第一章 空间向量与立体几何 达标训练题——2021-2022学年高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

第一章
空间向量与立体几何
一．选择题（共8小题）
1．在棱长为1的正方体中，设，，，则的值为　　
A．1
B．0
C．
D．
2．下列结论错误的是　　
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若是两个不共线的向量，且、且、，则构成空间的一个基底
D．若、、不能构成空间的一个基底，则、、、四点共面
3．在空间直角坐标系中，经过点，，，且法向量为的平面方程为，经过点，，且一个方向向量为的直线方程为．已知：在空间直角坐标系中，平面的方程为，经过，0，的直线方程为，则直线与平面所成角的正弦值为　　
A．
B．
C．
D．
4．已知二面角为，动点，分别在平面，内，到的距离为1，到的距离为，则，两点之间距离的最小值为　　
A．4
B．
C．2
D．
5．在长方体中，，，，若点在线段上，则二面角的余弦值为　　
A．
B．
C．
D．
6．在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为　　
A．
B．
C．
D．
7．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，，则与平面所成角的大小为　　
A．
B．
C．
D．
8．已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与，，三点共面，则等于　　
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共4小题）
9．给出下列命题，其中正确的有　　
A．空间任意三个向量都可以作为一组基底
B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底
C．，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一组基底，则，，，共面
D．已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底
10．已知在空间四面体中，点在线段上，且，点为中点，设，，，则　　
A．
B．
C．
D．
11．如图，正方体的棱长为1，点是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是　　
A．存在点，使面
B．二面角的平面角大小为
C．的最小值是
D．到平面的距离最大值是
12．已知正四棱柱中，，点为线段上的动点，则下列叙述正确的有　　
A．当点运动时，总有
B．当点运动时，三棱锥的体积为定值
C．当在线段上运动到某一点时，直线与平面所成角为
D．点为线段上一动点，则的最小值为2
三．填空题（共4小题）
13．直四棱柱，已知，四边形是边长为2的菱形，且，为线段上动点，当　　时，与底面所成角为．
14．在平行六面体中，是线段的中点，若，则　　．
15．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则　　．
16．如图，在边长为2的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为
　　．
四．解答题（共6小题）
17．如图所示，已知斜三棱柱，点，分别在和上，且满足，，判断向量是否与向量，共面．
18．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题．
问题：如图，在正方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，0，，为棱上的动点，为棱上的动点，_____，试问是否存在点，满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19．在四面体中，，，两两垂直，等腰三角形的底边长为，点为中点，，是的中位线．
（1）求证：平面平面；
（2）线段上一点满足，求直线与平面所成角的正弦值．
20．如图，在空间四边形中，，为其对角线，为的重心．
（1）求证：；
（2）化简：．
21．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形．
（1）求证：；
（2）若的大小为，求的正弦值．
22．如图（1）在直角梯形中，，，，，，沿将折起得到四棱锥，如图（2）所示．
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的大小为，，分别是，的中点．
（ⅰ）求与平面所成角的正弦值；
（ⅱ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在棱长为1的正方体中，设，，，则的值为　　
A．1
B．0
C．
D．
解：由正方体的性质可得，，，
故，，
，，，
．
故选：．
2．下列结论错误的是　　
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若是两个不共线的向量，且、且、，则构成空间的一个基底
D．若、、不能构成空间的一个基底，则、、、四点共面
解：对于选项：三个非零向量能构成空间的一个基底，
则三个非零向量不共面，所以选项正确，
对于选项：三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，
若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，
则已知的两个向量共线，所以选项正确，
对于选项、且、，
，，共面，不能构成基底，所以选项错误，
对于选项、、共起点，若、、、四点不共面，
则必能作为空间的一个基底，所以选项正确，
故选：．
3．在空间直角坐标系中，经过点，，，且法向量为的平面方程为，经过点，，且一个方向向量为的直线方程为．已知：在空间直角坐标系中，平面的方程为，经过，0，的直线方程为，则直线与平面所成角的正弦值为　　
A．
B．
C．
D．
解：因为经过，0，的直线方程为，
则直线的一个方向向量为，
又平面的方程为，
则平面的一个法向量为，
所以，
则直线与平面所成角的正弦值为．
故选：．
4．已知二面角为，动点，分别在平面，内，到的距离为1，到的距离为，则，两点之间距离的最小值为　　
A．4
B．
C．2
D．
解：如图
分别作于，于，于，于，
连，，则，，，
又，
当且仅当，即点与点重合时取最小值．
故选：．
5．在长方体中，，，，若点在线段上，则二面角的余弦值为　　
A．
B．
C．
D．
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如下图，
则，2，，，2，，，2，，，2，，
平面的法向量，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的余弦值为．
故选：．
6．在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为　　
A．
B．
C．
D．
解：设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，，0，
设平面的法向量为，
，可取，
平面的法向量为，
，
则平面与平面所成的锐二面角余弦值为．
故选：．
