2.5三角函数的应用 同步能力达标测评 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《2.5三角函数的应用》同步能力提升训练（附答案）
一、选择题
1．如图，电线杆的高度为CD＝m，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），若∠CBA＝α，则拉线AC的长度可以表示为（　　）
A．
B．
C．mcosα
D．
2．如图四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，CD＝2米，BC＝5米，，则AB＝（　　）
A．8米
B．10米
C．12米
D．14米
3．图1是某公园的一个滑梯，图2是其示意图．滑梯的高BC为2m，坡角∠A为60°，由于滑梯坡角过大存在安全隐患，公园管理局决定对滑梯进行整改，要在高度不变的前提下，通过加长滑梯的水平距离AB，使得坡角∠A满足30°≤∠A≤45°，则AB加长的距离可以是（　　）
（参考数据：≈1.414，≈1.732）
A．0.8m
B．1.6m
C．2.4m
D．3.2m
4．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了（　　）米．（sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）
A．415
B．280
C．335
D．250
二、填空题
5．小明用一块含有60°（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示，若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.62m，小明与树之间的水平距离BC为4m，则这棵树的高度约为
　
　m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）
6．如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以12千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD＝60°，该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD＝75°，则村庄C、D间的距离为
　
　千米．（≈1.732，结果保留一位小数）
7．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度，小明同学在A处观测对岸点C．测得∠CAD＝45°，小刚同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD＝30°，根据这些数据可以算出河宽为
　
　米（精确到0.01米，≈1.414，≈1.732）．
8．如图，一架长为10米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO＝70°，如果梯子的底端B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为　
　米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）
9．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度为　
　．（结果保留小数点后两位，≈1.732）
10．某高铁路段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D处（A、C、D共线）同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，则BD的长为　
　．（结果保留根号）
11．如图是高铁站自动检票口的双翼闸机，检票后双翼收起，通过闸机的物体的最大宽度为70cm，检票前双翼展开呈扇形CAP和扇形DBQ，若AC＝BD＝55cm，∠PCA＝∠BDQ＝30°，则A、B之间的距离为　
　cm．
12．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为　
　米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73）
13．如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B＝56°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为　
　米．（结果保留整数，sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）
14．如图，某商场大厅自动扶梯AB的长为12m，它与水平面AC的夹角∠BAC＝30°，则大厅两层之间的高度BC为　
　m．
15．如图，某水库水坝的坝高为24米，如果迎水坡AB的坡度为1：0.75，那么该水库迎水坡AB的长度为　
　米．
16．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为　
　米（结果保留根号）．
三、解答题
17．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．
（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；
（2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．）
18．如图，有一电线杆AB直立于地面，它的影子正好射在地面BC段和与地面成45°角的土坡CD上，已知∠BAD＝60°，BC＝8米，CD＝2米，求电线杆AB的高．（结果保留3个有效数字，≈1.732）
