第二章 一元二次函数、方程和不等式单元测试卷-2021-2022学年高一数学上学期人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

第二章
一元二次函数、方程和不等式
一、单选题
1．如果a>0，b>c>0，则下列不等式中不正确的是（
）
A．－a＋b>－a＋c
B．ab－ac>0
C．
D．
2．若不等式对所有的实数都成立，则实数的取值范围为（
）
A．或
B．或
C．
D．
3．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为
A．12元
B．16元
C．12元到16元之间
D．10元到14元之间
4．已知集合，，则A∩B＝（
）
A．{x|x≤－3}
B．{x|－3C．{x|－2D．{x|05．若关于的不等式的解集为或，则实数的取值范围是（
）
A．m<1
B．m≤1
C．m>1
D．m≥1
6．若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式①ab≤1；
②；
③a2+b2≥2；
④a3+b3≥3；
⑤2，对一切满足条件的a，b恒成立的所有正确命题是（
）
A．①②③
B．①③⑤
C．①②④
D．③④⑤
7．在R上定义运算：a b＝(a＋1)b.已知1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x) (m＋x)<4成立，则实数m的取值范围为（
）
A．{m|－2B．{m|－1C．{m|－3D．{m|18．一元二次不等式的解集是，则的值是（
）
A．10
B．-10
C．14
D．-14
二、多选题
9．下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．若，，则
10．下列说法中，正确的是（
）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
11．已知方程的解集为，方程的解集为，，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．下列不等式不一定成立的是（
）
A．x＋≥2
B．≥
C．
D．2－3x－≥2
三、填空题
13．已知不等式x2-ax-b<0的解集为(2,3)，则不等式bx2-ax-1>0的解集为____.
14．建造一个容积为18m3,
深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2的造价为200元和150元，那么池的最低造价为___________元.
15．设a＞b＞0，若x，y则x，y的大小关系是__（用”＜”号连接）
16．已知且，则的最小值为___________.
四、解答题
17．设有一元二次方程．试问：
为何值时，有一根大于、另一根小于．
为何值时，有两正根．
18．已知关于的方程.
求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
若的两边，的长是这个方程的两个实数根，且，当为等腰三角形时，求的值．
19．若不等式的解集是．
（1）求的值；
（2）解不等式．
20．（1）已知，，，求证：．
（2）证明：．
21．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
22．某旅游公司在相距为的两个景点间开设了一个游船观光项目．已知游船最大时速为，游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为时，燃料费用为每小时60元．其它费用为每小时240元，且单程的收入为6000元．
（1）当游船以航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？（利润收入成本）
（2）游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是多少？
参考答案
1．C
【解析】对于A，因为b>c，所以，故A正确；
对于B，因为，b>c，所以，即，故B正确；
对于C，若b＝2，c＝1，则，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确．
故选：C．
2．C
【解析】解：由题意可知时，不等式显然不恒成立，
所以由不等式对所有的实数都成立，
可得，解得.
故选：C．
3．C
【解析】设销售价定为每件元,利润为
则
依题意,得
即,解得
所以每件销售价应定为12元到16元之间
故选:C
4．B
【解析】由题意，集合或，
，
所以．
故选：B．
5．D
【解析】由题意，关于的不等式的解集为或，
可得，解得.
故选：D.
6．B
【解析】①∵a＞0，b＞0，a+b＝2，∴2＝a+b≥2，解得ab≤1，∴①正确；
②当时，，∴②错误；
③∵,所以，即，而ab≤1，∴a2+b2≥2成立，∴③正确；
④当a＝b＝1时，满足a＞0，b＞0，a+b＝2，但a3+b3＝2，∴④错误．
⑤∵a＞0，b＞0，a+b＝2，且ab≤1，∴2，故⑤正确．
故正确的是①③⑤．
故选：B．
7．C
【解析】依题意得(m－x) (m＋x)＝(m－x＋1)(m＋x)＝m2－x2＋m＋x，
因为1≤x≤2时，存在x使不等式(m－x) (m＋x)<4成立，
所以存在1≤x≤2，使不等式m2＋m即当1≤x≤2时，m2＋m<(x2－x＋4)max.
