2.6正多边形和圆 同步能力提升训练2021-2022学年苏科版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.6正多边形和圆》同步能力提升训练（附答案）
一、选择题
1．一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数是（　　）
A．3
B．6
C．8
D．12
2．如图⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　）
A．144°
B．130°
C．129°
D．108°
3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
4．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，则∠PDG等于（　　）
A．72°
B．54°
C．36°
D．64°
5．在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（　　）
A．30°，1
B．45°，
C．60°，
D．120°，2
6．已知一个正六边形的边心距为，则它的外接圆的面积为（　　）
A．4π
B．3π
C．2π
D．π
7．如图，AB，BC和AC分别为⊙O内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（　　）
A．六
B．八
C．十
D．十二
8．如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（　　）
A．（﹣2，2）
B．（﹣2，﹣2）
C．（2，﹣2）
D．（2，2）
9．如图，边长为2+的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为（　　）
A．0.5
B．
C．1
D．
二、填空题
10．如图正五边形ABCDE，点F是DE的中点，连接CE与BF交于点G，则∠CGF＝　
°．
11．如图，在正六边形ABCDEF中，连接CE，AD，AD与CE交于点O，连接OB，若正六边形边长为4，则OB的长为
　
　．
12．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝20mm，则边长a＝　
　mm．
13．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD，则∠CBD的度数是
　
　．
14．如图，直线PQ经过正五边形ABCDE的中心O，与AB、CD边分别交于点P、Q，点C1是点C关于直线PQ的对称点，连接CC1，AC1，则∠CC1A的度数为　
　°．
15．如图是四个全等的正八边形和一个正方形拼成的图案，已知正方形的面积为4，则一个正八边形的面积为
　
　．
16．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC距离为　
　．
17．如图，若正六边形ABCDEF边长为2，G为DE中点，连接对角线BG，则线段BG的长为
　
　．
18．如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝　
　．
19．如图，点A，B，C，D是一个外角为40°的正多边形的顶点，若O为正多边形的中心，则∠AOD的度数为　
　．
20．如图，⊙O的半径为6，如果弦AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边，那么弦BC的长为　
　．
21．如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为　
　°．
三、解答题
22．如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，且边长为4．
（1）求该正六边形的半径、边心距和中心角；
（2）求该正六边形的外接圆的周长和面积．
23．如图1，△ABC为等边三角形，图2为正方形，图3为正五边形，图4为正多边形．
（1）如图1当BP＝CQ时，请求出∠AOQ的度数，并说明理由
（2）如图2，在正方形中，当BP＝CQ时∠AOQ＝　
　；如图3，在正五边形中，当BP＝CQ时，∠AOQ＝　
　；
（3）如图4，在正n边形中，当BP＝CQ时，∠AOQ是否有什么规律？如果有请用含有n的式子直接表示；如果没有规律，请说明理由．
24．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．
（1）求∠AED的度数．
（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．
25．如图，正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，BF与AC交于点P．
（1）求证：四边形ABCF是菱形；
（2）求证：AC2+BF2＝4AB2；
（3）若AB＝2，求△CDF的周长．
参考答案
1．解：∵正多边形的中心角和为360°，正多边形的中心角是30°，
∴这个正多边形的边数＝＝12．
故选：D．
2．解：正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠E＝∠D＝108°，
∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，
故选：A．
3．解：连接OB、OC，如图，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴所对的圆心角为90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝∠BOC＝45°．
故选：B．
4．解：连接OC，OD．
在正五边形ABCDE中，∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD＝90°，
∴∠PDG＝90°﹣36°＝54°，
故选：B．
5．解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD＝＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝OC＝2，
∵OG⊥BC，
∴CG＝BC＝1，
∵∠COG＝∠COD＝30°，
∴OG＝CG＝，
故选：C．
6．解：如图，O为正六边形六边形ABCDEF的中心，过O作OH⊥AB于H，连接OA、OB
则OA为正六边形ABCDEF的外接圆的半径，OH为正六边形ABCDEF的边心距，
即OH＝，
∵∠AOB＝＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∵OH⊥AB，
∴OA＝2，
∴它的外接圆的面积＝π 22＝4π，
故选：A．
7．解：连接OA，OB，OC．
由题意，∠AOB＝＝90°，∠BOC＝＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝30°，
∴n＝＝12，
故选：D．
8．解：连接OA，
∠AOH＝30°，AH＝2，
∴OH＝＝2，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
2020÷6＝336…4，
∴当n＝2020时，顶点A的坐标为（﹣2，﹣2），
故选：B．
9．解：设正八边形的边长为x，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为x，
∵正方形的边长为2+，
∴x+x+x＝2+，
解得x＝＝，
∴正八边形的边长为，
故选：D．
10．解：连接BE，BD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BE＝BD，DE＝DC，∠CDE＝108°，
∴∠DCE＝∠DEC＝36°，
∵BE＝BD，DF＝EF，
∴BF⊥DE，
∴∠BFE＝90°，
∴∠BFG＝∠GFE+∠GEF＝90°+36°＝126°，
故答案为：126．
11．解：在正六边形ABCDEF中，BC＝CD＝DE＝4，∠BCD＝∠CDE＝120°，
∴∠DCE＝∠DEC＝30°，
∵AD⊥CE，
∴OC＝OE＝2，
∵∠BCO＝∠BCD﹣∠DCO＝90°，
∴OB＝＝＝2，
故答案为：2．
12．解：如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．
∵∠COD＝＝60°，OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COH＝90°﹣60°＝30°，
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH＝CD，OH＝b＝10（mm），
∴CH＝（mm），
∴a＝2CH＝（mm），
故答案为：．
13．解：在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝120°,
∵CB＝CD,
∴∠CBD＝∠CDB＝(180°﹣120°)＝30°,
故答案为：30°．
14．解：连接OA，OB，OC，OC1．
∵ABCDE是正五边形，
∴OA＝OB＝OC，∠ABC＝108°，
∵C，C1关于PQ对称，
∴OC＝OC1，
∴OA＝OB＝OC＝OC1，
∴A，B，C，C1四点共圆，
∴∠ABC+∠CC1A＝180°，
∴∠CC1A＝72°，
故答案为：72．
15．解：设正八边形的中心为O，
连接OA，OB，如图所示，
∵正方形的面积为4，
∴AB＝2，
∵AB是正八边形的一条边，
∴∠AOB＝＝45°．
过点B作BD⊥OA于点D，设BD＝x，则OD＝x，OB＝OA＝x，
∴AD＝x﹣x，
在Rt△ADB中，BD2+AD2＝AB2，
即x2+（x﹣x）2＝22，
解得x2＝2+，
∴S△AOB＝OA BD＝×x2＝+1，
∴S正八边形＝8S△AOB＝8×（+1）＝8+8，
故答案为：8+8．
16．解：连接OB交AC于M，
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴∠AOB＝∠BOC＝＝45°，AB＝BC，
∴＝，∠AOC＝90°，
∴AM＝CM＝AC＝2，OM⊥AC，
∵OA＝OC，
∠OAM＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝45°，
∴∠OAM＝∠AOB，
∴AM＝OM，
在Rt△AOC中，
∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，
∴2OA2＝AC2＝42＝16，
∴OA＝2，
在Rt△AOM中，