19．如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD＝50米，某人在河岸MN的A处测的∠DAN＝35°，然后沿河岸走了130米到达B处，测的∠CBN＝60°，求河流的宽度CE（结果保留整数）．
（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，≈1.7）
20．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到永丰路的距离为100米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为4秒，∠APO＝60°，∠BPO＝45°．
（1）求A、B之间的路程；
（2）请判断此车是否超过了永丰路每小时54千米的限制速度？（参考数据：≈1.73）
21．小明同学想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF＝45°，再向前行走一段距离时到点D处，侧得∠BDF＝65°．若直线AB与EF之间的距离为60米．
（1）设池塘两端的距离AB＝x米，试用含x的代数式表示CD的长；
（2）当CD＝100米时，求A、B两点的距离（计算结果精确到个位）．（参考数据：sin45°≈0.71，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14．）
22．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，如图1所示是一辆自行车的实物图，车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB＝75°，如图2．
（1）求车架档AD的长；
（2）求车座点E到车架档AB的距离（结果精确到1cm，参考数据sin75°＝0.966，cos75°＝0.259，tan75°＝3.732）
23．图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，∠CDE＝60°．
（1）若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．
（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）
24．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC可伸缩（10m≤AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤150°），转动点A距离地面BD的高度AE为3.5m．
（1）当起重臂AC长度为12m，张角∠CAE为120°时，求云梯消防车最高点C距离地面的高；
（2）某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为20m，请问该消防车能否实施有效救援？（参考数据：≈1.732）
25．小慧要外出参加活动，需网购拉杆箱，图①，图②分别是她在网上看到的某型号拉杆箱实物图与示意图，并获得如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度相等，B、F在AC上，C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°，请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求AC的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留根号）．
26．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知支架AB与支架AC所成的角∠BAC＝15°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部水平支架HE的长为0.75米，篮板顶端F到地面的距离为4.4米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
（2）求底座BC的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°＝0.27，≈1.732，≈1.414）
参考答案
1．解：∵∠ACD+∠BCD＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBD，
在Rt△ACD中，∵cos∠ACD＝，
∴AC＝，
故选：B．
2．解：过D作DE⊥AB于E，
∴∠DEB＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形DEBC是矩形，
∴BE＝DC＝2米，DE＝BC＝5米，
∵sinA＝，
∴，
∴AD＝13（米），
∴AE＝（米），
∴AB＝AE+BE＝12+2＝14（米），
故选：D．
3．解：如图，在Rt△ABC，∠CAB＝60°，BC＝2m，
∴AB＝＝＝，
当坡角为45°时，有BD＝BC＝2m，
∴DA＝2﹣AB＝2﹣≈0.85（m），
当坡角为30°时，有BE＝＝＝2（m），
∴EA＝BE﹣AB＝2﹣≈2.31（m），
当坡角满足30°≤∠A≤45°，
∴AB加长的距离x的取值范围为0.85≤x≤2.31m，
故选：B．
4．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝34°，sin∠ABC＝，
∴AC＝AB sin34°≈500×0.56≈280（米），
∴这名滑雪运动员的高度下降了280米，
