5.4 三角函数的图像与性质 同步练习-2022届高三上学期数学一轮复习（新高考）（Word含答案解析）

2022届新高考一轮复习第五章三角函数的图像与性质同步练习
一、单选题
1.（2021·榆林模拟）若函数
的最小正周期为
，则
（
）
A. 1 B. ±1 C. 2 D. ±2
2.（2021·房山模拟）将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，则函数
的图象的一条对称轴方程为（
）
A. B. C. D.
3.（2021·贵州模拟）函数
的部分图象如图所示，要得到
的图象，只需将
的图象（
）
A. 向右平移
个单位长度 B. 向右平移
个单位长度
C. 向左平移
个单位长度 D. 向左平移
个单位长度
4.（2021·永州模拟）已知当
时，函数
取得最小值，则
（
）
A. B. C. D.
5.（2021·雅安模拟）已知函数
，其图象关于点
对称且相邻两条对称轴之间的距离为
，则下列判断正确的是
（
）
A. 函数
的图象关于直线
对称
B. 当
时，函数
的值为
C. 要得到函数
的图象，只需将
的图象向右平移
个单位
D. 函数
在
上单调递增
6.（2021高三上·长沙开学考）把函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
（
）
A. B. C. D.
7.（2021·南充模拟）已知函数
的图象的一条对称轴为
，且
，则
的最小值为（
）
A. B. C. D. 0
8.（2020·大连模拟）已知函数
，其图象与直线
相邻两个交点的距离为
，若对
，不等式
恒成立，则
的取值范围是（
）
A. B. C. D.
二、多选题
9.（2021·泉州模拟）已知函数
的部分图象如图所示，则（
）
A. B. C. D.
10.（2021·铁岭模拟）已知函数的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．
0
π
2π
2
5
A. 函数解析式为
B. 函数图象的一条对称轴为
C. 是函数图象的一个对称中心
D. 函数的图象左平移个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数
11.（2021·深圳模拟）已知函数
的部分图像如图所示，则下列关于函数
的说法中正确的是（
）
A. 函数
最靠近原点的零点为
B. 函数
的图像在
轴上的截距为
C. 函数
是偶函数 D. 函数
在
上单调递增
12.（2020高三上·福州期中）已知函数
（[
]表示不超过实数
的最大整数部分），则（
）
A.
的最小正周期为
B.
是偶函数
C.
在
单调递减 D.
的值域为
三、填空题
13.（2019高三上·扬州月考）函数
的最小正周期
________.
14.（2021·枣庄模拟）写出一个图象关于直线
对称且在
上单调递增的偶函数
1 .
15.（2021·重庆模拟）若将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到的新图象与原图象关于x轴对称，则
的最小值为 1 .
16.（2021·榆林模拟）关于函数
有如下四个命题：
①
的最小正周期为2；
②
的图象关于点
对称；
③若
，则
的最小值为
；
④
的图象与曲线
共有4个交点．
其中所有真命题的序号是 1
．
四、解答题
17.（2019高三上·成都月考）已知函数
.
（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
（2）指出
的振幅、初相、并求出对称中心.
18.（2021·上虞模拟）已知函数
在一个周期内的图象如图所示.
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数
的图象向右平移
个单位长度后，得到函数
的图象，求
在
上的单调递增区间.
19.（2020高三上·库车月考）已知函数
，将其向右平移
个单位长度后得到函数
．
（1）求
的最小正周期和单调递减区间．
（2）若
，求
的值域．
20.（2021·朝阳模拟）已知函数
由下列四个条件中的三个来确定：
①最小正周期为
；②最大值为2；③
；④
．
（1）写出能确定
的三个条件，并求
的解析式；
（2）求
的单调递增区间．
21.（2020高三上·北京期中）已知函数
.
(I)求f(0)的值；
(II)从①
；②
这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f(x)在
上的最小值，并直接写出函数f(x)的一个周期.
22.（2021·温州模拟）如图，已知函数
的图象与
轴交于点
，且
该图象的最高点．
（1）求函数
在
上的零点；
（2）若函数
在
内单调递增，求正实数
的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
【考点】正弦函数的周期性
【解析】【解答】∵
的最小正周期为
，
∴
，得
.
故答案为：D.
【分析】
直接利用正弦型函数的周期的运算公式求出结果．
2.【答案】
C
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数
的图象向左平移
个单位，得到
令
，解得
当
时，
故答案为：C
【分析】根据题意由函数平移的性质整理即可得到函数的解析式，再由正弦函数的性质即可得出
，
对k赋值计算出x的值即可。
3.【答案】
D
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图可知，
，所以
，即
，所以
．
所以
，又
，
所以
，所以
，
,
将其图象向左平移
个单位长度即可得到
的图象．
故答案为：D
【分析】
由周期求出,由最高点的坐标求出φ的值,可得f (x)的解析式，在利用函数y=Asin (x+φ )的图象变换规律，得出结论.
4.【答案】
C
【考点】三角函数的最值，正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】函数
，
由辅助角公式化简可得
，
，
，
为第二象限角，
因为当
时，函数取得最小值，
所以
，则
，
所以
，
故答案为：C.
【分析】先由辅助角公式，将化成
，
再进一步求解。
5.【答案】
C
【考点】正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数的单调性
【解析】【解答】依题意，又因为f(x)图象关于对称，
则
，所以又
所以取
，
于是
对于A选项：时，所以A不正确；
对于B选项：当时，故B不正确；
对于C选项：将y=2cos2x向右平移单位得：=f(x),
故C正确；故选C。
【分析】先根据条件确定的值，进而确定f(x)的解析式，然后根据各个选项的条件，就能得出正确选项。
6.【答案】
B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解： 依题意，将

