第2章一元二次方程 高频易错达标测评 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》
高频易错培优达标测评（附答案）
一．选择题（共9小题，满分27分）
1．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．1或﹣1
D．
2．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a×c≠0，a≠c；下列四个结论中错误的是（　　）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
3．关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数解，那么m的取值范围是（　　）
A．m≠2
B．m≤3
C．m≥3
D．m≤3且m≠2
4．方程（x﹣1）（x﹣2）＝2的根是（　　）
A．x1＝1，x2＝2
B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x＝3
D．x1＝0，x2＝3
5．若关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有一根小于1，一根大于1，则k的取值范围是（　　）
A．k≠1
B．k＜0
C．k＜﹣1
D．k＞0
6．若实数x满足方程（x2+2x） （x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　）
A．﹣2或4
B．4
C．﹣2
D．2或﹣4
7．已知三角形两边长是4和7，第三边是方程x2﹣16x+55＝0的根，则第三边长是（　　）
A．5
B．11
C．5或11
D．6
8．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　）
A．﹣1
B．2
C．22
D．30
9．如果关于x的方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，那么关于x的方程（m﹣5）x2﹣2（m+2）x+m＝0的实根的个数（　　）
A．2
B．1
C．0
D．不能确定
二．填空题（共11小题，满分33分）
10．若关于x的方程x3+36x+a＝0有一个根是﹣2，则66﹣a的值是　
　．
11．如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为160m2，则小路的宽度为　
　m．
12．在2、﹣2、0中，x＝　
　是方程2x4+x2＝﹣18x的解．
13．设α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）＝　
　．
14．当m＝　
　时，关于x的方程（|m|﹣3）x+（m+3）x＝0是一元二次方程．
15．已知三角形的两边长分别是3和5，第三边长是方程3x2﹣10x＝8的根，则这个三角形的形状是　
　三角形．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣1，x2＝2，则x2+bx+c分解因式的结果为　
　．
17．已知a，b是方程x2+6x+4＝0的两个根，则的值　
　．
18．如果方程x2﹣2x+m＝0的两实根为a，b，且a，b，1可以作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是　
　．
19．已知实数x满足（x2﹣5x+5）x＝1，则实数x的值可以是　
　．
20．一元二次方程2x2+3x﹣1＝0和x2﹣5x+7＝0所有实数根的和为　
　．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．阅读材料：
若m2+2m+n2+2n+2＝0，求m，n的值．
解：∵m2+2m+n2+2n+2＝0，
∴（m2+2m+1）+（n2+2n+1）＝0．
∴（m+1）2+（n+1）2＝0．
∴（m+1）2＝0，（n+1）2＝0．
∴m＝﹣1，n＝﹣1．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2x+y2﹣2y+2＝0，求x﹣y的值；
（2）已知a2﹣2ab+2b2+4b+4＝0，求ab的值．
22．选择适当方法解一元二次方程：
（1）（x﹣5）2﹣36＝0；
（2）2x2+4x﹣5＝0．
23．若x2+2x﹣4＝（x﹣a）2+b．
（1）a＝　
　，b＝　
　．
（2）当x＝　
　时，代数式x2﹣2x﹣4有最小值，最小值是　
　．
（3）求代数式﹣x2﹣4x﹣8的最大值是．
24．如图所示，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图形中，每一横行有　
　块瓷砖，每一竖列有　
　块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为Y，请写出与（1）中的的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖的块数相等的情形？请通过计算说明为什么．
25．2019年，某品牌空调网上专卖店共购进14000台同种型号空调进行销售，每台的成本是5000元，网上同时向国内以及国外出售．第一个季度，国内销售价为每台6000元，共获利200万元，国外销售相同数量的该空调，但每台成本增加2000元，获得的总利润是国内的5倍．
（1）求第一季度这种空调在国外的销售价是每台多少元？
（2）第二个季度相比第一季度，该店在国内的销售价每台下降m%，销售量增加3m%；在国外的销售价每台上涨m%，并且在本季度将剩下的空调全部售完．合计第二季度国外的销售总额比国内多8256万元，求m的值．
26．先阅读下面的内容，再解决问题：