故选：B．
5．解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∵BC＝4m，AB＝1.62m，
∴AD＝BC＝4m，DC＝AB＝1.62m，
Rt△AED中，∵∠DAE＝60°，AD＝4m，
∴ED＝AD tan60°＝4×＝4（m），
∴CE＝ED+DC＝4+1.62≈8.5（m）
答：这棵树的高度约为8.5m．
故答案为：8.5．
6．解：如图，过B作BE⊥AD于E，
∵∠NAD＝60°，∠ABD＝75°，
∴∠ADB＝45°，
∵AB＝12×＝8（千米），
∴AE＝4（千米）．BE＝4（千米），
∴DE＝BE＝4（千米），
∴AD＝（4+4）（千米），
∵∠C＝90，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD＝2+2≈5.5（千米）．
故答案为：5.5．
7．解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，
在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，
∴AE＝CE＝x米，
在Rt△BCE中，∠CBE＝30°，
∴BE＝CE＝x（米），
∴x＝x+60，
解得，x＝30+30≈81.96（米）．
答：河宽约为81.96米．
故答案为：81.96．
8．解：由题意可得：
∵∠ABO＝70°，AB＝10m，
∴sin70°＝，
解得：AO＝9.4（m），
∵∠CDO＝50°，DC＝10m，
∴sin50°＝≈0.77，
解得：CO＝7.7（m），
则AC＝9.4﹣7.7＝1.70（m），
答：AC的长度约为1.70米．
故答案为：1.70．
9．解：如图，
在Rt△CEA中，∵cos∠ECA＝，
∴CA＝≈7.07（m）；
在Rt△BDF中，∵cos∠BDF＝，
∴DB＝≈5.77（m），
∴BF＝BD≈2.89（m），
∵AB+AE＝EF+BF，
∴AB＝3.4+2.89﹣5＝1.29（m）．
故答案为：1.29m．
10．解：过B作BE⊥AD于点E，
∵∠CAB＝30°，AB＝4km，
∴∠ABE＝60°，BE＝2km，
∵∠ABD＝105°，
∴∠EBD＝45°，
∴∠EDB＝45°，
∴BE＝DE＝2km，
∴BD＝＝＝2（km），
即BD的长是2km．
11．解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．
则CD＝70cm，四边形AEFB是矩形，
∴EF＝AB，
∵AE∥PC，
∴∠PCA＝∠CAE＝30°，
∴CE＝AC sin30°＝55×＝（cm），
同理可得DF＝（cm），
∴AB＝EF＝CD﹣CE﹣DF＝70﹣﹣＝15（cm），
故答案为：15．
12．解：由题意可得：∵AM＝4米，∠MAD＝45°，
∴DM＝4m，
∵AM＝4米，AB＝8米，
∴MB＝12米，
∵∠MBC＝30°，
∴BC＝2MC，
∴MC2+MB2＝（2MC）2，
MC2+122＝（2MC）2，
∴MC＝4，
则DC＝4﹣4≈2.9（米），
故答案为：2.9．
13．解：∵∠B＝56°，∠C＝45°，∠ADB＝∠ADC＝90°，BC＝BD+CD＝100米，
∴BD＝，CD＝，
∴+＝100，
解得AD≈60．
故答案为：60．
14．解；在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝12m，
∴BC＝m，
故答案为：6．
15．解：如图，过点B作BC垂直于水平面于点C，
∵迎水坡AB的坡度为1：0.75
∴BC：AC＝1：0.75，
∴24：AC＝1：0.75，
∴AC＝18（米），
∴AB＝
＝＝30（米），
即该大坝迎水坡AB的长度为30米，
故答案为：30．
16．解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．
∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE＝CF，
在Rt△CFB中，CF＝BC sin45°＝3（米），
∴DE＝CF＝3（米），
在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2DE＝6（米），
故答案为：6．
17．解：（1）如图所示：过点D作DF∥AB，过点D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB于点M，
由题意可得，四边形DNMF是矩形，
则∠NDF＝90°，
∵∠A＝60°，∠AND＝90°，
∴∠ADN＝30°，
∴∠EDF＝135°﹣90°﹣30°＝15°，
即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；
（2）如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，
∴∠ABC＝30°，则AC＝AB＝8cm，
∵灯杆CD长为40cm，
∴AD＝48cm，
∴DN＝AD cos30°≈41.76cm，
则FM＝41.76cm，
∵灯管DE长为15cm，
∴sin15°＝＝＝0.26，
解得：EF＝3.9，
故台灯的高为：3.9+41.76≈45.7（cm）．
18．解：延长AD交BE的延长线于点F，则∠F＝30°，
∵∠DCE＝45°，DE⊥CF，CD＝2
米，
∴CE＝DE＝2，
在直角三角形DEF中，EF＝＝2
米，
∴BF＝BC+CE+EF＝（10+2
）米，
在直角三角形ABF中，AB＝BF×tan30°＝+2≈7.77米．
19．解：过点C作CF∥DA交AB于点F．
∵MN∥PQ，CF∥DA，
∴四边形AFCD是平行四边形．
∴AF＝CD＝50m，∠CFB＝35°．
