2.4解直角三角形同步能力提升训练 2021-2022学年九年级数学鲁教版（五四制）上册（word版含答案）

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《2.4解直角三角形》同步能力提升训练（附答案）
一、选择题
1．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，D为AC边上一动点，且tan∠ABD＝，则BD的长度为（　　）
A．
B．2
C．5
D．
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD＝9，DC＝5，cosB＝，E为AC的中点，那么sin∠EDC的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，直线MN垂直平分AB交AB于M，交BC于N，且∠B＝15°，AC＝3，则BC的长为（　　）
A．6
B．6+3
C．6+2
D．9
4．如图，A，B，C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为a，则sin∠BAC的值为（　　）
A．
B．1
C．
D．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（　　）
A．
B．
C．6
D．8
6．如图，平面直角坐标系中的点P的坐标为（2，4），OP与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，A，B，C是正方形网格的格点，连接AC，AB，则tan∠BAC的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中cos∠QMB的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．一对直角三角形纸片ABC和BCD按如图所示方式摆放．其中∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D在BC的同侧，∠ABC＝45°，tan∠DBC＝．连接AD，若AB＝5．则AD的长为
　
　．
10．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE的面积取得最小值时，tan∠BAD＝　
　．
11．如图，在锐角△ABC中，cos∠BAC＝，AB＝AC，AE平分∠BAC交BC于点E，CD⊥AB于点D，AE，CD交于点F，连接DE．则＝　
　．
12．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝6，BD＝4，AC＝CD＝5，则cos∠ADC＝　
　．
13．如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝3BD，则sinC的值为　
　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝6，tanB＝，则CE＝　
　．
15．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cosB+sinB的值为
　
　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，∠A＝∠CBD，若AC＝8cm，cos∠CBD＝，则边AB＝　
　cm．
17．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D都是小正方形的顶点，AB与CD相交于点P，则sin∠BPD的值是　
　．
三、解答题
18．如图，在△ABC中，AD是中线，∠ABC＝30°，∠ADC＝45°．
（1）求的值；
（2）求∠ACB的度数．
19．如图在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、BC的中点，过点B作BF⊥AC于点F，BF与DE交于点G．
（1）求证：DE⊥BF；
（2）连结EF，若S△CEF＝S△BDG，求cos∠CEF的值．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，AB＝5，AC＝3．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠DAB的值．
21．如图，A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A＝45°，∠CBD＝75°，AB＝60m．
（1）求∠ACB的度数；
（2）求线段CB的长度．
22．将一副直角三角板如图所示放置，点C，D，F在同一直线上，AB∥CF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，若AB＝20，求CD的长．
23．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．
（1）若AE＝1，求△ABD的周长；
（2）若AD＝BD，求tan∠ABC的值．
24．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．
参考答案
1．解：作DE⊥AB于点E，
设DE长为x，则tanA＝＝＝，
∴EA＝x，
∵tan∠ABD＝＝，
∴BE＝2x，
∴AB＝EA+BE＝x+2x＝6，
∴x＝，
∴BD＝＝＝，
故选：D．
2．解：在Rt△ABD中，cosB＝＝，BD＝9，
∴AB＝BD＝15，
由勾股定理得AD＝＝＝12，
在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝＝＝13，
∵E为AC中点，
∴ED＝EC＝AC＝，
∴sin∠EDC＝sinC＝＝．
故选：C．
3．解：如图，连接AN．
∵MN垂直平分线段AB，
