2.6利用三角函数测高 能力达标测评 2021-2022学年九年级数学鲁教版（五四制）上册（word版含答案）

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《2.6利用三角函数测高》能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20m，已知B在C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点C到公路l的距离为（　　）
A．10m
B．m
C．10m
D．（10+10）m
2．如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC＝100米，则A、B两点相距（　　）米．
A．100（cos35°+sin35°）
B．100（cos35°﹣sin35°）
C．（+）
D．（﹣）
3．如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A，B分别为两岸上一点，且点B在点A正北方向，由点A向正东方向走a米到达点C，此时测得点B在点C的北偏西55°方向上，则河宽AB的长为（　　）
A．atan55°米
B．米
C．米
D．米
4．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为（　　）
A．40海里
B．40sin37°海里
C．40cos37°海里
D．40tan37°海里
5．如图，一艘轮船在A处测的灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B处，测的灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（　　）
A．40海里
B．（20+10）海里
C．40海里
D．（10+10）海里
6．如图，一渔船以32海里/时的速度向正北航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°，半小时后航行到B处看到灯塔S在船的北偏东60°，若渔船继续向正北航行到C处时，此时渔船在灯塔S的正西方向，此时灯塔S与渔船的距离（　　）
A．16海里
B．18海里
C．8海里
D．8海里
7．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（　　）千米．
A．4
B．4
C．2
D．6
8．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（　　）
A．60（）米
B．30（）米
C．（90﹣30）米
D．30（﹣1）米
9．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（　　）
A．30海里
B．60海里
C．120海里
D．（30+30）海里
10．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（　　）
A．3km
B．3km
C．4
km
D．（3﹣3）km
二．填空题（共5小题，满分20分）
11．某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车　
　（填“超速”或“没有超速”）（参考数据：≈1.732）
12．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行　
　海里．
13．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为　
　海里．
14．如图，为了测量河宽CD，先在A处测得对岸C点在其北偏东30°方向，然后沿河岸直行100米到点B，在B点测得对岸C点在其北偏西45°方向，则河宽CD是　
　米．（结果保留根号）
15．如图，一艘货轮以20海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行1小时后到达C处，发现灯塔B在它北偏东75°方向，那么此时货轮与灯塔B的距离为　
　海里（结果不取近似值）．
三．解答题（共6小题，满分60分）
16．某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．
（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）
（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）
17．在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；
（2）求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
18．小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B、C处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．
（1）求∠C的度数；
（2）求两棵银杏树B、C之间的距离（结果保留根号）．
19．如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．
20．为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
21．因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临摹亭和P2处的遗爱亭都在东北方向，当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向，当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临摹亭在北偏西60°方向．
（1）求A处到临摹亭P1处的距离；