∵OM2+AM2＝OA2，
∴2OM2＝（2）2，
∴OM＝2，
∴点O到AC距离为2，
故答案为：2．
17．解：连接BE，过A作AM⊥BE于M，过F作FN⊥BE于N，过G作GH⊥BE于H，
则AF∥BE，
∴四边形AMNF是矩形，
∴MN＝AF＝2，∠FAM＝90°，
∵∠BAF＝＝120°，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝1，
同理：EN＝1，
∴BE＝4，EH＝，GH＝，
∴BH＝BE﹣EH＝4﹣＝，
∴BG＝＝＝，
方法二：连接BD，
∵正六边形ABCDEF边长为2，G为DE中点，
∴BC＝CD＝2，DG＝DE＝1，∠C＝∠CDG＝120°，
∴∠CDB＝30°，
∴∠BDG＝90°，
过C作CH⊥BD于H，
∴∠CHD＝90°，
∴DH＝CD＝，
∴BD＝2，
∴BG＝＝，
故答案为：．
18．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB＝108°，
∵四边形ABFG是矩形，
∴∠BAG＝90°，
∴∠EAG＝∠EAB﹣∠GAB＝108°﹣90°＝18°，
故答案为：18°．
19．解：连接OB、OC，
正多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得多边形的边数为：＝9，
∴∠AOB＝＝40°，
∴∠AOD＝40°×3＝120°．
故答案为：120°
20．解：连接OA、OB、OC，作OD⊥BC于点D，
∵AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边，
∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝30°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+30°＝120°，
∵OC＝OB，
∴∠OCD＝∠OBC＝30°，
∵OC＝6，
∴CD＝3，
∴BC＝2CD＝6，
故答案为：6．
21．解：如图，连接OM，ON．
∵M，N，F分别是AE，AB，CD与⊙O的切点，
∴OM⊥AE，ON⊥AB，
∴∠OMA＝∠ONA＝90°，
∵∠A＝108°，
∴∠MON＝180°﹣108°＝72°，
∴∠MFN＝∠MON＝36°，
故答案为：36．
22．解：如图，AB为⊙0的内接正六边形的一边，连接OA、OB；
过点O作OM⊥AB于点M；
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴OA＝OB，∠AOB＝＝60°；
∴△OAB为等边三角形，
∴OA＝AB＝4；
∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝∠BOM＝30°，AM＝AB＝2，
∴OM＝AM＝2；
（2）正六边形的外接圆的周长＝2π×OA＝8π；
外接圆的面积＝π×42＝16π．
23．解：（1）∠AOQ＝60°．
在△ABP和△BCQ中，．
∴△ABP≌△BCQ（SAS）．
∴∠BAP＝∠CBQ．
∴∠AOQ＝∠ABO+∠BAP＝∠ABO+∠CBQ＝∠ABC＝60°；
（2）理由同（1）：正方形∠AOQ＝90°，正五边形∠AOQ＝108°，
（3）正n边形∠AOQ＝．
故答案为：90°，108°．
24．解：（1）如图1中，连接OA、OD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AED＝∠AOD＝45°．
（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．
∵BF∥DE，AB∥CD，
∴∠BDE＝∠DBF，∠BDC＝∠ABD，
∴∠ABF＝∠CDE，
∵∠CFA＝∠AEC＝90°，
∴∠DEC＝∠AFB＝135°，
∵CD＝AB，
∴△CDE≌△ABF，
∴AF＝CE＝1，
∴AC＝＝，
∴AD＝AC＝，
∵∠DHE＝90°，
∴∠HDE＝∠HED＝45°，
∴DH＝HE，设DH＝EH＝x，
在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2+DH2，
∴＝（4﹣x）2+x2，
解得x＝或（舍弃），
∴DE＝DH＝
25．（1）证明：正五边形的内角的度数为：＝108°，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝36°，
∴∠AEC＝72°，
∴∠BAE+∠AEC＝180°，
∴AB∥CF，
同理，BC∥AF，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∵BA＝BC，
∴四边形ABCF是菱形；
（2）证明：四边形ABCF是菱形，
∴AC⊥BF，
由勾股定理得PB2+PC2＝BC2，
∴AC2+BF2＝（2PC）2+（2PB）2＝4PC2+4PB2＝4BC2，
∴AC2+BF2＝4AB2；
（3）解：∵四边形ABCF是菱形，
∴CF＝AF，
∴△CDF的周长等于CF+DF+CD，
即△CDF的周长等于AD+CD，
∵在正五边形ABCDE中，
∴CD2＝DF DA，即AD （AD﹣2）＝4，
整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0，
解得，AD＝+1，
∴△CDF的周长等于+3．