∴NA＝NB，
∴∠B＝∠BAN＝15°，
∴∠ANC＝∠B+∠NAB＝30°，
∵AC＝3，∠C＝90°，
∴AN＝2AC＝6，CN＝＝＝3，
∴BC＝CN+BN＝3+6，
故选：B．
4．解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，
由题意可得，
∵S长方形EFGC＝2a×3a＝6a2，S△AEC＝＝＝，S△AFB＝＝＝a2，
S△CBG＝＝＝a2，
∴S△ABC＝S长方形EFGC﹣S△AEC﹣S△AFB﹣S△BGC＝6a2﹣﹣a2﹣a2＝，
在Rt△AEC中，
AC＝＝＝，
∵S△ABC＝＝＝，
解得BD＝a，
在Rt△AFB中，
AB＝＝＝，
在Rt△ABD中，
sin∠BAC＝＝＝．
故选：C．
5．解：如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E．
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝180°﹣120°＝60°，
∴AE＝AC cos60°＝4，EC＝AC sin60°＝4，
∵AB＝4，
∴BE＝AB+AE＝8，
∴BC＝＝＝4，
故选：B．
6．解：如图，过点P作PH⊥x轴于H．
∵P（2，4），
∴OH＝2，PH＝4，
∴OP＝＝＝2，
∴sinα＝＝＝，
故选：D．
7．解：如图，作CE⊥AB于E，
设小正方形边长为1，则易证△BEC是等腰直角三角形，
∴CE＝BE＝，AB＝＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝＝3﹣＝，
在Rt△AEC中，tan∠EAC＝＝＝．
∴tan∠BAC的值是，
故选：C．
8．解：作CQ∥AB，连接PC，如右图所示，
设每个小正方形的边长为1，
则CQ＝＝2，PQ＝＝2，PC＝＝4，
∴CQ2+PC2＝（2）2+（4）2＝8+32＝40＝（2）2＝PQ2，
∴△PCQ是直角三角形，∠PCQ＝90°，
∴cos∠PQC＝＝＝，
∵AB∥CQ，
∴∠QMB＝∠PQC，
∴cos∠QMB的值是，
故选：A．
9．解：如图，分别过点A、D作AF⊥BC、DE⊥BC，交BC于点F、E，过点D作DM⊥AF，于点M，
在Rt△ABC中，
∵AB＝5，∠ABC＝45°，
∴AC＝AB＝5，BC＝10，
∴AF＝BF＝5，
在Rt△BCD中，
∵tan∠DBC＝，
∴BD＝6，
在Rt△BDE中，
∵tan∠DBE＝，
∴DE＝，BE＝，
∵∠DEF＝∠DMF＝∠EFM＝90°，
∴四边形DEFM是矩形，
∴DM＝EF＝BF﹣BE＝，MF＝DE＝，
∴AM＝AF﹣MF＝，
在Rt△ADM中，由勾股定理，得：AD＝＝，
故答案为：．
10．解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K，连接DK，由题意KD＝CF＝5，
∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，
∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，
∵AD是切线，点D是切点，
∴AD⊥KD，
∵AK＝13，DK＝5，
∴AD＝12，
∵tan∠EAO＝＝，
∴＝，
∴OE＝，
∴AE＝＝，
作EH⊥AB于H．
∵S△ABE＝ AB EH＝S△AOB﹣S△AOE，
∴EH＝，
∴AH＝＝，
∴tan∠BAD＝＝＝．
11．解：如图，在AE上取一点M，使得AM＝MC．设EC＝m．
∵cos∠BAC＝，
∴∠BAC＝45°，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，∠EAC＝∠BAC＝22.5°，
∵MA＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝22.5°，
∴∠CME＝∠MAC+∠MCA＝45°，
∴EC＝EM＝m，AM＝CM＝m，AE＝m+m，
∵∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴∠ECF＝∠DAE＝22.5°，
∵∠DAE＝∠EAC，
∴＝，
∴DE＝ED，
∴＝＝＝tan22.5°＝＝﹣1．
故答案为：﹣1
12．解：如图：过点A作AE⊥BC，交BC于点E，
设DE＝x，则CE＝5﹣x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2﹣BE2，
则AE2＝62﹣（4﹣x）2①，
在Rt△ACE中，AE2＝AC2﹣CE2，
则AE2＝52﹣（5﹣x）2②，
由①②得，62﹣（4﹣x）2＝52﹣（5﹣x）2，
解得：x＝，则DE＝，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2③，
将x＝代入①式，得AE＝，
则AD2＝（）2+（）2，
解得AD＝，
∴cos∠ADC＝＝．
13．解：设BD＝a，则由题意可得：BC＝3a，AB＝AD＝a，
在△ABD中，由余弦定理得：cosA＝＝＝，
∴sinA＝＝，
在△ABC中，由正弦定理得，＝，
即＝，
解得：sinC＝，
故答案为：．
14．解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，
∴FC＝FG，
∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，
∴△BFG∽△BAC，
∴＝，
∵AC＝6，∠ACB＝90°，
∴tanB＝＝
∴BC＝8，AB＝＝＝10，
∴＝，
∵FC＝FG，
解得：FC＝3，
即CE的长为3．
故答案为：3．
15．解：如图，过点A作AE⊥BC交BC的延长线于E．
在Rt△ABE中，∠E＝90°，AE＝3，BE＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴cosB＝＝，sinB＝＝，