（2）求临摹亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离．（计算结果保留根号）
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：如图，过点C作CD⊥直线l于点D，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BCD＝30°，∠ACD＝60°，AB＝20m，
∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝60°﹣30°＝30°，∠CAD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴AB＝BC＝20m，
在Rt△BCD中，
∵sin∠CBD＝，
∴CD＝BC sin∠CBD＝20×＝10（m），
故选：C．
2．解：过点C作AB的垂线交AB于D，
∵B点在A点的正东方向上，
∴∠ACD＝45°，∠DCB＝35°，
在Rt△BCD中，BC＝100，
∴DB＝BCsin35°＝100 sin35°（米），
CD＝BCcos35°＝100 cos35°（米），
在Rt△ACD中，AD＝CD，
∴AB＝AD+DB＝100（sin35°+cos35°）（米）．
故选：A．
3．解：连接AB，BC，
由题意得，∠BAC＝90°，∠ABC＝55°，AC＝a米，
∴tan∠ABC＝tan55°＝，
∴AB＝＝，
故选：D．
4．解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，
∴∠BAP＝37°，
∵AP＝40海里，
∴BP＝AP sin37°＝40sin37°海里；
故选：B．
5．解：过A作AD⊥BC于D，如图所示：
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，AB＝20海里，
∴AD＝AB＝10（海里），BD＝AD＝AB＝10（海里），
∵∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠BAC＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣105°﹣30°＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝10（海里），
∴BC＝BD+CD＝（10+10）海里，
故选：D．
6．解：由题意得，AB＝32×＝16（海里），∠ACS＝90°，
∵∠A＝30°，∠CBS＝60°，
∴∠ASB＝∠CBS﹣∠A＝30°，
∴∠ASB＝∠A，
∴BS＝AB＝16（海里），
在Rt△CBS中，sin∠CBS＝，
∴CS＝BS sin∠CBS＝16×＝8（海里），
故选：D．
7．解：由题意知，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠PAB＝∠APB，
∴AB＝PB，
在Rt△PAC中，∵AP＝6千米，
∴PC＝PA＝3千米，
在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝，
∴PB＝＝＝6千米．
故选：D．
8．解：作BD⊥CA交CA的延长线于D，
设BD＝xm，
∵∠BCA＝30°，
∴CD＝＝x，
∵∠BAD＝45°，
∴AD＝BD＝x，
则x﹣x＝60，
解得x＝＝30（），
答：这段河的宽约为30（）米．
故选：B．
9．解：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60海里，
在Rt△ACD中，AD＝AC＝30（海里），cos∠ACD＝，
∴CD＝AC cos∠ACD＝60×＝30（海里），
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝30（海里），
∴AB＝AD+BD＝（30+30）海里，
答：这时轮船B与小岛A的距离是（30+30）海里．
故选：D．
10．解：作AC⊥OB于点C，如右图所示，
由已知可得，
∠COA＝30°，OA＝6km，
∵AC⊥OB，
∴∠OCA＝∠BCA＝90°，
∴OA＝2AC，∠OAC＝60°，
∴AC＝3km，∠CAD＝30°，
∵∠DAB＝15°，
∴∠CAB＝45°，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴BC＝AC，
∴AB＝，
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分20分）
11．解：作AD⊥直线l于D，
在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝100，
在Rt△ADB中，tan∠ACD＝，
则CD＝＝100≈173.2，
∴BC＝173.2﹣100＝73.2（米），
小汽车的速度为：0.0732÷＝52.704（千米/小时），
∵52.704千米/小时＜60千米/小时，
∴小汽车没有超速，
故答案为：没有超速．
12．解：作PC⊥AB于点C，
∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，
∴∠PAC＝30°，AP＝4×2＝8，
∴PC＝AP×sin30°＝8×＝4．
∵乙货船从B港沿西北方向出发，
∴∠PBC＝45°，
∴PB＝PC÷＝4，
∴乙货船每小时航行4÷2＝2海里/小时，
故答案为2．
13．解：由题意得，AC＝60×0.5＝30海里，
∵CD∥BF，
∴∠CBF＝∠DCB＝60°，又∠ABF＝15°，
∴∠ABC＝45°，
∵AE∥BF，
∴∠EAB＝∠FBA＝15°，又∠EAC＝75°，
∴∠CAB＝90°，
∴BC＝AC＝30海里，
故答案为：30．
14．解：设CD＝x米，
由题意得：CD⊥AB，∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴AD＝CD＝x米，BD＝CD＝x米，