的图象向左平移

个单位长度，
再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
所以
故答案为：Ｂ
【分析】根据三角函数图象的变换规律求解即可.
7.【答案】
A
【考点】三角函数的最值，图形的对称性
【解析】【解答】
是
的一条对称轴，
，
即
，解得：
；
当
时，
，满足一条对称轴为
，
，
，
，
可设
，
，
，
，
，
。
故答案为：A.
【分析】利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再结合正弦函数的图像求出正弦型函数的一条对称轴，再由函数
的图象的一条对称轴为
，
进而求出a的值，再利用a的值求出函数的解析式，再利用代入法结合已知条件
，
进而求出
，
，再结合正弦型函数图象求最值的方法，进而求出
的最小值
。
8.【答案】
A
【考点】正弦函数的奇偶性与对称性，正弦函数的单调性
【解析】【解答】由于函数
的图象与直线
相邻两个交点的距离为
，
则函数
的最小正周期为
，
，
，
当
时，
，
，
，
，
由于不等式
对
恒成立，所以
，解得
.
因此，
的取值范围是
.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件求出函数
的最小正周期，可求得
，由
可求得
，再由
求出
和
的取值范围，由题意可得出关于实数
的不等式组，进而可求得实数
的取值范围.
二、多选题
9.【答案】
A,D
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图可知
且
，
，由图可知
，
，
，
，
又
，则
，即
，
又由图
，则
，即
，则
，
.
故答案为：AD.
【分析】由图可知
且
，结合正弦函数的图像特点求出
，
再求出的值。
10.【答案】
A,B,D
【考点】正弦函数的图象，正弦函数的单调性，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的周期性
【解析】【解答】由表格可知，
，
函数的最大值是5，所以
，即
，
当
时，函数取得最小值，
最小值点和相邻的零点间的距离是
，所以
，
当
时，
，解得：
，
，
，所以函数
，A符合题意；
B.当
时，
，能使函数取得最小值，所以
是函数的一条对称轴，B符合题意；
C.当
时，
，此时
，所以
是函数的一个对称中心，C不正确；
D.函数向左平移
个单位后，再向下平移2个单位后，得
，函数是奇函数，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】
根据表格中的数据，结合题意求出B、A和T、ω、φ的值，写出f（x）的解析式，再判断选项中的命题是否正确．
11.【答案】
A,B,C
【考点】余弦函数的单调性，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】根据函数
的部分图像知，
，
设
的最小正周期为
，则
，∴
，
．
∵
，且
，∴
，
故
．
令
，得
，
，
即
，
，因此函数
最靠近原点的零点为
，A符合题意；
由
，因此函数
的图像在
轴上的截距为
，B符合题意；
由
，因此函数
是偶函数，C符合题意；
令
，
，得
，
，此时函数
单调递增，于是函数
在
上单调递增，在
上单调递减，D不正确．
故答案为：ABC．
【分析】
根据函数f (x )的图象求出A、T、w和φ的值,求出f (x)的解析式，利用余弦函数的图象与性质判断各个选项即可求解答案.
12.【答案】
A,B
【考点】三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，余弦函数的奇偶性与对称性，余弦函数的单调性
【解析】【解答】因为
，所以函数
为偶函数，所以B符合题意；
根据正弦、余弦函数的图象性质可知
的最小正周期为
，A符合题意；
又因为当
和
时，
，所以
，
，且在
上无单调性，C不符合题意；
当
时，
，所以
，
；
当
时，
，所以
，则
，
所以函数
的值域为
，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】根据正、余弦函数的图象性质及题目条件分析判断即可.
三、填空题
13.【答案】
【考点】正切函数的周期性
【解析】【解答】函数
的最小正周期
.
故答案为:
【分析】根据正切型函数的周期公式，即可求出结论.
14.【答案】
【考点】余弦函数的奇偶性与对称性，余弦函数的单调性
【解析】【解答】如
，
，即
为偶函数
由
，当
时，
关于直线
对称
由
得
，则由余弦函数的性质可知，函数
在
上单调递增.
故答案为：
【分析】
结合基本初等函数的性质及余弦函数的性质可求.
15.【答案】
4
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】函数
的图象向右平移
个单位长度后对应的解析式为
，
与
的图象关于x轴对称，
故
，
∴
，∴
，
∴当k=0时，
的最小值为4.
故答案为：4
【分析】由题意可知平移后的解析式为
，
由
与
的图象关于x轴对称，计算可得
，
分析可知当k=0时，
有最小值。
16.【答案】
①②④
【考点】正弦函数的图象，正弦函数的单调性，正弦函数的周期性，正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】由图可得：
，
的最小正周期为2，①正确；
，
的图象关于点
对称，②正确；
离
轴最近的对称轴为
，所以若
，则
的最小值为
，③错误；
在
轴右边离
最近的对称为
，
，而
，
在
上是减函数，因此
的图象在第一象限每个周期内与
的图象都有两个交点，在区间
上有两个交点，在区间
上有两个交点，从而在
上有4个交点，④正确；
故答案为：①②④．
【分析】
根据题意利用正弦函数的性质以及周期性对称性结合正弦函数的图象判断①②③④的结论即可得出答案．
四、解答题
17.【答案】（1）解：列表
0
3
6
3
0
3
根据上表，画图如下：
（2）解：由函数解析式，容易知振幅，初相，
由，得
即为对称中心.
【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】【分析】（1）严格遵循列表，描点，连线的操作步骤，进行画图即可；（2）根据函数解析式，直接写出振幅和初相，再根据正弦型函数的对称中心，代值求解即可.
18.【答案】
（1）由图可得函数f（x）的最小正周期为
，
所以，
，
，则
，
，则
，
，则
，所以，
，
因为
，所以，
，所以，
；
（2）由题意可得
，
令
，
，得
，
，
记
，则
.
因此，函数
在
上的增区间是
、
.
【考点】正弦函数的图象，正弦函数的单调性，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】(1)由图象即可得出函数的周期，再由周期公式求出的值，再由点的坐标代入计算出
，
结合正弦函数的性质即可得出以及A=2，由此即可得出函数的解析式。
(2)利用函数平移的性质得出函数g(x)的解析式，再由正弦函数的单调性，结合整体思想即可求出函数的单调增区间。
19.【答案】
（1）解：将函数
的图象向右平移
个单位长度后，
得到函数
的图象，故
的最小正周期为
．
由
，
可得
．
得
．
所以递减区间为
（2）解：
，则
，
，
，
，
，
【考点】三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）由题意利用函数
的图象变换规律求得
的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求出
的值域．
20.【答案】
（1）解：选条件②③④，不能确定周期，求不出
；选①③④，不能确定最大值和最小值，求不出
；选①②④，求得的
不满足已知条件
．只能选①②③．
条件①②③，
，
，
，由
，又
得
，
所以
；
（2）解：
，
，
，
所以增区间是
，
．
【考点】正弦函数的单调性，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】
（1）若函数f（x）满足条件④，则由f（0）=Asinφ=-2，推出与A＞0，