∴cosB+sinB＝+＝，
故答案为：．
16．解：∵∠C＝90°，∠A＝∠CBD，cos∠CBD＝，
∴cos∠A＝＝，
∵AC＝8cm，
∴AB＝10cm．
故答案为：10．
17．解：如图所示：连接AE、BE．
∵AC＝ED＝1，AC∥ED，
∴四边形AEDC是平行四边形．
∴AE∥CD．
∴∠EAB＝∠DPB．
∵BE＝AE＝＝，
AB＝＝＝2．
∴AB2＝AE2+BE2．
∴△AEB是等腰直角三角形．
∴∠EAB＝∠DPB＝45°．
∴sin∠BPD＝sin45°＝．
故答案为：．
18．解：（1）过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，
在Rt△ABE中，
∵∠ABC＝30°，
∴AB＝2AE，
BE＝＝AE，
在Rt△ADE中，
∵∠ADC＝45°，
∴DE＝AE，
∴BD＝BE﹣DE＝AE﹣AE＝（﹣1）AE，
∴＝＝+1；
（2）如图，在AB上取一点E，使得DB＝DE，连接EC．
∵DB＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB＝30°，
∴∠EDC＝∠B+∠DEB＝60°，
∵DB＝DC＝DE，
∴△DEC是等边三角形，
∴∠ECD＝∠CED＝60°，
∴∠CEB＝∠CEA＝90°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠EDA＝∠EDC﹣∠ADC＝15°，
∵∠DEB＝∠EDA+∠AED，
∴∠EDA＝∠EAD＝15°，
∴ED＝EA＝EC，
∵∠CEA＝90°，
∴∠ECA＝45°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°+60°＝105°．
19．证明：（1）∵点D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC．
∴∠DGB＝∠AFB．
∵BF⊥AC，
∴∠AFB＝∠BFC＝90°．
∴∠DGB＝90°，
∴DE⊥BF．
（2）∵∠BFC＝90°，点E是BC的中点，
∴EF＝BE＝EC，
∴∠EFC＝∠C．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C．
∴∠CEF＝180°﹣2∠C＝∠BAC．
∵DE∥AC，点D是AB的中点，
∴△BDG∽△BAF，
∴＝．
∵点E是BC的中点，
∴S△BFC＝2S△CEF，
∵S△CEF＝，
∴．
∴S△AFB＝S△ABF+S△BCF＝S△ABF+2S△CEF＝S△CEF．
∴＝＝S△CEF：S△CEF＝，
在Rt△ABF中，cos∠CEF＝cos∠BAF＝＝＝．
20．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝
＝＝
4．
∵D是BC的中点，
∴CD＝BC＝2．
∴AD＝
＝
＝．
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵D为BC的中点，
∴S△ACD＝S△ADB＝AC×CD＝3．
∵S△ABD＝AB×DE＝3，
∴DE＝．
∴sin∠DAB＝
＝
＝．
21．解：（1）∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠A＝45°，∠CBD＝75°，
∴∠ACB＝75°﹣45°＝30°．
（2）如图，过点B作BH⊥AC于H．
∵∠BHA＝90°，AB＝60m，∠A＝45°，
∴BH＝AB sin45°＝60（m），
∵∠BCH＝30°，
∴BC＝2BH＝120（m）．
22．解：（1）如图，作BH⊥CF于点H，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠BCH＝∠ABC＝30°，
∵AB＝20，
∴，
在Rt△BCH中，∵∠BCH＝30°，
∴，CH＝BC×cos30°＝15，
在Rt△DEF中，∵∠E＝45°，
∴∠EDF＝∠E＝45°，
在Rt△BDH中，，
∴．
23．解：（1）如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，
∴BD＝CD，
C△ABD＝AB+AD+BD
＝AB+AD+DC
＝AB+AC，
∵AB＝CE，
∴C△ABD＝AC+CE＝AE＝1，
故△ABD的周长为1．
（2）设AD＝x，
∴BD＝3x，
又∵BD＝CD，
∴AC＝AD+CD＝4x，
在Rt△ABD中，AB＝＝＝2．
∴tan∠ABC＝＝＝．
24．解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，
∴AB＝10，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
AC＝＝＝6，
即AC的长为6；
（2）如图，
连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，
∵BF为AD边上的中线，
即F为AD的中点，
∴CF＝AD＝FD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝2，
∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，
∴CE＝CD＝2，
在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，
∴tan∠FBD＝＝＝．
解法二：∵BF为AD边上的中线，
∴F是AD中点，
∵FE⊥BD，AC⊥BD，
∴FE∥AC，
∴FE是△ACD的中位线，
∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，
∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