共
17
页
20.
如图，在四棱锥
中，
⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中 // ，
1
1
⊥
，
=
=
=
2，
=
4，E
为棱
BC
上的点，且
=
．
2
4
(1)
求证：
⊥平面
PAC；
(Ⅱ)求二面角
的余弦值；
(Ⅲ)设
Q
为棱
CP上的点(不与
C、P重合)，且直线
QE与平面
PAC
所成角的
5
正弦值为√
，求
的值．
5
【
解析】证明：(Ⅰ)因为
⊥平面
ABCD，AB、
平面
ABCD，所以
⊥
，
⊥
，
而
⊥
，因此
PA、AB、AD
两两垂直．
以
A
为坐标原点，AB
为
x
轴，AD
为
y
轴，AP为
z
轴，建立空间直角坐标系，如下图：
1
1
因为 // ，
=
=
=
2，
=
4，E
为棱
BC
上的点，且
=
，
2
4
所以 (0,0，0)， (2,0，0)， (2,4，0)， (0,2，0)，
(0,0，4)， (2,1，0)，
因此
=
(2, 1,0)，
=
(2,4，0)，
=
(0,0，4)．
∵
=
0，
=
0，
∴
⊥
，
⊥
，
而
∩
=
，PA、
平面
PAC，因此
⊥平面
PAC．
(Ⅱ)
由(Ⅰ)知平面
PAC
的法向量
=
(2, 1,0)，
设平面
PCD
的法向量
=
( ,y， )，
∵
=
(0,2， 4)，
=
(2,4， 4)，
=
2
4
=
0
∴
{
，取
=
1，得
=
( 2,2，1)．
=
2
+
4
4
=
0
若二面角
的大小为 ，由图知： 为锐角，
|
|
2√5
因此cos
=
|cos
<
,
>
|
=
=
，
|
| |
|
5
2
5
即二面角
的余弦值为
√
．
5
第
14
页，共
17
页
(Ⅲ)
设
=
(0
<
<
1)，即
=
=
( 2 ,
4 ,
4 )，
∴
=
(2
2 ,
4
4 ,
4 )，
∴
=
(2 ,
4
3, 4 )，
5
∵直线
QE与平面
PAC
所成角的正弦值为√
，
5
|
|
√5
∴
|cos
<
，
>
|
=
=
，
|
| |
|
5
2
2
解得
=
，∴
=
．
3
3
21.
如图
1，在边长为
4的菱形 中，∠
=
60 ，
⊥
于点
E，将△
沿 折起到△
1 的位置，
使 1
⊥
，如图
2．
(1)求二面角
1
的余弦值
(2)判断在线段 上是否存在一点
P，使平面 1
⊥
平面 1 ？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)
由题意，以
EB，ED， 1分别为
x，y，z
轴，建立坐标系，则
=
2√3，
1(0,0，2)， (2,0，0)， (4,2√3,
0)， (0,2√3,
0)，
∴
1
=
( 2,0，2)，
=
(2,2√3,
0)，
平面 1 的一个法向量为
=
(0,1，0)，
设平面 1 的一个法向量为
=
( ,y， )，
2
+
2
=
0
则
{
,
2
+
2√3
=
0
令
=
1，∴
=
( √3,1， √3)，
第
15
页，共
17
页
·
√7
∴
cos
<
，
>=
=
，
|
||
|
7
7
∴钝二面角
√1
的余弦值为
；
7
(2)
在线段
EB
上不存在一点
P，使平面 1
⊥平面 1 ，
设 ( ,0，0)(0
≤
≤
2)，
则
1
=
( ,0， 2)， 1
=
(0,2√3, 2)，
设平面 1 的法向量为
=
( ,b， )，
则
{2√3
2
=
0，
2
=
0
令
=
2，∴
=
(2,
,
)，
√3
∵平面 1
⊥平面 1 ，
由
(1)
可得平面 1 的一个法向量
=
( √3,1， √3)，
由
·
=
0得， 2√3
+
√3
=
0，∴
=
3，
√3
∵
0
≤
≤
2，
∴在线段
EB
上不存在一点
P，使平面 1
⊥平面 1 ．
22.
如图，在四棱锥
中，侧棱
⊥底面
ABCD， // ，∠
=
90°，
=
1，
=
=
=
2，
M
是棱
PB
的中点．
(1)已知点
E在棱
BC
上，且平面 //平面
PCD，试确定点
E的位置并说明理由；
(2)设点
N
是线段
CD
上的动点，当点
N
在何处时，直线
MN
与平面
PAB所成的角最大 并求最大角的正弦值．
【解析】：(1) 为
BC
的中点．
证明如下：连接
ME，AE，∵
、E
分别为
PB、BC的中点，
∴
// ．
又∵
平面
PDC，
平面
PDC，
∴
//平面
PDC．
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又∵
/ /
，∴四边形
EADC为平行四边形，
∴
// .
∵
平面
PDC，
平面
PDC，
∴
//平面
PDC．
又∵
∩
=
，
∴平面 //平面
PDC．
(2)
以
A
为原点，分别以
AD，AB，AP所在直线为
x，y，z
轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0，0)， (0,2，0)， (2,2，0)， (1,0，0)， (0,0，2)， (0,1，1)，
设直线
MN与平面
PAB所成的角为 ，
=
(0
≤
≤
1)，
则
=
+
+
=
(
+
1,2
1, 1)，
易得平面
PAB
的一个法向量为
=
(1,0,0)，
(
)2
则
+1
+1sin
=
|cos
,
|
=
=
√
，
√( +1)2+(2 1)2+1
5 2 2 +3
令
+
1
=
，
∈
[1,2]，
( +1)2
2
1
5
则
=
=
≤5 2 2 +3
5 2 12 +10
1
2
12
，
10(
)
+5
7
√35
∴
sin
≤
，
7
5
2
当且仅当
=
，即
=
时，等号成立．
3
3
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