矛盾，可得函数f（x）不能满足条件④，由条件①，利用周期公式可求ω=2，由条件②，可得A=2，由条件③，可得
，结合范围
，
可求
，可得函数解析式；
（2）利用正弦函数的单调性即可求解．


21.【答案】
解：(I)
；
(II)①
，
由题意得
，
，
，
，故
，
所以当
时，
取最小值
.
②
，
，
，令
，
，
当
时，函数取得最小值为
.
，
，
【考点】正弦函数的图象，正弦函数的周期性，正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】(I)将
代入求值即可；(II)①用二倍角和辅助角公式化简可得
，再由
可得
，结合正弦函数图象求解最值；②
，
利用抛物线知识求解.
22.【答案】
（1）解：由图可知，
的最大值为1，所以
，
因为图象过
，所以
，
因为
，所以
，
因为
该图象的最高点，所以
，所以
，
所以
，
令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上的零点为
（2）解：
，
，
，
若函数
在
内单调递增，
则有
，解得
，
所以正实数
的取值范围为
【考点】正弦函数的单调性，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）由函数f（x）的图象求出A、φ和ω的值，写出f（x）的解析式，再求f（x）在[0，π]上的零点；
（2）求出函数y=f（λx）的解析式，再根据

时f（x）单调递增列方程求出正实数λ的取值范围．