∵AD+BD＝AB＝100米，
∴x+x＝100，
解得：x＝150﹣50，
即河宽CD是（150﹣50）米，
故答案为：（150﹣50）．
15．解：作CE⊥AB于E，
20海里/时×1小时＝20海里，
∴AC＝20海里，
∵∠A＝45°，
∴CE＝AC sin45°＝10，
∵∠NCB＝75°，∠A＝45°，
∴∠B＝30°，
∴BC＝＝＝20海里，
故答案为：20．
三．解答题（共6小题，满分60分）
16．解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600，
∴CD＝AC＝300（m），
AD＝AC＝300（m），
∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B，
∴∠B＝75°﹣∠A＝45°，
∴CD＝BD＝300（m），
BC＝CD＝300（m），
答：景点B和C处之间的距离为300m；
（2）由题意得．
AC+BC＝（600+300）m，
AB＝AD+BD＝（300+300）m，
AC+BC﹣AB＝（600+300）﹣（300+300）
≈204.6
≈205（m），
答：大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约205m．
17．解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：
则∠PCA＝∠PCB＝90°，
由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠CBP＝45°，
在Rt△ACP中，∵∠CAP＝30°，∠PCA＝90°，
∴PC＝PA＝60海里，
在Rt△BCP中，∵∠PCB＝90°，∠CBP＝45°，sin∠CBP＝，
∴PB＝＝＝60（海里），
答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里；
（2）∵PA＝120海里，PB＝60海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，
∴救助船A所用的时间为＝3（小时），救助船B所用的时间为＝2（小时），
∵3＞2，
∴救助船B先到达．
18．解：（1）设AD与BC交于点F，
由题意得BE∥AD，
∵BE∥AD且∠EBF＝60°，
∴∠BFA＝∠EBF＝60°，
∵∠BFA＝∠C+∠CAD且∠CAD＝30°，
∴∠C＝∠BFA﹣∠CAD＝30°；
（2）过点B作BG⊥AD于G．
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝∠BGD＝90°，
在Rt△AGB中，AB＝20米，∠BAG＝45°，
AG＝BG＝20×sin45°＝（米），
在Rt△BGF中，∠BFG＝60°，
∴BF＝BGsin60°＝（米），FG＝BGtan60°＝（米），
∵∠C＝∠CAD＝30°，
∴CF＝AF＝AG+FG＝（10+）（米），
∴BC＝BF+CF＝（10+10）米，
答：两棵银杏树B、C之间的距离为
（）米．
19．解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，
根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25海里，
∴AE＝CE＝25（海里），
∵∠CBE＝30°，
∴BE＝25（海里），
∴BC＝2CE＝50（海里）．
答：观测点B与C点之间的距离为50海里；
（2）如图，作CF⊥DB于点F，
∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，
∴四边形CEBF是矩形，
∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25（海里），
∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），
在Rt△DCF中，根据勾股定理，得
CD＝＝＝70（海里），
∴70÷42＝（小时）．
答：救援船到达C点需要的最少时间是小时．
20．解：（1）由题意得，∠PAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABP＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝180°﹣∠PAB﹣∠ABP＝180°﹣30°﹣135°＝15°；
（2）海监船继续向正东方向航行安全，理由如下：
作PH⊥AB于H，如图：
则△PBH是等腰直角三角形，
∴BH＝PH，
设BH＝PH＝x海里，
由题意得：AB＝40×＝20（海里），
在Rt△APH中，tan∠PAB＝tan30°＝＝，
即＝，
解得：x＝10+10≈27.32＞25，且符合题意，
∴海监船继续向正东方向航行安全．
21．解：（1）作P1M⊥AC于M，
设P1M＝xm，
在Rt△P1AM中，∵∠P1AB＝45°，
∴AM＝P1M＝xm，
在Rt△P1CM中，∵∠P1CA＝30°，
∴MC＝＝xm，
∵AC＝1000
m，
∴x+＝1000，解得x＝500（﹣1）（m），
∴P1M＝500（﹣1）m
∴P1A＝＝500（﹣）m，
故A处到临摹亭P1处的距离为500（﹣）m；
（2）作BN⊥AP2于N，
∵∠P2AB＝45°，∠P2BA＝75°，
∴∠P2＝60°，
在Rt△ABN中，∵∠P1AB＝45°，AB＝600
m
∴BN＝AN＝AB＝300
m，
∴P1N＝500（﹣）﹣300＝（500﹣800）
（m），
在Rt△P2BN中，∵∠P2＝60°，
∴P2N＝BN＝×＝100
（m），
∴P1P2＝100﹣（500﹣800）＝（800﹣400）
（m）．
故临摹亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离是（800﹣400）m．