第三章 圆锥曲线的方程单元测试-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019））选择性必修第一册（Word含答案解析）

第三章
圆锥曲线的方程
一、单选题
1．已知F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线C上，且线段PF1的中点坐标为（0，b），则双曲线C的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．2
2．已知椭圆，，分别为椭圆的左 右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的离心率等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知双曲线的焦距为8，则双曲线的渐近线方程为（
）
A．
B．或
C．
D．或
5．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点是双曲线上第二象限内一点，且直线与双曲线的一条渐近线平行，的周长为，则该双曲线的离心率为（
）
A．2
B．
C．3
D．
6．已知双曲线的左 右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点(B在x轴的上方)，且满足.若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（
）
A．2
B．
C．
D．
7．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为，设地球半径为，该卫星近地点离地面的距离为，则该卫星远地点离地面的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
8．在椭圆内，过点M(1，1)且被该点平分的弦所在的直线方程为(　　)
A．9x－16y＋7＝0
B．16x＋9y－25＝0
C．9x＋16y－25＝0
D．16x－9y－7＝0
二、多选题
9．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点（在轴左侧），则（
）
A．为定值
B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形
D．当时，的面积为
10．在平面直角坐标系中，已知双曲线，则（
）
A．实轴长为2
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
11．抛物线E：x2＝4y与圆M：x2+（y﹣1）2＝16交于A、B两点，圆心M（0，1），点P为劣弧上不同于A、B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则的周长的可能取值是（　　）
A．8
B．8.5
C．9
D．10
12．关于x,y的方程，(其中)
对应的曲线可能是
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
E.圆
三、填空题
13．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则实数的值为______．
14．抛物线的焦点到准线的距离是______________．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，若双曲线上一点使，则的值为______．
16．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，直线l过点F2交双曲线右支于P，Q两点，若|PF1|＝3|PF2|，|PQ|＝4|PF2|，则双曲线C的离心率为______．
四、解答题
17．动圆与定圆：外切，且与直线：相切，求动圆圆心的轨迹方程．
18．求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1）两个焦点的坐标分别为F1（0，﹣2），F2（0，2），并且椭圆经过点.
（2）椭圆经过和.
19．已知椭圆中心在原点，焦点在轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点，为其左焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过左焦点的直线与椭圆交于，两点，当时，求直线的方程．
20．如图，已知椭圆与圆E：在第一象限相交于点P，椭圆C的左、右焦点F1，F2都在圆E上，且线段PF1为圆E的直径．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点的动直线1与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：为定值，并求出这个定值．
21．设点是椭圆上的点，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，是椭圆上的两点，且（是定值），则线段的垂直平分线是否过定点？若是，求出此定点的坐标；若不是，请说明理由．
22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点（异于左右顶点），椭圆C的左顶点为D，试判断直线AD的斜率与直线BD的斜率之积与的大小，并说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案
1．C
【解析】F1、F2为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线C上，且线段PF1的中点坐标为（0，b），
所以，
所以
所以双曲线的离心率e＝．
故选：C．
2．A
【解析】由题意，椭圆，可得，，
设，代入椭圆的方程，可得，
则，
即，即.
又因为，所以.
故选：A.
3．B
【解析】双曲线的渐近线为
由渐近线与圆相切
所以可得
两边平方：，又
所以，则
所以，
由，所以
故选：B
4．B
【解析】（1）双曲线的焦点在轴上时，
∴∴，
∴双曲线方程为，其渐近线方程为：；
（2）双曲线的焦点在轴上时，
∴∴，
∴双曲线方程为，其渐近线方程为：；
故选：B.
5．A
【解析】由题意知，，
解得，，
直线与平行，则，得，
，
化简得，即，解得.
故选：A
6．D
【解析】解：设，，根据双曲线定义
，，
在△中，由余弦定理可得：．
在△中，由余弦定理可得：，
①②可得，解得．
故选：．
7．A
【解析】椭圆的离心率：，（
c为半焦距;
a为长半轴），
设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r，n，如图：
则
所以,,
故选：A
8．C
【解析】设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有，，两式相减,又x1＋x2＝y1＋y2＝2，
因此，即，所求直线的斜率是，
弦所在的直线方程是y－1＝
(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C.
点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.
9．AD
【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，
根据椭圆的对称性知，所以，故A正确；
由椭圆，可得，则，
因为，所以的取值范围是，
所以的周长为，其取值范围是，故B错误；
联立方程组，解得，，
又由，所以，
所以为钝角，则为钝角三角形，故C错误；
联立方程组，解得，，
可得，所以，
又由，，可得，故D正确.
故选：AD.