因为1≤x≤2，所以当x＝2时，x2－x＋4取最大值6，
所以m2＋m<6，解得－3故选：C．
8．D
【解析】解：根据题意，一元二次不等式的解集是，且，
则方程的两根为和，
则有，
解可得，，
则，
故选：D．
9．BC
【解析】对于A中，当时，，所以A不正确；
对于B中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，即，所以B正确；
对于C中，，当且仅当时，等号成立，所以C正确；
对于D中，，，可得，，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，即，所以D不正确.
故选：BC.
10．ABD
【解析】解：对于A选项，由，得，故A正确；
对于B选项，由，得，即，故B正确；
对于C选项，虽然，，但不一定有，，故C不一定成立，故C不正确；
对于D选项，由基本不等式，得，故D正确．
故选：ABD．
11．AD
【解析】因为，将代入方程，得，解得，
则方程为，解得或，所以；
方程为，解得或，所以；
所以，，．
故选：AD．
12．AD
【解析】对于选项A：当x<0时，，故A错误；
对于选项B：＝≥，故B正确；
对于选项C：，故C正确；
对于选项D：变形为，当x取正数时不成立，故D错误．
故选：AD.
13．
【解析】依题意知方程的两根为2，3，
根据根与系数的关系可求得，
所以所求解的不等式为6x2+5x+1<0，解得.
故答案为：
14．5400
【解析】主要考查不等关系与基本不等式．
解：设底面一边长
m，那么另一边长为
m，如图：
总造价为：=5400
，当且仅当x=3时，取等号，即当x=3时，y取得最小值为5400元，此时底面为边长为3m的正方形．故答案为5400
15．x＜y．
【解析】因为a＞b＞0，所以，a-b＞0，
所以x＞0，y＞0，
，
＝＝
＝＝
∵a＞b＞0，∴＜0，
∴x2﹣y2＜0，所以x＜y，
故答案为：x＜y．
16．
【解析】解：令，，因为，所以，
则，，所以,
所以
，
当且仅当，即，，即时取“”，
所以的最小值为.
故答案为：.
17．；．
【解析】设一元二次方程的两个根分别为，，
且，，则，，
，.
只要求，即．
则有，解得．
若，，则且，
故应满足条件，
解得．
18．证明见解析；的值为或.
【解析】解：证明：因为，
所以不论为何值，方程总有两个不相等的实数根．
由于无论为何值，方程总有两个不相等的实数根，
故若要为等腰三角形，那么方程必有一个根为.
设
(是方程的一个根)，
则有，
即，解得或，
故当△ABC为等腰三角形时，的值为或.
19．（1）；（2）．
【解析】（1）因为不等式的解集是，
所以，且和1是方程的两实数根，
所以，
解得；
（2）由（1）知，不等式可化为，
即，即，
解得，
所以该不等式的解集为．
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，，，
所以．
当且仅当即时等号成立，
所以，原不等式得证；
（2）
当且仅当即时等号成立，
故原不等式得证.
21．（1）长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元；（2）长为16米，宽为米时，总造价最低，为38882元．
【解析】（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米．
则总造价f（x）＝400×（2x）+248×2x+80×162＝1296x12960
＝1296（x）+12960≥1296×212960＝38880（元），
当且仅当x（x＞0），即x＝10时，取等号．
∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．
（2）由限制条件知，∴．
设g（x）＝x（），
由对勾函数性质易知g（x）在[，16]上是增函数，
∴当x＝时（此时16），g（x）有最小值，即f（x）有最小值1296×（）+12960＝38882（元）．
∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38882元．
22．（1）4750元；（2）游轮的航速应为，最大利润是4800元．
【解析】解：（1）设游船的速度为，旅游公司单程获得的利润为（元，
因为游船的燃料费用为每小时元，依题意，则．
所以．
时，元；
（2），
当且仅当，即时，取等号．
所以，旅游公司获得最大利润，游轮的航速应为，最大利润是4800元．