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
∴m2+2mn+n2﹣6n+9＝0．
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0．
∴m+n＝0，n﹣3＝0．
∴m＝﹣3，n＝3．
问题：
（1）已知x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求3x﹣y的值．
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
参考答案
一．选择题（共9小题，满分27分）
1．解：把x＝0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0得：a2﹣1＝0，
解得：a＝±1，
∵方程为一元二次方程，
∴a+1≠0，
∴a≠﹣1，
∴a＝1，
故选：A．
2．解：A、如果方程M有两个不相等的实数根，那么△＝b2﹣4ac＞0，所以方程N也有两个不相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△＝b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c＝0，两边同时除以25，得c+b+a＝0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c＝cx2+bx+a，（a﹣c）x2＝a﹣c，由a≠c，得x2＝1，x＝±1，结论错误，符合题意；
故选：D．
3．解：（1）当m＝2时，原方程变为﹣2x+1＝0，此方程一定有解；
（2）当m≠2时，原方程是一元二次方程，
∵有实数解，
∴△＝4﹣4（m﹣2）≥0，
∴m≤3．
所以m的取值范围是m≤3．
故选：B．
4．解：原方程可化为：
x2﹣3x+2＝2
x2﹣3x＝0
∴x（x﹣3）＝0
x＝0或x﹣3＝0
∴x1＝0，x2＝3
故选：D．
5．解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝k+1．
∵方程有一根小于1，一根大于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
故选：B．
6．解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，
解得：y＝4或﹣2，
当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，
当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，
所以x2+2x＝4．
故选：B．
7．解：x2﹣16x+55＝0，
（x﹣11）（x﹣5）＝0，
x﹣11＝0，x﹣5＝0，
解得：x1＝11，x2＝5，
①当x＝11时，
∵4+7＝11，
∴此时不符合三角形的三边关系定理，
∴11不是三角形的第三边；
②当x＝5时，三角形的三边是4、7、5，
∵此时符合三角形的三边关系定理，
∴第三边长是5．
故选：A．
8．解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，
∴α+β＝2，α2﹣2α﹣4＝0，
∴α2＝2α+4
∴α3+8β+6＝α α2+8β+6
＝α （2α+4）+8β+6
＝2α2+4α+8β+6
＝2（2α+4）+4α+8β+6
＝8α+8β+14
＝8（α+β）+14＝30，
故选：D．
9．解：由方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，得△1＝4（m+2）2﹣4m（m+5）＜0，解得m＞4；
关于x的方程（m﹣5）x2﹣2（m+2）x+m＝0，当m﹣5＝0，为一元一次方程，有一个根；
当m﹣5≠0时，△2＝4（m+2）2﹣4m（m﹣5）＝4（9m+4），
∵m＞4，
∴△2＞0，所以方程有两个不相等的实数根．即关于x的方程（m﹣5）x2﹣2（m+2）x+m＝0的实根的个数为1个或两个．
故选：D．
二．填空题（共11小题，满分33分）
10．解：∵关于x的方程x3+36x+a＝0有一个根是﹣2．
∴﹣8﹣72+a＝0．
∴a＝80．
∴66﹣a＝66﹣80＝﹣14．
故答案为：﹣14．
11．解：如图，设修建的小路宽应为x米，
则新的草坪面积等于矩形DEFG的面积，
即得到方程：（24﹣2x）×（10﹣x）＝160，
整理得：x2﹣22x+40＝0，解得x＝20或x＝2．
但x＝20不合题意，舍去，
所以修建的小路宽应为2米．
故答案为：2．
12．解：当x＝2时，方程左边＝2×24+22＝36，右边＝﹣18×2＝﹣36，左边≠右边，故x＝2不是原方程的解；
当x＝﹣2时，方程左边＝2×（﹣2）4+（﹣2）2＝36，右边＝﹣18×（﹣2）＝36，左边＝右边，故x＝﹣2是原方程的解；
当x＝0时，方程左边＝2×04+02＝0，右边＝﹣18×0＝0，左边＝右边，故x＝0是原方程的解；
∴x＝﹣2或0是原方程的解，
故答案为：﹣2或0．
13．解：∵α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，
∴α2+2020α﹣2＝0，
β2+2020β﹣2＝0
∴α2+2020α＝2，
β2+2020β＝2
∴（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）
＝（2﹣1）（2+2）＝4．
故答案为4．
14．解：根据题意，得m2﹣m﹣4＝2且|m|﹣3≠0．
解得m1＝﹣2，m2＝3且m≠±3．
所以m＝﹣2符合题意．
故答案是：﹣2．
15．解：3x2﹣10x＝8
因式分解得，（3x+2）（x﹣4）＝0
解得，x1＝4，x2＝．
x2＝为负值，不能作为三角形的边长，
所以三角形的三边长分别为3，5，4，