10．BC
【解析】由双曲线方程，得，，，
所以实轴长，故选项A错误；
渐近线方程为，故选项B正确；
离心率，故选项C正确；
准线方程，取其中一条准线，
与的交点，
点到直线的距离，故选项D错误.
故选：BC
11．BC
【解析】如图所示，由，可得焦点坐标为，准线方程为，
又由，可圆心坐标为，半径为，
过P作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，可得MN＝NH
故△PMN的周长l＝NH+NP+MP＝PH+4，联立和，
解得，所以PH的取值范围为（4，6）
所以的周长PH+4的取值范围为（8，10），所以B，C，满足条件．
故选：BC．
12．ABCE
【解析】由题，若，解得，，解得或，则当时，曲线是焦点在x轴上的椭圆，A正确；若，解得或，此时曲线是焦点在y轴上的椭圆，B正确；若，解得，此时曲线是焦点在x轴上的双曲线，C正确；因为时，m无实数解，所以D错误；当时，方程为，所以E正确，故选ABCE.
13．
【解析】由题可设抛物线的标准方程为，
由点到焦点的距离为4，得，
∴，∴．
将点代入，得．
故答案为：.
14．4
【解析】
抛物线性质.
15．3
【解析】解：由已知得．在中，设，则或．
当时，由余弦定理，得，解得，所以．
当时，由余弦定理，得，无解．
故．
故答案为：3.
16．
【解析】解：设，则，，，由双曲线的定义，得，
则此时满足，是直角三角形，
且，，
得．
故答案为：．
17．
【解析】如图，设动圆圆心为，过点作于点，
作直线：，过点作于点，连接．
设动圆的半径为，由题知圆的半径为1．∵圆与圆外切，∴．
又∵圆与直线：相切，∴．
∵，即动点到定点与到定直线的距离相等，
∴点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线．
设抛物线的方程为，可知，
∴所求动圆圆心的轨迹方程为．
18．（1）；（2）
【解析】（1）根据题意，两个焦点的坐标分别为F1（0，﹣2），F2（0，2），即c＝2，
又由椭圆经过点，则2a2，
故a，
则b2＝a2﹣c2＝10﹣4＝6，
故要求椭圆的方程为1；
（2）根据题意，设椭圆的方程为mx2+ny2＝1，
又由椭圆经过和，则有，解可得m＝5，n＝4；
则要求椭圆的方程为5x2+4y2＝1，
即其标准方程为1.
19．(1)
(2)
或.
【解析】（1）由题知，
设椭圆的标准方程，
即，∴，
即，，，
∴，，
∴椭圆的标准方程：.
（2）设直线：，
∴，
即，，，
，即，∴.
即：或.
20．（1）+y2＝1；（2）见解析．
【解析】（1）在圆E中，令y＝0得x＝，所以可得c＝，由圆的方程可得圆的半径为，可得|PF1|＝，连接PF2，因为F2在圆上，所以PF2⊥F1F2，
又有|F1F2|＝2c＝2，则|PF2|＝，
由椭圆的定义得：2a＝|PF1|+|PF2|=，可得a＝2，b2＝a2﹣c2＝1，
所以椭圆的方程为：+y2＝1；
（2）当直线的斜率存在时设l的斜率为k，则l的方程为：y＝kx+，代入椭圆方程可得：x2+4（kx+）2＝4，即（1+4k2）x2+8kx﹣＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+）（kx2+）＝（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+
＝+＝+＝﹣1；
当直线l斜率不存在时直线与y轴重合，此时点A（﹣1，0），B（1，0），＝﹣1，
综上所述：＝﹣1为定值．
21．（1）；（2）过定点，定点坐标为．
【解析】解：（1）由于椭圆的离心率，所以，
所以椭圆的标准方程为．
将点的坐标代入椭圆的标准方程可得，解得，所以，
因此，椭圆的标准方程为．
（2）当时，若直线的斜率存在，设直线的方程为，则．
由，得，
所以，所以，所以，
则线段的中心坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为，即，
即，此时，线段的垂直平分线过定点．
若直线垂直于轴，则，两点关于轴对称，线段的垂直平分线为轴，过点．
当时，若直线关于坐标轴对称，
则线段的垂直平分线为坐标轴，过原点；
若直线关于原点对称，则线段的中点为原点，其垂直平分线过原点．
综上所述，线段的垂直平分线过定点．
22．（1）；（2）斜率之积大于．理由见解析.
【解析】（1）设椭圆的标准方程为为，
由题意可得，．即，，
椭圆的方程为．
（2）直线与直线的斜率之积为定值，且定值为，
由题易知，
当直线的斜率不存在时，，
易求，
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，
设，，，，
联立可得，
由韦达定理得，，
则
．
故直线与直线的斜率之积为定值．
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