∴FB＝AB﹣AF＝130﹣50＝80（m），
设BE＝x，∵∠CBN＝60°，
∴EC＝x，
∴tan35°＝≈0.7，
即＝0.7，
解得：x＝56，
∴CE＝56×1.7≈95.2≈95（m），
答：河流的宽是95米．
20．解：（1）在Rt△BOP中，∠BOP＝90°，
∵∠BPO＝45°，OP＝100，
∴OB＝OP＝100．
在Rt△AOP中，∠AOP＝90°，
∵∠APO＝60°，
∴AO＝OP tan∠APO．
∴A0＝100，
AB＝100（﹣1）（米）；
（2）∵此车的速度＝＝25（﹣1）≈25×0.73＝18.25米/秒，
54千米/小时＝≈15米/秒，
15米/秒＜18.25米/秒，
∴此车超过了永丰路每小时54千米的限制速度．
21．解：（1）作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如右图所示，
∴AB＝MN，
∵∠ACF＝45°，
∴CM＝AM＝60米，
在Rt△BDF中，∵tan∠BDF＝，
∴DN＝米，
∵CM+MN＝CD+DN，
∴CD＝60+x﹣28.04＝31.96+x；
（2）当CD＝100米时，
则100＝31.96+x，
解得：x＝100﹣31.96≈68米，
即AB＝68米．
22．解：（1）∵在RT△ACD中，AC＝45cm，DC＝60cm，
∴AD＝＝75，
∴车架档AD的长为75cm，
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为点F，
∵AE＝AC+CE＝45+20（cm）
∴EF＝AEsin75°＝（45+20）sin75°≈62.7835≈63cm，
∴车座点E到车架档AB的距离是63cm．
23．解：（1）过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，
则点A到直线DE的距离为：AH+CF．
在Rt△CDF中，
∵sin∠CDE＝，
∴CF＝CD sin60°＝70×＝35≈59.5（mm）．
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，
∵CG∥DE，
∴∠GCD＝∠CDE＝60°．
∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．
在Rt△ACH中，
∵sin∠ACH＝，
∴AH＝AC sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64（mm）．
∴点A到直线DE的距离为AH+CF＝59.5+64＝123.5≈124（mm）．
（2）如下图所示，虚线部分为旋转后的位置，B的对应点为B′，C的对应点为C′，
则B′C′＝BC＝35
mm，DC′＝DC＝70
mm．
在Rt△B′C′D中，
∵tan∠B′DC′＝＝0.5，tan26.6°≈0.5，
∴∠B′DC′＝26.6°．
∴CD旋转的角度为∠CDC′＝∠CDE﹣∠B′DC′＝60°﹣26.6°＝33.4°．
24．解：（1）过点A作AG⊥CF于点G，如图2所示：
∵∠AEF＝∠EFG＝∠FGA＝90°，
∴四边形AEFG为矩形，
∴FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°，
∴∠CAG＝∠CAE﹣∠EAG＝120°﹣90°＝30°，
∴CG＝AC＝×12＝6（m），
∴CF≈CG+FG＝6+3.5＝9.5（m），
∴云梯消防车最高点C距离地面的高为9.5m；
（2）由（1）得：FG＝AE＝3.5m，∠EAG＝90°，
在Rt△ACG中，sin∠CAG＝，
∴AC与∠CAG（0°＜∠CAG＜90°时）越大，CG越大，
∵90°≤∠CAE≤150°，10m≤AC≤20m，
∴∠CAG最大为：150°﹣90°＝60°，AC最大为20m，
此时，CG＝AC sin60°＝20×≈17.32（m），
∴CF＝CG+FG＝17.32+3.5＝20.82（m），
∴最高救援高度为20.82m，
∵20.82m＞20m，
∴该消防车能实施有效救援．
25．解：（1）如图，过F点作FH⊥CD，垂足为H，
在Rt△FCH中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH，
在Rt△FDH中，
∵∠FHD＝﹣90°，∠HDF＝30°，DF＝30cm
∴FH＝DF＝15（cm）＝CH，
DH＝DF＝15（cm），
∴CD＝CH+HD＝（15+15）cm，
∵CE：CD＝1：3，
∴CE＝CD＝（5+5）cm，
∴ED＝EC+CD＝（20+20）cm，
又∵AB＝BC＝ED，
∴AC＝2ED＝（40+40）cm，
答：AC的距离为（40+40）cm；
（2）如图，过点A作AG⊥ED，交ED的延长线于点G，
在Rt△ACG中，
∵∠AGC＝90°，∠ACG＝45°，AC＝（40+40）cm，
∴AG＝AC＝（20+20）cm，
答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为（20+20）cm．
26．解：（1）由题意可得：cos∠FHE＝＝，
则∠FHE＝60°；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，
∴HE∥AG，
∴∠FAG＝∠FHE＝60°，
在Rt△AGF中，
∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，
∴sin60°＝＝，
∴FG≈2.17（米），
∴GM＝FM﹣FG＝4.4﹣2.17＝2.23（米），
∴AB＝GM＝2.23（米），
在Rt△ABC中，
∵tan∠CAB＝，
∴BC＝AB tan15°≈0.27×2.23≈0.6（米），
答：底座BC的长0.6米．