因为32+42＝52，
所以三角形为直角三角形．
故答案为：直角．
16．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣1，x2＝2，
∴x1+x2＝b＝﹣1+2＝1，x1 x2＝c＝﹣1×2＝﹣2，
即：b＝1，c＝﹣2．
∴x2+bx+c＝x2+x﹣2，
∵﹣2＝﹣1×2，且﹣1+2＝1，
∴x2+bx+c＝x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），
故答案为：（x﹣1）（x+2）．
17．解：∵a，b是方程x2+6x+4＝0的两个根，
∴a+b＝﹣6，ab＝4，
∴a＜0，b＜0，
b+a＝+，
＝﹣（+），
＝﹣（），
＝﹣（），
∴原式＝﹣×＝﹣2×7＝﹣14．
故答案为：﹣14．
18．解：∵方程x2﹣2x+m＝0的两实根为a，b，
∴有△＝4﹣4m≥0，
解得：m≤1，
由根与系数的关系知：a+b＝2，a b＝m，
若a，b，1可以作为一个三角形的三边之长，
则必有a+b＞1与|a﹣b|＜1同时成立，
故只需（a﹣b）2＜1即可，
化简得：（a+b）2﹣4ab＜1，
把a+b＝2，a b＝m代入得：4﹣4m＜1，
解得：m＞，
∴＜m≤1，
故本题答案为：＜m≤1．
19．解：当x＝0，x2﹣5x+5≠0时，x＝0；
当x2﹣5x+5＝1时，x＝1或4；
x2﹣5x+5＝﹣1，x为偶数时，x＝2或x＝3（应舍去）．
故x为：0，1，2，4．
20．解：由2x2+3x﹣1＝0，
得到：a＝2，b＝3，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝9+8＝17＞0，即方程有两个不等的实数根，
设两根分别为x1和x2，
则x1+x2＝﹣；
由x2﹣5x+7＝0，
找出a＝1，b＝﹣5，c＝7，
∵b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，
∴此方程没有实数根．
综上，两方程所有的实数根的和为﹣．
故答案为：﹣
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．解：（1）∵x2﹣2x+y2﹣2y+2＝0．
∴x2﹣2x+1+y2﹣2y+1＝0．
∴（x﹣1）2+（y﹣1）2＝0．
∵（x﹣1）2≥0，（y﹣1）2≥0．
∴x﹣1＝0，y﹣1＝0．
∴x＝1，y＝1．
∴x﹣y＝0．
（2）∵a2﹣2ab+2b2+4b+4＝0．
∴a2﹣2ab+b2+b2+4b+4＝0．
∴（a﹣b）2+（b+2）2＝0．
∵（a﹣b）2≥0，（b+2）2≥0．
∴a﹣b＝0，b+2＝0．
∴a＝b＝﹣2．
∴ab＝（﹣2）﹣2＝．
22．解：（1）原方程化为：（x﹣5）2＝62．
∴x﹣5＝±＝±6．
∴x1＝﹣1或x2＝11．
（2）∵a＝2，b＝4，c＝﹣5．
△＝42﹣4×2×（﹣5）＝56．
由求根公式x＝得：
x＝．
∴x1＝或x2＝．
23．解：（1）∵x2+2x﹣4＝x2+2x+1﹣5＝（x+1）2﹣5．
∴a＝﹣1，b＝﹣5．
故答案为：﹣1，﹣5．
（2）∵x2﹣2x﹣4＝x2﹣2x+1﹣5＝（x﹣1）2﹣5，（x﹣1）2≥0．
∴当x＝1时，x2﹣2x﹣4有最小值﹣5．
故答案为：1，﹣5．
（3）﹣x2﹣4x﹣8＝﹣（x2+4x+4﹣4+8）
＝﹣（x+2）2﹣4．
∵（x+2）2≥0．
∴当x＝﹣2时，﹣x2﹣4x﹣8有最大值﹣4．
24．解：（1）观察图形可知，每一横行有
（n+3）块瓷砖，每一竖列有（n+2）块瓷砖．
故答案为：n+3，n+2．
（2）由题意得：y＝（n+2）（n+3）＝n2+5n+6．
（3）当y＝506时，n2+5n+6＝506，即n2+5n﹣500＝0．
解得：n1＝20，n2＝﹣25（舍去）．
∴此时的n值为20．
（4）白瓷砖的块数：n（n+1）＝20×21＝420．
黑瓷砖的块数：506﹣420＝86．
∴共需：86×4+420×3＝1604（元）．
（5）不存在黑白瓷砖块数相等的情况，理由如下：
当黑白瓷砖块数相等时，有：
n（n+1）＝n2+5n+6﹣n（n+1）．
∴n2﹣3n﹣6＝0．
解得：n＝或n＝．
∵n是整数．
∴不合题意，故不存在黑白瓷砖块数相等的情形．
25．解：（1）设第一季度这种空调在国外的销售价是每台x元，
根据题意得： [x﹣（5000+2000）]＝5×200，
解得，x＝12000，
答：第一季度这种空调在国外的销售价是每台是12000元；
（2）根据题意可知：
第一个季度国内销售空调的数量为：＝2000（台），
由题意得：12000（1+m%）×[14000﹣4000﹣2000（1+3m%）]﹣6000（1﹣m%）×2000（1+3m%）＝82560000，
整理得：1200（1+m%）（8﹣6m%）﹣1200（1﹣m%）（1+3m%）＝8256，
设m%＝a，则原方程化为：1200（1+a）（8﹣6a）﹣1200（1﹣a）（1+3a）＝8256，
解得：a2＝0.04，
∴a＝0.2或﹣0.2（舍），
∴m＝20．
26．解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+4y+4）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+2）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+2＝0，
∴x＝y＝﹣2，
∴3x﹣y＝﹣6﹣（﹣2）＝﹣4；
（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，
∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，
∴a＝5，b＝4，
∴1＜c＜9，
∵c是△ABC中最长的边，
∴5≤c＜9．