7．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，，则与平面所成角的大小为　　
A．
B．
C．
D．
解：在堑堵中，因为侧棱垂直于底面，，
所以，又，所以面，
就是与平面所成的角，
，，，则，．
，
则与平面所成角的大小为．
故选：．
8．已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与，，三点共面，则等于　　
A．
B．
C．
D．
解：因为，，三点不共线，为平面外一点，
若由向量确定的一点与，，共面，
三点，，共线，，解得．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．给出下列命题，其中正确的有　　
A．空间任意三个向量都可以作为一组基底
B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底
C．，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一组基底，则，，，共面
D．已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底
解：对于，空间中只有不共面的三个向量可以作为一组基底，所以选项错误；
对于，由向量，则、与任何向量都是共面向量，所以不能构成空间的一组基底，选项正确；
对于，若，，不能构成空间的一组基底，则，，是共面向量，所以，，，共面，选项正确；
对于，因为是空间向量的一组基底，所以、、不共面，所以、、也不共面，即时，也是空间一组基底，选项正确．故选：．
10．已知在空间四面体中，点在线段上，且，点为中点，设，，，则　　
A．
B．
C．
D．
解：如图示：空间四边形中，，，，
点在线段上，且，点为的中点，
，故错误；
，故正确；
，故正确；
，故错误；
故选：．
11．如图，正方体的棱长为1，点是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是　　
A．存在点，使面
B．二面角的平面角大小为
C．的最小值是
D．到平面的距离最大值是
解：对于，当与重合时，，根据线面平行的判定，可得使面，故正确；
对于，二面角就是二面角，其平面角大小为．故错；
对于，如图沿棱展开面为面，使点，，，，，共面，则的最小值为，故正确；
对于，当与重合时，垂直平面的，此时点到面距离最大值为，故错．
故选：．
12．已知正四棱柱中，，点为线段上的动点，则下列叙述正确的有　　
A．当点运动时，总有
B．当点运动时，三棱锥的体积为定值
C．当在线段上运动到某一点时，直线与平面所成角为
D．点为线段上一动点，则的最小值为2
解：对于选项：若选项结论成立，则需要平面，所以选项不正确；
对于选项：在点运动时，△的面积保持不变，点到平面的距离保持不变，所以正确；
对于选项：当在点处，直线与平面所成角的正切值为2；当在点处，直线与平面所成角的正切值为0，所以正确；
对于选项：当在点处，当在点处，取得最小值为2．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．直四棱柱，已知，四边形是边长为2的菱形，且，为线段上动点，当　　时，与底面所成角为．
解：如图所示，连接，
因为底面，所以为与底面所成的角，即，
又因为，所以，解得，
设，在中，，，，
由余弦定理可得，
整理得，解得．
故答案为：．
14．在平行六面体中，是线段的中点，若，则　　．
解：如图，，
故，．
故答案为：．
15．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则　　．
解：因为，，
所以
．
故答案为：．
16．如图，在边长为2的正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成角的大小为
　　．
解：如图，取中点，连接、，则，
，，，面，
，
就是直线与平面所成的角，
，．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
17．如图所示，已知斜三棱柱，点，分别在和上，且满足，，判断向量是否与向量，共面．
解：．
，
，
向量与向量，共面．
18．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题．
问题：如图，在正方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，0，，为棱上的动点，为棱上的动点，_____，试问是否存在点，满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
解：由题意，正方体的棱长为2，
则，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，
设，，，，2，，
则，，
则，，
若选择①：，
则，
所以，故，
若，则，解得，
故存在点，1，，，2，使得，
此时；
若选②：，则，解得，
若，则，解得，
故存在点，使得，
此时；
若选③：，则与不共线，
所以，即，
所以，
故不存在点，使得．
19．在四面体中，，，两两垂直，等腰三角形的底边长为，点为中点，，是的中位线．
（1）求证：平面平面；
（2）线段上一点满足，求直线与平面所成角的正弦值．
证明：（1），，两两垂直，
平面，则，
又等腰三角形的底边长为，点为中点，
，
又，
平面，
平面，
平面平面．
（2）以为原点，，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
，0，，，0，，，，，，0，，，，，
则，，，
设，，
，
，解得，
，
设平面的法向量为，
，即，令，解得，，
故，
设直线与平面所成角为，．
20．如图，在空间四边形中，，为其对角线，为的重心．
（1）求证：；
（2）化简：．
（1）证明：因为为的重心，所以，①
同理，②
，③
所以①②③得．
（2）解：因为，
所以
．
21．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形．
（1）求证：；
（2）若的大小为，求的正弦值．
解：（1）证明：取的中点，连接，，，
，，
，，
又，则平面，
平面，
．
（2）由（1）知的平面角为，，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，0，，，
设平面的法向量为，，解可得，
设平面的法向量为，，解可得，
，
故的正弦值为．
22．如图（1）在直角梯形中，，，，，，沿将折起得到四棱锥，如图（2）所示．
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的大小为，，分别是，的中点．
（ⅰ）求与平面所成角的正弦值；
（ⅱ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
解：（1）证明：在直角梯形中
，，且平面，平面，，
平面，
平面，平面平面．
（2）如图，，，，
，，，
由（1）知，平面，平面，且，
平面，平面平面，作，垂足为，
作，垂足为
又平面平面，平面，
平面，
则为在平面内的射影，为和平面所成角，
在中，，在中，，
，
和平面所成角的正弦值为．
延长交的延长线于，连接，
是的中点，，，
连接并延长，交于，
过点作，此时由，可知，
是的中点，，，
此时，由，平面，平面，
平面．